Đề thi thử đại học Toán 2010 Đề số 20

Trn S Tựng
Trng THPT MINH CHU
HNG YấN
s 20
THI TH I HC V CAO NG NM 2010
Mụn thi: TON Khi A
Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt )

I. PHN CHUNG (7 im)
Cõu I (2 im): Cho hm s yxx
32
32=+.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh :
m
xx
x
2
22
1
--=
-
.
Cõu II (2 im):
1) Gii phng trỡnh:
xx
5
22cossin1
12
p
ổử

-=
ỗữ
ốứ

2) Gii h phng trỡnh:
xyxy
xyxy
28
2222
log3log(2)
13
ỡ
+=-+
ù
ớ
ù
++--=
ợ

Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn:
x
Idx
xx
4
2
4
sin
1
p
p

-
=
++
ũ

Cõu IV (1 im): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a , AD = 2a . Cnh SA vuụng gúc
vi mt phng ỏy, cnh bờn SB to vi mt phng ỏy mt gúc
0
60 . Trờn cnh SA ly im M sao cho AM
=
a3
3
, mt phng (BCM) ct cnh SD ti N. Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM.
Cõu V (1 im): Cho x , y , z l ba s thc tha món :
xyz
5551
---
++= .Chng minh rng :

xyz
xyzyzxzxy
252525
555555
+++
++
+++

xyz
555
4

++

II. PHN T CHN (3 im)
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a (2 im):
1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(1; 2), ng cao CHxy:10-+= , phõn giỏc
trong BNxy:250++=. Tỡm to cỏc nh B, C v tớnh din tớch tam giỏc ABC.
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng :
xyz
d
1
21
:
468
-+
==
--
,
xyz
d
2
72
:
6912
--
==
-

a) Chng minh rng d
1

v d
2
song song . Vit phng trỡnh mt phng (P) qua d
1
v d
2
.
b) Cho im A(1; 1; 2), B(3; 4; 2). Tỡm im I trờn ng thng d
1
sao cho IA + IB t giỏ tr nh nht.
Cõu VII.a (1 im): Gii phng trỡnh sau trờn tp s phc:
z
zzz
2
43
10
2
-+++=
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b (2 im):
1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I l giao im ca ng
thng dxy
1
:30--= v dxy
2
:60+-=. Trung im ca mt cnh l giao im ca d
1
vi trc Ox. Tỡm to
cỏc nh ca hỡnh ch nht.
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng:

xyz
d
1
21
:
112
--
==
-
v
xt
dy
zt
2
22
:3
ỡ
Â
=-
ù
=
ớ
ù
Â
=
ợ

a) Chng minh rng d
1
v d

2
chộo nhau v vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca d
1
v d
2
.
b) Vit phng trỡnh mt cu cú ng kớnh l on vuụng gúc chung ca d
1
v d
2
.
Cõu VII.b (1 im): Tớnh tng: SCCCCC
04820042008
20092009200920092009
...=+++++
============================
Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Ta cú
( )
m
xxxxxmx
x
22
22221,1.
1
--=---=ạ
-
Do ú s nghim ca phng trỡnh bng s

giao im ca
()
yxxxC
2
221,(')=--- v ng thng ymx,1.=ạ
Vi
( )
fxkhix
yxxx
fxkhix
2
()1
221
()1
ỡ
>
=---=
ớ
-<
ợ
nờn
()
C' bao gm:
+ Gi nguyờn th (C) bờn phi ng thng
x1.=

+ Ly i xng th (C) bờn trỏi ng thng
x1=
qua Ox.
Da vo th ta cú:

m < 2 m = 2 2 < m < 0 m 0
S nghim vụ nghim 2 nghim kộp 4 nghim phõn bit 2 nghim phõn bit
Cõu II: 1) PT
x
55
2sin2sin1
1212
pp
ộự
ổử
-+=
ờỳ
ỗữ
ốứ
ởỷ

x
551
sin2sinsin
12124
2
ppp
ổử
-+==
ỗữ
ốứ


x
55

sin2sinsin2cossinsin
1241231212
pppppp
ổửổửổử
-=-=-=-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ


()
xkxk
xk
xkxk
5
22
5
12126
sin2sin
5133
1212
22
12124
ppp
pp
pp
ppp
pp
ộộ
-=-+=+
ờờ

ổửổử
-=-ẻ
ờờ
ỗữỗữ
ốứốứ
ờờ
-=+=+
ởở
Â

2) iu kin: xy xy0,0+>-
H PT
xyxy
xyxy
2222
2
13
ỡ
+=+-
ù
ớ
ù++--=
ợ
. t:
uxy
vxy
ỡ
=+
ớ
=-

ợ
ta cú h:

uvuvuvuv
uvuv
uvuv
2222
2()24
22
33
22
ỡỡ
-=>+=+
ùù

ớớ
++++
ùù
-=-=
ợợ
uvuv
uvuv
uv
2
24(1)
()22
3(2)
2
ỡ
+=+

ù

ớ
+-+
ù
-=
ợ
.
Th (1) vo (2) ta cú: uvuvuvuvuvuvuv
2
89389(3)0++-=++=+=.
Kt hp (1) ta cú:
uv
uv
uv
0
4,0
4
ỡ
=
==
ớ
+=
ợ
(vi u > v). T ú ta cú: x = 2; y = 2.(tho k)
Kt lun: Vy nghim ca h l: (x; y) = (2; 2).
Cõu III: IxxdxxxdxII
44
2
12

44
1sinsin
pp
pp
--
=+-=-
ũũ

ã Tớnh Ixxdx
4
2
1
4
1sin
p
p
-
=+
ũ
. S dng cỏch tớnh tớch phõn ca hm s l, ta tớnh c I
1
0=.
ã Tớnh Ixxdx
4
2
4
sin
p
p
-

=
ũ
. Dựng phng phỏp tớch phõn tng phn, ta tớnh c: I
2
2
2
4
p
=-+
Suy ra: I
2
2
4
p
=-.
Cõu IV: Ta cú: (BCM) // AD nờn mt phng ny ct mp(SAD) theo giao tuyn MN // AD .
Trn S Tựng
ã
BCAB
BCBM
BCSA
ỡ
^
ị^
ớ
^
ợ
. T giỏc BCMN l hỡnh thang vuụng cú BM l ng cao.
ã SA = AB tan60
0

=
a 3
,
a
a
MNSMMN
ADSAa
a
3
3
2
3
23
3
-
=== ị MN =
a4
3
, BM =
a2
3

Din tớch hỡnh thang BCMN l : S =
BCNM
a
a
BCMNaa
SBM
2
4

2
210
3
22
333
ổử
+
ỗữ
+
===
ỗữ
ốứ

ã H AH ^ BM. Ta cú SH^ BM v BC ^ (SAB)
ị
BC ^ SH . Vy SH ^ ( BCNM)

ị
SH l ng cao ca khi chúp SBCNM
Trong tam giỏc SBA ta cú SB = 2a ,
ABAM
SBMS
= =
1
2
.
Vy BM l phõn giỏc ca gúc SBA
ị
ã
SBH

0
30=

ị
SH = SB.sin30
0
= a
ã Th tớch chúp SBCNM ta cú V =
BCNM
SHS
1
.
3
=
a
3
103
27
.
Cõu V: t ===5;5;5
xyz
abc. T gi thit ta cú: a, b, c > 0 v
++=abbccaabc

BT
++
++
+++
222
4

abcabc
abcbcacab
(*)
Ta cú: (*)

++
++
+++
333
222
4
abcabc
aabcbabccabc




++
++
++++++
333
()()()()()()4
abcabc
abacbcbacacb

p dng BT Cụ-si, ta cú:
++
++
++
3

3
()()884
aabac
a
abac
(1)

++
++
++
3
3
()()884
bbcba
b
bcba
( 2)

++
++
++
3
3
()()884
ccacb
c
cacb
( 3)
Cng v vi v cỏc bt ng thc (1), (2), (3) suy ra iu phi chng minh.
II. PHN T CHN

1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Do
ABCH^
nờn phng trỡnh AB: xy10++= .
ã B =
ABBNầ
ị To im B l nghim ca h:
xy
xy
250
10
ỡ
++=
ớ
++=
ợ

x
y
4
3
ỡ
=-
ớ
=
ợ
ị B(-4; 3).
ã Ly A i xng vi A qua BN thỡ
ABC'ẻ
.

Phng trỡnh ng thng (d) qua A v vuụng gúc vi BN l (d): xy250--=. Gi IdBN()=ầ.
Gii h:
xy
xy
250
250
ỡ
++=
ớ
--=
ợ
. Suy ra: I(1; 3) A'(3;4)ị--
ã Phng trỡnh BC: xy7250++=. Gii h:
BCxy
CHxy
:7250
:10
ỡ
++=
ớ
-+=
ợ
ị C
139
;
44
ổử
--
ỗữ
ốứ

.
ã BC
22
139450
43
444
ổửổử
=-+++=
ỗữỗữ
ốứốứ
, dABC
22
7.11(2)25
(;)32
71
+-+
==
+
.
Suy ra:
ABC
SdABCBC
1145045
(;)..32..
2244
===
Trn S Tựng
2) a) ã VTCP ca hai ng thng ln lt l: uu
12
(4;6;8),(6;9;12)=--=-

rr
ị uu
12
,
rr
cựng phng.
Mt khỏc, M( 2; 0; 1) ẻ d
1
; M( 2; 0; 1)
ẽ
d
2.
. Vy d
1
// d
2
.
ã VTPT ca mp (P) l nMNu
1
1
,(5;22;19)
2
ộự
=-=-
ởỷ
uuuur
rr
ị Phng trỡnh mp(P): xyz5221990++=.
b) AB (2;3;4)=--
uuur

ị AB // d
1
. Gi A
1
l im i xng ca A qua d
1 .
Ta cú: IA + IB = IA
1
+ IB A
1
B
IA + IB t giỏ tr nh nht bng A
1
B. Khi ú A
1
, I, B thng hng
ị
I l giao im ca A
1
B v d.
Do AB // d
1
nờn I l trung im ca A
1
B.
ã Gi H l hỡnh chiu ca A lờn d
1
. Tỡm c H
363315
;;

292929
ổử
ỗữ
ốứ
. A i xng vi A qua H nờn A
439528
;;
292929
ổử
-
ỗữ
ốứ

I l trung im ca AB suy ra I
652143
;;
295829
ổử
--
ỗữ
ốứ
.
Cõu VII.a: Nhn xột
z0=
khụng l nghim ca PT. Vy z 0ạ
Chia hai v PT cho
z
2
ta c: zz
z

z
2
2
111
0
2
ổửổử
+--+=
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
(1)
t tz
z
1
=-. Khi ú
tz
z
22
2
1
2=+- zt
z
22
2
1
2+=+

Phng trỡnh (2) tr thnh: tt

2
5
0
2
-+= (3). i
2
5
14.99
2
D
=-=-=
ị PT (3) cú 2 nghim
i
t
13
2
+
=,
i
t
13
2
-
=
ã Vi
i
t
13
2
+

=: ta cú
i
zziz
z
2
113
2(13)20
2
+
-=-+-= (4a)
Cú iiiii
222
(13)168696(3)
D
=++=+=++=+
ị PT (4a) cú 2 nghim :
ii
zi
(13)(3)
1
4
+++
==+,
iii
z
(13)(3)1
42
+-+-
==
ã Vi

i
t
13
2
-
=: ta cú
i
zziz
z
2
113
2(13)20
2
-
-=---= (4b)
Cú iiiii
222
(13)168696(3)
D
=-+=-=-+=-
ị PT (4b) cú 2 nghim :
ii
zi
(13)(3)
1
4
-+-
==-,
iii
z

(13)(3)1
42
-----
==
Vy PT ó cho cú 4 nghim :
ii
zizizz
11
1;1;;
22
---
=+=-==.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Ta cú: Idd
12
=ầị To ca I l nghim ca h:
x
xy
xy
y
9
30
2
603
2
ỡ
=
ù
ỡ
--=

ớớ
+-=
ợ
ù
=
ợ
ị
I
93
;
22
ổử
ỗữ
ốứ

Do vai trũ A, B, C, D l nh nhau nờn gi s MdOx
1
=ầ l trung im cnh AD. Suy ra M(3; 0)
Ta cú: ABIM
22
93
22332
22
ổửổử
==-+=
ỗữỗữ
ốứốứ

Theo gi thit:

ABCD
ABCD
S
SABADAD
AB
12
.1222
32
=====

Vỡ I v M cựng thuc ng thng d
1
dAD
1
ị^
ng thng AD i qua M(3; 0) v vuụng gúc vi d
1
nhn n(1;1)=
r
lm VTPT nờn cú PT: xy30+-=
Trn S Tựng
Mt khỏc:
MAMD 2==
ị To ca A, D l nghim ca h PT:
( )
xy
xy
2
2
30

32
ỡ
+-=
ù
ớ
-+=
ù
ợ


( ) ( )
yxyx
yx
x
xyxx
22
22
33
3
31
323(3)2
ỡỡ
=-+=-+
ùù
ỡ
=-

ớớớ
-=
-+=-+-=

ợ
ùù
ợợ
x
y
2
1
ỡ
=

ớ
=
ợ
hoc
x
y
4
1
ỡ
=
ớ
=-
ợ
.
Vy A( 2; 1), D( 4; 1).
Do
I
93
;
22

ổử
ỗữ
ốứ
l trung im ca AC suy ra:
CIA
CIA
xxx
yyy
2927
2312
ỡ
=-=-=
ớ
=-=-=
ợ

Tng t I cng l trung im ca BD nờn ta cú B( 5; 4)
Vy to cỏc nh ca hỡnh ch nht l: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; 1)
2) a) d
1
cú VTCP u
1
(1;1;2)=-
r
v i qua im M( 2; 1; 0), d
2
cú VTCP u
2
(2;0;1)=-
r

v i qua im N( 2; 3; 0) .
Ta cú: uuMN
12
,.100
ộự
=-ạ
ởỷ
uuuur
rr
ị d
1
, d
2
chộo nhau.
Gi Atttd
1
(2;1;2)+ẻ, Bt td
2
(22;3;)
ÂÂ
ẻ .
AB l on vuụng gúc chung ca d
1
v d
2

ABu
ABu
1
2

.0
.0
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
uuur
r
uuur
r

ị

t
t
1
3
'0
ỡ
ù
=-
ớ
ù
=
ợ

ị

A
542
;;
333
ổử
-
ỗữ
ốứ
; B (2; 3; 0)
ng thng D qua hai im A, B l ng vuụng gúc chung ca d
1
v d
2
ị D:
xt
yt
zt
2
35
2
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=
ợ

b) PT mt cu nhn on AB l ng kớnh: xyz

222
111315
6636
ổửổửổử
-+-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ

Cõu VII.b: Ta cú: iCiCiC
20090120092009
200920092009
(1)..+=+++
= CCCCCCCCCCCCi
024620062008135720072009
2009200920092009200920092009200920092009 20092009
....(...)-+-+-++-+-+-+
Thy: SAB
1
()
2
=+, vi ACCCCCC
024620062008
200920092009200920092009
...=-+-+-+
BCCCCCC
024620062008
200920092009200920092009
...=++++++
ã Ta cú: iiiii
1004

20092100410041004
(1)(1)(1)(1).222
ộự
+=++=+=+
ởỷ
.
ng nht thc ta cú A chớnh l phn thc ca i
2009
(1)+ nờn A
1004
2= .
ã Ta cú: xCxCxCxC
2009012220092009
2009200920092009
(1)...+=++++
Cho x = 1 ta cú: CCCCCC
022008132009
200920092009200920092009
......+++=+++
Cho x=1 ta cú: CCCCCC
0220081320092009
200920092009200920092009
(...)(...)2+++++++=.
Suy ra: B
2008
2= .
ã T ú ta cú:
S
10032007
22=+

.
=====================