de thi chuyen toan vao 10

PTC_1011QĐ_01
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
Năm học 2010- 2011
Môn thi: TOÁN- Vòng I
Câu I
1) Giải hệ phương trình





=+
=++
.2
231283
22
22
yx
xyyx
2) Giải phương trình
.183124312
32
++=+−++ xxxx
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
( )( )
( )( )
.2512411
22

=++++++ xyyxxyyx
2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không
vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn
có.
( )
n
nn
nn
=






+
++
++
1
1

3.2
7
2.1
3
2
Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với
đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc
0

30=ACB
. Gọi H là giao điểm thứ hai
của đường thăng BC với đường tròn (O).
1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC
theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại
điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi
M thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Câu IV
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức
4
9
)1)(1( =++ ba
, hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
44
11 baP +++=
.
Hết
HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
3) Giải hệ phương trình





=+

=++
.2
231283
22
22
yx
xyyx

4) Gii phng trỡnh
.183124312
32
++=+++ xxxx
H ớng dẫn
1) Cộng cả hai phơng trình ta đợc (2x+3y)
2
=25
Ta có hai hệ



=+
=+
2
532
22
yx
yx
Và

=+
=+
2
532
22
yx
yx
Giai ra ta đợc PT có 4 nghiệm 1,-1;
13
7
;
13
7

2) ĐKXĐ
2
1
x
Đặt
)0(124);0(12
2
>=+=+ bbxxaax
Ta có (1-b)(a-3) =0
b=1 thì
2
1
;0
21
== xx

;a=3 thì
4
3
=x
Cõu II
3) Tỡm tt c cỏc s nguyờn khụng õm (x, y) tho món ng thc
( )( )
( )( )
.2512411
22
=++++++ xyyxxyyx
4) Vi mi s thc a, ta gi phn nguyờn ca s a l s nguyờn ln nht khụng
vt quỏ a v ký hiu l [a]. Chng minh rng vi mi n nguyờn dng ta luụn
cú.
( )
n
nn
nn
=






+
++
++
1
1

3.2
7
2.1
3
2
H ớng dẫn
1)Phá ngoặc
( )( )
( )( ) ( )( )
25)1)(1(25)1(
25)(12)1(.2512411
22
2222
=++=+++
=++++++=++++++
yxyxxy
yxxyyxxyxyyxxyyx
vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0)
2) xét
)(
1
1
1
1
1
)1()1(
1
)1()1(
1

22
Nk
kkkk
k
kk
k
kk
k
kk
kk
+
+
=+
+
=
+
+
+
+
=
+
++
Thay k lần lợt từ 1 đến n ta có
( )
n
n
n
n
n
n

nn
nn
=






+
+=






+
+=






+
++
++
11
1

1
1
1

3.2
7
2.1
3
2
(đpcm)
Cõu III
Cho ng trũn (O) vi ng kớnh AB = 2R. Trờn ng thng tip xỳc vi
ng trũn (O) ti A ta ly im C sao cho gúc
0
30=ACB
. Gi H l giao im th hai
ca ng thng BC vi ng trũn (O).
3) Tớnh di ng thng AC, BC v khong cỏch t A n ng thng BC theo
R.
4) Vi mi im M trờn on thng AC, ng thng BM ct ng trũn (O ti im
N (khỏc B). Chng minh rng bn im C, M, N, H nm trờn cựng mt ng trũn
v tõm ng trũn ú luụn chy trờn mt ng thng c nh khi M thay i trờn
on thng AC.
H ớng dẫn

j
N
C
H
O

A
B
M
1)BC=4R;AC=
R32
;AH=
3R
2) Ta có
0
30
==
HABHNA
nên
0
180=+ NHCC
nên tứ giác CMNH nội tiếp
tâm đờng tròn ngoại tiếp thuộc trung trực HC cố định
Cõu IV
Vi a,b l cỏc s thc tho món ng thc
4
9
)1)(1( =++ ba
, hóy tỡm giỏ tr nh
nht ca biu thc
44
11 baP +++=
.
H ớng dẫn
áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy
1;

2
a
và 1; 4 ta có
2
1
":");1(
17
4
1)4()1(17
2
4224
==
+
+++
aDau
a
aaa
1;
2
b
và 1; 4 ta có
2
1
":");1(
17
4
1)4()1(17
2
4224
==

+
+++
bDau
b
bbb
Từ (1)&(2) ta có
(*)
17
8
22
++

ba
P
Mặt khác Từ GT ta có
4
5
=++
abba
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có
2
1
":";
2
1
4
5
)(
2
1

)(
2
3
2
4
1
4
1
2222
22
2
2
===+=++++










+
+
+
baDaubaabbaba
ab
ba
bb

aa

Thay Vµo (*) ta cã
2
17
17
8
2
1
=
+
≥P
V©y
2
1
2
17
)(
==⇔=
baPMin
PTC_1011QĐ_02
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
Năm học 2010- 2011
Môn thi: TOÁN- Vòng II
Câu I
1) Giải phương trình
4133 =+++ xx
2) Giải hệ phương trình

( )( )



=−++
=++
.1123
26225
22
yxyxx
xyyx
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để
391
2
+n
là số chính phương.
2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện
1=++ zyx
. Chứng
minh rằng
.1
1
22
22
≥
+
+++
xy
yxzxy

Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là
hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường
thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự
201021
, ,, aaa
, ta
đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay
sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh
dấu là
2,1,4,4
5432
=−==−=
aaaa
).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất
cả các số được đánh dấu là một số dương.
Hết

HD giải đề thi MễN TON (Vũng 2)
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian phỏt )
Cõu I
5) Gii phng trỡnh
4133 =+++ xx
6) Gii h phng trỡnh
( )( )

=++
=++
.1123
26225
22
yxyxx
xyyx
H ớng dẫn
1) x=1 xét x< 1 VT<4; x>1 VT>4
2)
( )( )





=+
=++






=+
=++

=++
=++
)2(222246
)1(26225
1123
26225
.1123
26225
22
22
22
22
22
yxyxx
xyyx
yxyxx
xyyx
yxyxx
xyyx
Cộng (1) và (2) ta có PT
0)2)(83(01623
2
=+=+
xxxx
Với
3
8

=x
thay vào PT(1) vô nghiệm
Với
2=x
thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;1);(2-3)
Cõu II
5) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n
391
2
+n
l s chớnh phng.
6) Gi s x, y, z l nhng s thc dng tho món iu kin
1=++ zyx
. Chng
minh rng
.1
1
22
22

+
+++
xy
yxzxy
H ớng dẫn
1)ta có
391
2
+n

là số chính phơng nên
22
391 kn =+

)( Nk
391))((391
22
=+=+
knknkn
mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)
Ta có n-k<n+k nên
n-k -391 -1 -23 -17
n+k 1 391 17 23
n -195( loại) 195 -3(loai) 3
Vậy n =3 hoặc n=195
2)
xyyxzxy
xy
yxzxy
++++
+
+++
122.1
1
22
22
22
áp dngj BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có
yxyxyxyx
++++

)(2)()(2
22222
Nên
yxzxyyxzxy
++++++
22
22
ta phải chứng minh
)(22122
111
22
dungxyyxxyzxyzzzxyxyzzzxy
xyzzxyxyzzxyxyyxzxy
++++
+++++++++

Dờu = xảy ra khi
2
1 z
yx

==
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v M l im nm trong tam giỏc. Kớ hiu H l
hỡnh chiu ca M trờn cnh BC v P, Q, E, F ln lt l hỡnh chiu ca H trờn cỏc
ng thng MB, MC, AB, AC. Gi s bn im P, Q, E, F thng hng.
3) Chng minh rng M l trc tõm ca tam giỏc ABC.
4) Chng minh rng BEFC l t giỏc ni tip.
H ớng dẫn
P

Q
E
F
M
H
B
C
A
1)Vì t giác BEPH nội tiếp nên
EPBEHB
=
(1) vì E;P;Q thẳng hàng nên
EPBMPQ
=
(2). Vì t giác MQHP nội tiếp nên
MHQMPQ
=
(3) Ta có
MHC
vuông tại H có
MCHQ
suy ra
MHQMCH
=
(4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có
MCHEHB
=
ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà
(*)ABCMABHE

Tơng tự
(**)ACBM
từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC
2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có
00
90;90 == AFHAEH

nên tứ giác AEHF nội tiếp đờng kính AH nên
AHEAFE
=
( nội tiếp chắn cung AE) mà
AHEEBH
=
( cùng phụ
BHE
)
Vậy
EBHAFE
=
mà
00
180180
=+=+
EFCEBHEFCAFE
Nên tứ giác BEFC nội tiếp
Cõu IV
Trong dóy s gm 2010 s thc khỏc 0 c sp xp theo th t
201021
, ,, aaa
, ta

ỏnh du tt c cỏc s õm v tt c cỏc s m tng ca nú vi mt số s liờn tip
lin ngay sau nú l mt s dng. (Vớ d vi dóy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005
thỡ cỏc s c ỏnh du l
2,1,4,4
5432
==== aaaa
).
Chng minh rng nu trong dóy s ó cho cú ớt nht mt s dng thỡ tng ca tt
c cỏc s c ỏnh du l mt s dng.
H ớng dẫn
Xét các số đợc đánh dấu a
1
;a
2
;a
3
a
n
(n
)2010; < nN

-Nếu dãy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm
-Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng ( Giá trị tuyệt đối số
số tổng các dơng lớn hơn GTTĐ số âm) vì số âm cộng với số liền sau nó ra kết quả là số
dơng suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu suy ra tổng luôn là só dơng
PTC_1011Q_03
B GIO DC V O TO
TRNG HSP H NI
K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN
Nm hc 2010- 2011

Mụn thi: TON- Vũng I
Cõu 1:
4 3 2
4
2 7 6 2
3 1 (4 1) 4 29 78
2 1 6 6 3 12 36
x x x x x x
A x
x x x x x x


+ + +
= ữ

ữ ữ ữ
+ + +


1. Rỳt gn biu thc A
2. Tỡm tt cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc A cú giỏ tr nguyờn
Cõu 2:
Cho hai ng thng
(d1 ): y = (2m
2
+ 1 )x + 2m 1
(d2): y = m
2
x + m 2 Vi m l tham s
1. Tỡm to giao im I ca d1 v d2 theo m

2. Khi m thay i, hóy chng minh im I luụn thuc ng thng c nh.
Cõu 3 :

Gi s cho b ba s thc (x;y;z) tho món h



=++
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chng minh x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z 19
2. Tỡm tt c b s x,y,z sao cho x
2
+ y
2
= 17
Cõu 4 :
Cho hỡnh vuụng ABCD cú di bng cnh a. Trong hỡnh vuụng o ly im K
sao cho tam giỏc ABK u. Cỏc ng thng BK v AD ct nhau P.
1. Tớnh di KC theo a

2. Trờn AD ly I sao cho
. 3
3
a
DI =
CI ct BP H.
Chng minh CHDP l ni tip.

3. Gi M v L ln lt l trung im CP v KD. Chng minh LM =
2
a
Cõu 5:
Gii phng trỡnh : (x
2
-5x + 1)(x
2
- 4) = 6(x-1)
2
Ht
Giải đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)
Câu 1:
4 3 2
4
2 7 6 2
3 1 (4 1) 4 29 78
2 1 6 6 3 12 36
x x x x x x

A x
x x x x x x


+ + +
= ữ

ữ ữ ữ
+ + +


1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
H ớng dẫn
1.
)3(2
)2(3
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
26
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
82183
)26)(3(
)6)(2(3
.

)6(2
82183
)26)(3(
)6)(2(3
.
6
4
2
3
)6)(2(3
)26)(3(
:
)1)(6(
)1)(4(
.
1
1
2
3
)1262(3
78263
:
)6()6(
44
.
1
1
2
3
6

2
2
6
2
2
6
23
2
446
+

=
++
+
+
+
=
++
+
+
++
=
++
+
+
++
=
++
+

+

=








+
++

+
+








+

=








+
+++

++
+








+
+
=
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx

x
xx
A
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
A
xx
xx
xx
xx
x
x
A
xxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
A
2.
)3(2
)2(3
+

=
x
x
A

Xét
)15(3
3
15
3
3
15)3(3
3
)2(3
2 UxZ
xx
x
x
x
A
+
+
=
+
+
=
+

=

x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15
x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12
2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2
A 2 3 4 9 -6 -1 0 1
Vậy
}{
12;2;0;2;4;6;8;18

x
thì A nguyên
Câu 2:
Cho hai đờng thẳng
(d1 ): y = (2m
2
+ 1 )x + 2m 1
(d2): y = m
2
x + m - 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d
1
và d
2
theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định.
H ớng dẫn

1.Giải hệ

+
+
=
+
+
=








+
++
=
+
+
=

+
+
+
=
+
+
=






+=
+=+






+=
=+++

+=
++=
1
23
1
)1(
1
22
1
)1(
2
1
)1(
1
)1(
2
)1()1(
2
0212)12(
2
12)12(
2
2
2
2
2323
2
2
2

2
2
2
2
22
2
2
m
mm
y
m
m
x
m
mmmmm
y
m
m
x
m
m
mm
y
m
m
x
mxmy
mxm
mxmy
mxmmxm

mxmy
mxmy
ta đựợc








+
+
+
+
1
23
;
1
)1(
2
2
2
m
mm
m
m
I
2.ta có
x

m
mm
y =
+
+++
= 3
1
)1()1(3
2
2
Vởy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định
Câu 3 :

Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ



=++
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chứng minh x
2
+ y
2
= -z
2

+ 12z 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x
2
+ y
2
= 17
H ớng dẫn
1.Từ (1) ta có x-y=z-1

x
2
-2xy+y
2
=1-2z+z
2


x
2
+y
2
=2xy+1-2z+z
2
(*)
Từ (2) ta có xy=-z
2
+7z-10 thay vào (*)
ta có x
2
+ y

2
=2(=-z
2
+7z-10 )+z
2
-2z -+1

x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z -19 (đpcm)
2. ta có -z
2
+ 12z 19=17

z
2
-12z+36=0
0)6(
2
=
z

z=6 thay vào ta có hệ
Hệ có 2
nghiệm
(x,y,z)=(-

1;4;6);(-4;1;6)
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho
tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a











=
=



=
=




=++
+=

=++
+=




=++
+=




=+
=
1
4
4
1
0)1)(4(
5
08102
5
017)5(
5
17
5
22222

y
x
y
x
xx
xy
xx
xy
xx
xy
yx
yx
2. Trên AD lấy I sao cho
. 3
3
a
DI =
CI cắt BP ở H.
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
3.Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =
2
a
Q
H
E
N
L
M
I
P

K
C
B
A
D
H ớng dẫn
1.Kẻ KQ

BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a;

KBQ=30
0
nên
2
a
KQ =
áp dụng
Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có
2
3
4
2
222
aa
aKQBKBQ ===
nên
2
)32(
2
3

===
aa
aBQBCCQ
áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có
2
3410
4
3
4
)347(
2
2
22

=+

=+=
aa
a
KQCQKC
2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a;
3
3a
DI
=
nên
3
3
==

DC
DI
DCITg
nên

DCI=30
0
theo GT ta có

KBC=30
0
suy ra

DPH=30
0
(So le)
Vởy

DPH=

DCH =30
0
nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa
góc 30
0
dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp
3. Kẻ KE

AB thì HA=HB và KE//AP xét tam giác ABP có HA=HB; KH//AP nên
KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và

2
a
LN
=
; MN//KP;
2
a
MN
=

Vởy tam giác MNL cân tại N có
0
60
==
ABKMNL
(cạnh tơng ứng //) Nên tam gíc
MNL đều suy ra
2
a
LM
=
( đpcm)
Câu 5: Giải phơng trình : (x
2
-5x + 1)(x
2
- 4) = 6(x-1)
2
(*)
H ớng dẫn

Đặt x
2
-5x + 1-=a; x
2
- 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra
25
)(
)1(
2
2
ba
x

=



=
=
==+
=++=

=
ab
ba
bababababa
babababaab
ba
ab
6

6
0)6)(6(06366
06376612625
25
)(6
(*)
22
2222
2
Nếu thì a=6b ta có PT







=
+
=
=+=+=+
2
211
2
211
050255524615
2222
x
x
xxxxxxx

Nếu b=6a ta có PT




=
+=
=+=+=+
73
73
02601030546306
2222
x
x
xxxxxxx
PT(*) có 4 nghiệm
73;73;
2
211
;
2
211
43211
=+=

=
+
=
xxxx
PTC_1011Q_04

B GIO DC V O TO
TRNG HSP H NI
K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN
Nm hc 2010- 2011
Mụn thi: TON- Vũng II
Cõu 1:
1.Gi s a v b l hai s dng khỏc nhau v tho món
22
11 abba =
Chng minh rng
1
22
=+
ba
2.Chng minh rng s
2222
20102010.20092009
++
l s nguyờn dng
Cõu 2:

Gi s 4 s thc a , b, c, c, d ụi 1 khỏc nhau v tho món hai iu kin sau
i) Phng trỡnh
052
2
=
dcxx
cú 2 nghiờm a v b
ii) Phng trỡnh
052

2
=
baxx
cú 2 nghiờm c v d
Chng minh rng:
1. a c = c b = d - a
2. a + b + c + d = 30
Cõu 3 Gi s m v n l nhng s nguyờn dng vi n>1 .t
nmnmS 44
22
+=
Chng minh rng:
1. Nu m>n thỡ
( )
422
2
2
2 nmSnmn
<<
2. Nu S l s chớnh phng thỡ m=n
Cõu 4 Cho tam gớac ABC vi AB>AC ,AB >BC.Trờn cnh AB ca tam giỏc ly
cỏc im M v N sao cho BC=BM v AC=AN
1.Chng minh im N thuc on thng BM
2.Qua M v N ta k ng thng MP song song vi BC v NQ song song
vi CA
);( CBQCAP

.Chng minh CP=CQ.
3.Cho gúc ACB = 90
0

, gúc CAB = 30
0
v AB = a .
Tớnh din tớch tam giỏc MCN theo a.
Cõu 5
Trờn bng en vit ba s
2
1
;2;2
.Ta bt u thc hin trũ chi nh sau :
Mi ln chi ta xoỏ hai s no ú trong ba s trờn bng ,gi s l a v b ri vit vo 2 v
trớ va xoỏ hai s mi
2
ba +
v
2
ba
ng thi gi nguyờn s cũn li .Nh vy sau mi
ln chi trờn bng luụn cú ba s .Chng minh rng dự ta cú chi bao nhiờu ln i chng
na thỡ trờn bng khụng ng thi cú ba s
21;2;
22
1
+
.
Ht
Giải đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

Câu 1:
1.Giả sử a và b là hai số dơng khác nhau và thoả mãn
22
11 abba =
Chứng minh rằng
1
22
=+
ba
2.Chứng minh rằng số
2222
20102010.20092009
++
là số nguyên dơng
H ớng dẫn
1. từ GT
)(;
11
))((
11
11
2222
22
22
ba
ab
baba
ab
ba
abba

+
+
=
+

==
suy ra
22
11 abba
+=+

ta có hệ
1
1
1
11
11
22
2
2
22
22
=+





=
=

=
+=+
ba
ab
ba
abba
abba
2 Đặt a= 2009 ta có
2222
20102010.20092009
++
=
Zaaaaaaaaaaaa
++=++=++++=++++
1)1(1)1(2)1.()1()1.(
222222222
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau
iii) Phơng trình
052
2
=
dcxx
có 2 nghiêm a và b

iv) Phơng trình
052
2
=
baxx
có 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng
1. a-c=c-b=d-a
2. a+b+c+d=30
H ớng dẫn
1. Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có



=
=+
)2(5
)1(2
dab
cba
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có



=
=+
)4(5
)3(2
bcd
adc

Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a
2.nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25
Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên
)5(505052
22
==
dadcaa
c là nghiệm PT(1) nên
)6(505052
22
==
bcbcac
từ (5) và (6) ta có
)(30:;15
0150)(5)(100)(52)(100)(5
2222
dpcmdcbadacamaca
cacacaaccadbca
=++++=+=+
=++=++=++
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dơng với n>1 .Đặt
nmnmS 44
22
+=
Chứng minh rằng:
1.Nếu m>n thì
( )
422
2
2

2 nmSnmn
<<
2.Nếu S là số chính phơng thì m=n
H ớng dẫn
1.ta chứng minh
( )
42222
2
2
)44(2 nmnmnmnmn
<+<
Bằng cách xét hiệu
( )
1:;044444
)44(2
33242242
222
2
2
><=++=
+=
nvinnmnnmmnnmH
nmnmnmnH
Mặt khác
0)(4)44(
242222
>=+
nmnnmnmnmn
vì n>1; m>n
2.Ta chứng minh

( ) ( )
22
22
+<<
mnSmn

xét S=(mn-1)
2
thì
12441244
2222
=+=+
mnmnmnnmnmnm

không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Xét S=(mn+1)
2
thì
12441244
2222
=+++=+
mnmnmnnmnmnm
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Từ đó ta có S=m
2
n
2
thì
04444
2222

==+
mnnmnmnm
suy ra m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN

1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đờng thẳng MP song song với BC và NQ song song
với CA
);( CBQCAP

.Chứng minh CP=CQ.
3.Cho góc ACB=90
0
, góc CAB=30
0
và AB= a .
Tính diện tích tam giác MCN theo a.
H ớng dẫn
H
P
Q
N
M
A
B
C
1. Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy N

BM

2. Ta có
)1(
.
AB
MBAC
PC
MB
AB
PC
AC
==

)2(
.
AB
NABC
QC
NA
AB
QC
BC
==
Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm)
3.Nếu ACB=90
0
, góc CAB=30
0
và AB= a .thì
2
3

;
2
a
AC
a
BC
==
ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=
2
)13( a
Kẻ CH

AB thì
4
3
:
4
3.

2
a
a
a
AB
CBCA
CHCBCACHAB ====
Vậy:
16
)33(
4

3
.
2
)13(
.
2
1
.
2
1
2
aaa
CHMNS
CMN

=

==
( đvdt)
Câu 5 Trên bảng đen viết ba số
2
1
;2;2
.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi nh sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị
trí vừa xoá hai số mới
2
ba
+
và

2
ba
đồng thời giữ nguyên số còn lại .Nh vậy sau mỗi
lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng
nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số
21;2;
22
1
+
.
H ớng dẫn

Ta có
22
2222
2
2
2
22
22
ba
babababa
ba
ba
+=
++++
=

+






+
Nh vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới
2
ba
+
và
2
ba
thì tổng bình phơng hai
số mới không đổi nên tổng bình phơng của ba số trên bảng không đổi bằng
2
13
2
1
42
=++
mà tổng bình phơng ba số

21;2;
22
1
+
là
2
13
)2232
8
1
(
+++
( đpcm)
PTC_1011Q_05
I HC QUC GIA H NI
TRNG H NGOI NG
K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN
Nm hc 2010- 2011
Mụn thi: TON
Cõu 1 ( 2,0 im )
Cho biu thc
x 2x x 1 2
P : .
9 x
3 x x 3 x x


= +
ữ ữ
ữ ữ

+

1) Tỡm iu kin ca x P cú ngha v rỳt gn P.
2) Tỡm giỏ tr ca x P
4
3
=
Cõu 2 ( 2,0 im )
1) Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món x
2
+ 4x + 1 = y
4
.
2) Gii h phng trỡnh:
2 2
3
x xy y 3
x 3(y x) 1

+ + =


+ =


.
Cõu 3 ( 2,0 im )
Cho phng trỡnh n x: (m-10)x
2

+ 2(m-10)x + 2 =0
1) Tỡm m phng trỡnh trờn cú hai nghim x
1
; x
2
.
2) Chng minh rng khi ú ta cú:
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x 4+ + + <
Cõu 4 ( 3,0 im )
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v AB<AC v ng cao AD v ng phõn
giỏc AO ca tam giỏc ABC (D, O

BC) V ng trũn tõm O tim xỳc vi AB, AC ln
lt ti M v N.
1) Chng minh rng D, O, M, N, A cựng thuc mt ng trũn.
2) Chng minh
ã
ã
BDM CDN
=

3) ng thng qua O vuụng gúc vi BC ct MN ti I. ng thng AI cỏt BC ti K.
Chng minh K l trung im ca BC.
Cõu 5 ( 1,0 im )
Cho a, b, c l cỏc s dng tha món iu kin a+b+c+ab+bc+ca=6. Chng minh
rng:
3 3 3
2 2 2

a b c
3
b c a
+ + + + a b c
Ht
Hớng dẫn giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức





















+

+
=
xxx
x
x
x
x
x
P
2
3
1
:
9
2
3

1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
2) Tìm giá trị x để
3
4
=P
Hớng dẫn
1) ĐKXĐ
9;0
>
xx
;
25

x
55
)3(
.
)3)(3(
)3(
)3(
)3(2)1(
:
)3)(3(
2)3(

=


+
+
=

+
+
=
x
x
x
xx
xx
xx
P
xx
xx
xx
xxx
P
2)
DKxxx
xxxxx
x
x
P
==+
=+=+

=



=
40)103)(2(
020106302043
3
4
5
3
4
Câu 2 : ( 2 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x
2
+ 4x +1 =y
4
2) Giải hệ phơng trình :





=+
=++
1)(3
3
2
22
xyx

yxyx
Hớng dẫn
1) x
2
+ 4x +1 =y
4


(x+2)
2
-y
4
=3

(x-y
2
+2)(x+y
2
+2)=3










==

=



==
=













=++
=+





=++
=+

11

4
11
0
12
32
32
12
2
2
2
2
hoacyy
x
hoacyy
x
yx
yx
yx
yx
Phơng trình có 4 nghiệm (x;y) = ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1)

2)

=
=



=
=




=+
=




=+
=






=++
=

=+
=++






=+++
=++






=+
=++
1
2
1
1
0)2)(1(
1
02

1
3
1
1
3
1))((
3
1)(3
3
2
22
3
333
22
223
22
3
22
y
x
y
x
xx
y
xx
y
yxyx
y
xyx
yxyx

xyyxyxx
yxyx
xyx
yxyx
Hệ có 3 nghiệm (x;y) = (1;1) (-1; -1) ;( -2;1)
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho phơng trình ẩn x : (m-10)x
2
+2(m-10)x + 2 =0
1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
2) Chứng minh rằng khi đó
4
2
212
2
1
3
2
3
1
<+++
xxxxxx

Hớng dẫn
1) Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì

>

0
10
/
m
( )



<
>

<>>>
===
10
12
1)11(:;1)11(01)11(0
1)11(1)110(102)10(
2/
222/
m
m
mHoacmm
mmmm
2) với ĐK trên theo Viét ta có

=
=+
10
2
2
2.1
21
m
xx
xx
Đặt Q=
2
212
2
1
3
2
3
1
xxxxxx
+++
12:;100
10
448
04
10

888
4
10
888
10
8
8)(2)(
)()(3)(
2121
3
21
21212121
3
21
2
212
2
1
3
2
3
1
><<


<+


<

=

+=++=
++++=+++=
mhoacm
m
m
m
m
Q
m
m
m
xxxxxxQ
xxxxxxxxxxxxxxxxQ
Thoả mãn điều kiện



>

0
10
/
m
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong
AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại M
, N

1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn.
2) Chứng minh gócBDM = gócCDN .
3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC tại
K .Chứng minh K là trung điểm cạnh BC

P
Q
K
I
N
M
O
D
B
A
C
1) ta có

AMO=

ADO=

ANO=90
0
nên 5 điểm A, M.D, O, N thuộc đờng tròn
Tâm O
/
đờng kính AO
2) Ta có

ADB=

ADC=90
0
(1) mà

ADM=

ADN (2) ( góc nội tiếp chắn 2
cung bằng nhau)
từ (1);(2) ta có ĐPCM
3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội tiếp nên

POI=

PMI;

QOI=

INA mà

PMI=

INA (do tam giác AMN cân tại A)
Nên

POI=

QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nên IP=IQ.
áp dụng hệ quả Ta-lét cho 2 tam giác ABK và ACK có PQ//BC

Ta có
)(dpcmCKBK
IQ
CK
OI
OA
IP
BK
===
Câu 5: ( 1 điểm)
Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6
Chứng minh rằng:
3
222
333
++++
cba
a
c
c
b
b
a
Hớng dẫn
áp dụng BBĐT
xyyx 2
22
+
dấu = xảy ra khi x=y
Ta có

bbaacccaaccbbcabba 21;21;21;2;2;2
222222222
++++++
Nên
312)(23)(3
222222
++=++++++++ cbacabcabcbacba
(*)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Mặt khác
;2;2;2
2
3
2
3
2
3
cac
a
c
bbc
c
b
aab
b
a
+++
T có
)(2)(
222

333
cbacabcab
a
c
c
b
b
a
+++++








++

PTC_1011QĐ_06
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
Năm học 2010- 2011
Môn thi: TOÁN
Bài 1 (2,0 điểm)
1) Cho n là số nguyên, chứng minh
nnA 11
3
+=

chia hết cho 6
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để
13
24
+−= nnB
là số nguyên tố
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình :
01)22()22(
222
=−+−−++ xmmxmm
.Gọi
21
, xx
là hai nghiệm
của phương trình đã cho.
1) Tìm các giá trị của m để
)12(2
2121
2
2
2
1
−=+ xxxxxx
.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
21
xxS +=
Bài 3 (2.0 điểm)
1) Cho a là số bất kì,chứng minh rằng:

2
2009
2010
2010
2010
>
+
+
a
a
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình
0)22)(2(
22
=+−−− xxxxy
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn.Đường tròn đường
kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E , F.

1) Chng minh giao im I ca on thng OM vi ng trũn (O;R) l tõm
ng trũn ni tip tam giỏc MEF.
2) Cho A l mt im bt kỡ ca thuc cung EF cha im M ca ng trũn
ng kớnh OM (A khỏc E,F). on thng OA ct on thng EF ti im B. Chng
minh

2
ROBOA =
3) Cho bit OM=2R v N l mt im bt kỡ thuc cung EF cha im I ca
ng trũn (O;R) ( N khỏc E,F). Gi d l ng thng qua F v vuụng gúc vi ng
thng EN ti im P, d ct ng trũn ng kớnh OM ti im K (K khỏc F). Hai ng
thng FN v KE ct nhau ti im Q. chng minh rng:

2
2
3
RQKQNPKPN +
Bi 5 ( 1,0 im)
Gii phng trỡnh:
01
34578
=+++ xxxxxx
Ht
Một số gợi ý đề chuyên Amsterdam, Chu Văn An 23.6.2010
Bài I. (2 điểm)
1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n
3
+ 11n chia hết cho 6.
2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n
4
3n
2
+ 1 là số nguyên tố
Gợi ý :
1) A = (n- 1)n(n + 1) + 12n
Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 . suy ra điều phải chứng minh
2) B =(n
2
n - 1).(n
2
+ n - 1)
n
2

n 1 < n
2
+ n 1. để B là số nguyên tố thì n
2
n 1= 1
suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn
Bài II. (2 điểm)
Cho phơng trình: (m
2
+ 2m + 2)x
2
(m
2
2m + 2)x 1 = 0
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình đã cho.
1) Tìm các giá trị của m để : x
1
2
+ x
2
2
= 2x
1
x
2
(2x

1
x
2
1)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x
1
+ x
2
Gợi ý :
1) dễ có phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
Theo vi et :







++

=
++
+
=+
22
1
22
22
2
21

2
2
21
mm
xx
mm
mm
xx
thay vào , tìm đợc m
2) S =
22
22
2
2
++
+
mm
mm
.
Sau đó xét hiệu S (
223
) và hiệu S (
223 +
) ta tìm đợc max, min.
Hoặc dùng phơng pháp đenta
Bài III. (2 điểm)
1) Cho a bất kì, chứng minh rằng:
2010
2010
2010

2
2009
a
a
+
>
+
2) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phơng trình:
y
2
x(x 2)(x
2
2x + 2) = 0

Gợi ý :
1)
200921)2009(2010
201020102010
+++=+ aaa
. Suy ra điều phảI chứng minh
Dấu bằng không xẩy ra.
2. Đặt (x - 1)
2
= t 0 phơng trình có dạng : y
2
(t- 1)(t + 1) = 0
Hay (y - t)(y + 1)= - 1. giải theo ớc số
Bài IV( 3 điểm)
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn . Đ ờng tròn đờng
kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F.

1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đờng tròn (O;R) là tâm của đ-
ờng tròn nội tiếp tam giác MEF.
2) Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đờng tròn đờng kính
OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh
OA. OB = R
2
.
3) Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đờng tròn
(O; R) (N khác E và F). Gọi d là đờng thẳng qua F và vuông góc với đờng thẳng
EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đờng kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đờng
thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng:
PN . PK + QN . QK
2
3
2
R
Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé)
1) Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyến của đờng tròn (O), từ đó dễ chứng minh đợc cung
EI = cung FI của đờng tròn (O). Dễ dàng chứng minh đợc EI, FI, MI là các đờng
phân giác của tam giác MEF.
2) Gọi EF cắt OM tại H. Dễ chứng minh đợc : OA.OB = OH.OM = OE
2
.
3) Ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp MEF và MEF đều có cạnh bằng
3R
.
Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây để chứng minh FQ EK.
Ta có PN. PK + QN.QK = 2.S
KPNQ
KN.QP dấu bằng khi KN PQ. (*)

Mà N là trực tâm EKF, nên KN = 2. IH = R (1)
Ta có KPQ đồng dạng với KEF , nên
2
1
==
KE
KP
EF
PQ
PQ =
2
3R
(2)
Thay (1), (2) vào (*) ta có điều phải chứng minh.
dấu bằng khi KN PQ hay N, I trùng nhau
Bài V. (1 điểm)
Giải phơng trình: x
8
x
7
+ x
5
x
4
+ x
3
x + 1 = 0
Gợi ý :
Nếu x 1Thì VT = (x
8

x
7
) + (x
5
x
4
) + (x
3
x) + 1 1 không có nghiệm
Nếu 1> x > 0Thì VT = (x
5
x
7
) + (x
3
x
4
) + (1 x) + x
8
> 0 không có nghiệm
Nếu x 0 thì VT > 1 không có nghiệm
Vậy pt vô nghiệm
PTC_1011Q_07
S GIO DC V O TO
THNH PH H CH MINH
K THI TUYN SINH LP 10- THPT CHUYấN
Nm hc 2010- 2011
Mụn thi: TON
Cõu 1 : (4 im)

1) Giải hệ phương trình :
1
1
1
2
5 3
1
y
x
y
x

+ =


+


+ =

+
2) Giải phương trình: (2x
2
- x)
2
+ 2x
2
– x – 12 = 0
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình x

2
– 2(2m + 1)x + 4m
2
+ 4m – 3 = 0 (x là ẩn số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) thỏa |x
1
| = 2|x
2
|
Câu 3 : (2 điểm)
Thu gọn biểu thức:
7 5 7 5
3 2 2
7 2 11
A
+ + −
= − −
+
Câu 4 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm chính giữa
của cung nhỏ AC. Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a)

·
·
ABP AMB=
b) MA. MP = BA. BM
Câu 5 : (3 điểm)
a) Cho phương trình: 2x
2
+ mx + 2n + 8 = 0 (x là ẩn số và m, n là các số nguyên).
Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên.
Chứng minh rằng: m
2
+ n
2
là hợp số.
b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a
100
+ b
100
= a
101
+ b
101
= a
102
+ b
102
.
Tính P = a
2010
+ b

2010
Câu 6 : (2 điểm)
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là đường tròn tâm
O bán kính a. Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 7 : (2 điểm)
Cho a, b là các số dương thoả a
2
+ 2b
2
≤ 3c
2
. Chứng minh
1 2 3
a b c
+ ≥
.
-
Hết