Giáo trình Hình họa - Bài 1 ppsx

Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT
0










BÀI GIẢNG


HÌNH HỌA









GVC - ThS NGUYỄN ĐỘ

ĐÀ NẴNG - 2005
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
1
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
M U

A. MC CH V YấU CU
1) Mc ớch
Hỡnh ho l mt mụn hc thuc lnh vc Hỡnh hc, nhm:
Nghiờn cu cỏc phng phỏp biu din cỏc hỡnh trong khụng gian lờn mt mt m thụng
thng l mt phng hai chiu
Nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn trong khụng gian bng cach gii chỳng trờn
cỏc hỡnh biu din phng ú
Cung cp mt s kin thc hỡnh hc c bn hc tip mụn V k thut v gii quyt m
t s
vn liờn quan n chuyờn mụn.
2) Yờu cu ca hỡnh biu din
Hỡnh biu din phi n gin, rừ rng, chớnh xỏc. Cỏc hỡnh biu din phi tng ng vi mt
hỡnh nht nh trong khụng gian; ngi ta gi tớnh cht ny l tớnh phn chuyn hay tớnh tng
ng hỡnh hc ca hỡnh biu din
3) Mt s ký hiu v quy c

Trong bi ging ny s dựng nhng ký hiu v qui c sau:
im Ch in nh: A, B, C,
ng thng Ch thng nh: a,b,c,
Mt phng Ch Hy lp hoc ch vit hoa
nh: , , , , A, B, C,
S liờn thuc Ký hiu
nh: im Aa; ng thng a mp ( ), bmp(Q),
Vuụng gúc nh: a b
Giao nh: A= d l
Kt qu = nh: g= mp mp
Song song // nh: d // k
Trựng nh: A B

B. CC PHẫP CHIU
I. PHẫP CHIU XUYấN TM
1) Cỏch xõy dng
Trong khụng gian cho mt phng P v mt im S khụng thuc mp(P ).(Hỡnh 1)
Ngi ta thc hin phộp chiu mt im A bt k nh sau:
V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng P ti im A

Ta cú cỏc nh ngha:
P : Mt phng hỡnh chiu
A

A
S
P
S : Tõm chiu
SA : ng thng chiu hoc tia chiu
A : Hỡnh chiu xuyờn tõm ca im A t tõm

chiờỳ S lờn mt phng hỡnh chiu P .
Hỡnh 1
Phộp chiu c xõy dng nh trờn c gi l phộp
chiu xuyờn tõm vi tõm chiu S v mt phng hỡnh
chiu P.
Mt phộp xuyờn tõm c xỏc nh khi bit tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P.
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
2
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Chỳ ý
a) Hỡnh l mt tp hp im. Vy chiu mt hỡnh ta chiu mt s im thnh phn ca hỡnh
xỏc nh hỡnh ú
b) Nu trong khụng gian clic ta b sung thờm cỏc yu t vụ tn thỡ:
_ Hai ng thng son g song xem nh ct nhau ti mt im vụ tn:
a // b a b = M

Nh vy biu din mt im vụ tn ta biu din nú bng mt phng ng thng
_ Hai mt phng son g song xem nh ct nhau theo mt ng thng vụ tn
mp // mp mp mp = d


2) Tớnh cht
1. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca mt ng thng khụng i qua tõm chiu l mt ng thng
Khi chiu ng thng a, cỏc tia chiu SA, SB hỡnh thnh mt mt phng (SAB) gi l mt
phng chiu. Do ú hỡnh chiu a(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hỡnh 2)
2. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca nhng ng thng song song núi chung l nhng ng thng
ng qui
Gi s cho a // b nờn cỏc mp(S,a) v mp(S,b) s giao vi mp(P) cho cỏc giao tuyn a, b ct
nhau ti i
m M (M l hỡnh chiu xuyờn tõm ca im M

ca ng thng a, b) (hỡnh 3)








Hỡnh 2 Hỡnh 3
P
P
S
M'
S
A

B
B'
A
'
a
a'
a
b
b'
a'
A
B

B'
A


II. PHẫP CHIU SONG SONG
1) Cỏch xõy dng
Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm khi tõm chiu S xa vụ
tn
Nh vy phộp chiu song song c xỏc nh khi bit mt phng hỡnh chiu P v phng chiu s
A

P
A
t
s



H
ỡ
nh 4





Ngi ta chiu song song im A bng cỏch qua A v ng thng t song song vi phng s, v
giao im A = t mp(P ) thỡ A l hỡnh chiu song song ca im A t phng chiu s lờn mt
phng hỡnh chiu P (hỡnh 4).

2) Tớnh cht
Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm nờn cú nhng tớnh cht
ca phộp chiu xuyờn tõm. Ngoi ra phộp chiu song song cú nhng tớnh cht sau:

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
3
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
1. Hỡnh chiu song song ca nhng ng thng khụng song song vi phng chiu l nhng
ng thng song song.
Gi s cho a // b nờn cỏc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do ú giao tuyn ca chỳng
vi mt phng hỡnh chiu P l nhng ng thng song song: a // b (hỡnh 5)







Hỡnh 5 Hỡnh 6
P
P
s
s
a
'
b
'
b
a
C

'
B
'
A
'
C
B
A

2. T s n ca ba im phõn bit thng hng bng t s n ca ba im phõn bit hỡnh chiu
ca chỳng

Cho ba im A, B ,C phõn bit thng hng, chiu thnh ba im A, B, C cng phõn bit thng
hng.(hỡnh 6). Theo nh lý Thalet, ta cú:

''
''
BC
AC
CB
CA
=


Ký hiu t s n ca ba im A,B,C nh sau: (ABC) = (ABC)
III. PHẫP CHIU VUễNG GểC
1) Cỏch xõy dng
Phộp chiu vuụng gúc l trng hp c bit ca phộp chiờu
song song khi phng chiu s vuụng gúc vi mt phng hỡnh
chiu P : s P (hỡnh 7)

P
s



Hỡnh 7
2) Tớnh cht
Phộp chiu vuụng gúc cú nhng tớnh cht ca phộp chiu song song; Ngoi ra cũn cú nhiu tớnh
cht, chỳng ta s nghiờn cu cỏc chng sau.
IV. NHN XẫT
Ta cú th dựng cỏc phộp chiu trờn biu din vt th trong khụng gian lờn mt mt phng.
Tuy nhiờn vi mi hỡnh chiờu thỡ cha xỏc nh c mt vt th duy nht trong khụng gian
Vỡ vy mt hỡnh chiu cha m bo c tớnh phn chuyn ca hỡnh biu din.

Trong cỏc bi sau chỳng ta s nghiờn cu phng phỏp cỏc hỡnh chiu vuụng gúc m cỏc
hỡnh biu din m bo tớnh phn chuyn c gi l thc .

========================




GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
4
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
Bài 1 ĐIỂM

I. ĐỒ THỨC CỦA ĐIỂM
I.1 Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc
a) Cách xây dựng

Trong không gian cho hai mặt phẳng P
1
và P
2
vuông góc nhau, để dễ hình dung đặt P
1
nằm
ngang, P
2
thẳng đứng. Ta nhận được hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc (hình 1.1)










Hình 1.1 Hình 1.2
x

A
x
(III)
Cao<0, xa
<0
(II)
Cao>0, xa <0

(I)
Cao>0, xa
>0
A
X
A
2
A
1
A
1
A
2
A
X
P
1
(IV)
Cao<0, xa
>0
P
2

Xét một điểm A bất kỳ trong không gian.
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên P
1
và P
2
ta nhận được các hình chiếu A
1

, A
2

_ Quay mp P
1
quanh trục x một góc 90
0
theo chiều mũi tên qui ước như (hình 1.1) đến trùng
P
2
. Vì mp (A A
1
A
2
) ⊥ P
1
và P
2
nên sẽ vuông góc với trục x tại điểm A
X
. Do đó sau khi
quay đến vị trí mới ba điểm A
1
, A
X
, A
2
thẳng hàng và vuông góc trục x (hình1.2)

b) Các định nghĩa

_ P
1
Mặt phẳng hình chiếu bằng
_ P
2
Mặt phẳng hình chiếu đứng
_ x = P
1
∩P
2
Trục hình chiếu
_ A
1
Hình chiếu bằng của điểm A
_ A
2
Hình chiếu đứng của điểm A
_ A
1
A
2
( ⊥ x) Đường gióng
_ A
1
A
x
Độ xa của điểm A, qui ước dương nếu A
1
nằm phía dưới trục x
_ A

2
A
x
Độ cao của điểm A, qui ước dương nếu A
2
nằm phía trên trục x
_ (A
1
, A
2
) Cặp điểm hình chiếu này gọi là đồ thức của điểm A.Thật vậy từ A
1
, A
2
ta
có thể dựng lại được điểm A theo thứ tự ngược lại với cách dựng đồ thức
của nó

 Hệ thống P
1
và P
2
chia không gian ra làm 4 góc phần tư:
_ Góc phần tư 1 - Là phần không gian nằm trên P
1
và trước P
2

_ Góc phần tư 2 - Là phần không gian nằm trên P
1

và sau P
2

_ Góc phần tư 3 - Là phần không gian nằm dưới P
1
và sau P
2

_ Góc phần tư 4 - Là phần không gian nằm dưới P
1
và trước P
2


+ Mặt phẳng phân giác 1. Là mặt phẳng phân giác của P
1
và P
2
đi qua góc phần tư thứ 1 và góc
phần tư thứ 3.
Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác1 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình
chiếu bằng đối xứng nhau qua trục hình chiếu x
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
5
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
+ Mặt phẳng phân giác 2. Là mặt phẳng phân giác của P
1
và P
2
đi qua góc phần tư thứ 2 và góc

phần tư thứ 4.

Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác 2 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình
chiếu bằng trùng nhau
(Hình 1.3) là hình không gian biểu diễn mặt phẳng phân giác 1, mặt phẳng phân giác 2 và các
góc phần tư của hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc P
1
và P
2


Phân giác 2 Phân giác 1
P
2
P
2
A

A
2
P
1
x
A
1
x

P
1
Hình 1.3 Hình 1.4

Nếu ta đặt trục hình chiếu x vuông góc với mặt phẳng của tờ giấy thì hệ thống hai mặt phẳng
hình chiếu P
1
, P
2
và hai mặt phẳng phân giác 1, 2 được biểu diễn như (hình 1.4)

Tóm lại
Đồ thức của một điểm trong không gian là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình chiếu bằng có
thể phân biệt hoặc trùng nhau

I.2 Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc


a) Cách xây dựng
Thêm vào mặt phẳng P
3
vuông góc với P
1
và P
2
, thường P
3
đặt phía bên phải người quan sát, ta
nhận được hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc như (hình 1.5)

Hình 1.5 Hình 1.6
x

A

P
2
y
z
0
A
z
A
1
P
1

x
z
y’

y
A

y
A
1
45
A
y
A
2
A
3
A
y
’
A
z
A
2
A
x
A
3
P
3
0
A
x
Gọi y = P
1
∩ P
3

; z = P
2
∩P
3
Xét một điểm A bất kỳ trong không gian.
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên các mặt phẳng P
1
, P
2
, P
3
ta nhận được các hình chiếu
A
1
, A
2
,

A
3
.
_ Quay các mp P
1
, P
3
lần lượt quanh các trục x, trục z một góc 90
0
theo chiều mũi tên qui ước
như (hình 1.5). Trục y được tách ra làm hai phần, một phần trục y theo mp P
1

đến trùng với trục
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
6
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
z, mt phn trc y theo mp P
3
n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din
nh (hỡnh1.6)
b) Cỏc nh ngha
_ P
3
Mt phng hỡnh chiu cnh
_ A
2
A
z
xa cnh ca im A, qui c dng nu A
2
nm phớa bờn trỏi trc z
_ A
3
Hỡnh chiu cnh ca im A

Chỳ ý
_ A
2
A
z
= 0 A
y

= 0 A
y
=

A
x
A
1

_ Vỡ hai hỡnh chiu biu din thc ca mt im nờn ta d dng v c hỡnh chiu th ba
ca im ú

Vớ d
Cho thc ca im B (B
1
, B
2
) (hỡnh 1.7a). Hóy v hỡnh chiu th ba ca im B.








Hỡnh 1.7a Hỡnh 1.7b
Hỡnh chiu cnh B
3
ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B

y'
= 0B
y

II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian
Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P
1
, P
2
, P
3
lm ba mt phng to cỏc; ba trc hỡnh chiu x,
y, z lm ba trc to cỏc (hỡnh 1.8)

Vi im A (x
A
, y
A
, z
A
) bt k trong khụng gian, ta cú:
_ Honh x
A
= 0A
x
: xa cnh ca im A
_ Tung y
A
= A
x

A
1
: xa ca im A
_ Cao z
A
= A
1
A : cao ca im A
Nh vy
Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng
gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú.
P
2
P
3
0
z
y
x
A
1
A

A
x

y
A
z
A

x
A
x

y
B
2
B
2
B
1
x
B
1
y
B
Z
B
y
B
Y
B
3
Hỡnh 1.8
P
1

Vớ d
Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B
(4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng.

-2
+4
y
-
z
+
B
Z
B
Y
y
+
z
-
-5
Hỡnh 1.9
+2
+3
x
-
x
+
x
+
y
+
z
-
A
Y

A
X
A
z
y
-
z
+
+4
A
1
A
2
B
2
B
1
B
X
thc ca cỏc im A, B c biu din nh

(hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y,
z .
x
-
Trong ú:
OA
x
= +2; OA
Y

= +3; OA
Z
= +4
OB
x
= +4; OB
Y
= -2; OB
Z
= -5

III. MT VI V D GII SN

Vớ d 1
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
7
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
Hãy vẽ đồ thức của các điểm sau:
_ Điểm A thuộc mặt phẳng P
1

_ Điểm B thuộc mặt phẳng P
2

_ Điểm C thuộc mặt phẳng Phân giác 1
_ Điểm D thuộc mặt phẳng Phân giác 2
_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x


Giải

_ Điểm A thuộc mặt phẳng P
1
nên có A
1
≡ A; A
2
∈ x
_ Điểm B thuộc mặt phẳng P
2
nên có B
2
≡ B; B
1
∈ x
_ Điểm C thuộc mặt phẳng phân giác 1 nên có C
1
và C
2
đối xứng nhau qua trục x
_ Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác 2 nên có D
1
≡ D
2

_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x nên có E
1
≡ E
2
∈ x ; (Hình 1.10)

Hình 1.10 Hình 1.11

F
2
A
1
o
y
y’
z
x
H
Y ’
F
Y
H
3
H

2
H
1
G
2
G
3
G
Y ’
G
1
F
Y ’
F
Y
G
Y
F
3
F
1
E
1
≡E
2
D
1
≡D
2
C

1
C
2
B
1
B
2
x
 Ví dụ 2
Cho đồ thức của các điểm F, G, H (hình 1.11). Hãy vẽ hình chiếu cạnh của chúng và cho biết
chúng thuộc góc phần tư thứ mấy?
Giải

Hình chiếu cạnh của các điểm F, G, H được vẽ theo chièu mũi tên bắt đầu đi từ hình chiếu bằng
F
1
, G
1
, H
1
tiếp theo là mũi tên đi qua hình chiếu đứng F
2
, G
2
, H
2
. Ta sẽ xác định được các hình
chiếu cạnh F
3
, G

3
, H
3
; (Hình 1.11)
_ Điểm F có độ cao dương, độ xa âm nên điểm F thuộc góc phần tư thứ 2
_ Điểm G có độ cao âm, độ xa âm nên điểm G thuộc góc phần tư thứ 3
_ Điểm H có độ cao âm, độ xa dương nên điểm H thuộc góc phần tư thứ 4

================







GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
8