Đáp án đề thi đại học môn toán năm 2009-2010 (Đề 2)

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.
Môn học: Giải tích 1.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 2
Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim
x→0
s in x − ln ( s in x +
√
1 + x
2
)
t a n x − x c o s
2
x
.
Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thò của đường cong y = ( 1 + x)
1
1+x
.
Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thò hàm số y = lg ( x
2
+ 3 x) .
Câu 4 : Giải phương trình vi phân y
′
−
y
x
= −
ln x
x

với điều kiện y( 1 ) = 1 .
Câu 5 : Giải phương trình vi phân y
′′
− 2 y
′
+ y = s in h ( 2 x) .
Câu 6 : Tính tích phân suy rộng

+∞
1
dx
x
13/3
·
3
√
1 + x
2
Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trò riêng, véctơ riêng.












dx
dt
= 5 x + y + z
dy
dt
= 2 x + 6 y + 2 z
dz
dt
= x + y + 5 z
Đáp án
Câu 1(.5 điểm). Khai triển: s in x + ln ( s in x +

( 1 + x
2
) =
x
3
6
+ o( x
3
) ; t a n x− x c o s
2
x =
4x
3
3
+ o( x
3
)
→ I = lim

x→0
s in x + ln ( s in x +

( 1 + x
2
)
t a n x − x c o s
2
x
= lim
x→0
x
3
6
+ o( x
3
)
4x
3
3
+ o( x
3
)
=
1
8
.
Câu 2(1.5 điểm). Tập xác đònh x > −1 , đạo hàm: y
′
= ( 1 + x)

1/(x+1)
·
1
(1+x)
2
( 1 − ln ( x + 1 ) )
→ y
′
≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e − 1 . Hàm tăng trên ( 0 , e − 1 ) , giảm trên ( e − 1 , +∞) , cực đại tại
x = e− 1 , f
cd
= e
1/e
lim
x→−1
+
( x + 1 )
1/(x+1)
= 0 , không có tiệm cận đứng, lim
x→+∞
( x + 1 )
1/(x+1)
= 1 , tiệm cận ngang y = 1 .
Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ.
Câu 3(1.0đ). Miền xác đònh x < −3 , x > 0 , y liên tục trên toàn MXĐ, không có điểm gián đoạn.
Câu 4(1.5đ). y = e
−

p(x)dx



q( x) · e

p(x)dx
dx + C

;y = e

1/xdx


− ln x
x
· e

−1/xdx
dx + C

y = x


− ln x
x
2
dx + C

= x

ln x+1
x

+ C

; y( 1 ) = 1 ⇔ C = 0 → y = ln x + 1 .
Câu 5(1.5đ). Ptrình đặc trưng k
2
− 2 k + 1 = 0 ⇔ k = 1 → y
0
= C
1
e
x
+ C
2
· x· e
x
. Tìm nghiệm riêng:
y
r
= y
r
1
+ y
r
2
, với y
r
1
=
e
2x

2
là nghiệm riêng của y
′′
− 2 y
′
+ y =
e
2x
2
y
r
2
=
−e
−2x
1 8
là nghiệm riêng của y
′′
− 2 y
′
+ y =
−e
−2x
2
. Kết luận: y
tq
= y
0
+ y
r

1
+ y
r
2
.
1 -CA 2.
Câu 6 (1.5đ)

+∞
1
dx
3
√
x
13
+ x
15
⇔

+∞
1
dx
x
5
3

1 +
1
x
2

. Đặt t =
3

1 +
1
x
2
⇔ t
3
= 1 +
1
x
2
I =

1
3
√
2
−3
2
t( t
3
− 1 ) dt =
−3
2 0
·
3
√
4 +

9
2 0
Câu 7(1.5đ). Ma trận A =



3 1 1
2 4 2
1 1 3



. Chéo hóa A = P DP
−1
,
với P =



1 −1 −1
2 1 0
1 0 1



,D =



8 0 0

0 4 0
0 0 4



,
Hệ phương trình X
′
= A · X ⇔ X
′
= P DP
−1
X ⇔ P
−1
X
′
= DP
−1
X,đặt X = P
−1
Y , có hệ
Y
′
= DY ⇔ y
′
1
= 8 y
1
; y
′

2
= 4 y
2
; y
′
3
= 4 y
3
→ y
1
( t) = C
1
e
8t
; y
2
( t) = C
2
e
4t
; y
3
( t) = C
3
e
4t
Kluận: X = P Y ⇔ x
1
( t) = C
1

e
8t
− C
2
e
4t
− C
3
e
4t
; x
2
( t) = 2 C
1
e
8t
+ C
2
e
4t
; x
3
( t) = C
1
e
8t
+ C
3
e
4t

2 -CA 2.