Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng

70
Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA
MẶT CẮT NGANG PHẲNG
4.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy
với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải
trọng lớn hơn. Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn thì khả năng của chúng
không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào hình dạng
và sự bố trí mặt cắt ngang.
Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b × h với h > b trong hai trường hợp: Tiết
diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu lực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b.
Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực
tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang
vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt
ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh.

4.2. MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH
Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F. Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một
hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa độ của điểm A nào đấy thuộc F. Lấy chung
quanh A một phân tố diện tích dF.
4.2.1. Mô men tĩnh. Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục
y là các biểu thức tích phân sau:

;ydFS
F
x
∫
=
∫

=
F
y
xdFS , đơn vị m
3
, cm
3

Trong đó: S
x
, S
y
có thể âm, dương, hay bằng không.
d= 0,7071D
D
d= 0,7071D
M
Hình 4.2: Dầm có tiết
diện hình trụ(a) và
hình vành khăn
(
b
)
P
a)
b
h
Hình 4.1: Dầm có tiết
diện đứng (a) và nằm
n

g
an
g
(b)
P
b)
b

h
a)
b)

71
* Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một
trục nào bằng không thì trục đó gọi là trục trung tâm.
* Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng
tâm của mặt cắt ngang.
Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể thiết lập
công thức tính tọa độ trọng tâm của diện tích F đối với
hệ trục Oxy. Giả sử có hai trục trung tâm Cx
o
, Cy
0
cắt
nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và song song với
Ox, Oy, hình 4.4.
Theo định nghĩa ta có: S
xo
= S
yo

= 0 (a)
Gọi (x
C
,y
C
) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và
(x
o
,y
o
) là tọa độ của A trong hệ
trục Cx
o
y
o
thì:
⎩
⎨
⎧
+=
+=
oc
oc
yyy
xxx

Từ định nghĩa có:

∫∫∫∫
+=+==

F
o
F
c
F
oc
F
x
dFydFydF)yy(ydFS
S
x
= y
c
F + S
xo
= y
c
F [S
xo
= 0 theo (a)]
Tương tự: S
y
= x
c
F
Vậy, ta có:

⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
F
S
x
F
S
y
FxS
FyS
y
c
x
c
cy
cx
(4-1)
Tính chất cơ bản:
Mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là
trục trung tâm (hình 4.5). Thực vậy, nếu trục y là

trục đối xứng của mặt cắt ngang thì:

∫∫∫
−==
2F2FF
xdFdF|x|xdF
1

Trong đó F
1
, F
2
diện tích của hai nửa.
0xdFxdFxdFxdFS
2121
FFFFF
y
=−===
∫∫∫∫
+

S
y
= 0
Vậy y là trục trung tâm.

*
Ví dụ 1:
a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang chữ nhật đối với
các trục đi qua các cạnh (hình 4.6).

y
Hình 4.5: Trục đối
xứng của mặt cắt ngan
g

là tr
ục trung tâm
-x x
x
B
A
dF dF
F
1
F
2
y
Hình 4.3 Xác định
mô men tĩnh
x
A
y
x
O
dF
F: Diện tích
của bề mặt
c
ắt ngang
Hình 4.4: Xác định toạ

độ trọng tâm của mặt
c
ắt ngang
y
y
o
x
o
x

x
C
x
0
x
y
y
c
y
o
O

C

A

F


72

Trên hình chữ nhật ta lấy dải phân tố diện
tích dF = bdy, ta có:

2
bh
dyybydFS
2
h
0
F
x
===
∫∫

(4-2)
Tương tự :
S
y
=
2
hb
2
(4-3)
Tọa độ trọng tâm :

2
h
y;
2
b

b
h2
bh
F
S
x
c
2
y
c
====

b) Tính
mô men tĩnh S
x
và tung độ trọng tâm y
c
của hình tam giác đối
với trục x ≡ cạnh đáy (hình 4.7).
Theo hình 4.7, ta có:
dF = b(y)dy , mà
h
yh
b
)y(b
−
=
=> dF =
dy
h

)yh(b −


∫∫
=−==
h
0
2
F
x
6
bh
ydy)yh(
h
b
ydFS
(4-4)

3
h
2
/
b
h
6/bh
F
S
y
2
x

c
===
c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn
đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8).
Từ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy
nhưng y = Rsin ϕ=> dy= Rcosϕdϕ
b(y) = 2Rcos ϕ
=> dF = 2R
2
cos
2
ϕ×dϕ
=>S
x
=
∫
π
ϕϕϕ
2/
0
22
dcosR2.sinR
=> S
x
=
3
R
3
2

(4-5)

R
3
4
F
S
y
x
c
π
==

y
Hình 4.7: Tính mô
men tĩnh và tung độ
tr
ọng tâm mặtcắt
y
dy
h
b
O
x
b(y)
dF
Hình 4.6: Tính mô men
tĩnh và toạ độ trọng tâm
m
ặtcắt ngang chữ nhật

h
h/2
y dy
dF
y
x
b/2
b
C
O
Hình 4.8 Tính mô men
tĩnh và tung độ trọng
tâm m
ặtcắt ngang dạng
R R
x
y
y
dy
b(y)
dF
A
α
O

73
d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang như hình vẽ 4.9 đối với
trục x đi qua đáy. Từ hình 4.9, ta có:
∫∫∫∫∫
−++==

4321
FFFFF
x
ydFydFydFydFydFS
2
22
x
)a3(a
3
2
6
)a6(a3
2
2
)a6(a4
S −⋅+=
S
x
= 90a
3

x
C
= 0
π−
=
⋅
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
π
−
==
984
a180
a
2
9
42
a90
F
S
y
2
3
x
c


4.2.2. Mô men quán tính đối với một
trục (gọi tắt mô men quán tính).
Ta gọi mô men quán tính của diện tích F đối với
trục x hay trục y là biểu thức tích phân sau:

∫
=
F

2
x
dFyJ
hay
∫
=
F
2
y
dFxJ đơn vị m
4
, cm
4

J
x
, J
y
luôn luôn dương.

4.2.3. Mô men quán tính độc cực (đối với một điểm).
Ta gọi mô men quán tính độc cực của diện tích
F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân:

∫
=
F
2
P
dFJ

ρ
, đơn vị m
4
, cm
4

Trong đó: ρ = OA
vì ρ
2
= x
2
+ y
2
=>
∫
+=
F
22
P
dF)yx(J
J
p
= J
x
+ J
y
cũng như mô men quán tính, mô men
quán tính độc cực bao giờ cũng dương.

4.2.4. Mô men quán tính ly tâm.

Ta gọi mô men quán tính ly tâm của diện tích
F đối với hệ trục Oxy là biểu thức tích phân:
∫
= xydFJ
xy
đơn vị m
4
, cm
4

x, y có thể có dấu ngược nhau => J
xy
có thể âm, dương, hay bằng không.
Hình 4.9 Tính mô men tĩnh
và tung độ trọng tâm mặt
c
ắt ngang h
ình thang
y
x
2a
2a
3a 3a
5a 5a
6a
1
2 3 4
Hình 4.11: Xác định
mô men quán tính li
tâ

m

-x x
x
y
B A
dF dF
F
1
F
2
O
y
Hình 4.10: Xác
định mô men quán
t
ính
x
A
y
x
O
dF
ρ

Diện tích mặt cắt

74
Khi J
xy

= 0, thì Ox
o
y
o
gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt hệ trục chính).
* Nếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là
hệ trục quán tính chính trung tâm.
* Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với
trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương
tự như ở
hình 4.5).
4.3. MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN.
Ví dụ 2: 1) Hình chữ nhật b
×
h:
dF = bdy

∫∫
===
−F
3
2/h
2/h
22
x
12
bh
bdyydFyJ

12
hb
J
12
bh
J
3
y
3
x
=
=
(4-6)

2) Hình tam giác đáy b, cao h:



)yh(
h
b
)y(b
h
yh
b
)y(b
−==>
−
=

∫∫
−==
F
h
0
22
x
dy)yh(
h
b
ydFyJ


12
bh
J
3
x
= (4-7)
Nếu trục x qua trọng tâm hình tam giác
thì cũng thực hiện tương tự ta có:

36
bh
J
3
x
=

3) Hình tròn. Đối với hình tròn, hình vành khăn do đối xứng, ta có:

J
x
= J
y
=> J
p
= J
x
+ J
y
= 2J
x
= 2J
y

nên ta có thể tính J
p
trước rồi suy ra J
x
, J
y

Dùng tọa độ độc cực: dF = ρdϕdρ

∫∫∫
π
π
=ρϕρρ=ρ=
2
0

R
0
4
2
F
2
P
2
R
dddFJ

R là bán kính đường tròn.
y
Hình 4.13: Xác định
mô men quá tính của
hình tam
g
iác
y dy
h
b
O
x
b(y)
dF
Hình 4.12: Xác định
mô men quá tính của
hình
ch
ữ nhật

h
h/2
−y
dy
dF
y
b/2
b
C
O
x

75

4
R
JJ
2
R
JJJ
4
yx
4
Pyx
π
===>
π
==+ (4-8)
hay
4

4
P
D1,0
32
D
J ≈=
π

J
x
=J
y
≈ 0,05D
4

D- Đường kính đường tròn
4) Hình vành khăn:
Tương tự, nhưng với r ≤ρ ≤R

)1(D1,0)1(
32
D
J
444
4
P
ηη
π
−≈−=

)1(D05,0)1(
64
D
JJ
444
4
yx
ηη
π
−≈−==
Trong đó:
D
d
=
η

4.4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH
Giả sử ta biết mô men quán tính của mặt cắt ngang có diện tích F đối với trục x,
y.Tính mô men quán tính của mặt cắt ngang đó đối với các trục X, Y song song với các
trục x, y.Ta có:


⎩
⎨
⎧
+=
+=
bYy
aXx

Theo định nghĩa:

∫∫
+==
FF
22
x
dF)bY(dFyJ

= J
X
+ b
2
F + 2bS
X

Tương tự: J
y
= J
Y
+ a
2
F + 2aS
Y

J
xy
= J
XY
+ abF + aS

X
+ bS
Y

Nếu X, Y là các trục trung tâm:
S
X
= S
Y
= 0 ; a = x
C
; b = y
C

y
Hình 4.14: Xác
định mô men quá
tính của hình tròn
D=2R
ρ
ρ+dρ
x
ϕ
dϕ
dF
O
y
x
Hình 4.15: Xác định
mô men quán tính của

hình vành khăn
d=2
r

D=2R
O
y
Y
Hình 4.16: Sơ đồ
chuyển trục song song
của mô men quán tính
X
x
C
O
A
dF
b
=y
C
Y
y

x
a=x
C
X


76

Ta được:





Ví dụ 3: Xác định mô men quán tính đối với trục trung tâm X của mặt cắt ngang
hình 4.17. Trước hết ta phải xác đinh trọng tâm của mặt cắt ngang. Chia mặt cắt ngang
thành 2 hình đơn giản (1) là hình chữ nhật chưa bị khoét và (2) là diện tích hình tam giác
bị khoét. Chọn hệ trục ban đầu (x
1
, y) đi qua trọng tâm của hình (1). Vì y trục đối xứng ,
nên C ∈ trục y:
X
C
= 0

21
)2(
1x
)1(
1xxl
C
FF
SS
F
S
Y
−
−

==
a43,0
a6a48
a6a30
22
2
=
−
⋅−
=
Như vậy trọng tâm C của hình sẽ nằm trên trục x, cách trục x
1
về phía dưới một
đoạn bằng Y
c
= 0,43a. Bây giờ ta tính mô men quán tính đối với trục chính trung tâm x
vừa mới xác dịnh.Ta có:

)2(
X
)1(
XX
JJJ −=
mà
()
1
2
c
)1(
X

1
x
FyJJ
11
⋅+=

22
3
a48)a43,0(
12
)a8(a6
⋅+=

4
a875,264=

2
2
c
)2(
X
)2(
X
FyJJ
22
+=

22
3
a6)a43,3(

36
)a3(a4
⋅+=

4
a59,73=
Vậy J
X
= 264,875a
4
- 73,59a
4
=
191,285a
4


4.5. HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG
THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH.
4.5.1. Hệ trục quán tính chính. Đối với một hình phẳng có một trục đối xứng thì khi
đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chính trung tâm (hệ trục này có gốc ở
trọng tâm, một trục là trục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm). Và
việc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản. Thế nhưng đối với một hình
không có trục đối xứng nào thì khi đã biết trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định h
ệ trục
quán tính chính trung tâm và cũng chưa thể xác định được các mô men quán tính chính
đó được. Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định một hệ trục vuông
góc Oxy sao cho J
xy

=0 và S
x
=S
y
=0, thì ta gọi hệ trục đó là hệ trục quán tính chính trung
tâm.
FyxJJ
FxJJ
FyJJ
ccXYxy
2
cYy
2
cXx
+=
+=
+=

(
4-9)
Hình 4.17: Xác định mô men
quán tính đối với trục
trung tâm của mặt cắt ngang
x
x
1
x
2
2a 2a

6a

8a

3a

4a

1
2
C
C
1
C
2
3a

0,43a

y


77
Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục quán tính chính trung
tâm được gọi là “
mô men quán tính chính trung tâm”. Khi giải các bài toán sức bền vật
liệu, ta thường sử dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men quán
tính chính trung tâm. Bây giờ còn phải xác định vị trí của hệ trục chính. Muốn vậy, nói
chung ta cần xét sự biến thiên của các mô men quán tính khi xoay trục.
4.5.2. Công thức xoay trục của mô men quán tính.

Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18. Giả sử biết J
x
, J
y
, J
xy
của mặt cắt
ngang. Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoay quanh O
một góc α, ta được hệ trục mới Ouv. Tìm sự liên hệ
giữa J
x
, J
y
, J
xy
với J
U
, J
V
, J
UV
.
Ta có công thức chuyển trục:


⎩
⎨
⎧
−=
+=

αα
αα
sinxcosyv
sinycosxu

Nên:
()
dFsinxcosyJ
2
u
∫
α−α=
α−α+α= 2sinJxy2sinJcosJ
22
x

Cuối cùng ta có:

αα
2sinJ2cos
2
JJ
2
JJ
J
xy
yxyx
u
−
−

+
+
=
Chú ý: Dùng công thức:

2
2cos1
cos
2
α
+
=α
va
2
2cos1
sin
2
α
α
−
=
Tương tự:

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎨
⎧
α+α
−
=
α+α
−
−
+
=
α−α
−
+
+
=
2cosJ2sin
2
JJ
J
2sinJ2cos
2
JJ
2
JJ
J
2sinJ2cos
2
JJ
2
JJ

J
xy
yx
UV
xy
yxyx
V
xy
yxyx
U
(4-10)
Đó là công thức xoay trục của mô men quán tính.
Ta rút ra những nhận xét :
* J
U
+ J
V
= J
x
+ J
v

* Các công thức trên giống công thức tính σ
U
, σ
V
, τ
UV

* Điều kiện để xác định hệ trục chính là: J

UV
= 0
Hoàn toàn giống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng suất τ
UV
= 0.
Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu ở chương trước để
xác định hệ trục chính và mô men quán tính chính.

(4-11)
2
xy
2
yx
yx
minmax/
J4)JJ(
2
1
2
JJ
J +−±
+
=

Hình 4.18: Sơ đồ
xoay trục để tính
m
ô
m
e

n
quá
n
t
ính
x
u
v
O
u
v
x
y
α
A
dF
F
y

78

minmax/y
xy
2/1
JJ
J
tg
−
=α
(4-12)

4.6. VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH.
Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hình phẳng nào đó ta cũng
có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đối với việc xác định phương chính, ứng suất
chính đối với bài toán trạng thái ứng suất. Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô men
quán tính chính, xác định phương chính bằng giải tích như (4-10), (4-11) và (4-12) với
các biểu thức xác định các ứng suất chính và phương chính ở chương 3 v
ừa rồi ta thấy về
mặt toán học tương tự nhau.
Từ (4-10) với lập luận và thực hiện các
phép biến đổi như đối với việc xây dựng vòng
tròn Mohr ứng suất, ta sẽ có vòng tròn Mohr
quán tính.
Khi biết J
x
, J
y
và J
xy
thì tâm C của vòng
tròn quán tính có toạ đô:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
0,

2
JJ
C
yx

và bán kính sẽ là:
2
xy
2
2
yx
J
2
)JJ(
R +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= .
Cuối cùng ta có thể dựng vòng tròn
quán tính và cách xác định các trục chính và
giá trị các mô men quán tính chính như trên
hình 4.19.
Chú ý :Vòng tròn Mohr ứng suất có thể nằm cả 2 phía trục tung hoặc cắt trục tung,

nhưng vòng tròn Mohr quán tính chỉ có thể nằm bên phải của trục trung mà thôi,vì giá trị
mô men quán tính luôn luôn dương

Từ hình vẽ vòng tròn Mohr quán tính (xem hình 4.19), ta có thể tìm vị trí các trục
có mô men quán tính chính theo biểu thức:

maxy
xy
ymax
xy
1
JJ
J
JJ
J
)180(tgtg
−
=
−
−=β−=α (4-13)

miny
xy
2
JJ
J
tg
−
=
α

(4-14)
4.7. BÁN KÍNH QUÁN TÍNH.
Bán kính quán tính cũng là một đại lượng có ý nghĩa và thường được sử dụng
trong tính toán kết cấu, cũng như các đại lượng cơ học khác nó được ký hiệu và định
nghĩa theo biểu thức:
F
J
r
x
x
= và
F
J
r
y
y
=

Trong đó: r
x
, r
y
là bán kính quán tính theo phương x và phương y. Tương tự đối
với trục chính, ta cũng có:
F
J
rvaì
F
J
r

min
min
max
max
==
.
Hìmh 4.19: Vòng tròn
Mohr quán tinh
α
1
O
J
min
J
y
C

J
uv
J
x
J
u
J
max
β

α
2
Phương trục

chính có J
max
Phương trục
chính có J
min
cực D


79
Ví dụ 4: Xác định mô men quán tính chính, trọng tâm của mặt cắt như hình 4.20.
Bài giải: Trước tiên ta phân tích mặt cắt
thành 3 hình chữ nhật và được đánh dấu I, II,
III (xem hình 4.20).

Với các trọng tâm từng hình là O
1
, O
2
,
O
3
và kính thước được xác định.

1. Xác định trọng tâm C của toàn
hình: Chúng ta biết vì trục y là trục đối xứng
nên trọng tâm cả hình chắc phải nằm trên trục
y. Vì vậy trước tiên ta chọn trục x
o
qua trọng
tâm của hình III, nó cùng với trục y là hệ trục

ban đầu. Gọi y
c
là tung độ của trọng tâm C
trong hệ x
o
O
3
y thì nó được xác định bởi:

F
Sx
y
o
c
=
Trong đó: Sx
o
- Mô men tĩnh toàn hình
lấy đối với trục x
o
; F- Diện tích toàn hình :
F = F
1
+ F
2
+ F
3
= 2a ×
a + a × 4a + 6a × a = 12a
2

và
III
x
II
x
I
xx
oooo
SSSS ++=
Trong đó:
32
311
I
x
a10a5a200FS
o
=×=×=
3
322
II
x
a10a5,2a4a00FS
o
=××=×=

00aa600FS
333
III
x

o
=××=×=
Vậy:
o
x
S = 10a
3
+ 10a
3
+ 0 = 20a
3

Cuối cùng :
a
3
5
a12
a20
F
S
y
2
3
x
c
o
+=+==
Vậy trọng tâm C đã được xác định.
Chú ý : Trục x
o

ban đầu chọn ở đâu cũng được nhưng tất nhiên chọn qua trọng
tâm một hình nào đó thì đơn giản hơn.
2. Mô men quán tính chính trung tâm.
a) Tính J
y
: Vì y là trục qua trọng tâm của mọi hình nên ta sử dụng công thức
tính mô men quán tính cho hình chữ nhật.
III
y
II
y
I
yy
JJJJ ++=

mà
4
3
I
y
a
3
2
12
)a2(a
J ==

3
a
12

a.a4
J
43
II
y
==

4
3
III
y
a18
12
)a6(a
J ==
y
Hình 4.20: Xác định mô
men quán tính chính
2a
6a
a
5a
2,5a
y
C
3/5a
4a a
a
x
o

O
1
O
2
O
3
I
II
III
C

x


80
Vậy J
y
= 19a
4

b. Tính J
x
: Vì trục x không đi qua trọng tâm của một hình chữ nhật nào nên phải
dùng phép chuyển trục song song.
III
x
II
x
I
xx

JJJJ ++=
Mà
18
a403
a
3
5
a5)aa2(
12
aa2
J
4
2
3
I
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×+
×
=


18
a146

a
3
5
a5,2)aa4(
12
)a4(a
J
4
2
3
II
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×+=


4
2
3
III
x
a
18
309

a
3
5
)aa6(
12
a.a6
J =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×+=

Vậy
4
4444
x
a
3
143
18
a858
18
a309
18
a146
18
a403

J ==++=
Ví dụ 5:
Xác định vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm và mô men quán tính
chính trung tâm của một mặt cắt ngang ghép bởi các thép định hình chữ số 22a và thép
góc đều cạnh 100
×100×10 như trên hình 4.21a.
Bài giải: Trước hết tra các số liệu cần thiết cho các thép định hình
- Đối với thép chữ 22a (đánh dấu là hình I):
h
1
= 22cm;
1
0
Z = 2,47cm; F
1
= 28,6cm
2
;

4)I(
y
4)1(
x
cm186J;cm2320J
11
==
Vì hệ trục trung tâm (x
1
, y
1

) của thép chữ có trục đối xứng, nên J 0
)1(
yx
11
=
- Đối với thép góc đều cạnh 100
× 100 × 10 (đánh dấu là hình 2):
b
2
= 10cm ;
2
o
Z = 2,83cm ; F
2
= 19,20cm
2


4)2(
y
)2(
x
cm179JJ
22
== ;
4)2(
min
4)2(
cm1,74J;cm284J
max

==
Gọi C
2
là trọng tâm của thép góc đều cạnh và hệ trục (x
2
, y
2
) là hệ trục trung tâm
song song với các cạnh. Hệ trục này không phải là hệ trục chính trung tâm của thép góc
đều cạnh nên ta phải tính mô men quán tính ly tâm
)2(
yx
22
J của nó.
Theo công thức (4-10)
(1)
:
()
max
2
y
)2(
yx
)2(
1
JJ
J
tg
2
22

−
=α
Với vị trí của thép góc đều cạnh như trên hình 4.19, thì
0)2(
1
45−=
α
nên:
284179
J
)45(tg
)2(
yx
0
22
−
=−

Rút ra:
4)2(
yx
cm105)284179(1J
22
=−×−=


(
1)
Đặc biệt đối với thép có góc đều cạnh, ta có
thể tính

22
yx
J một cách đơn giản.Vì
22
yx
JJ
=
, nên theo vòng
Mohr quán tính ta được :
2
1,74284
2
JJ
(max)J
minmax
xy
−
=
−
=
≈ 105cm
4


81
Sau khi đã có đủ số liệu, ta sẽ tiến hành tính toán theo trình tự sau:
1. Xác định trọng tâm của mặt cắt ngang ghép (hình 4.18a) cho hệ trục ban đầu
là hệ trục trung tâm (x
1
, y

1
) của hình 1. Như vậy mô men tĩnh của thép chữ đối với các
trục này đều bằng 0:
0S;0S
)1(
y
)1(
x
11
==
Do đó mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với các trục x
1
và y
1
chính bằng mô men
tĩnh của thép góc đều cạnh cũng đối với các trục đó:

3
2,0
1
2212
)2(
xx
cm15783,2
2
22
2,19z
2
h
F)c(y.FSS

11
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−===

(
)
(
)
3
2,01,02212
)2(
yy
cm10283,247,2.2,19zzF)c(x.FSS
11
=+=+===

Diện tích của mặt cắt ngang:

F = F
1
+ F
2
= 28,6 + 19,2 = 47,8m
2

Trọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x
1
, y
1
được tính theo công thức (4-3)
:
cm13,2
8,47
102
F
S
)c(x
1
y
1
=== ;
cm28,3
8,47
157
F
S
)c(y
1

x
1
===
2. Tính các mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với hệ trục trung tâm (x,y)
của nó (hình 4.18a) song song với hệ trục (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
).
- Đối với thép chữ :

cm13,2x
1
c
−=
;
cm28,3y
1
c
−
=


42
1
2

c
)1(
x
)1(
x
cm26286,28.)28,3(2320FyJJ
11
=−+=+=

4
1cc
)1(
yx
)1(
xy
42
1
2
c
)1(
y
)1(
y
cm2006,28).28,3)(13,2(0FyxJJ
cm3166,28.)13,2(186FxJJ
1111
11
=−−+=+=
=−+=+=

max
a)
z
01
z
02
x
1(c)
y
1(c)
J
max
J
min
x
1

x

x
2
C
2
C
1
C

1

2
α
1
α
2
y
2
y

y
1
J
uv
(cm
4
)
O
1000 2000 3000

J
min
=550cm
2
J
ma x
=3400 cm
4
J
u
(cm
4
)
α
1
=12
0
α
2
=78
0
min
J
y
C M
1
1000
b)

82

Hình 4.21: Xác định trọng tâm và mô men quán tính chính của hình ghép
- Đối với thép góc đều cạnh (hình 4.22)

()
4
2cc
)2(
yx
)2(
xy
42
2
2
c
)2(
x
)2(
x
)c(102
1
c
C
10201c
cm5,4022,19)89,4()17,3(105FyxJJ
cm6402,19)89,4(179FyJJ
cm89,428,383,2
2
22
yz
2

h
y
cm17,313,283,247,2xzzx
2222
222
2
2
=⋅⋅+=+=
=⋅+=+=
=−−=−−=
=
−
+
=
−+=

Như vậy mô men quán tính của mặt cắt ngang ghép đối với hệ trục trung tâm (x,y)
sẽ là :

4)2(
xy
)1(
xyxy
4)2(
y
)1(
yy
4)2(
x
)1(

xx
cm5,6025,402200JJJ
cm687371316JJJ
cm32686402628JJJ
=+=+=
=+=+=
=+=+=

3. Xác định vị trí của hệ trục quán tính chính
trung tâm:
- Bằng vòng Mohr quán tính, ta đo được (tỷ
lệ xích 2cm ứng với 1000cm
4
):
J
max
= 3.400cm
4
; J
min
=550cm
4
;
α
1
= -12
0
; α
2
= 78

0

- Bằng giải tích:
Theo công thức (4-10) và (4-11)

J
max
=
422
cm5,3407)5,602(4)6873268(
2
1
2
6873268
=⋅+−+
+

J
min
=
422
cm5,547)5,602(4)6873268(
2
1
2
6873268
=⋅+−−
+

tgα

1
= 222,0
5,3407687
5,602
JJ
J
mxy
xy
−=
−
=
−

α
1
= -12
0
30' ; α
2
= 90
0
- 12
0
30' = 77
0
30'

CÂU HỎI TỰ HỌC:
4.1. Các đại lượng nào được gọi là các đặc trưng hình học của diện tích phẳng?
4.2. Cách xác định trọng tâm của một hình ghép từ các hình đơn giản ?

4.3. Trên một hình phẳng, những trục nào có giá trị mômen tĩnh đối với nó bằng không?
Những trục đó gọi là gì và giao điểm của nó ở đâu ?
4.4. Cách xác định các trục quán tính chính trung tâm đối với một hình ghép từ các hình
đơn giản.
4.5. Công thức chuyển trục song song ?
Hình 4.22: Xác định vị
trí của hệ trục quán
tính chính trung tâm
z
02
x
2
C

α
1
(2)
=-45
0
y
2

83
4.6. Công thức xoay trục
4.7. Sự giống nhau và khác nhau giữa việc xác định phương chính, ứng suất chính đối
với trạng thái ứng suất và trục quán tính chính cũng như giá trị của mô men quán
tính chính đối với hình phẳng ?

- - -  - - -