Tài liệu chương 4 Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang ppt

1
ch-ơng 4


Đặc tr-ng hình học của mặt cắt ngang
Trong ch-ơng kéo nén đúng tâm, ta đã biết khả năng chịu lực của mặt cắt ngang
chỉ phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà không phụ thuộc vào hình dáng
của chúng. Trong các tr-ờng hợp chịu lực khác, ngoài diện tích, khả năng chịu lực
còn phụ thuộc vào hình dáng, nghĩa là còn phụ thuộc vào các thông số khác mà ta
sẽ nghiên cứu trong ch-ơng này.

1 Mô men tĩnh và trọng tâm của hình phẳng
1-Mô men tĩnh
Xét 1 hình phẳng có diện tích F trên hệ trục xoy. Tại điểm K(x,y) bất kỳ, lấy
xung quanh K một phân tố diện tích dF. Khi đó mô men tĩnh của hình phẳng diện
tích F đối với trục x hoặc y đ-ợc định nghĩa bằng biểu thức sau:
S
y
=
x dF
F
.

S
x
=
y dF
F
.

Theo định nghĩa thì mô men

tĩnh có thứ nguyên là:[chiều
dài
3
].và có đơn vị cm
3
.
Ta cũng thấy là mô men tĩnh có
thể d-ơng, âm hoặc bằng 0.
2- Trọng tâm của hình phẳng:
Mô men tĩnh lấy đối với trục
nào đó mà bằng 0 thì trục đó gọi là trục trung tâm.
Giao điểm của 2 trục trung tâm đ-ợc gọi là trọng tâm của hình phẳng.
Hệ trục toạ độ có gốc toạ độ đi qua trọng tâm gọi là hệ trục trung tâm. Hệ trục
trung tâm phải thoả mãn điều kiện là S
x
=S
y
=0.
Ta hãy xác định trọng tâm: Giả sử ta biết trọng tâm của hình phẳng diện tích
dF là C(x
c
,y
c
). Ta có t-ơng quan hệ trục toạ độ là:
y=y
c
+y
o
x=x
c

+x
o
Thay vào biểu thức tổng quát ta có:
S
x
=
(
F

y
c
+y
o
).dF=
F

y
c
.dF +
F

y
0
.dF =y
c
.F (vì
F

y
o

dF =0 )
Suy ra: S
x
=y
c
.F và y
c
=
S
F
x
y y
o
dF
y K x x
o
y
c
K
C
o x
c
x x
2
T-ơng tự ta có: S
y
=x
c
.F và x
c

=
S
F
y
(4.1)
(4.1) là công thức xác định mô men tĩnh của hình phẳng và đồng thời cũng là
công thức xác định trong tâm của hình phẳng khi biết mmô men tĩnh và diện tích.
Trong tr-ờng hợp hình phẳng bao gồm các hính ghép đơn giản thì toạ độ trọng
tâm đ-ợc xác định bằng các biểu thức sau:
x
c
=
x F x F x F
F F F
c c cn n
n
1 1 2 2
1 2
. . ...
...


(4.2)
y
c
=
y F y F y F
F F F
c c cn n
n

1 1 2 2
1 2
. . ... . .
...


Trong đó x
ci
, y
ci
, F
i
là hoành độ , tung độ và diện tích của hình thứ i.

2 Mô men quán tính
1 Mô men quán tính trục:
Mô men quán tính của
hình phẳng diện tích F đối
với trục x hoặc y đ-ợc định
nghĩa bằng biểu thức sau:
J
x
=
F

y
2
.dF
và J
y

=
F

x
2
.dF
Qua biểu thức định nghĩa
ta thấy :Mô men quán tính có
thứ nguyên là [chiều dài
4
],
Đơn vị là cm
4
và luôn luôn
d-ơng.
2 Mô men quán tính độc cực:
Mô men quán tính độc cực của hình phẳng diện tích F đối với gốc toạ độ đ-ợc
định nghĩa bằng biểu thức sau:
J
p
=
F


2
.dF
Dựa vào biểu thức định nghĩa,ta có thể thấy vì

2
= x

2
+y
2
cho nên J
p
=J
x
+J
y
3. M ô men quán tính ly tâm:
Mô men quán tính ly tâm của hình phẳng diện tích F đối với hệ trục xoy đ-ợc
định nghĩa bằng biểu thức sau:
y
y dF
K


x x
3
J
xy
=
F

xy.dF
Dựa vào biểu thức định nghĩa, ta thấy mô men quán tính ly tâm cũng có thứ
nguyên [chiều dài
4
], và có thể d-ơng âm hoặc bằng 0.
4.Hệ trục quán tính chính trung tâm:

Ng-ời ta đã chứng minh đ-ợc rằng luôn luôn tồn tại 1 hệ trục mà có mô men
quán tính ly tâm J
xy
=0 . Hệ trục đó gọi là hệ trục chính. Mô men quán tính lấy đối
với hệ trục chính gọi là mô men quán tính chính.
Hệ trục chính mà có gốc toạ độ đi qua
trọng tâm gọi là hệ trục quán tính chính trung
tâm và mô men quán tính lấy đối với nó gọi là
mô men quán tính chính trung tâm.
Hệ quả:Nếu hình phẳng có ít nhất 1 trục
đối xứng thì hệ trục đ-ợc tạo bởi 1 trục đối
xứng và 1 trục vuông góc với nó chính là hệ
trục chính.
Ta có thể dễ dàng chứng minh đ-ợc điều
này: Giả sử ta có 1 hình phẳng có 1 trục đối xứng (hình vẽ).
Vì là hình đối xứng cho nên bao giờ ta cũng lấy đ-ợc 1 điểm có toạ độ +x thì
điểm đối xứng là -x. Cho nên mô men quán tính ly tâm của bên phải bao giờ cũng
bằng và ng-ợc dấu với bên trái. Cho nên J
xy
=0 nghĩa là hệ trục này chính là hệ trục
chính.
Trong thực tế , mặt cắt ngang có 1 truc đối xứng rất phổ biến, cho nên hệ quả
này rất quan trọng khi sử dụng trong thực tế.
5.Mô men quán tính của 1 số hình đơn giản
a) Hình chữ nhật
Xét 1 hình chữ nhật có kích th-ớc b,h. Xét
dải phân tố diện tích dF=b.dy. Theo biểu
thức định nghĩa, ta có:
J
x

=
F

y
2
.dF=



h
h
2
2
y
2
.b.dy
ta có J
x
=
b h.
3
12
T-ơng tự J
y
=
h b.
3
12
y
-x +x x

y
+h/2
dy
y
x
h

+h/2
b
4
b)Hình tam giác
Xét 1 hình tam giác có đáy là b, chiều
cao là h. T-ơng tự nh- khi tính đối với hình
chữ nhật , ta có mô men quán tính lấy đối với
trục x đi qua đáy là:
J
x
=
b h.
3
12
c) Hình tròn
Xét 1 hình tròn đ-ờng kính D=2R. Lập
hệ trục toạ độ đi qua tâm xoy. Vì là hình tròn cho nên ta có:
J
p
=2J
x
=2J
y

Lấy phân tố diện tích nh- trên hình vẽ
Ta có dF=

.d

.dR
J
p
=
d d
R


3
00
2

=

. .R D
4 4
2 32

Hay J
p
=0,1D
4
Ta có J
x
=J

y
=0.05D
4
d )Hình vành khăn
Xét hình vành khăn có đừơng kính ngoài D, đ-ờng kính trong d. Khi đó ta có:
J
p
=J
đăc
-J
rỗng
=0.1D
4
(1-

4
)


3 Các phép biến đổi hệ trục toạ độ
Hầu hết các mặt cắt ngang ngoài thực tế đều là các hình ghép bởi các hình đơn
giản, cho nên khi chuyển về hệ trục toạ độ chung ta phải chuyển đổi hệ trục toạ
độ,cho nên ta phải nghiên cứu các phép biến đổi hệ trục toạ độ.
1. Phép chuyển trục song song
Giả sử biết mô men quán tính của hình phẳng đối với hệ trục toạ độ xoy là J
x
,
J
y
, J

xy
. Ta cần phải xác định mô men quán tính đối với hệ trục song song với nó là
XOY. Ta cần phải tính J
X
, J
Y
, J
XY
y

h
b
y
x
b
5
Ta có t-ơng quan hệ trục
toạ độ nh- sau:
Y=y+b
X=x+a
Theo biểu thức định nghĩa,
ta có:
J
X
=
F

(y+b)
2
.dF

=
F

y
2
dF+2b
F

y.dF+b
2
F

dF
hay :
J
X
=J
x
+2bS
x
+b
2
.F
T-ơng tự J
Y
=J
y
+2a.S
y

+a
2
.F
Ta tính mô men quán tính ly tâm:
J
XY
=
F

(x+a).(y+b).dF =
F

(xy +ay+bx+ab)dF
Sau khi biến đổi ta có: J
XY
=J
xy
+a.S
x
+b.S
y
+abF
Các công thức trên là công thức chuyển đổi song song từ hệ trục bất kỳ sang hệ
trục mới. Nếu hệ trục ban đầu là hệ trục trung tâm có gốc toạ độ trùng với trọng
tâm của hìng phẳng, khi đó S
x
=S
y
=0. Cho nên:
J

X
=J
x
+b
2
F
J
Y
=J
y
+a
2
F (4.4)
J
XY
=J
xy
+abF
Công thức 4.4 là công thức th-ờng đ-ợc sử dụng trong khi tính toán vì trong
thực tế hầu hết các hình đơn giản ta đều biết sẵn các công thức tính các mô men
quán tính, cũng nh- trọng tâm của các hình đơn giản.
Qua công thức 4.4 ta thấy càng ra xa trọng tâm thì mô men quán tính trục
càng lớn.
2- Phép xoay trục
Khi xoay trục, ta đ-ợc biểu thức tính toán t-ơng tự nh- -s trên mặt cắt xiên trong
ch-ơng trạng thái -s và cũng sử dụng vòng tròn Mor để tính toán.
Y y
dF
Y y
b o x x

O a X X