Tài liệu Chương 4. đặc trưng hình học của mặt cắt ngang pdf

Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

27
Chơng 4.
đặc trng hình học
của mặt cắt ngang - Các thuyết bền

A. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang
I. Khái niệm
Thí nghiệm kéo (nén): khả năng chịu tải của thanh phụ
thuộc vo diện tích mặt cắt ngang
(MCN).
Thí nghiệm uốn, xoắn, : khả
năng chịu lực của thanh không
những phụ thuộc vo diện tích MCN,
m còn hình dạng v sự bố trí MCN.
Ví dụ thanh tròn rỗng (hình 4.1a)
chịu đợc M
z
gấp 2 lần thanh tròn
đặc cùng diện tích MCN. Thanh hình
chữ nhật đặt đứng (hình 4.1b) ứng
suất nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang
(hình 4.1c) với cùng diện tích MCN.
Do đó, ngoi diện tích MCN, ta
cần xét đến những đại lợng khác
đặc trng cho hình dạng MCN về
mặt hình học, đó l
mômen tĩnh v
mômen quán tính
.

II. Mômen tĩnh của mặt cắt ngang
Hình phẳng F nằm trong mặt
phẳng toạ độ Oxy (hình 4.2).
Ngời ta gọi tích phân:

mn
F
x
y
dF

(4.1)
l
mômen diện tích hỗn hợp cấp (m+n)
của hình phẳng F đối với hệ Oxy.
Khi m = 0, n = 1 tích phân (4.1)
có dạng:

=

x
F
SydF
(m
3
) (4.2)
Hình 4.
2
Hình 4.1
a)

c)
b)
4a
4a
a
0,7D
D
d
a

P
P
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

28
Khi m = 1, n = 0 tích phân (4.1) có dạng:

=

y
F
SxdF
(m
3
) (4.3)
S
x
v S
y
đợc gọi l

mômen diện tích cấp một
hay
mômen
tĩnh
của hình phẳng đối với trục x v trục y.
Khi S
X
= S
Y
= 0 thì trục X, Y
đợc gọi l
trục trung tâm
. Giao
điểm của hai trục trung tâm l
trọng tâm
của hình phẳng. (hình
4.3).
Công thức xác định toạ độ của
trọng tâm C cũng tơng tự nh công
thức xác định toạ độ của khối tâm:

y
C
S
x
F
=
;
x
C

S
y
F
=
(4.4)
Nếu diện tích F bao gồm nhiều
diện tích đơn giản F
i
:

=
=

n
ii
i1
C
xF
x
F
;
=
=

n
ii
i1
C
yF
y

F
(4.5)
trong đó x
i
, y
i
l toạ độ trọng tâm của diện tích F
i
.
III. Mômen quán tính (diện tích cấp hai)
Khi m = n = 1, tích phân (4.1) có dạng:

xy
F
JxydF=

(m
4
) (4.6)
đợc gọi l
mômen diện tích hỗn hợp cấp hai,
hay
mômen quán
tính li tâm
của hình phẳng đối với hệ trục Oxy.
Khi m = 0, n = 2 hoặc m = 2, n = 0, các tích phân:

2
x
F

JydF=

v
2
y
F
JxdF=

(4.7)
đợc gọi l
mômen quán tính
(hay
mômen diện tích cấp hai
) của
hình phẳng F đối với trục x hoặc trục y.
J
xy
có thể dơng hoặc âm, còn các J
x
, J
y
luôn luôn dơng.
Tổng:
(
)
+= + = =

22 2
xy p
FF

J J y x dF dF J
(4.8)
đợc gọi l
mômen quán tính độc cực
đối với gốc toạ độ O.
Nếu J
xy
= 0 thì hệ trục đợc gọi l
hệ trục quán tính chính
.
Hình 4.
3

Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

29
Nếu J
xy
=0, S
x
=S
y
=0 thì ta có
hệ trục quán tính chính trung tâm.
IV. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính
Công thức chuyển trục song song
mômen quán tính của hệ trục OXY với
hệ trục trung tâm oxy (hình 4.4):
J
X

= J
x
+ Fb
2
J
Y
= J
y
+ Fa
2
(4.9)
J
XY
= J
xy
+ Fab
Chứng minh các công thức (4.9)
nh sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a)
Theo định nghĩa:
== =

22
XYXY
FF F
J Y dF, J X dF, J XYdF
(b)
Thay (a) vo (b) suy ra:
J
X
= J

x
+2bS
x
+Fb
2
; J
Y
= J
y
+2aS
y
+Fa
2
; J
XY
= J
xy
+aS
x
+bS
y
+Fab
Khi x v y l các trục trung tâm thì S
x
= S
y
= 0 (4.9).
V. Công thức xoay trục của mômen quán tính
Cho biết J
x

, J
y
, J
xy
của hình
phẳng F đối với hệ trục Oxy. Hãy
tính J
u
, J
v
, J
uv
của hình phẳng F đối
với hệ trục Ouv (hình 4.5). Ta có:
u = xcos + ysin
v = ycos xsin
=

2
u
F
JvdF
;
=

2
v
F
JudF
;

=

uv
F
JuvdF

Thay u, v ở trên v khai triển
các tích phân ny, ta đợc:

+
=+
+
= +

=+
xy xy
uxy
xy xy
vxy
xy
uv xy
JJ JJ
Jcos2Jsin2
22
JJ JJ
Jcos2Jsin2
22
JJ
Jsin2Jcos2
2

(4.10)
Nếu hệ trục Ouv l hệ trục quán tính chính (J
uv
= 0) thì phơng
các trục quán tính chính rút ra từ công thức thứ ba của (4.10):
Hình 4.
4

Hình 4.5
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

30

=

xy
xy
2J
tg
JJ
(4.11)
VI. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang
1. Hình chữ nhật (hình 4.6)
Hệ trục đối xứng Oxy l hệ trục quán tính
chính trung tâm.
Ta có: J
x
=
h
h

2
2
22 3
h
h
F
2
2
1
ydF ybdy by
3

+

==


hay:
3
x
bh
J
12
=

3
y
hb
J
12

=
(4.14)
2. Hình tam giác (hình 4.7)
Chọn dải phân tố diện tích dF
song song với
trục đáy
x
1
v cách
trục x
1
một khoảng y. Chiều di
b(y) của dải phân tố diện tích ny
suy ra từ điều kiện đồng dạng:

b(y) h y
bh

=

b(h y)
b(y)
h

=

Nh vậy, đối với trục đáy x
1
:
()

1
h
h
34
22
x
Fo
o
bh y
bhy y
JydFy dy
hh34



== =






1
3
x
bh
J
12
=
(4.15)

Nếu x l trục trung tâm thì theo công thức (4.9):
J
x
=
2
332
bh h bh bh h
F.
12 3 12 2 9

=


hay
=
3
x
bh
J
36
(4.16)
3. Hình tròn (hình 4.8)
Đối với hệ trục trung tâm Oxy: J
x
= J
y
=
p
J
2

trong đó:

=
4
4
p
R
J0,1D
2
nên:


== =
44
4
xy
RD
JJ 0,05D
464
(4.17)
Hình 4.
8
Hình 4.
6
Hình 4.
7

Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

31
4. Hình vnh khăn
Đối với hình vnh khăn có đờng kính ngoi D v đờng kính
trong d:

() ()

== =
4
444
xy p
1D
JJ J 1 0,05D1
264
; = d/D (4.18)
VII. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 4.1.
Xác định vị trí trọng
tâm C
o
v các mômen diện tích cấp
hai J
x
, J
y
của mặt cắt cho trên
hình 4.9 (đơn vị l cm).
Giải
Coi mặt cắt đã cho l hiệu của
hai hình chữ nhật ABCD (kí hiệu

l 1) v EFGH (kí hiệu l 2). Ta có: S
x
=
12
xx
SS


trong đó:
()
1
13
x1C
60
S F y 100 60 180.000cm
2

==ì =




()
2
23
x2C
40
S F y 30 40 20 48.000cm
2

==ì +=



Do đó: S
x
= 180.000 48.000 = 132.000cm
3
;
12
yyy
SSS=

trong đó:
()
1
13
y1C
100
S F x 100 60 300.000cm
2

==ì =




()
2
23

y2C
30
S F x 30 40 50 78.000cm
2

==ì +=



Vậy: S
y
= 300.000 78.000 = 222.000cm
3

Toạ độ trọng tâm C
o
của mặt cắt l:
()()
== =
ìì
o
y
C
S
222.000
x46,25cm
F 100 60 30 40
;
o
x

C
S
132.000
y27,5cm
F 4800
== =


12
xxx
JJJ=

trong đó:
3
3
154
11
x
bh 100 60
J7210cm
33
ì
== =ì


()
2
3
3
22 2

22
x2C
bh 30 40
JFy 3040.40
12 12
ì
=+ = +ì
= 20,8 ì 10
5
cm
4

Hình 4.9
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

32
Do đó: J
x
= (72 20,8)10
5
= 51,2 ì 10
5
cm
4
;
12
yxy
JJJ=

trong đó:

3
3
164
11
y
hb
60 100
J2010cm
33
ì
== =ì


()
2
3
3
22 2
22
y2C
hb
40 30
JFx 3040.65
12 12
ì
=+ = +ì
= 5,16 ì 10
6
cm
4

Vậy J
y
= (20 5,16)10
6
= 14,84 ì 10
6
cm
4
.
B. Các thuyết bền
I. Khái niệm
Đối với các chi tiết máy đợc bền an ton thì trạng thái ứng
suất ở mọi điểm không đợc vợt quá trạng thái ứng suất nguy
hiểm của vật liệu (trạng thái ứng suất giới hạn -
0
v
0
).
ứng suất giới hạn của trạng thái ứng suất đơn dễ dng đợc
xác định bằng thực nghiệm. Ví dụ, đối với vật liệu dẻo ứng suất
giới hạn l giới hạn chảy
ch
(hoặc
ch
), đối với vật liệu giòn l
B

(hay
B

). Tuy nhiên, thực tế ngời ta hay tính theo ứng suất cho
phép [] (hay []).
Kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất đơn, trợt thuần tuý:

[
]
[
]
[
]
= =
max 1 min 3 max
kn
; ;
(4.19)
Khi kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng, khối),
cần lm các thí nghiệm phá hỏng ở trạng thái ứng suất. Việc xác
định trạng thái ứng suất giới hạn bằng thực nghiệm
rất khó khăn

thực tế có khi
không thực hiện đợc,
vì:
Số lợng thí nghiệm phát rất nhiều, đáp ứng tỷ lệ
1
,
2
v
3

Trình độ kỹ thuật v thiết bị cha cho phép thí nghiệm trạng
thái ứng suất phức tạp.
Do đó ngời ta đa ra các
thuyết bền
, nhằm đa trạng thái
ứng suất phức tạp về trạng thái ứng suất đơn tơng đơng. Gọi
ứng suất chính của trạng thái ứng suất đơn tơng đơng l
tđ
(
tđ

liên hệ với các ứng suất chính
1
,
2
v
3
). Điều kiện bền có dạng:

tđ
[] (4.20)
Thuyết bền cho phép thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất
tơng đơng với các ứng suất chính. Nói một cách khác, thuyết bền
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

33
l những giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật liệu, trên cơ
sở đó cho phép ta xác định đợc độ bền của vật liệu ở mọi trạng
thái ứng suất khi ta chỉ biết độ bền của vật liệu ở trạng thái ứng
suất đơn.

Dới đây chúng ta sẽ nghiên cứu những thuyết bền cơ bản
nhất v phổ biến nhất.
II. Các thuyết bền
1. Thuyết bền thứ nhất (thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất)
Thuyết bền thứ nhất do Galilê đa ra năm 1638. Thuyết ny
cho rằng, vật liệu bị phá hỏng l do ứng suất pháp lớn nhất gây ra.
Thuyết bền ny phát biểu nh sau:
Hai trạng thái ứng suất
phức tạp v đơn có độ bền tơng đơng nếu ứng suất pháp lớn nhất
của chúng nh nhau
.
Điều kiện bền theo thuyết ny:
[
]
[]

= =


= =


tđ max 1
k
tđ min 3
n
(4.21)
Đối với vật liệu dẻo []
k
= []

n

Thiếu sót lớn nhất l thuyết bền ny l không kể đến ảnh
hởng của hai ứng suất chính còn lại. Ngoi ra, thực nghiệm cho
thấy thuyết ny không thích hợp với vật liệu dẻo. Còn đối với vật
liệu giòn chỉ cho những kết quả phù hợp khi có một ứng suất chính
rất lớn so với các ứng suất chính còn lại. Thuyết ny hiện nay hầu
nh không dùng nữa.
2. Thuyết bền thứ hai (thuyết bền biến dạng tỷ đối lớn nhất)
Thuyt bn th hai do Marit a ra nm 1682. Thuyt ny cho rng:
vt liu b phỏ hu l do bin dng di tng i cc i ca phõn t trng
thỏi ng sut phc tp t n bin dng di tng i trng thỏi nguy
hi
m ca phõn t trng thỏi ng sut n.
Hai trng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu
bin dng t i ln nht do chỳng gõy ra bng nhau.
éiu kin bn c vit l:
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

34

(
)
[
]
()
[]

=+

=+


tđ 1 2 3
k
tđ 3 1 2
n
(4.21)
u im ca thuyt bn th hai l cú k n nh hng ca ba ng sut
chớnh
1
,
2
v
3
. Song cng nh thuyt bn th nht, thuyt ny cng
khụng thớch hp i vi vt liu do. Cũn i vi vt liu giũn thỡ nú ch cho
kt qu phự hp khi
1
> 0 v
3
< 0.
Thuyt ny hin nay hu nh khụng cũn c dựng na.
3. Thuyết bền thứ ba (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất)
Thuyt bn th ba do Culông (Coulomb) a ra nm 1773. Thuyt ny
cho rng: vt liu b phỏ hoi l do ng sut tip cc i ca phõn t trng
thỏi ng sut phc tp t n ng sut tip nguy him ca phõn t trng
thỏi ng sut n.
Hai tr

ng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu
ng sut tip ln nht ca chỳng bng nhau.
Điều kiện bền l:
[
]
max đơn

(a)
Ta biết
13
max
2

=
(chơng 3),
[]
[]


= =
đơn
max
đơn
,
22
(chơng 2)
Do đó điều kiện bền theo giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất:

tđ
=

1

3
[]
k
(4.22)
Trong trờng hợp ứng suất phẳng đặc biệt (hình 4.10), ta có:
22
1max
11
4
22
= = + +
;
22
3min
11
4
22

= = +
(4.23)
Điều kiện bền theo giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất:

[]
=+
22
tđ
4
(4.24)

Thuyt bn ng sut tip ln nht rt phự hp
vi vt liu do nhng li khụng thớch hp i vi
vt liu giũn. Thiu sút ca thuyt ny l khụng k
n ng sut chớnh
2
.
Thuyt th 3 cho phộp gii thớch vỡ sao vt
liu b nộn u theo tt c cỏc phng cú th chu
c nhng ỏp sut rt cao, vỡ trong trng hp ny thỡ
1
=
3
=-p dự ỏp
sut p cú ln ti õu
t
cng luụn luụn bng khụng.
4. Thuyết bền thứ t (thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng)




H
ình 4.10
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

35
Thuyt bn th nng bin i hỡnh dng do Huybe a ra nm 1904.
Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ hoi l do th nng bin i hỡnh dng
ca phõn t trng thỏi ng sut phc tp t n th nng bin i hỡnh
dng trng thỏi ng sut nguy him ca phõn t trng thỏi ng sut n.

Hai tr
ng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu
th nng riờng bin i hỡnh dng ca chỳng bng nhau.
Trng thỏi ng sut khi:
()
+
=
++
222
hd 123122331
1
u
3E

Trng thỏi ng sut n:
+
=

2
hd tđ
1
u
3E

Điều kiện bền có dạng:
[]
= ++
222
tđ 123122331
k

(4.25)
Trong trờng hợp trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
[]
=+
22
tđ
k
3
(4.26)
Thuyt bn th t phự hp i vi vt liu do, nhng i vi vt liu
giũn thỡ cng khụng thớch hp. Mt khỏc thuyt ny vn cha gii thớch c
s phỏ hoi ca vt liu khi b kộo u theo 3 phng.
5. Thuyết bền thứ năm (thuyết bền Mo)
Thuyt bn Mo a ra ln u tiờn vo nm 1882 v sau ú phỏt trin
chi tit vo nm 1990. Thuyt ny cho rng: vt liu b phỏ ho
i l do trng
thỏi ng sut ang xột vt quỏ trng thỏi ng sut gii hn tng ng trong
h vũng trũn ng sut gii hn.
Thuyt bn Mo da vo ng bao ca h vũng trũn ng sut gii hn
xỏc nh trng thỏi ng sut gii hn cho tng trng hp ca trng thỏi
ng sut. Nu lm nhiu ln thớ nghim vi cỏc ng su
t chớnh khỏc nhau thỡ
ta c mt tp hp cỏc vũng trũn gii hn (hỡnh 4.13).
Ngi ta ó chng minh iu kin bn theo thuyt bn ny l:

[
]
=
tđ 1 3
k

vi
k
0
n
0

=

(4.27)
Thuyt bn Mo vit cho trng thỏi ng sut phng c bit:

() ()


== + + +


22
22
tđ 1 3
11
44
22 22

éiu kin bn:
[]


= + +
22

tđ
k
11
4
22
(4.28)
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

36
Thuyt bn Mo cú
nhc im l b qua nh
hng ca ng sut chớnh
2
v n gin ng cong gii
hn thnh ng thng nhng
cng cú u im hn nhng
thuyt trờn vỡ cú xột n trng
thỏi ng sut ca vt liu b
phỏ hoi. Mt khỏc, thuyt
ny cng khụng cn ra
nhng gi thuyt m cn c trc tip vo cỏc trng thỏi ng sut khi nguy
him biu th bng nhng vũng trũn gi
i hn.
III. áp dụng các thuyết bền
Cho n nay ngi ta ó xõy dng nhiu thuyt bn khỏc nhau, mi
thuyt bn ra mt quan im v nguyờn nhõn phỏ hoi ca vt liu.
Trong thc t tớnh toỏn, vic chn thuyt bn no l ph thuc vo loi
vt liu s dng v trng thỏi ng sut ca im kim tra. Nu l vt liu do
ta dựng thuyt th ba hoc th t
. Nu l vt liu giũn ta dựng thuyt th hai

hoc th nm (Mo).
Gn õy xut hin nhiu thuyt mi liờn quan ch yu n cỏc loi vt
liu mi nh cht do, si thu tinh, cht do nhiu lp,
Cỏc nghiờn cu thc nghim v lý thuyt cho thy rng cu trỳc ca
tinh th vt rn bin dng cú nh hng l
n n bin dng v phỏ hng ca
vt liu ú. Nu b qua nh hng ú thỡ kt qu tớnh toỏn theo cỏc thuyt
bn s b sai lch. Do ú hin nay, ngi ta ang tip tc nghiờn cu v cỏc
vn ny.
Ví dụ. Kiểm tra bền của phân tố vật thể chịu các ứng suất:

x
= -4kN/cm
2
,
y
= -6 kN/cm
2
,
z
= 3 kN/cm
2
,
xy
=
yx
=2 kN/cm
2
,

zx
=
xz
=
yz
=
zy
= 0. Cho biết [] = 12 kN/cm
2
.
Giải
Nếu coi
z
= 3 kN/cm
2
l một ứng suất chính của phân tố thì hai
ứng suất chính còn lại:

+

+

= += +




2
2
xy xy

22
max xy
min
46 46
2
22 22


max
= -2,764 kN/cm
2
;
min
= -7,236 kN/cm
2

Hỡnh 4.13
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

37
Nh vậy:

1
= 3 kN/cm
2
;
2
= -2,764 kN/cm
2
;

3
= -7,236 kN/cm
2

Theo thuyết bền thứ ba:

tđ
=
1

3
= 3 (- 7,236) = 10,236 []
Theo thuyết bền thứ t:

[]
= ++=
222
tđ 1 2 3 1 2 2 3 3 1
8,888

Nh vậy phân tố đủ bền theo cả hai thuyết bền.