Lý thuyết về nội lực

9
Chương mở đầu
NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

0.1.KHÁI QUÁT.
0.1.1. Nhiệm vụ của môn học.
Môn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức cơ bản về phương
pháp tính toán độ bền (nghĩa là các kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy dưới tác dụng
của tải trọng). Xác định độ cứng vững (nghĩa là sự thay đổi kích thước hình học của các
kết cấu, chi tiết không được vượt quá một giới hạn cho phép). Tính toán về độ ổn định
(nghĩa là tính toán sao cho các kết cấu, chi tiết có khả năng bảo toàn trạng thái cân bằng
ban đầu), điều này chúng ta sẽ rõ khi gặp bài tóan ổn định.
Môn học này cũng đề cập đến một số kiến thức để tính toán cho hệ thanh, cho các
tấm, các vỏ, thanh thành mỏng Môn học này còn đề cập đến các bài toán về ứng suất
tiếp xúc, về các ống v.v Điều đó cũng có nghĩa là giáo trình này bao gồm những kiến
thức cơ bản của các môn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" và "lý
thuyết đàn hồi".
Ngày nay, khi mà khoa học đã phát triển thì các môn học được đan xen nhau,
không còn ranh giới rõ rệt nữa. Các môn học cơ học cũng vậy, nên những vấn đề được
trình bày dưới đây chúng tôi cũng theo xu hướng đó, nhằm cung cấp những kiến thức cơ
bản về cơ học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững và độ ổn định đã nói ở trên,
nhưng lại phải tiết kiệm nhất, có lợi nhất. Nói một cách khác là phải giải quyết vấn đề tối
ưu nhất trong sản xuất là phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu
sao cho có lợi nhất. Trong bản chất bài toán này, rõ ràng có mâu thuẫn ví như một chi tiết
càng có kích thước lớn thì có thể rất bền, rất cứng vững và rất ổn định nhưng lại không
kinh tế và cũng sẽ không thỏa mãn những yêu cầu khác. Chính vì những mâu thuẫn đó
chắc chắn nó sẽ là yếu tố thúc đẩy sự phát triển kỹ thuật tính toán, chế tạo của các vật liệu
mới Môn sức bền vật liệu cũng phải phát triển để đưa ra các mô hình tính toán, các
phương pháp tính toán hợp lý, để thỏa mãn các điều kiện trên.
0.1.2. Đối tượng nghiên cứu của môn học.

Môn sức bền vật liệu là một môn học nằm trong ngành Cơ học vật rắn biến dạng.
Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối,
môn Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức là vật rắn có biến dạng.
+ Hình dạng vật thể nghiên cứu trong Sức bên vật liệu:
Vật thể thực có kích thước theo ba phương và được phân làm ba loại:
- Khối: Kích thước theo ba phương không hơn kém nhau nhiều (hình 0.1a).
- Tấm, vỏ: Kích thước theo hai phương lớn hơn kich thước theo phương còn lại
rất nhiều (hình 0.1b, 0.1c).
- Thanh: Kích thước theo một phương lớn hơn kích thước theo hai phương kia
rất nhiều. Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh.
+ Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động sao cho trọng tâm O
trượt trên một đường cong (C) và thẳng góc (C), thì F sẽ quét trong không gian một hình
khối gọi là thanh có diện tích mặt cắt ngang là F.
Trong đó: (C)- Trục thanh; F- Diện tích mặt cắt ngang.

10
+ Các loại thanh: Thanh nếu có trục thanh (C) là thẳng thì ta gọi là thanh thẳng,
khi trục thanh (C) là cong thì ta gọi là thanh cong. Mặt cắt thanh có thể là không đổi suốt
chiều dài thanh, nhưng mặt cắt thanh cũng có thể thay đổi.
+ Khung: Hệ gồm nhiều thanh ghép lại, có hai loại: khung phẳng và khung
không gian.
Trong tính toán thường biểu diễn thanh bằng trục của nó (hình 0.1d', hình 0.1e').
Từ nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu nói trên ta thấy trong sức bền vật liệu có các
bài toán sau:
a) Kiểm tra các điều kiện về độ bền, độ cứng vững, độ ổn định.
b) Xác định kích thước mặt cắt ngang, hình dáng hợp lý của công trình hay chi
tiết.
c) Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên vật thể.
H
ình 0.1:i tng nghiên cu ca Sc bn vt liu

a-Khi; b, c-Tm và v;d-
d
′
,e-
e
′
-
T
hanh và cách biu din thanh trong
tính tóan; f,h,i,g- Khung; j,k-Gi di ng;m,n-Khp c nh;o-Ngàm

a)
b) c)
d)
d
′
)
e)
)e
′
m) n) o)
V
A
H
A
R
V
A
H
A

M
A
g) k)
j
)
V
A
V
A
f) h) i)

11
0.1.3. Đặc điểm
- Môn Sức bền vật liệu khảo sát nội lực và biến dạng của vật thực, nhưng vẫn áp
dụng các kết quả của Cơ học lý thuyết (sử dụng các phương trình cân bằng).
- Môn Sức bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm với phương pháp nghiên
cứu như sau:
+ Quan sát thực tế.
+ Đề ra các giả thuyết và tính toán.
+ Thí nghiệm kiểm tra.
0.2. Các nguyên nhân bên ngoài tác dụng lên vật thể.
0.2.1. Ngoại lực.
Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác dụng của môi trường bên ngoài hay của các vật
thể khác lên vật thể đang xét.
* Phân loại ngoại lực. Ngoại lực gồm:
- Tải trọng: Trị số, vị trí và tính chất của lực đã biết trước.
- Phản lực: Lực phát sinh nơi tiếp xúc giữa vật thể đang xét với vật thể khác tùy
thuộc vào tải trọng. Tải trọng bao gồm lực phân bố tác dụng liên tục trên thể tích hay bề
mặt (có cường độ bằng giá trị lực/đơn v
ị thể tích hay diện tích, thứ nguyên là [lực/(chiều

dài)
3
], [lực/(chiều dài)
2
] hoặc là lực phân bố theo chiều dài [lực/chiều dài]. Ngoài ra còn
có lực tập trung, mô men tập trung, mô men phân bố.
* Tính chất tải trọng.
- Tải trọng tĩnh: Giá trị của lực tăng từ từ xem như không gây ra lực quán tính.
- Tải trọng động: Giá trị của lực tăng đột ngột (va chạm) hay kể đến lực quán
tính (dao động, chuyển động có gia tốc).
0.2.2. Các nguyên nhân khác.
Bao gồm sự gia tăng của nhiệt độ, sự chế tạo không chính xác các chi tiết máy hay
sự lún của các gối tựa trong công trình.
0.2.3. Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết .
a) Gối di động (khớp di động, con lăn): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh
một điểm và chuyển động tịnh tiến theo một phương nào đó. Liên kết hạn chế sự di
chuyển của thanh theo phương vuông góc với phương chuyển động tịnh tiến, nên theo
phương này liên kết sẽ phát sinh một phản lực V
A
: (hình 0.1j) hay (hình 0.1k).
b) Gối cố định (khớp, bản lề): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm
và hạn chế mọi chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng. Liên kết này phát sinh phản lực
theo một phương bất kỳ trong mặt phẳng. Trong tính toán ta thường phân lực này ra hai
thành phần vuông góc nhau H
A
và V
A
(xem hình 0.1m và 01 n).
c) Ngàm: Liên kết hạn chế mọi chuyển động trong mặt phẳng. Tại ngàm phát sinh
một mô men phản lực và một phản lực theo phương bất kỳ, phản lực này thường được

phân ra hai thành phần vuông góc nhau (xem hình 0.1o). Để xác định các phản lực, ta
xem thanh như vật rắn tuyệt đối và xét sự cân bằng của vật rắn đó dưới tác động của phản
lực và tải trọng.

0.3. Các giả thuyết cơ bản.
Vì đối tượng khảo sát là vật thực, cho nên nếu xét đến mọi tính chất thực thì bài
toán sẽ rất phức tạp. Do vậy để quá trình suy luận hay tính toán được đơn giản mà vẫn
đảm bảo được độ chính xác cần thiết, ta cần phải lược bỏ những tính chất không cơ bản
và chỉ giữ lại tính chất cơ bản quyết định đến phẩm chất công trình hay chi tiết. Tức là ta
đưa ra các gi
ả thuyết. Môn Sức bền vật liệu sử dụng ba giả thuyết cơ bản sau:

12
* Giả thuyết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng.
- Vật liệu liên tục nghĩa là vật liệu chiếm đầy không gian vật thể.
- Vật liệu đồng nhất khi tính chất cơ học và vật lý tại mọi điểm của nó giống
nhau.
- Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ lý xung quanh một điểm bất kỳ và
theo hướng bất kỳ
như nhau.
* Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke. Dưới tác
dụng của nguyên nhân bên ngoài, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích thước ban đầu. Tuy
nhiên khi bỏ các nguyên nhân này đi thì vật thể có khuynh hướng trở về hình dạng và
kích thước ban đầu. Đó là tính đàn hồi của vật liệu và vật thể tương ứng và được gọi là
vật thể đàn hồi. Nế
u vật thể có khả năng trở về nguyên hình dạng và kích thước ban đầu
ta gọi là vật thể đàn hồi tuyệt đối. Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke khi tương
quan giữa lực và biến dạng là tương quan bậc I.
Vật liệu thỏa mãn giả thuyết II gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính.
Đối với các loại vật liệu như thép, gang nếu lực tác dụng nh

ỏ hơn một trị số giới
hạn xác định nào đó, có thể xem như thỏa mãn giả thuyết này.
* Giả thuyết III: Biến dạng của vật thể là bé.
Hệ quả của các giả thuyết: Trong quá trình tính toán ta có thể:
- Sử dụng phép tính vi phân, tích phân, tức là có thể nghiên cứu một phân tố bé
để suy rộng ra cho cả vật thể lớn.
- Sử dụng sơ đồ không biến dạng, tức là xem đi
ểm đặt của ngoại lực không đổi
trong khi vật thể bị biến dạng.
- Áp dụng được nguyên lý độc lập tác dụng (hay còn gọi là nguyên lý cộng tác
dụng): "Tác dụng gây ra đồng thời do nhiều yếu tố bằng tổng tác dụng do từng yếu tố
riêng rẽ gây ra".

0.4. Lịch sử và sự phát triển của môn học.
Sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, được xây dựng trên một số kết quả
và giả thuyết rút ra từ những thí nghiệm tương ứng với các bài toán cụ thể, sự lập luận
trên cơ sở thực nghiệm vừa mang tính khoa học vừa giúp cho việc thiết lập các công thức
tính toán ít phức tạp hơn về mặt toán học.
Vào thế kỷ 17 Nhà bác học Galiles đã làm thí nghiệm v
ề sự chịu lực của một dầm
Côngxon để làm cơ sở cho các thiết kế và đóng các tàu biển phục vụ cho sự phát triển
hàng hải. Nhưng trên thực tế trong thế kỷ 17 chưa có các công trình tầm cỡ. Sự phát triển
môn học Sức bền và các môn học của cơ học thực sự phát triển từ thế kỷ 18 đến nay.
Năm 1729 Buynphighe đã đưa ra lý thuyết về quan hệ
phi tuyến giữa ứng suất và biến
dạng. Sau đó năm 1768 Hooke cho rằng ở một giai đoạn nào đó thì quan hệ ứng suất và
biến dạng là quan hệ tỷ lệ thuận. Và trong các bài toán của Sức bền vật liệu chủ yếu vật
liệu làm việc tuân theo định luật Hooke này.
Các nhà bác học như Poisson, Euler, Lomorovsov, Ortrografski đã có nhiều đóng
góp cho sự phát triển của cơ học nói chung và cho môn học Sức bề

n vật liệu nói riêng.
Nhà bác học Người Pháp Navie đã cho ra đời giáo trình Sức bền vật liệu đầu tiên vào
cuối thế kỷ 18.
Sự phát triển môn học Sức bền vật liệu gắn liền với sự phát triển của lý thuyết đàn
hồi tuyến tính và đàn hồi phi tuyến. Một số bài toán không thể chứng minh qua con
đường lập luận từ khoa học thực nghiệm mà cần phải giải b
ằng Lý thuyết đàn hồi. Vào
cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, Ngành cơ học biến dạng đã phát triển hết sức rộng lớn,

13
cùng với sự ra đời và phát triển của công nghệ thông tin, những thành tựu về Toán học và
Vật liệu đã yêu cầu và tạo điều kiện cho ngành cơ học vật rắn biến dạng phát triển. Người
ta ứng dụng các phương pháp sai phân, biến phân, phần tử hữu hạn trong việc giải các
bài toán mà trước đây chưa giải được hoặc giải rất khó khăn. Cũng từ đó nhiề
u lý thuyết
về các vật liệu dị hướng, vật liệu có độ bền lớn, vật liệu làm việc trong điều kiện nhiệt độ
cao và trong các môi trường ăn mòn khác nhau phát triển. Trong thế kỷ 20 còn xuất hiện
lý thuyết dẻo, đàn nhớt, đàn dẻo, lý thuyết từ biến, lưu biến, lý thuyết phá hủy đã giúp
chúng ta nghiên cứu sâu hơn và toàn diện hơn sự làm việc, đồ bền,
độ cứng vững, độ ổn
định của các bài toàn thực tế, do sự phát triển khoa học kỹ thuật ngày nay đòi hỏi.
Cơ học là một lĩnh vực rộng lớn, có thể là môi trường liên tục, môi trường rời rạc,
môi trường thủy, khí, môi trường nhiệt Vì vậy những phương trình cân bằng về cơ bản
giống nhau, tùy theo môi trường cụ thể mà thay đổi một số thông số và hệ s
ố, nhưng
những phương trình này vẫn là những phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Có thể nói điều quan tâm trước tiên của cơ học vật rắn biến dạng là quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật liệu trong quá trình tác động của tải trọng. Về
mặt toán học ứng suất là một hàm số của biến dạng:

σ = f(ε) (0-1)
Trong đó:
σ-Ứng suất; ε-Biến dạng.
- Nếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke thì phương trình trên tuyến tính
hay còn gọi là đàn hồi tuyến tính.
- Nếu quan hệ đó không phải là tuyến tính
bậc nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện quá trình
đặt tải và cất tải là thuận nghịch. Nghĩa là khi đặt
tải, quan hệ giữa ứng suất
σ và biến dạng ε là
đường cong OAB, thì khi cất tải tương quan đó
cũng giảm theo đường BAO (đường không liên
tục BAO thực tế trùng với đường liên tục BAO-
trên hình BAO được vẽ tách ra để dễ nhìn) và biến
dạng mất đi hoàn toàn khi không còn tải (xem
hình 0.2).
Ta xem bài toán này là đàn hồi nhưng
không phải tuyến tính mà là đàn hồi phi tuyến và
biểu thức (0.1) vẫn phù hợp.
Chúng ta hãy xét thí nghiệm kéo một mẫu thép (đại diện cho vật liệu dẻo), thì quan
hệ gi
ưã ứng suất và biến dạng được trình bày trên hình 0.3.
Rõ ràng giai đoạn đầu
OA là đàn hồi tuyến tính vận liệu làm việc tuân theo định
luật Hooke, tức là ứng suất và biến dạng là quan hệ bậc nhất. Đến điểm B nào đó, nếu ta
cất tải thì nó không theo đường cũ mà nó đi theo đường song song với
OA
. Khi tải trọng
Hình 0.2: Quan hệ
giữa ứng suất và

biến d
ạ
n
g

ε
A
B
O
σ


ε

σ
A
B
C
O
P
∆l
Hình 0.3: Quan hệ
giữa ứng suất và
biến dạng khi kéo
thép
Hình 0.5:
Hiện tượng
n
ới
Hình 0.4: Hiện

tượng sau tác
d
ụng (d
ão)

14
không còn nữa, vật thể còn có một lượng biến dạng thể hiện bằng đoạn OC. Biến dạng
này được gọi là biến dạng dẻo (hay biến dạng dư). Lý thuyết nghiên cứu quy luật hình
thành biến dạng dẻo và trạng thái ứng suất tương ứng được gọi là lý thuyết dẻo.
Chúng ta hãy lưu ý các tính chất sau đây của vật liệu:
Một thanh thép treo chịu tác dụng lực kéo (hình 0.4), khi đặt tải P gây nên một độ
giãn dài
∆l nào đó. Nếu để lực P không đổi này tồn tại lâu dài thì độ giãn tiếp tục tăng lên
mặc dù sự tăng này rất chậm, hiện tượng này càng rõ rệt khi vật liệu làm việc ở môi
trường nhiệt độ cao. Hiện tượng đó được gọi là hiện tượng sau tác dụng hay
hiện tượng
dão.
Một ví dụ khác: ta siết chặt êcu để ghép 2 tấm thép với nhau (hình 0.5) bằng một
lực nào đó, nghĩa là đã tạo cho bulông một giá trị ứng suất nhất định. Nhưng đến một thời
gian đủ dài nào đó ta nhận thấy êcu lỏng ra, nghĩa là ứng suất trong bulông giảm đi. Hiện
tượng đó gọi là
hiện tượng nới.
Hiện tượng sau tác dụng và hiện tượng nới đều thể hiện một bản chất của vật liệu
đó là biến dạng tiếp tục thay đổi khi ứng suất do P sinh ra không đổi hay ứng suất giảm
(mối nối lỏng ra), khi biến dạng không thay đổi (khoảng cách ban đầu của 2 tấm thép đã
xác định)
được gọi chung là hiện tượng từ biến.
Hiện tượng từ biến xuất hiện cả trong giai đoạn đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo. Vì
vậy lý thuyết từ biến được ứng dụng trong lý thuyết đàn hồi và cả lý thuyết dẻo.
Gần đây đã phát sinh một ngành mới là lý thuyết cảm biến. Nó nghiên cứu những

quy luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật li
ệu do
những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau. Lý
thuyết cảm biến giúp cho ta xác định được biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kỳ
trong vật thể ở một thời điểm nào đó khi biết các thông số của các yếu tố tác động bên
ngoài và quá trình biến đổi các thông số đó.

CÂU HỎI TỰ HỌC :
0.1. Những nhiệm vụ chính của môn sức bền vật liệu ?
0.2. Những nhân tố nào thúc đẩy sự phát triển của môn học ?
0.3. Đối tượng nghiên cứu của môn học?
0.4. Các giả thuyết cơ bản, giải thích các giả thuyết đó.
0.5. Những nét chính của các môn học khác liên quan đến môn Sức bền vật liệu.

- -
♣♣♣♣♣- -

15
Chương 1
LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC

1.1. NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT (PPMC).
1.1.1. Định nghĩa nội lực.
Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có một hình
dáng nhất định. Khi có ngoại lực tác dụng, vật thể bị biến dạng, lực liên kết thay đổi để
chống lại biến dạng do ngoại lực gây ra. Lượng thay đổi của lực liên kết gọi là nội lực.
1.1.2 Phương pháp mặt cắt (ppmc).
Để xác định nội lực trên mặt cắt ngang chứa điểm K của vật thể chịu lực như
hình1.1, ta dùng ppmc như sau: Tưởng tượng
dùng mặt phẳng (

π) qua điểm K và thẳng góc
với trục thanh, cắt vật thể ra hai phần (A) và
(B), (hình1.2). Xét sự cân bằng của một phần, ví
dụ phần (A), (hình 1.3). Phần (A) được cân
bằng nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên
phần (A). Nội lực này phân bố trên diện tích
mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân
bằng với các ngoại lực thuộc phần đang xét (A).
Ngược lại n
ếu ta xét sự cân bằng của phần B, thì
phần A cũng tác dụng lên B các nội lực tương tự
nhưng có chiều ngược lại.

1.1.3. Khái niệm về ứng suất.
Chung quanh điểm K (trên mặt cắt
thuộc phần A), ta lấy một phân tố điện tích vô
cùng bé
∆F, hợp lực của nội lực tác dụng lên
∆F là P∆ , (hình 1.4; 1.5).
Ta có :
P//
F
P
∆
∆
∆

Ta gọi
F
P

p
tb
∆
∆
=
là ứng suất trung bình
tại K.

F
P
limplimp
0F
tb
0F
∆
∆
==
→∆→∆
: ứng suất toàn phần hay là ứng suất thực (gọi tắt là ứng
suất) tại K.
Thứ nguyên của ứng suất là
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
)daìichiãöu(
læûc

, đơn vị thường dùng KN/cm
2
, MN/m
2

Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phầ:
- Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu
σ
.
- Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu
τ .
Như vậy
22
P τ+σ= , P: Độ lớn của ứng suất tại K.
P
3
P
1
P
2
P
5
P
4
P
6
Hình 1.1:Một vật thể
ch
ịulực
Hình 1.3: Sự cân bằng

l
ựcphầnA
A

P
1
P
2
P
3
K

P
5
P
3
P
1
P
2
P
4
P
6
π

K

A

B

Hình1.2: Phương pháp
m
ặtcắt
K


16

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân
thành hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó.
- Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài
n
của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén), (xem hình 1.6a).
- Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một góc
90
0
cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng ( n, τ ) thì chiều của pháp tuyến đó trùng với
chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được coi là âm, (xem hình 1.6 b).


1.2. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC.
Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt
ngang. Sự thu gọn đó cho ta một lực R và một mô men M. Nói chung R và M có phương,
chiều bất kỳ trong không gian. Để tính
toán, ta phân R ra thành ba thành phần (ta
thường chọn Oxyz sao cho Ox, Oz nằm
trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống,
Oz trùng trục thanh), hình 1.7:

- Thành phần nằm trên trục z gọi là
lực dọc và kí hiệu N
z
.
- Thành phần nằm trên trục x, y gọi
là các lực cắt và kí hiệu Q
x
, Q
y
.
Ta cũng phân M ra ba thành phần:
- Các thành phần quay quanh
trục x và y gọi là các mô men uốn và kí hiệu M
x
, M
y
.
- Thành phần quay quanh trục z gọi là mô men xoắn và kí hiệu M
z
.
N
z
, Q
x
, Q
y
, M
x
, M
y

, M
z
là 6 thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được
xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:
0PN
n
1i
izz
=+
∑
=

Hình 1.6: Ứng suất, a- Ứng suất
chiều dương; b-Ứng suất chiều âm
τ > 0

τ
< 0

σ > 0

σ
< 0

nn
a) b)
Hình 1. 4:Hợp lực
c
ủanộilực
P

3
P
2
P
1
P
∆
∆
F
Hình 1.5: Ứng
su
ất
P
1
P
2
P
3
P
r
σ
r

τ

K

K

(A)

(A)

Hình 1.7: Các thành phần của
n
ộilực
y
x
P
1
P
2
P
3
(A)

N
z
Q
x
Q
y
M
y
M
x
M
z
O

z


17
0PQ
n
1i
ixx
=+
∑
=


0PQ
n
1i
iyy
=+
∑
=

Trong đó:
∑
iz
p ,
∑
ix
p ,
∑
iy

p là tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực thuộc
phần đang xét lên các trục z, x, y. 0)P(mM
n
1i
ixx
=+
∑
=

0)P(mM
n
1i
iyy
=+
∑
=

0)P(mM
n
1i
izz
=+
∑
=

Trong đó:
∑
)P(m
ix
,

∑
)P(m
iy
,
∑
)P(m
iz
là tổng mô men của tất cả các ngoại
lực thuộc phần đang xét quay quanh các trục x, y, z.
* Liên hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần nội lực.
Các thành phần nội lực tác dụng trên diện tích vô cùng bé (VCB) dF lần lượt là
σ
z
dF, τ
zx
dF, τ
zy
dF. Lấy tổng nội lực vi phân này trên toàn diện tích mặt cắt ngang phải
chính là các thành phần nội lực.
Do đó :
∫
=
F
zz
dFN
σ
;
∫
=
F

zxx
dFQ
τ
;
∫
=
F
zyy
dFQ
τ


∫
=
F
zx
ydFM
σ
;
∫
=
F
zy
xdFM
σ
;
∫
−=
F
zyzxz

dF)xy(M
ττ

1.3. BÀI TOÁN PHẲNG - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC.
Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh (xem hình 1.8), ở
hình này các lực tác dụng trong mặt
phẳng (yoz), thì hợp lực của nội lực
cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có
bài toán phẳng.
* Các thành phần nội lực: Chỉ
có ba thành phần N
z
, M
x
, Q
y
nằm trong
mặt phẳng yoz.
Qui ước dấu: Qui ước dương
của nội lực trong bài toán phẳng như
trên hình 1.9 và hình 1.10.
N
z
> 0 khi có chiều hướng ra
mặt cắt.
Q
y
> 0 khi có khuynh hướng quay mặt cắt đang xét theo chiều kim đồng hồ (hoặc
dấu của Q
y

giống dấu của τ).
P
2
P
1
P
3
n

m

P
5
P
4
P
6
Hình 1.8: Một vật
th
ể chịulực
z
y

18
M
x
> 0 khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới).Ngược lại các nội lực âm.

*
Ví dụ 1: Cho một thanh chịu lực như hình 1.11a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu

đồ nội lực

















Ta sử dụng phương pháp mặt cắt: Tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với
trục thanh và cách đầu tự do một đoạn là z. Ta xét sự cân bằng phần trái (hình 1.11b), để
đoạn thanh đang xét được cân bằng thì tại mặt cắt [11] xuất hiện nội lực là Q
y
và mô men
xoay quanh trục x là M
x
. Ban đầu chúng ta giả định Q
y
và M
x
tác dụng ở mặt cắt [11] là

dương theo quy định. Nếu kết quả tính tóan mà Q
y
, M
x
có dấu + thì coi như giả định ban
đầu của ta là đúng và Q
y
, M
x
đúng là dương theo quy định. Nếu kết qủa tính toán mà Q
y
,
M
x
mang dấu -, thì ta phải đổi chiều Q
y
và M
x
trở lại, cũng có nghĩa là nội lực âm theo
quy định ở trên.
Bây giờ ta sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường trong cơ lý
thuyết hay các phương trình đã trình bày ở trên để xác định Q
y
và M
x
.
Chú ý: - Khi chiếu lên một trục nào đó thì các mô men là ngẫu lực không có trong
phương trình.
a)
b)

c)
(Q
y
)
P

z

l

1

1

O
x
z
y

1

1

Q
y
M
x
z

P

Hình 1.11. Vẽ biểu đồ nội lực: a- Một dầm chịu
lực; b-Xét sự cân bằng lực của phần dầm, c- Biểu
đ
ồ l
ự
c cắt
Q
y
; d- Biểu đồ mô men M
y
d)
(M
x
)
P
2
P
1
P
3
Hình1.9:Các thành
phần nội lực và
chiều dương ở phần
bên trái của mặt
y

n

m

Q
y
>0
M
X
>0
N
z
>0
P
5
P
4
y

x
M
X
>0
Q
y
>0
N
z
> 0
n

m

Hình 1.10: Các thành
phần nội lực và chiều
dương ở phần bên phải
của mặt cắt
m
-n



19
- Khi lấy mô men đối với một điểm nào đó thì lực qua điểm đó có mô men bằng 0.
(1) Phương trình 1: 0PQ
n
1i
iyy
=+
∑
=

Suy ra Q
y
- P = 0, vậy Q
y
= +P
Như vậy lực cắt Q
y
= +P, dấu ta giả định ban đầu là đúng và không phụ thuộc z.
(2) Phương trình 2: 0)P(mM
n
1i

ixx
=⋅+
∑
=

Tức là M
x
- P
x
⋅z = 0
Suy ra M
x
= +P⋅z
Như vậy M
x
= +P
x
⋅z , dấu mô men giả định ban đầu là căng phía dưới (phía dương
của trục y) là đúng và M
x
là hàm bậc nhất phụ thuộc vào tọa độ z.
Cuối cùng ta vẽ biểu đồ Q
y
và M
x
như ở hình 1.11c, 1.11d.
*
Ví dụ 2: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ 1.12a. Hãy xác định lực cắt Q
y
, mô

men uốn M
x
và vẽ biểu đồ của chúng.















Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng
(yoz) thì hợp lực của nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có bài toán phẳng.
Cũng tương tự như trên, chúng ta cắt thanh bởi mặt cắt [11] vuông góc với trục
thanh cách đầu tự do 1 đoạn z và xét sự cân bằng của phần bên trái, ta vẽ lớ
n ra ở hình
1.12b. Đoạn thanh này cũng phải cân bằng do các lực q, Q
y
và M
x
tác dụng. Chúng ta
cũng vẽ Q
y

, M
x
theo chiều dương như đã quy định. Để xác định chúng ta lại sử dụng các
phương trình cân bằng tĩnh học, có thể viết ở dạng sau:
(1) Phương trình hình chiếu các lực lên trục y:
ΣP
(y)
= Q
y
+ q⋅z = 0
Suy ra Q
y
= -q⋅z
Vậy Q
y
là hàm bậc nhất theo z (khác với trường hợp ở ví dụ 1 - Dầm chịu lực tập
trung P thì Q
y
là hằng số).
Kết quả dấu - chứng tỏ ta giả sử Q
y
là dương như hình vẽ 1.12b là không đúng ta
phải đổi dấu Q
y
, tức là vẽ lại Q
y
hướng từ dưới lên trên, vì vậy là Q
y
âm theo quy định ở
trên.

(2) Phương trình lấy mô men đối với điểm O
1
trọng tâm của mặt cắt [11]:
1
Hình 1.12: Xác định nội lực và vẽ
bi
ểu đồ nộilực
x
y

O
z
11
1
l
z z
q
q
q
l
2
2
ql
(Q
y
)
(M
x
)
Q

y
a) b)
c)
d)
O
1
M
x

20
ΣM
(O1)
= M
x
+ q⋅z
2
z
= 0
Suy ra: M
x
= −
2
zq
2
⋅

Kết quả M
x
mang dấu - chứng tỏ chiều M
x

ta chọn ban đầu là sai, ta phải cho M
x

quay ngược lại, tức là nó làm căng phía âm của trục y hay căng các thớ trên của dầm nên
mang dấu - trong biểu đồ. Đồng thời mô men M
x
nội lực là một hàm số bậc 2 so với z.
Cuối cùng ta xây dựng được các biểu đồ Q
y
và M
x
(trên hình vẽ 1.12c, d).
Chú ý bề lõm của đường bậc 2 hứng lấy các mũi tên do q tác dụng.
*
Ví dụ 3: Cho một dầm chịu lực như hình 1.13a. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu
đồ của chúng.
Bài toán này có khác trước là việc đầu tiên ta phải xác định cho được phản lực ở
các gối tựa A và B. Tại A là gối kép, đáng lẽ phản lực tại đó có hai thành phần phản lực
theo phương y và phương z, nhưng do lực chỉ có theo phương y thẳng đứng, nên tại A chỉ
có thành phần phản lực theo phương y, ta kí hi
ệu là Y
A
và ở gối tựa B dĩ nhiên chỉ có một
thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là Y
B
. Để xác định Y
A
và Y
B
, ta phải xét sự

cân bằng của toàn dầm do các lực P và hai phản lực Y
A
và Y
B
tác dụng.
Chúng ta cũng dùng các phương trình cân bằng thông thường là chiếu tất cả các
lực lên trục y và lấy mô men đối với một điểm nào đó (điểm A chẳng hạn).
Giải:
a) Xác định các phản lực Y
A
và Y
B
.
Chiếu các tất cả các lực lên trục y:

()
0YYPP
BAy
=−−=
∑
(1)

()
0
2
l
PlYM
BA
=⋅−⋅=
∑

(2)
Giải 2 phương trình (1) và (2), ta được Y
A
= Y
B
= +
2
P
và kết quả có dấu + chứng
tỏ chiều phản lực Y
A
và Y
B
đã chọn hướng lên là đúng và giá trị bằng một nửa lực P. Các
phản lực Y
A
, Y
B
còn có thể được suy luận ra như sau: Do tính chất đối xứng Y
A
phải
bằng Y
B
và đây là hệ lực song song, nên Y
A
+ Y
B
= P, vậy:
Y
A

= Y
B
=
2
P


21
b) Tính toán nội lực trong dầm.
Sau khi đã xác định được Y
A
và Y
B
, ta xem như dầm chịu các lực Y
A
, Y
B
và P tác
dụng. Đến đây chúng ta thấy bài toán này khác trước ở chỗ tải trọng tác dụng lên dầm
không phải không đổi suốt dầm (như ví dụ 1) hay tải trọng phân bổ liên tục suốt dầm
(như ví dụ 2), mà để có thể xét nội lực ta phải chia dầm ra một số đoạn sao cho trong mỗi
đoạn tải trọng là hằng số hoặc một hàm số liên tục và xét nội lực cho từ
ng đoạn đó rồi nối
lại.
Với nguyên tắc này ta phải chia dầm ra làm hai đoạn:
(1) Đoạn 1 là từ A - C tức là: 0 ≤ z ≤
2
l
.
Ta tiến hành xét nội lực trong đoạn này như ví dụ 1 và ví dụ 2. Trước hết ta lại

tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu A là z (tất nhiên
mặt cắt này trong giới hạn A-C). Giữ lại phần trái chẳng hạn (xem hình 1.13b). Ta xét sự
cân bằng của nó khi đã giả định chiều của Q
y
và M
x
ở mặt cắt [11].
- Tính lực cắt Q
y
.
Chiếu tất cả các lực lên trục y, ta có:
ΣP
(y)
= Q
y
- Y
A
= 0
Suy ra Q
y
= + Y
A
, kết quả mang dấu +, chứng tỏ chiều của Q
y
ta vẽ ban đầu là
đúng và theo quy định Q
y
này là dương. Q
y
trong đoạn AC là hằng số không phụ thuộc

vào z.
- Tính mô men M
x

.
Lấy mô men đối với trọng tâm O
1
của mặt cắt [11] ,ta có:

()
∑
1
o
M = M
x
- Y
A
⋅z

= 0
Hình 1.13: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ
nội lực cho một dầm chịu lực như hình a
(M
x
)
(Q
y
)
M
x

Q
y
2

2

Y
B
Y
A
l-z

2
p
−
2
p
4
Pl
Y
A
Y
B
l/2

l/2

1

1

2

2

C

A

B

x

y

O

z

z

M
x
Q
y
a)

d)

e)

b)

c)

P

A

O
1
O
2

22
Suy ra M
x
= +Y
A
⋅z, kết quả dấu +, chứng tỏ ta chọn chiều của mô men M
x
như hình
1.13b là đúng và mô men này dương vì nó làm căng phía dưới hay phần dương của trục
y.
Mô men M
x
là hàm số bậc nhất của tọa độ z. Như vậy nội lực trong đoạn AC đã
được xác định, ta hoàn toàn có thể vẽ biểu đồ Q
y
, M

x
trong đoạn này.
(2) Đoạn CB :
lz
2
l
≤≤

Với cách làm tương tự như trên, ta tưởng tượng có mặt cắt [22] cách đầu A một
đoạn là z hay cách đầu B một đoạn là (l-z). Mặt cắt này chia thanh ra làm 2 phần. Nếu xét
phần bên trái thì tại mặt cắt này nội lực sinh ra do Y
A
, P gây ra và cách xác định hoàn
toàn như vừa rồi. Nhưng ta cũng có thể giữ lại và xét sự cân bằng phần bên phải (như
hình 1.13c), xét phần phải này đơn giản hơn vì ngoài nội lực chỉ có thêm Y
B
tham gia vào
các phương trình cân bằng thôi. Kết qủa tính được cũng giống nhau về trị số và dấu như
khi xét sự cân bằng phần trái.
- Tính lực Q
y
.
Chiếu các lực lên trục y (xem hình 1.13c).
ΣP
(y)
= - Q
y
-Y
B
=0

Suy ra Q
y
= -Y
B
, kết quả mang dấu (-) ; chứng tỏ chiều Q
y
ta chọn dương như hình vẽ
là không đúng và Q
y
phải được đổi chiều lại là âm theo quy định. Q
y
không phụ thuộc tọa độ
z.
-Tính mô men M
x
.
Lấy mô men đối với trọng tâm O
2
của mặt cắt [22], (xem hình 1.13c).

()
∑
2
o
M
= Y
B
(l-z) - M
x
= 0

Vậy : M
x
= +Y
B
(l-z)
Kết quả dấu +, chứng tỏ là ta chọn dấu của M
x
ban đầu là đúng và nó làm căng các
thớ dưới hay căng phía dương của trục y là dương; M
x
là hàm số bậc nhất của z.
Tóm lại, chúng ta đã xác định được lực cắt Q
y
ở đoạn AC là dương có trị số 2P
và đoạn CB có lực cắt Q
y
là âm và giá trị là 2P . Mô men nội lực ở 2 đoạn đều dương. Ta
có thể vẽ lần lượt biểu đồ nội lực của hai đoạn AC và CB như ở các hình 1.13d và 1.13e.
*
Ví dụ 4: Cho một dầm chịu lực như hình 1.14. Xác định trị số các nội lực tại mặt
cắt 1-1 cách gối tựa trái 14m.
z

H
A
Hình 1.14: Xác định nội lực tại mặt
c
ắt1
1c
ủadầm

M=44kN.m
P=20kN

q=1kN/m

A

D

B

C

O

y

14m

10m
8m

6m

1

1

V
A

V
B

23
Giải: Tính phản lực liên kết: Giải phóng các liên kết tại A và B và thay bằng các
phản lực liên kết H
A
, V
A
, V
B
. Xét sự cân bằng của hệ cô lập ABC chịu tác dụng của ngoại
lực bao gồm tải trọng và các phản lực liên kết.
Ta có: Σz= 0 => H
A
= 0 (1)
Σy = 0 => V
A
+V
B
- p - q⋅10 = 0 (2)
Σm
A
= 0 => 1⋅10⋅5-M-V
B
⋅18 + P⋅24 = 0 (3)
=> V
B
= 27 kN
Thế V

B
vào (1) => V
A
= 3kN
Tính nội lực tại mặt cắt 1-1 (xem hình 1.15).
Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần trái:
Σy = 0 => -V
A
+q⋅10+Q
y
= 0
=> Q
y
= -7kN
Σm
0
= 0
=>-V
A
⋅14+q⋅10⋅9+M+M
x
= 0
=>M
x
=-92 kNm .
Biểu đồ nội lực: Là đường
biểu diễn sự biến thiên của nội lực
dọc trục thanh. Hoành độ trọng
tâm mặt cắt ngang lấy trên trục
song song với trục thanh, tung độ

là các giá trị của nội lực tại các
mặt cắt ngang tương ứng.
Như vậy dựa vào biểu đồ
nội lực ta có thể xác định được mặt cắt ngang nguy hi
ểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá
trị nội lực lớn nhất.
* Chú ý khi vẽ biểu đồ nội lực:
- Với biểu đồ lực cắt (Q
y
), (N
z
), tung độ dương của biểu đồ được biểu diễn về
phía trên của trục hoành và có ghi dấu trên biểu đồ.
- Với biểu đồ (M
x
): Tung độ dương (M
x
> 0) được đặt về phía y > 0.
Ngược lại, tung độ âm (M
x
< 0) đặt phía y < 0.
Như vậy nhìn vào biểu đồ mô men uốn (M
x
), ta biết ngay các thớ dọc thanh chịu
căng ở phía có đặt tung độ M
x
.
*
Ví dụ 5: Một dầm chịu lực như hình vẽ 1.16. Hãy vẽ biểu đồ nội lực (Q
y

), (M
x
) .
Hình 1.15: Tính nội lực của
m
ặtcắt1
1
V
A
14m
10m
y

Q
y
N
Z
z

M
x
M=44kNm

H
A
q=1kN/m

A

D

O

1

2

Hình 1.16: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm
ch
ịulựcnh
ư h
ình v
ẽ
H
A
M=ql
2
q

p=ql
O
z
y
l

l
l
A

C

B
D
V
A
V
B

24
Giải: a) Tính phản lực . Hệ phương trình xác định phản lực : Σz = 0 => H
A
= 0
(1)
Σm
A
= 0 => V
B
= 2ql (2)
Σy = 0 => V
A
= ql (3)
Kiểm tra có: ΣM
C
= 0
b) Tính nội lực. Dùng phương pháp mặt cắt: Trên AC, tưởng tượng mặt cắt
ngang 1-1 (có trọng tâm O với hoành độ z: 0≤z≤1, gốc A), chia dầm ra hai phần, xét cân
bằng AO (hình 1.17).
Từ các phương trình:
Σz = 0 => N
z

= 0
Σy = 0 => Q
y
= V
A
- qz
Σm
o
= 0 => M
x
= V
A
z -
2
qz
2
1

tại gốc A(z = 0) : Q
y
= V
A
= ql và M
x
= 0
tại C(z=1): Q
y
= 0 và M
x
=

2
l
qql
2
1
ql
2
22
=−
Trên đoạn CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2
(có trọng tâm O với hoành độ z: l≤ z ≤2l, gốc A) chia
dầm ra hai phần, xét cân bằng phần ACO (xem hình
1.8).
0N0z
2
=⇒=Σ

qzVQ0y
AY
−
=⇒=Σ

M
2
z
qzVM0m
2
Axx
−−⋅=⇒=Σ
Tại C(z = l): Q

Y
= 0, M
x
=
2
ql
2
1
+
Tại B(z = 2l): Q
Y
= -ql, M
x
= -
ql
2
Trên đoạn DB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 3-3 (có
trọng tâm O với hoành độ z: 0 ≤ z ≤ l, gốc D), chia đầm ra
hai phần, xét cân bằng phần DO, (xem hình 1.19).
Σz = 0 ⇒ N
2
= 0
Σy = 0 ⇒ Q
Y
= P = ql
Σm
x
= 0 ⇒ M
X
= - P⋅z =

-ql⋅z
Tại D(z=0): M
x
= 0
Tại B(z=l): M
x
= 0
Nhận xét:
a) Trên những đoạn thanh: q = 0 ⇒ biểu đồ
Q
Y
là đường thẳng song song với trục hoành, biểu đồ M
x

là đường bậc 1; q = const ⇒ Q
y
bậc 1, và M
x
bậc 2.
b) M
x
đạt cực trị tại những điểm mà Q
Y
= 0.
c) Bề lõm của M
X
hứng mũi tên lực phân bố q.
Hình 1.19: Dùng
phương pháp mặt
cắt

z

M
x
Q
y
y

z

p=q
l
D

O

3

3

N
z
Hình 1.17: Dùng
phương pháp mặt
c
ắt
H
A
M
x

Q
y
y

z

1

1

N
z
z

A

O

q

V
A
Hình 1.18:Dùng
phương pháp mặt
c
ắt
H
A
q

M
x
M=ql
2
Q
y
y

z

l

2

2

N
z
z

A

C

O

V
A

25

d) Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mô men tập trung), thì tại
những điểm tương ứng trên biểu đồ Q
y
(hoặc M
X
) có bước nhảy và độ lớn bước nhảy
bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mô men tập trung) tại các điểm ấy.
Ví dụ tại các điểm A, B, C, D (trên hình 1.20).
Biểu đồ như hình 1.20
1.4. Liên hệ vi phân giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mô men uốn trong thanh
thẳng.
* Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kì q(z) và các
thành phần nội lực trên hai mặt cắt như hình 1.21.
Σy = 0 ⇒ Q
y
+ q(z)dz -(Q
y
+dQ
y
) = 0
Hình 1.20: Biểu đồ biểu thị các điểm
ch
ịulực đặcbiệt

M

Q
(ql)
0
0,5

-1,0
0,5
1,0
1,5
-1,5
0,5
1,0
1,5
-
1,5
-
1,0
-
0,5

0
1

55

109

163

217

271

325

379

433
A C B D
1
44
87

173

259


345

130

216

302

388

431
l l l
Hình 1.21: Sơ đồ biểu diễn sự
liên quan giữa tải trọng phân
b
ố vớilựccắtv
àmômen

(A)
dz
M
x
M
x
+ dM
x
Q
y
Q
y
+dQ
y
dz
(A)
q(z)
q(z)
1
12
2
y
x
O
1
O
2
1
1 2
2

26
⇒ )z(q
dz
dQ
y
= (1)

∑
2
o
M = 0 ⇒

(M
x
+ dM
x
) -M
x
- Q
y
dz + q(z)
2
dz
dz
= 0
Bỏ qua lượng VCB bậc 2 ⇒
y
x
Q

dz
dM
=
(2)
Từ (1) và (2) ⇒
)z(q
dz
Md
2
x
=
2
(3)
Kết luận: Đạo hàm của lực cắt tại một điểm bằng cường độ tải trọng phân bố theo
chiều dài tại điểm đó. Đạo hàm của mô men uốn tại một điểm bằng lực cắt tại điểm đó,
còn đạo hàm bậc hai của mô men uốn bằng cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài.
1. Về mặt hình học, lực cắt t
ại một tiết diện chính bằng độ dốc của tiếp tuyến
với biểu đồ mô men uốn tại đó và cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài là độ dốc của
tiếp tuyến biểu đồ lực cắt.
2. Nếu hàm số q(z) là một hàm số đại số thì bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn
bậc của q(z) một bậc và bậ
c của hàm số mô men uốn sẽ cao hơn bậc của hàm lực cắt một
bậc.
1.5. Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt. Biểu
đồ mô men uốn trong thanh thẳng.
* Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu P
0
và M
0

, các thành phần nội lực trên
hai mặt cắt như hình 1.22.


Σy = 0 ⇒ Q
Y
+ P
0
- (Q
Y
+ ∆Q
Y
) = 0 ⇒ ∆Q
Y
= P
0
(4)

∑
4
o
m
= 0 ⇒ M
x
+ Q
y
dz + P
0
2
dz

+ M
0
- (M
x
+ ∆M
x
) = 0
Bỏ qua các lượng VCB Q
y
dz ⇒ ∆M
X
= M
0
(5)
Ta đã chứng minh được nhận xét d ở mục 1.3.


1.6. Áp dụng.
Ta có thể sử dụng các liên hệ vi phân (1), (2), (3) và tính chất (4), (5) hoặc
nhận xét (c) để:
Hình 1.22: Xét sự liên hệgiữa taỉ
trọng tập trung và độ lớn bước nhảy
trên bi
ểu đồ
l
ựccắt
dz
(B)

Q

y
Q
y
+ ∆Q
y
M
x
M
x
+∆M
x
P
0
M
0
3

4

4

3

y

z

O
3
O

4
dz
M
0
P
0
(B)

3
3 4
4

27
- Vẽ biểu đồ nội lực nhanh chóng.
- Kiểm tra các biểu đồ nội lực.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thị nội lực M, Q của dầm chịu lực như hình 1.23.
* Đoạn AB: có q = const ⇒ Q
Y
bậc 1; M
x
bậc 2.
Điểm A: Q
y
= 0; M
x
= 0 và đạt cực trị
Điểm B: Q
y
= - qa; M
x

= -
2
qa
2
1

* Đoạn BC: Không có q ⇒ Q
Y
hằng số; còn M
X
bậc1.
Điểm B: Q
Y
= - 2qa; M
X
=
2
qa
2
−
Điểm C : Q
Y
= - 2qa; M
x
= -
2
qa
2
3

* Đoạn CD: Không có q ⇒ Q
Y
hằng số : Q
y
= -2qa, còn M
X
bậc 1.
Điểm C: M
x
=
2
qa
2
1

Điểm D: M
x
= -
2222
qa
2
3
qaqaqa
2
3
−=+−
.
Biểu đồ lực cắt và mô men được biểu diễn trên hình 1.24.
Kiểm tra:
+ Tại A, Q

Y
= 0 ⇒ tiếp tuyến với biểu đồ M
x
tại đây nằm ngang. Ngoài ra vì
đạo hàm bậc hai của M
x
(tức là q) âm nên bề lõm của biểu đồ M
x
< 0 (hướng lên trên).
+ Tại B có lực tập trung P = qa nên biểu đồ lực cắt tại B có bước nhảy và độ lớn
bằng qa.
+ Tại C có mô men tập trung qa
2
quay theo chiều kim đồng hồ nên biểu đồ mô
men uốn M
x
tại đó có bước chảy từ trái sang phải bằng chính qa
2
.
Hình 1.23: Một dầm
ch
ịulực
A
B
CD
q
p=qa
M
0
=qa

2
a
a
2
1
a
2
1
(Q
y
)
qa
2qa
2qa
Hình 1.24: Biểu đồ nội lực Q
y
và M
(M
x
)
1,5
qa
2
0,5qa
2
1,5qa
2
0,5qa
2

28
Ví dụ 7:
Vẽ biểu đồ nội lực M, N, Q của khung thẳng, (hình 1.25).

Giải: Đoạn DC (hình 1.26): q = const ⇒ Q bậc một, M bậc
hai.
Điểm D: Q
D
= 0; M
D
= 0 và đạt cực trị, N
D
= 0.
Điểm C: Q
C
= + qa,
M
C
=
2
qa
2
1
(căng thớ ngoài) ; N
C
= 0.
Đoạn CB: Không có q nên Q là hằng số , M bậc 1.
Điểm C:
qaN
BC

C
−=
2BC
C
BC
C
qa
2
1
M;0Q −==

(căng thớ trên )
Điểm B: Xét cân bằng đoạn BC (hình 1.27)

0QQ;qaNN
BC
C
BC
B
BC
C
BC
B
====


2BC
c
BC
B

qa
2
1
MM −==
(căng thớ trên)
Đoạn BA: Trên đoạn BA không có q: ⇒
⎩
⎨
⎧
nhá
ú
báûcM
säúhàòngQ

Điểm B:
0N
AB
B
= ; qaQ
AB
B
−= .

222AB
B
qa
2
3
qaqa
2

1
M −=−−=
, (căng thớ phía trái).
Điểm A: Xét cân bằng đoạn BA (xem hình 1.28).

Hình 1.25: Một
khung chịu lực
a
A
B
C
D
a
q
a
2
q
N
B
B
C

B
N
C
B
C
M
B
B

C

M
C
B
C
Q
B
B
C

Q
C
B
C
C
C
z
M
C
B
C
N
C
B
C
Q
C
B
C

D
Hình 1.27: Tính nội lực của
đo
ạnDCv
àCB
Hình 1.28:Tính nội lực
đo
ạnBA
N
B
AB
N
A
AB
M
B
AB
M
A
AB
Q
B
AB
Q
A
AB
q
a
2
Q

B
AB
N
B
AB
q

M
B
AB
M
c
C

N
c
Q
c
q

H
ình 1.26

29
0NN
AB
B
AB
A
== ; qaQQ

AB
B
AB
A
−==
aQMM
AB
B
AB
B
AB
A
⋅−= =
a)qa(qa
2
3
2
−−−


2AB
A
qa
2
1
M = (Căng thớ phía trái).
Cuối cùng vẽ được biểu đồ M, N, Q (xem hình 1.29a, b, c)

Có thể kiểm tra các biểu đồ thông qua việc xét sự cân bằng các nút.
Sự cân bằng nút B (hình 1.29d):

Σx = qa - qa = 0; Σm
C
= 0qa
2
1
qa
2
1
22
=−
Sự cân bằng nút C (hình 1.29e):

Σx = qa - qa = 0;Σm
B
= qa
2
+
0qa
2
3
qa
2
1
22
=−

Vậy nút B cân bằng.

.
.








Ví dụ 8:
Vẽ biểu đồ nội lực của thanh cong chịu lực như hình vẽ 1.30.











a)

(Q) (N)
(M)
b)
c)
qa qa
qa
qa
0,5
qa
2
0,5
qa
2
1,5
qa
2
0,5
qa
2
0,5qa
2
Hình 1.29: Biểu đồ nội lực Q(a); N(b); M(c) và
ki
ểm tra
bi
ểu đồ (d)
q
a
d)
e)

qa
2
1,5qa
2
0,5qa
2
0,5qa
2
qa

qa
B
C
qa

qa
0,5qa
2
Hình 1.30: Sơ đồ nội lực
c
ủa thanh cong
P

2
P
ϕ
26
0
4
26

0
4
26
0
4
R
1
1
a) c) d)
b) e)
P
2
P
2
P
P

(N
z
)(Q
y
)
(M
x
)
PR
0
,236PR
P
2

P
ϕ
N
z
z

y
1
1
Q
y

M
x
0,236
P

30


Xét mặt cắt 1-1 và sự cân bằng của phần đầu tự do với qui ước dương của nội lực
như hình vẽ. Đối với thanh cong, dấu của Q
y
và N
z
được quy định hoàn toàn giống thanh
thẳng. Riêng M
X
được gọi là dương khi mô men đó làm cho thanh cong hơn.

Σz = 0 ⇒ N
Z
= Psinϕ + 2Pcosϕ (1)

Σy = 0 ⇒ Q
Y
= Pcosϕ - 2Psinϕ, (2)

Σm
o
= 0 ⇒ M
x
= -PRsinϕ + 2PR(1-cosϕ). (3)
Trong đó: O-Trọng tâm mặt cắt; z-Pháp tuyến ngoài; y- thẳng góc z (hướng tâm).

Bảng biến thiên:
ϕ
0 30
0
45
0
60
0
90
0
N
Z
2P 2,232P 2,121P 1,866P P
Q
y

P -0,134P -0,707P -1,23P -2P
M
x
0 -0,232PR -0,121PR 0,134PR PR
Ta có nhận xét sau: Khi ϕ biến thiên từ 0
0
đến 30
0
, lực cắt Q
y
đổi dấu từ dương
sang âm, nên
∃ ϕ ∋ (0, 30
0
) có Q
y
= 0.
Từ hình 1.30a, ta có: Pcos
ϕ - 2Psinϕ = 0 , suy ra tgϕ =
2
1
⇒ ϕ = 26
0
40'.
Ta nhận thấy tại mặt cắt này M
x
& N
z
đạt cực trị, vì:
y

x
y
z
RQ
d
dM
;Q
d
dN
−==
ϕϕ

Thế
ϕ = 26
0
40' vào (1) và (3), ta tính được N
zmax
và M
xmin
:
N
zmax
= 2,236P; M
xmin
= - 0,236PR.
Cuối cùng biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 1.30c, d, e.

CÂU HỎI TỰ HỌC
1.1. Thế nào là nội lực? Phương pháp mặt cắt để xác định nội lực ?. Những thành phần
của nội lực.

1.2. Ngoài lực là gì ? Các dạng của ngoại lực, thứ nguyên và đợn vị của nó.
1.3.Vẽ các liên kết và biểu diễn các thành phần phản lực tại các liên kết đó.
1.4. Quy ước dấu của các thành phần nội lực? Hãy biểu diễn nó thông qua một đoạn
thanh.
1.5. Quan hệ giữa lự
c phân bố q và lực cắt Q
y
, M
x
. Các bước nhảy ở biểu đồ nội lực Q
y

và M
x
xuất hiện ở đâu, dấu của bước nhảy đó. Khi nào thì trên biểu đồ M
x
có cực trị,
cách xác định nó.
1.6. Hãy tự vẽ biểu đồ Q
y
và M
x
bằng phương pháp nhanh dựa vào các liên hệ vi phân
giữa ngoại lực và nội lực và những nhận xét đã học.
1.7. Hãy xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội
lực đối với dầm chịu lực như trên hình 1.31
Hướng dẫn: Tách khớp D ta sẽ được
hai dầm đơn giản và xét nội lực như bình
thường

- - - %%%%% -
Hình 1.31:
S
ơ
đ
ồ chịu lực
2a

a
P
2a
P
M
0
=2qa
2
P
P=4qa
P
q
P
A
P
B
P
C
P
D

P
E
P

31
Chương 2
KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM
2.1.KHÁI NIỆM
Trong sức bền vật liệu, bài toán kéo đúng tâm là bài toán đơn giản nhất và cơ bản
nhất vì vậy trước tiên chúng ta nghiên cứu nó.
2.1.1. Định nghĩa: Thanh chịu kéo (hoặc nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang
của thanh chỉ có một thành phần nội lực là lực dọc N
z
.
Nếu N
Z
> 0: ta nói rằng thanh chịu kéo đúng tâm.
Nếu N
Z
< 0: ta nói rằng thanh chịu nén đúng tâm.
Hình 2.1a: Thanh chịu nén đúng tâm. Hình 2.1b: Thanh chịu kéo đúng tâm.
Người ta dùng phương pháp mặt cắt để xét sự cân bằng phần bên trái, chẳng hạn
hình 2.1c.Từ điều kiện cân bằng, ta có phương trình:
Σz = 0; N
z
- P = 0 => N
z
= P > 0.
2.1.2. Ví dụ:Trong thực tế chúng ta thường gặp các cấu kiện chịu nén, kéo đúng tâm
(hình 2.1):

- Dây cáp nâng vật của cần cẩu (hình 2.1d).
- Ống khói (hình 2.1e).
- Các thanh trong giàn (hình 2.1f). v.v
2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
2.2.1. Quan sát biến dạng.

Như đã biết, môn học sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, nó vừa dựa
vào các công cụ toán học, vừa dựa vào những kết quả rút ra từ những thí nghiệm để xây
dựng các công thức tính ứng suất, biến dạng Việc xem xét thực nghiệm là hết sức cần
thiết, nó giúp cho ta bỏ qua một số đại lượng không cần thiết trong quá trình xét ứng suất
và biến dạ
ng. Như vậy bài toán trở nên đơn giản hơn, nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác
P

P
P

P
P

N
Z
1
1
a)
b)
c)
Hình 2.1: Ví dụ các thanh chịu kéo, nén
đúng tâm
d) e) f)

32
cần thiết và hợp lý của các công thức được thiết lập. Vì vậy đối với các bài toán cơ bản
bao giờ cũng bắt đầu từ quan sát thí nghiệm và xây dựng các giả thuyết để làm nền tảng
cho việc thiết lập các công thức ứng suất và biến dạng sau này.
Ta kẻ trên bề mặt thanh các đường song song với trục thanh (tượng trưng cho các
thớ dọc) và các đường vuông góc với trục thanh (tượng trưng cho các m
ặt cắt ngang)
chúng tạo thành lưới ô vuông (hình 2.2a). Sau khi chịu lực, thanh bị biến dạng và lưới ô
vuông trở thành lưới ô chữ nhật (hình 2.2b).
2.2.2. Các giả thuyết.
Căn cứ vào sự quan sát biến dạng ở trên, ngoài các giả thuyết ở chương mở đầu,
trong chương này người ta đưa ra hai giả thuyết nữa.
* Giả thuyết I về mặt cắt ngang: Trong quá trình biến dạng các mặt cắt ngang luôn
luôn phẳng và vuông góc với trục thanh.
* Giả thuyết II về các thớ dọc: Trong qúa trình biến dạng các thớ dọc không ép lên
nhau và cũng không đẩy xa nhau.
2.2.3. Công thức tính ứng suất.

Xét mặt cắt ngang bất kỳ, chọn hệ trục Oxyz (hình 2.2c), O là trọng tâm mặt cắt
ngang. Nội lực chỉ có N
Z
. Tách tại điểm A bất kỳ thuộc mặt cắt ngang một phân tố hình
hình hộp bé (hình 2.2d).
* Dựa vào giả thuyết I, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp
σ
z
mà không có
ứng suất tiếp. Thật vậy nếu có ứng suất tiếp thì mặt cắt ngang sẽ bị vênh không còn
phẳng và vuông góc với trục thanh nữa (với giả thiết I).

* Dựa vào giả thuyết II, trên mặt cắt dọc không có ứng suất nào cả.
Vậy trong trường hợp kéo, nén đúng tâm, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp
σ
z
thôi. Nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF bao quanh A là σ
z
dF.
Tổng nội lực này trên toàn diện tích F của mặt cắt ngang là: N
z
=
∫
σ
F
z
dF (a)
Ô vuông
a)
Ô ch nht
b)
c)
x
y

z
N
Z
O

A

dF

1

2

2
’
1

2
’
2
’
δ
(dz)

dz
N
Z
N
Z
O
1
O
2
A
σ
Z
σ

Z
d)
e)
Hình 2.2: Quan sát biến dạng: a- Đường kẻ ô
vuông trước khi chịu lực
b
-
ng k ô vuông sau khi chu lc; c d e
-
Ni lc
N
Z
P

P


33
* Ta xét thêm điều kiện biến dạng: Xét phân tố chiều dài dz (hình 2.2e). Giả sử
cố định mặt cắt 1-1, khi có N
z
tác dụng, mặt cắt 2-2 di chuyển đến 2'-2'. Do giả thuyết I
nên mọi
điểm thuộc mặt cắt 2'-2' thẳng góc trục thanh, nên mọi thớ dọc đều giãn dài như
nhau và bằng
δ (dz).
Gọi
ε
z
là biến dạng dọc tỷ đối, ta có:

cons
t
dz
)dz(
z
=
δ
=ε
(b)
* Theo định luật Hooke:
E
z
z
σ
=ε
(c)
Với E: hằng số tỉ lệ, gọi là mođuyn đàn hồi, nó phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ
và có thứ nguyên [lực/(chiều dài)
2
].
Đơn vị thường dùng KN/cm
2
, MN/m
2
,.E xác định được bằng thí nghiệm (bảng
2.1).
Từ (b) và (c) =>
σ
z
= E ε

z
= const đối với mọi điểm trên cùng một mặt cắt ngang
và từ (a) => N
z
= σ
z

∫
F
dF = σ
z
F => σ
z
=
F
N
z
(2-1)
Trong đó F: Diện tích mặt cắt ngang, dấu của
σ
z
giống như dấu của N
z
đã qui ước ở
mục 1.3 chương 1.
Bảng 2.1: Giá trị E của một số vật liệu
Vật liệu E (N/m
2
)
Thép (0,15 ÷0,20%) C

20.10
10
Thép lò xo 22.10
10
Thép Niken 19.10
10

Gang xám 11,5.10
10
Đồng 12.10
10
Đồng thau
(10
÷12).10
10

Nhôm
(7
÷8).10
10

Gỗ thớ dọc
(0,8
÷1,2).10
10

Như vậy trong kéo (nén) đúng tâm, trên mặt cắt ngang, ứng suất pháp phân bố đều.
2.3. BIẾN DẠNG - HỆ SỐ POISSON (POÁT XÔNG) µ.
2.3.1. Biến dạng dọc.
Ta đã có biến dạng của dz là δ(dz) = ε

z
dz.
Vậy độ biến dạng dài tuyệt đối của đoạn l là
∆l =
∫∫
ε=δ
ll
z
dz)dz(
Hay
∫∫
=
σ
=∆
l
z
l
z
dz
EF
N
dz
E
l
(2-2)
- Nếu trên suốt l: E = const, F = const, N
z
= const, thì ∆l =
EF
lN

z
(2-3)
- Trường hợp thanh có thể chia làm n đoạn sao cho tích số
ii
i
FE
N
là hằng số
trong
từng đoạn, thì
∆l sẽ là:
∑
=
⋅
=∆
n
1i
ii
izi
FE
lN
l
(2-4)
Tích số EF: Gọi là độ cứng của thanh khi kéo hay nén đúng tâm.