lý thuyết về lượng giác

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = −
b) Cung bù:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
− = − − =
c) Cung phụ:
cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
π π π π
     
− = − = − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
d) Cung hơn kém
π
:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
+ = − + = −
e) Cung hơn kém
2
π
:

cos sin ; sin cos ;
2 2
x x x x
π π
   
+ = − + =
 ÷  ÷
   
2. Công thức lượng giác
a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

( )
cos cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
cota cot 1
cot( )
cota cot
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
b
a b
b
+ = −
+ = +

+
+ =
−
−
+ =
+

2 2
2
2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
a
a
=
= −
= −
= −
=

−
c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −
= −
2 2
3 3
1 cos2 1 cos2
sin ; cos
2 2
3sin sin3 3cos cos3
sin ; cos
4 4
a a
a a
a a a a
a a
− +
= =
− +
= =
e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích

[ ]

[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
−
= + − −
= + + −

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
a b a b

a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
3. Hằng đẳng thức thường dùng
( )
2 2 4 4 2 6 6 2
2
2 2
2 2
1 3
sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2
2 4
1 1
1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos
cos sin
a a a a a a a
a a a a a
a a
+ = + = − + = −
+ = = ± = ±

4. Phương trình lượng giác cơ bản
khi 1
2
sin ( ) ; sin sin
( ) arcsin 2
2
khi 1
( ) arcsin 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π
π α π
π π
>

= +


= ⇔ = ⇔
= +




= − +
≤



= − +


khi 1
2
cos ( ) ; cos cos
( ) arccos 2
2
khi 1
( ) arccos 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π
α π
π
>

= +



= ⇔ = ⇔
= +



= − +
≤



= − +



tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +

cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +
5. Phương trình thường gặp
a. Phương trình bậc 2

2 2 2
2 2 2
2
2

.sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( )
.cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( )
cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1
cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( )
.t
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −

cos


1
an ( ) cot ( ) 0 cot ( )
tan ( )
f x b f x c Thay f x
f x
+ + = ⇒ =
b. Phương trình dạng
sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =
 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
 Chia 2 vế cho

2 2
a b+
, dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp
 Dạng
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
 Dạng
3 2 2 3
.sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
3
x để được phương trình bậc 3 theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
d. Phương trình đối xứng loại 1:
(sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + =
 Đặt t = sinx
±
cosx, điều kiện
2t ≤

 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.
e. Phương trình đối xứng loại 2 :
( )
tan cot ) (tan cot 0
n n
a x x b x x+ + ± =
 Đặt t = tanx - cotx thì t
∈
R ; Đặt t = tanx + cotx thì
2t ≥
.
 Chuyển về phương trình theo ẩn t.
f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát
 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản
 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.
 Phương pháp đặt ẩn phụ.
 Phương pháp đối lập.
 Phương pháp tổng bình phương.