Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

www.truongthi.com.vn
Môn Toán

KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau
1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đối
xứng.
Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.
2) Tính y’, y”
Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.
Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.
3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn
Tìm các đường tiệm cận.
Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.
4) Lập bảng biến thiên.
5) Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu,
điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn
nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc hai : y = ax
2
+ bx + c a ≠ 0
Ta có
2
2
b4ac
yax

2a 4a
−

=+ +


b

Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm y = ax
2
bằng phép tịnh tiến
song song theo véctơ
2
b4acb
r,
2a 4a

−
=−



r
.
Với a > 0, min
2
4ac b
y
4a
−

=
đạt được tại
b
x
2a
=−
. Hàm tăng trên
b
,
2a

−+∞



, giảm trên
b
,
2a

−∞ −


.
Với a < 0, max
2
4ac b
y
4a
−

=
, đạt được tại
b
2a
=−x
. Hàm tăng trên
, giảm trên
()
,b/2a−∞ −
( )
b/2a,− +∞
.
b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d a ≠ 0.
− Tập xác định (− ∞, + ∞)
− Ta có y’ = 3 ax
2
+ 2bx + c, ∆’y’ = b
2
− 3 ac
y” = 6 ax + 2 b
Nếu a > 0 thì
+ Với b
2
− 3ac < 0, y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến.
+ Với b
2

− 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
< x
2
và
y’ > 0 ⇔ x ∉ [x
1
, x
2
].
Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x
1
) và (x
2
, + ∞) (tương ứng, trên (x
1
, x
2
)).
Điểm cực đại (cực tiểu) là (x
1
, y(x
1
)) (tương ứng (x
2
, f(x
2
)).
Nếu a < 0 thì
+ Với b

2
− 3ac < 0, y’ < 0 với ∀x, hàm y luôn nghịch biến.
2
1
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

+ Với b
2
− 3ac > 0, tương tự ta cũng có
Hàm y luôn nghịch biến trên (−∞, x
1
) và (x
2
, + ∞) y đồng biến trên (x
1
, x
2
).
Điểm cực tiểu (cực đại) (x
1
, f(x
1
)) (tương ứng (x
2
, f(x
2
)).
− Điểm uốn: y” = 0 ⇔ x = − b/3a, điểm uốn là (−b/3a, f(−b/3a)).
− Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) cũng là điểm uốn.

c) Hàm phân thức:
ax b
cx d
y
+
=
+
, c ≠ 0
Ta có
2
abcad1
y
cd
c
x
c
−
=+
+

− Nếu bc − ad = 0 thì
a
y
c
≡
, x ≠ − d/c.
− Nếu bc − ad ≠ 0 thì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số
k
y
x

=
với
2
bc ad
k
c
−
=

bằng phép tịnh tiến theo véctơ
r
r =
(−d/c, a/c).
Đồ thị có hai tiệm cận x = − d/c và y = a/c.
d) Hàm phân thức:
()
2
ax bx c
yfx
xd
+ +
==
+
, a ≠ 0
Ta có
()
2
ad bd c
f(x) ax b ad
xd

− +
=+− +
+

Tập xác định R\
{ }
d−

()
()
2
2
ax d m
y'
xd
+−
=
+
, m = ad
2

−
bd + c
−
Nếu m = 0 thì y = ax + (b
−
ad), x
≠

−

d
−
Nếu am < 0 thì
+ Với a > 0, y’ > 0 (
∀
x
≠

−
d), hàm đồng biến trên (
−∞
,
−
d), (
−
d, +
∞
).
+ Với a < 0, y’ < 0 (x
≠

−
d), hàm nghịch biến trên (
−

∞
,
−
d), (
−

d, +
∞
).
−
Nếu am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
1, 2
m
xd
a
=−
m

+ Nếu a > 0 thì hàm tăng trên (
−∞
, x
1
), (x
2
, +
∞
) giảm trên (x
1
,
−
d), (
−
d, x
2
)
các điểm cực đại (cực tiểu) là (x

1
, 2ax
1
+ b), (tương ứng, (x
2
, 2ax
2
+ b)
+ Nếu a < 0 thì hàm tăng trên (x
1
,
−
d
1
), (
−
d
1
, x
2
) và giảm trên (
−∞
, x
1
), (x
2
,
+
∞
).

Điểm cực tiểu là (x
1
, 2ax
1
+ b)
Điểm cực đại: (x
2
, 2ax
2
+ b).
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
+ 3mx
2

−
(m
−
1)x
−
1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị
Giải. a) với m = 1, y = x
3
+ 3x
2

−
1

Tập xác định R.
4
2
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

y’ = 3x
2
+ 6x, y’ = 0
⇔
x = 0 và x =
−
2
y’ = 3(x + 2) x > 0
⇔
x <
−
2 hoặc x > 0
y’ < 0
⇔

−
2 < x < 0. Vậy
y tăng (giảm) thực sự trên (
−

∞
,
−
2) và (0, +

∞
) (tương ứng (
−
2, 0)). Hàm có
điểm cực đại (
−
2, 3) và cực tiểu (0,
−
1).
y” = 6x + 6, y” = 0
⇔
x =
−
1, y” đổi dấu qua x =
−
1 vậy y = f(x) có điểm
uốn (
−
1, 1).
Ta có bảng biến thiên
X 2 0
y’ + 0  0
+
Y 3 1
Đồ thị y
3

-2 0 x


-1

b) y’ = 3mx
2
+ 6mx
−
(m
−
1)
Điều kiện cần và đủ để y = f(x) không có cực là phương trình f’ (x) = 0 không
có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là
2
m
1
m0
0m
4
'9m 3m(m1)0
=


≠

⇔ ≤≤





∆= + − ≤




Ví dụ 2. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2

−
m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
c) Xác định m sao cho

x


≤
1
⇒


y


≤
1.
Giải a) m = 3
⇒
y = x
3
+ 3x
2

−
3
Tập xác định R
Chiều biến thiên y’ = 3x
2
+ 6x, y’ = 0
⇔
x = 0 và x =
−
2
y’ > 0
⇔
x <
−
2 và x > 0.
Trên (
−∞
,
−
2), (1, +
∞

) hàm đồng biến
y’ < 0
⇔
x
∈
(
−
2, 0), trên đó y nghịch biến
y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (
−
1,
−
1).
Bảng biến thiên
X 2 0
y’ + 0  0
+
Y 1 3
Đồ thị xem hình vẽ




6
3
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

y

1


-2 -1 0 x



-3




b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có cực đại
và cực tiểu và
ycđ. yct < 0
Thấy rằng y’ = 3x
2
+ 2mx = x(3x + 2m)
y’ = 0
⇔
x = 0 và x =
−
2m/3
Hàm có cực đại và cực tiểu
⇔

−
2m/3
≠
0

⇔
m
≠
0
() ( )
3
c® ct
4m 27m
y .yy0.y 2m / 3 m 0
27
−
=−=− <

2
4m 27 0⇔−>

33
m
2
⇔>

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
m33/> 2

c)
()
y x≤ 1
với
x≤ 1

⇒

( )
y 0m1= ≤

Với
m1≤
, m
≠
0, ta có
2m / 3 1− ≤
. Vậy, với m
∈
[
−
1, 1]\
{ }
0
để
()
y x1≤
với
x≤ 1
điều kiện đủ là
()
3
4m
1
y 2m / 3 m
27

≥− = −

(vì y (
−
1) =
−
1, y(1) = 1, y (0) =
−
m đều thuộc [
−
1, 1]).
Nhưng
32
4m 4m
,m1 m
27 27

−= − ≤ ≤



1
khi
m1≤
. m = 0 cũng thỏa
mãn.
Kết luận m
∈
[
−

1, 1].
Ví dụ 3. Cho hàm số y = (m
−
2)x
3

−
mx + 2 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =
−
1
b) Chứng minh rằng khi m
∈
(0, 2) hàm không có cực đại và cực tiểu.
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn qua ba điểm cố định.
Giải
a) Tập xác định R
y’ =
−
9x
2
+ 1 = 0
⇔
x =
−
1/3 và x = 1/3
Điểm cực đại (
−
1/3, 16/9), cực tiểu (1/3, 20/9).
y” =

−
18x = 0
⇔
x= 0, điểm uốn (0, 2).
Bảng biến thiên

8
4
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

X 1/3 1/3
Y’  0 + 0 
Y 16/9 20/9


y
4


20/9
16/9



-1 -1/3 0 1/3 1 x


b) y’ = 3(m
−

2)x
2

−
m
Khi m
∈
(0, 2)
⇒
m / 3(m
−
2) < 0 và phương trình y’ = 0 vô nghiệm.
c) y = mx
3

−
2x
3

−
mx + 2
⇔
mx (x
2

−
1)
−
2(x
3

−
1)
−
y = 0
Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn
()
()
2
oo
oo
oo
3
oo
oo
x0, y2
xx 1 0
x1, y4,
y2x1
x1 y0
==


−=

⇔=− =


=− −
==




Đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định (0, 2), (
−
1, 4), (1, 0).
Ví dụ 4. Cho hàm số
y = f(x) = 2x
3

−
3(2m + 1)x
2
+ 6m (m + 1)x + 1 (1)
a) Tìm quĩ tích điểm uốn
b) Tìm quĩ tích điểm cực đại
c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Giải. a) y’ = 6x
2

−
6(2m + 1) x + 6m(m + 1)
y” = 12x
−
6(2m + 1), y” = 0
⇔

2m 1
x
2

+
=

y” đổi dấu khi x biến thiên qua (2m + 1)/2. Vậy điểm uốn là
2m 1 2m 1
U,f
22

++






. Từ
2m 1
x
2
+
=
suy ra
2x 1
2
m
−
=
, thay vào
phương trình y = f(x) ta thu được
3

3
y 2x x 1.
2
= −+
Vậy quĩ tích đồ thị
hàm
3
3
y 2x x 1.
2
=−+

b) y’ = 6[x
2

−
(2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0
⇔

xm
xm
=


1= +


Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng
y’(x) < 0
⇔

x
∈
(m, m + 1)
y’(x) > 0
⇔
x
∈
(
−∞
, m)
∪
(m + 1, +
∞
)
10
5