Giải tích kết hợp

Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
CHƯƠNG 0
GIẢI TÍCH KẾT HỢP
I. TẬP HỢP
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
• Định nghĩa: Khái niệm tập hợp là khái niệm nền tảng cho toán học cũng như
ứng dụng của nó. Tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không định nghĩa chính xác
dựa trên các khái niệm khác. Tập hợp được coi là kết hợp các đối tượng có
cùng bản chất (thuộc tính, dấu hiệu ) chung nào đó.
Tập hợp thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C , ... Các phần tử
của tập hợp ký hiệu bằng các chữ thường a, b, c,...
Để chỉ x là phần tử của tập hợp X ta viết :
x ∈ X (đọc : x thuộc X )
Để chỉ x không phải là phần tử của X ta viết :
x ∉ X (đọc : x không thuộc X )
Tập không có phần tử gọi là tập rỗng và ký hiệu ∅.
• Biểu diễn tập hợp:
Có hai cách biểu diễn tập hợp như sau
(i) Liệt kê các phần tử :
+ Ví dụ
A = { a, b, c }
X = { x
1
, x
2
, ... , x
n
}
(ii) Biểu diễn tập hợp bằng cách mô tả tính chất :
+ Ví dụ
C = { n | n là số chẵn }

Y = { x | x là nghiệm phương trình x
2
+ 2x - 5 = 0 }
• Lực lượng tập hợp:
Số phần tử của tập A, ký hiệu là |A|, gọi là lực lượng của tập A.
Nếu |A| < ∞ , ta nói A là tập hữu hạn, nếu |A| = ∞ , ta nói A là tập vô hạn.
Trong chương trình này ta giả thiết các tập hợp là hữu hạn.
• Quan hệ bao hàm: Cho hai tập A, B.
Nếu mỗi phần tử thuộc A cũng thuộc B ta nói A là tập con của B và ký hiệu
A ⊂ B
Nếu A không phải tập con của B ta ký hiệu
A ⊄ B
Nếu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói A bằng B và ký hiệu
A = B
Nếu A ⊂ B , A ≠ ∅ và B ≠ A, thì ta nói A là tập con thực sự của B.
 Giải tích kết hợp 4
Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
+ Ví dụ
(i) Tập rỗng ∅ có lực lượng bằng 0, |∅| = 0. Với mọi tập A, ∅ ⊂ A.
(ii) Cho đa thức P(x). Ký hiệu S = {x | P(x) = 0}. S là tập hữu hạn.
(iii) Ký hiệu
N là tập số tự nhiên, N = {0, 1, 2, … };
Q là tập số hữu tỷ; R là tập só thực.
Ta có N ⊂ Q ⊂ R.
Bây giờ ta xét tập hữu hạn A. Ký hiệu tập tất cả tập con của A là P(A)
• Định lý 1. Nếu |A| = n , thì |P(A)| = 2
n
Chứng minh. Quy nạp theo n.
2. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
Cho các tập A, B, X

1
, X
2
, ... , X
n
( n ∈ N ) là các tập con của tập “vũ trụ” U
nào đó. Ta định nghĩa các phép toán sau.
+ Phép hiệu: Hiệu của A và B, ký hiệu A \ B là tập:
A \ B = { x  x ∈ A & x ∉ B }
+ Phần bù: Phần bù của A (trong U ) là tập
A
= U \ A
+ Phép hợp: Hợp của A và B, ký hiệu A
∪
B là tập
A ∪ B = { x | x ∈ A hoặc x ∈ B }
Tương tự, hợp của X
1
, X
2
, ... , X
n
là tập
}Xxn,kk,1| {x
k
1
∈≤≤∃=
=

n

i
i
X
+ Phép giao: Giao của A và B, ký hiệu A
∩
B là tập
A ∩ B = { x  x ∈ A & x ∈ B }
Tương tự, giao của X
1
, X
2
, ... , X
n
là tập
}Xxn,kk,1| {x
k
1
∈≤≤∀=
=

n
i
i
X
+ Tích Đề-các
 Giải tích kết hợp 5
Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
- Tích Đề-các của hai tập A, B là tập
A x B = { (a,b) a ∈ A & b ∈ B }
- Tích Đề-các của các tập X

1
, X
2
, ... , X
n
là tập
X
1
x X
2
x ... x X
n
= { (x
1
, x
2
, ... , x
n
)  x
1
∈ X
1
& x
2
∈ X
2
& ... & x
n
∈ X
n

}
+ Phân hoạch:
- Nếu A ∩ B = ∅, ta nói A và B rời nhau.
- Nếu các tập X
1
, X
2
, ... , X
n
thoả
A = X
1
∪ X
2
∪ ... ∪ X
n
và chúng rời nhau từng đôi một, ta nói { X
1
, X
2
, ... , X
n
} là một phân hoạch của
tập hợp A.
• Định lý 1. Giả sử { X
1
, X
2
, ... , X
n

} là một phân hoạch của tập S. Khi đó
S= X
1
+ X
2
+ ... + X
n

Chứng minh. Hiển nhiên.
• Định lý 2. Cho các tập A, B, C trong tập vũ trụ U, khi đó ta có :
(i) Luật kết hợp :
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
(ii) Luật giao hoán :
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(iii) Luật phân bố :
A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
(iv) Luật đối ngẫu De Morgan:
BABA ∩=∪
&
BABA ∪=∩

n
i
i
n
i
i

XX
11 ==
=
&

n
i
i
n
i
i
XX
11 ==
=
Chứng minh. (bài tập).
 Giải tích kết hợp 6
Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
• Định lý 3 (về lực lượng tập hợp).
(i) Lực lượng tập con:
A ⊂ B ⇒ |A| ≤ |B|
(ii) Lực lượng của hợp
A ∪ B

= A+ B − A ∩ B


(iii) Nguyên lý bù trừ Poincaré:
( )
∑ ∑
= ≤≤≤≤≤

−
=






∩∩∩−=
n
m niii
iii
m
n
k
k
m
m
AAAA
1 ...1
1
1
21
21
...1

(iv) Lực lượng tích Đề-các
X
1
x X

2
x ... x X
n
= X
1
. X
2
. ... . X
n

(v) Lực lượng tương đương:
|A| = |B| ⇔ Tồn tại song ánh từ A vào B.
Chứng minh. (bài tập).
 Giải tích kết hợp 7
Trần Quốc Chiến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
II. GIẢI TÍCH KẾT HỢP
1. BÀI TOÁN GIẢI TÍCH KẾT HỢP
Trong thực tế ta thường gặp bài toán sau: Cho một tập hữu hạn X. Các phần
tử của X được chọn và ghép theo quy luật nào đó. Hãy tính số nhóm tạo thành.
Ngành toán học nghiên cứu các bài toán loại này gọi là Giải tích kết hợp.
• Ví dụ: Công ty phát hành sách bán sách thông qua hệ thống hiệu sách. Giả sử
có 12 đầu sách và các đầu sách ký hiệu là 1, 2, …, 12. Có 3 khách hàng đến
hiệu sách đặt mua, mỗi người 1 quyển. Gọi x
1
, x
2
, x
3
lần lượt là quyển sách mà
khách hàng thứ nhất, thứ hai, thứ ba đặt mua ( x

1
, x
2
, x
3
∈ {1, 2, … , 12 } ).
Hỏi có bao nhiêu bộ ( x
1
, x
2
, x
3
) ?
Kết quả bài toán đếm này phụ thuộc vào việc ai giao sách: hiệu sách hay
công ty.
(i) Trường hợp 1:
Người giao sách là hiệu sách và các khách hàng đặt mua các đầu sách khác
nhau.
Khi đó hiệu sách cần biết thứ tự của bộ ( x
1
, x
2
, x
3
). Số bộ ( x
1
, x
2
, x
3

) sẽ là
12.11.10 = 1320
(ii) Trường hợp 2:
Người giao sách là hiệu sách và các khách hàng có thể đặt mua các đầu
sách giống nhau.
Khi đó hiệu sách cần biết thứ tự của bộ ( x
1
, x
2
, x
3
) và x
1
, x
2
, x
3
có thể giống
nhau . Số bộ ( x
1
, x
2
, x
3
) sẽ là
12
3
= 1728
(iii) Trường hợp 3:
Người giao sách là công ty và các khách hàng đặt mua các đầu sách khác

nhau.
Khi đó công ty không cần biết thứ tự của bộ ( x
1
, x
2
, x
3
). Số bộ ( x
1
, x
2
, x
3
) sẽ
là
12.11.10 / 1.2.3 = 1320 / 6 = 220
(iv) Trường hợp 4:
Người giao sách là công ty và các khách hàng có thể đặt mua các đầu sách
giống nhau.
Khi đó công ty không cần biết thứ tự của bộ (x
1
, x
2
, x
3
) và x
1
, x
2
, x

3
có thể
giống nhau. Số bộ ( x
1
, x
2
, x
3
) sẽ gồm các trường hợp sau:
+ Trường hợp 3 người cùng đặt mua 1 đầu sách:
có 12 khả năng.
+ Trường hợp 3 người cùng đặt mua 2 đầu sách:
có C(12,2). 2 = 132 khả năng ( C(n, k) là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
 Giải tích kết hợp 8