Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 năm học 2013 2014

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Suối Ngô, Ngày 17, 18, 19, 21, 24/09/2013

Chuyên đề 1: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức f( x ,y, )
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai
điều kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y )
≤
M ( M hằng số) (1)
- Tồn tại x
o
,y
o
sao cho:
f( x
o
,y
o
) = M (2)
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai
điều kiện sau đây được thoả mãn :
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y )
≥
m ( m hằng số) (1’)
- Tồn tại x
o
,y

o
sao cho:
f( x
o
,y
o
) = m (2’)
2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một
biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)
2
+ ( x – 3)
2
. Mặc dù ta có A
≥
0 nhưng
chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải
giải như sau:
A = x
2
– 2x + 1 + x
2
– 6x + 9 = 2( x
2
– 4x + 5) = 2(x – 2)
2
+ 2
≥
2
A = 2
⇔

x -2 = 0
⇔
x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c .
Tìm GTNN của P nếu a
〉
0.
Tìm GTLN của P nếu a
〈
0
Giải : P = ax
2
+ bx +c = a( x
2
+
a
b
x ) + c = a( x +
a
b
2
)
2
+ c -
2

2
4
b
a
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
1
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Đặt c -
a
b
4
2
=k . Do ( x +
a
b
2
)
2

≥
0 nên :
- Nếu a
〉
0 thì a( x +
a
b
2
)
2

≥
0 , do đó P
≥
k. MinP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
-Nếu a
〈
0 thì a( x +
a
b
2
)
2

`≤
0 do đó P
`≤
k. MaxP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x
2
- 7x)( x
2

– 7x + 12)
Đặt x
2
– 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y
2
- 36
≥
-36
minA = -36
⇔
y = 0
⇔
x
2
– 7x + 6 = 0
⇔
x
1
= 1, x
2
= 6.
3/ Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
2
956
2
xx −−
.
Giải : A =

2
956
2
xx −−
. =
569
2
2
+−
−
xx
=
4)13(
2
2
+−
−
x
.
Ta thấy (3x – 1)
2

≥
0 nên (3x – 1)
2
+4
≥
4 do đó
2
1

(3 1) 4x − +

≤

4
1
theo tính chất
a
≥
b thì
a
1

≤

b
1
với a, b cùng dấu). Do đó
4)13(
2
2
+−
−
x

≥
4
2−
⇒
A

≥
-
2
1
minA = -
2
1

⇔
3x – 1 = 0
⇔
x =
3
1
.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTLN của BT :
2
1
A
x 4x 9
=
− +
HD giải:
( )
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 2
x 4x 9 5 5

x 2 5
= = ≤ ⇔ =
− +
− +
.
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
2
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
2. Tìm GTLN của BT :
2
1
A
x 6x 17
=
− +
HD Giải:
( )
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 3
x 6x 17 8 8
x 3 8
= = ≤ ⇔ =
− +
− +
3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
3
A

2 x 2x 7
=
+ − + +
b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
12
683
2
2
+−
+−
xx
xx
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
( ) ( )
2 2
2
2 2 1 4 4
2 1
x x x x
x x
− + + − +
− +
= 2 +
2
2
)1(
)2(

−
−
x
x

≥
2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
( ) ( )
2 2 2
2
2 2
3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1
2 1 2 2 1
1 2 1 1
y y y y y y y
y y y y
y y
+ − + + + + − − + − +
= =
+ + − − +
+ − + +
= 3 -
y
2
+
2
1

y
= (
y
1

-1)
2
+ 2
minA = 2
⇔
y = 1
⇔
x – 1 = 1
⇔
x = 2
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:
2
2
1
P
1
x
x x
+
=
− +

2, (36/210) Tìm GTNN của bt :
2

2
2 2006
B
x x
x
− +
=
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt:
2
2
C
5 7
x
x x
=
− +
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a,
2
2
2 2
D
2 3
x x
x x
+ +
=
+ +
b,
2
2

2 1
E
2 4 9
x x
x x
+ −
=
+ +
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =
1
43
2
+
−
x
x
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
3
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
A =
1
144
2
22
+
−−+−
x
xxx

=
1
)2(
2
2
+
−
x
x
- 1
≥
-1
Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
Tìm GTLN A =
1
14444
2
22
+
−−−+
x
xxx
= 4 -
1
)12(
2
2
+
+
x

x

≤
4
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a,
2
A
2
x
x
=
+
b,
( )
2
3
2
B
2
x
x
=
+

3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a,
2
4 4
C
x x

x
+ +
=
Với x > 0; b,
5
3
2
D
x
x
+
=
Với x
> 0
4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a,
2
3
2
E x
x
= +
với x > 0; b,
3
2
1
F
+
=
x
x

Với x >
0
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:
( )
2
2 17
2 1
x x
Q
x
+ +
=
+
Với x > 0
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:
6 34
R
3
x x
x
+ +
=
+
Với x > 0
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:
3
2000
S
x
x

+
=
Với x > 0
III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x
3
+ y
3
+ xy biết rằng x + y = 1
sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A
A = (x + y)( x
2
–xy +y
2
) + xy = x
2
– xy - y
2
+ xy = x
2
+ y
2

Đến đây ta có nhiều cách giải
Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A
x + y = 1
⇒
x
2
+ 2xy + y

2
= 1 (1)
Mà (x – y)
2

≥
0 Hay: x
2
- 2xy + y
2

≥
0 (2)
Cộng (1) với (2) ta có 2(x
2
+ y
2
)
≥
1
⇒
x
2
+ y
2

≥

2
1

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
4
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
minA =
2
1
khi và chỉ khi x = y =
2
1
Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A
A = x
2
+ (1 – x)
2
= 2(x
2
– x) +1 = 2(x
2
-
2
1
)
2
+
2
1

≥

2

1
minA =
2
1
khi và chỉ khi x = y =
2
1
Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
Đặt x =
2
1
+ a thì y =
2
1
- a . Biểu thị x
2
+ y
2
ta được :
x
2
+ y
2
= (
2
1
+ a)
2
+ (
2

1
- a)
2
=
2
1
+2 a
2

≥

2
1
=> MinA =
2
1
⇔
a = 0
⇔
x=y =
2
1

Bài tập 1: Tìm Min A =
2 2
3 3 2014a ab b a b+ + − − +
Cách 1 Ta có: A=
2 2
2 1 2 1 1 2011a a b b ab a b− + + − + + − − + +
2 2

= a 2 1 2 1 1 2011a b b ab a b− + + − + + − − + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 1
= a 1 1 1 1 2011− + − + − − − +b a b b
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
= a 1 1 1 1 2011− + − + − − +b a b
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 1 3 1
a 1 2 1 2011
2 4 4
b b b
a
− − −
= − + − + + +
( )
2
2
3 1
1
= a 1 + 2011
2 4
b
b
−
−
 

− + +
 ÷
 
 Min A = 2011 khi
1
a 1 0
1
2
1 0
b
a b
b
−

− + =

⇔ = =


− =

Cách 2:
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 1 2
2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022
= a 1 1 2 4022
= + + − − + − + + − + + + + − + + +

− + − + + − +
a ab b a b a b b ab b a b
b a b
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
5
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
 Min 2A = 4022 khi
a 1 0
1 0 1
2 0
b a b
a b
− =


− = ⇔ = =


+ − =

=> Min A = 2011
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P =
2 2
3 3 3a ab b a b+ + − − +
Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT:
2 2 2
4 2 8 6 15 0x y z x y z
+ + − + − + =
Hướng dẫn Ta có:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
VT 2 1 4 8 4 6 9 1= x-1 2 2 3 1 1= − + + + + + − + + + + + − + ≥x x y y z z y z
Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:
1)
2 2 2
4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + + + + + =
2)
2 2 2
x 4 9 2 12 12 1994y z x y z+ + − − − +
Hướng dẫn Ta có:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1) VT 4 4 4 4 1 8 16 1
= x+2 2 1 4 1 1
x x y y z z
y z
= + + + + + + + + +
+ + + + + ≥
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986
= 1 2 3 3 2 1986 1986
x y y z z
x y z
− + + − + + − + +

− + − + − + ≥
Bài 4: CMR: Min A=2 Với A =
2 2
4 5 10 22 28m mp p m p− + + − +
Hướng dẫn Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
A = 4 4 2 1 10 20 27
= 2 2.5 2 25 1 2
= 2 5 1 2 2
m mp p p p m p
m p m p p
m p p
− + + − + + − +
− + − + + − +
− + + − + ≥
Bài 5: CMR: Max B = 4 Với
2 2
B 5 2 4 10 6a b a ab b= − − − + + −
Hướng dẫn Ta có:
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
6
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
2 2 2
B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b
( ) ( )
( )

2 2 2
= 4 - 4 4 6 9 2 2 1
 
− + + − + + − +
 
a ab b b b a b
( ) ( ) ( )
2 2
= 4 - 2 2 2 1 3
 
− + − + + −
 
a b a b b
( ) ( )
2 2
= 4 - 2 1 3 4
 
− + + − ≤
 
a b b
Bài 6: Tìm GTNN của
a)
2 2
A=a 5 4 2 5b ab b+ − − +
( Gợi ý
( ) ( )
2 2
A = a - 2b 1 4b+ − +
)
b)

2 2
B = x 3 3 2029y xy x y+ − − − +
( Gợi ý
( ) ( ) ( )
2 2 2
B = x-y 3 3 2011y x+ − + − +
)
c)
2 2 2
C 4 9 4 12 24 30x y z x y z= + + − + − +
( Gợi ý
( ) ( ) ( )
2 2 2
C = x+2 2 3 3 4 1y z+ + + + +
)
d)
2 2
D= 20x 18 24 4 12 2016y xy x y+ − − − +
( Gợi ý
( ) ( ) ( )
2 2
D= 4x-3y 2 1 3 2 2011x y+ − + − +
)
Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn :
( )
2 2 2 2
a b c d a b c d+ + + = + +
(*)
Ta có :
( )

( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
0
0
4 0
4 4 4 4 4 4 0
2 2 2 0
a b c d ab a b c
a b c d a b c d
a b c d ab ac ad
a b c d ab ac ad
a ab b a ac c a ad d a
a b a c a d a
+ + + = + +
⇔ + + + − + + =
⇔ + + + − − − =
⇔ + + + − − − =
⇔ − + + − + + − + + =
⇔ − + − + − + =
Dấu “=” sảy ra khi :
2 2 2 0 0a b c d a b c d= = = = ⇔ = = = =
BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn :
( )
2 2 2 2 2
2a b c d e a b c d e+ + + + = + + +
Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn :
2 2
1a b ab a b+ + = + +
Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn :
2 2
4 4 4 4 4 4 0a b ab a b+ + − + + =
Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn :
2 2 2
4 2 8 6 14x y z x y z+ + = − + −
Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn :
2 2
5 4 10 22 25m p mp m p+ = − + +

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
7
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :
1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)
2
+ ( x – 3)
2

ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)
2
+ (y – 1)

2
=2y
2
+2
≥
2
⇒
minA= 2
⇒
y=0
⇒
x=2
2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt
cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị
chẳng hạn : -A lớn nhất
⇔
A nhỏ nhất

1
B
lớn nhất
⇔
B nhỏ nhất với B > 0
Ví dụ : Tìm GTLN của
4
2 2
1
( 1)
x
A

x
+
=
+
(Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi
1
A
nhỏ nhất và
ngược lại)
Ta có :
1
A
=
2 2 4 2 2
4 4 4
( 1) 2 1 2
1
1 1 1
x x x x
x x x
+ + +
= = +
+ + +
.Vậy
1
A
≥
1
min
1

A
= 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0
3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã
biết
Bất đăng thức có tính chất sau
a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d
b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c
c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d) a > b và a, b, n > 0 thì a
n
> b
n

BĐT Cô si: a + b
≥
2
ab
; a
2
+ b
2

≥
2ab ; (a + b)
2
≥
4ab ; 2( a
2
+ b
2

)
≥
( a+ b)
2
Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a
2
+ b
2
) ( c
2
+ d
2
)
≥
(ac + bd)
2

Ví dụ Cho x
2
+ y
2
= 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )
2

≤
( 2
2
+3
2

).52
⇒
( 2x + 3y )
2

≤
13.13.4

⇒
2x + 3y
≤
26. Vậy maxA = 26
⇔
2 3
2 3 0
x y
x y
=


+ ≥

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
8
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Thay y =
3
2
x
vào x

2
+ y
2
= 52 ta được 4x
2
+ 9x
2
= 52.4
⇒
x
2
= 16
⇒
x=4 hoặc x= -4
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y
≥
0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y
≥
0
Vậy Max A = 26
⇔
x =4 , y = 6
3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y
N∈
thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)
2

– (x – y)
2
= 2005
2
- (x – y)
2

xy lớn nhất
⇔
x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất
⇔
x – y lớn nhất
giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1
≤
y
≤
x
≤
2004 nên 1
≤
x-y
≤
2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk
1 1 1
2x y

+ =
Tìm GTNN của bt:
A = x y+
Do x > 0, y > 0 nên
1 1
0, 0
yx
> >
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số
1 1
,
x y
ta có:
1 1 1 1 1
.
2 x y x y
 
+ ≥
 ÷
 
Hay
1 1
4
xy
≥
=>
4xy ≥
Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 =>
0, 0x y≥ ≥
. áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

2 2 4 4x y xy+ ≥ ≥ =
Vậy: Min A = 4 khi :
4
1 1 1
2
x y
x y
x y
=


⇔ = =

+ =


VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức :
2 2
A x x 1 x x 1= − + + + +
Ta có:
2
2
1 3 3
x x 1 x x R
2 4 4
 
− + = − + ≥ ∀ ∈
 ÷
 

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
9
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014

2
2
1 3 3
x x 1 x x R
2 4 4
 
+ + = + + ≥ ∀ ∈
 ÷
 

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số
2 2
x x 1, x x 1− + + +
ta có :
2 2 2 2 4 24
x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 2 x x 1 2
− + + + + ≥ − + + + = + + ≥
 Max A = 2 khi
4 2
2 2
x x 1 1
x 0
x x 1 x x 1

+ + =


⇔ =

− + = + +


VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x y z
A
y z x
= + +
với x, y, z > 0.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
3
x y z x y z
A 3 . . 3
y z x y z x
= + + ≥ =
Do đó
x y z x y z
min 3 x y z
y z x y z x
 
+ + = ⇔ = = ⇔ = =
 ÷
 
Cách 2 : Ta có :
x y z x y y z y
y z x y x z x x
 
 

+ + = + + + −
 ÷  ÷
 
 
. Ta đã có
x y
2
y x
+ ≥
(do x, y >
0) nên để
chứng minh
x y z
3
y z x
+ + ≥
ta chỉ cần chứng minh :
y z y
1
z x x
+ − ≥
(1)
(1) ⇔ xy + z
2
– yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
⇔ xy + z
2
– yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm
được giá trị nhỏ nhất của

x y z
y z x
+ +
.
VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z =
1.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3.
3
xyz
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
10
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.
3
(x y)(y z)(z x)+ + +

(2)
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9.
3
A
⇒ A ≤
3
2
9
 
 ÷
 
max A =

3
2
9
 
 ÷
 
khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
.
VD 5: Tìm GTNN của
xy yz zx
A
z x y
= + +
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz xy yz
2 . 2y
z x z x
+ ≥ =
.
Tương tự :
yz zx zx xy
2z ; 2x
x y y z
+ ≥ + ≥
. Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = 1 với x = y = z =
1

3
.
VD 6: Tìm GTNN của
2 2
1 2
A 4xy
x y xy
= + +
+
với : x > 0, y > 0, x + y < 1
Ta có:
( )
( )
( )
2
4
2
1 1 1 1 1 4
2 .2 4
1 1 1
2
x y
xy x y xy
x y xy
x y xy x y x y
x y xy
+

≥ ⇒ + ≥


 

⇒ + + ≥ = ⇒ + ≥

 ÷
+
 

+ ≥


Ta có:
2 2 2 2
1 2 1 1 1 5
A 4xy 4xy
x y xy x y 2xy 4xy 4xy
   
= + + = + + + +
 ÷  ÷
+ +
   

=>
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 1 5 4 5 11
A 2 4xy. 2 11
x 2xy y 4xy
x y x y x y x y

≥ + + = + + = ≥
+ +
+ + + +
VD 7: : Cho
1
2
x ≥ −
, Tìm GTLN của
2
A = 2x 5 2 + 2 x+3 - 2x x+ +
Giải : Ta có :
( ) ( )
2
A = 2x 5 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1 2 + 2 x+3 - 2x x x
+ + + +
Với
1
2
x ≥ −
ta
có:
2x 1 0

2 0 x
+ ≥


+ >

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô

11
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số
2x 1, x+2 +
Ta có:
( ) ( )
2x 1 x+2
2x 1 x+2
2
+ +
≥ +

Hay :
( ) ( )
3x 3
2x 1 x+2
2
+
≥ +
Dấu “ = ” xảy ra khi
2x 1 x+2 x=1
+ = ⇔
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số
x 3, 4 +
Ta có:
( )
x 3 4
4 3 2 3
2
x x

+ +
≥ + = +
Hay :
x 7
2 3
2
x
+
≥ +
. Dấu “ = ” xảy ra khi
x 3 4 x=1
+ = ⇔
Do đó:
x 7
A
2
+
≤ +
3x 3
2
+
- 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi
x=1
VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của:
1 4 9
S =
x y z
+ +
Ta có: S =
( )

1 4 9
x + y + z
x y z
 
+ +
 ÷
 
=
4 4 9 9
1+4+9+
y x z y x z
x y y z z x
   
 
+ + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương
4
,
y x
x y
ta có :
4 4
2 . 4
y x y x
x y x y
+ ≥ =

Tương tự ta có :
4 9 4 9
2 . 12
z y z y
y z y z
+ ≥ =
;
9 9
2 . 6
x z x z
z x z x
+ ≥ =
 S
≥
1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
Dấu “=” sảy ra khi :
2 2
2 2
2 2
4
1
4
3
2
4 9
4 9
1
3
6
9

1
9
1
1
2
1
y x
x y
y
y x
y x
z y
z y
z x x
y z
x z
x y z
x z
x y z
z
z x
x y z

=


=

=



=




=
=
   
⇔ ⇔ = ⇔ =
   
=
   
+ + =

  
=
+ + =
=

 


+ + =

Vậy Min S = 36 khi
1 1 1
, ,
3 6 2
y x z= = =

Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong
đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân
dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức
đó
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
12
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của
A 3 5 7 3x x= − + −
, ĐKXĐ :
3 5 0
5 7
7 3 0
3 3
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥

Bình phương hai vế ta có : A
2
= 2 +
( ) ( )
2 3 5 7 3x x− −
Với

5 7
3 3
x≤ ≤
. áp dụng bất đẳng thức côsi cho
( )
3 5x −
và
( )
7 3x−
ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3 5 7 3 2 3 5 7 3x x x x− + − ≥ − −
hay
( ) ( )
2 2 3 5 7 3x x≥ − −
 A
2

≤
4 =>A
≤
2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2
VD2: Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
A = -x 2 8 -x 2x x+ + − + +
(*)
ĐKXĐ :
( ) ( )
( ) ( )
2

2
2 4 0
-x 2 8 0 2 4
1 2
1 2
1 2 0
-x 2 0
x x
x x
x
x
x x
x

+ − ≤

+ + ≥ − ≤ ≤

 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
  
− ≤ ≤
+ − ≤
+ + ≥





Khi đó

( )
2 2
-x 2 8 -x 2 6 0x x x+ + − + + = + >
=> A > 0
Từ (*) =>
( )
(
)
2 2 2 2 2
A = -x 2 8 -x 2 2 -x 2 8. -x 2x x x x+ + + + + − + + + +


( ) ( ) ( ) ( )
2
= -2x 3 10 2 2 4 1 2x x x x x+ + − + − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= 2 2 1 4 2 2 2 2 . 1 4x x x x x x x x− + + + − + − − + + −

(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
= 4 2 2 2 . 1 4 1 4 2x x x x x x x− − − + + − + + − +

( ) ( )
(
)

2
2
4 1 4 2 2x x x= − − + − + ≥
A =
2

( ) ( )
2
4 1 4 0x x x x⇔ − = + − ⇔ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
1 1y x x= − + +
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số :
2 4y x x= − + −
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số :
A 5 23x x= − + −
Bài 4: Tìm GTLN của hàm số :
A 2 3 23 2x x= − + −
Bài 5: Tìm GTLN của hàm số :
A 5 7 17 5x x= − + −
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số :
A 3 2 20 3x x= − + −
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
13
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Bài 7:Tìm GTLN của :
A x 1 y 2= − + −
biết x + y = 4
Bài 8 Tìm GTNN của :
2 2

A = -x 4 21 -x 3 10x x+ + − + +

Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của :
x y z
A =
y z x
+ +
với x, y, z dương và x + y + z
≥
12
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của :
A x 4 y 3= − + −
biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x - 9
A =
5x
Giải: ĐKXĐ:
9x
≥
Ta có:
x - 9
A =
5x
=
1 x - 9
x - 9
3
.3

1
2 3
3
6
5x 5 5 30
x
x x
 
+
 ÷
 
≤ = =
Dấu “=” xảy ra khi
x - 9
3
18
3
9
x
x

=

⇔ =


≥

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

7x - 5
A =
7x-9
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3
3
x - 9
B =
27x
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của
chúng là một hằng số:
1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau
VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
4
3
3x 16
A =
x
+

Giải : Ta có
4
3 3 3
3x 16 16 16
A = 3x x x x
x x x
+
= + = + + +
Áp dụng BĐT Cô-si Ta có :
4

3 3
16 16
A = x+x+x+ 4 . . . 4.2 8
x x
x x x≥ = =
Vậy Min A = 8
3
16
2x x
x
⇔ = ⇔ =
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
14
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min
2
A = x y( 4 - x - y )
với
, 0 và x + y 6x y ≥ ≤
Xét
0 4x y≤ + ≤
Ta có :
4
x
+y+ 4 - x - y
x
2 2
A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 4
2 2 4
x

x
 
+
 ÷
 
≤ =
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
Dấu “=” xẩy ra khi
x
= y = 4 - x - y y = 1 ; x =2
2
⇔
Xét
4 6x y≤ + ≤

Rễ thấy: 4 – x - y
2≤ −
( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6
=>
2
A = x y( 4 - x - y )
đạt GTNN khi x
2
y đạtGTLN
Ta có :
( )

3
3
2
2 x+y
x+x+2y
3
x.x.2y
3
x y =
2 2 2
 
 
 ÷
 ÷
   
≤ ≤
=32 hay x
2
y
≤
32 (2)
Từ (1) và (2) =>
2
x y( 4 - x - y )
≥
-64 Dấu ‘=’ xảy ra khi
6 4
2 2
x y x
x y y

+ = =
 
⇔
 
= =
 
VD3 . Tìm GTLN của A = x
2
(3 – x) biết x ≤ 3.
Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.
x
2
.
x
2
.(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho 3 số không âm
x
2
,
x
2
, (3 – x) ta được :
x
2
.
x
2
.(3 – x) ≤
3

x x
3 x
2 2
1
3
 
+ + −
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
.
Do đó A ≤ 4 (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y
≥
6 Tìm GTNN của
12 16
P 5 3x y
x y
= + + +
Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của
3
2000
N
x
x
+
=

Bài 3( 68/ 28) Cho x
≥
, Tìm GTNN của
2
2 17
Q
2( 1)
x x
x
+ +
=
+
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
15
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của
6 34
M
3
x x
x
+ +
=
+
Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của
2 2
1,2
Q
x xy y
x y

+ +
=
−
Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của
2 3
B x y=
2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến
sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.
VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của
9 2
B
2
x
x x
= +
−
Ta có :
9 2 9 2
B 1 1 2 . 7
2 2
x x x x
x x x x
− −
= + + ≥ + =
− −
 Min B= 7
⇔
9 2 1
2 2
x x

x
x x
−
= ⇔ =
−
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến )
Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của
3 4
B
1 x x
= +
−
Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của
25
A 4
1
x
x
= +
+
Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức:
2
2x 6 5
A =
2x
x− +
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức:
x - 4
B =
x

Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức:
2
x 3 4
A =
x
x− +
(Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức:
1 3
A =
x+1 2
x
+
( với x > -1 )
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức:
2
B =
x-1 2
x
+
( với x > 1 )
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức:
5
C =
2x-1 3
x
+
( với x >
1
2

)
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
16
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức:
5
D =
1 - x
x
x
+
( với 0 < x < 1 )
Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho:
VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu
thức:
2 2 2
P
x y z
y z z x y x
= + +
+ + +
Ta có :
2
x
y z+
+
4
y z+
≥
2

2
. 2.
4 2
x y z x
x
y z
+
= =
+

2
y
x z+
+
4
x z+
≥
2
2
. 2.
4 2
y x z y
y
x z
+
= =
+

2
z

y x+
+
4
y x+
≥
2
2
. 2.
4 2
z y x z
z
y x
+
= =
+
=>
2 2 2
4 4 4
x y z y z x z y x
x y z
y z z x y x
 
+ + +
+ + + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
Hay:
2 2 2
2

x y z x y z
x y z
y z z x y x
 
+ +
+ + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
=>
2 2 2
P 1
2 2
x y z x y z x y z
x y z
y z z x y x
+ + + +
= + + ≥ + + − ≥ =
+ + +
Vậy Min P = 1
⇔
2
2
2
4
2
4 3
4
x y z
y z

y x z
x y z
x z
z y x
y x

+
=

+


+

= ⇔ = = =

+


+
=

+


Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào
2 2 2
z x y
, ,
y+x y+z z+x

ta vẫn khử
được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra
đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất.
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
17
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn
a b
1
x y
+ =
(a và b là hằng số
dương).
Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =
( )
a b ay bx
x y a b
x y x y
 
+ + = + + +
 ÷
 
.
Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương :
ay bx ay bx
2 . 2 ab
x y x y
+ ≥ =
.
Do đó

( )
2
A a b 2 ab a b≥ + + = +
.
( )
2
min A a b= +
với
ay bx
x y
x a ab
a b
1
x y
y b ab
x, y 0

=



= +
 
+ = ⇔
 
= +





>


Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
( )
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x. y. a b
x y x y
 
 
= + = + + ≥ + = +
 ÷
 ÷
 
 
.
Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A.
VD3 Tìm GTNN của
2 2 2
x y z
A
x y y z z x
= + +
+ + +
biết x, y, z > 0 ,
xy yz zx 1+ + =
.
Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4:

2 2 2
x y z x y z
x y y z z x 2
+ +
+ + ≥
+ + +
. Theo bất đẳng thức
Cauchy
x y y z z x
xy ; yz ; zx nên x y z xy yz zx
2 2 2
+ + +
≥ ≥ ≥ + + ≥ + +
.
xy yz zx
x+y+z 1
hay
2 2 2
+ +
≥ =
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
18
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
min A =
1
2

1
x y z
3

⇔ = = =
.
VẬN DỤNG BDT
A B A+B+ ≥
ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm GTNN của hàm số :
2 2
2 1 2 1y x x x x= + + + − +
Cách 1:
2 2
2 1 2 1 1 1y x x x x x x= + + + − + = + + −
Nếu: x < -1 thì
1 1 1 1 2 2y x x x x x= + + − = − − − + = − >
Nếu:
-1 x 1≤ ≤
thì
1 1 1 1 2y x x x x= + + − = + − + =
Nếu: x > 1 thì
1 1 1 1 2 2y x x x x x= + + − = + + − = >
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi
-1 x 1≤ ≤
Cách 2 : áp dụng BĐT
a b a b+ ≥ +
( Dấu “=” sảy ra khi a.b
0
≥
)
Ta có :
1 1 1 1 2y x x x x= + + − ≥ + + − =
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi

-1 x 1≤ ≤
Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x
2
y
Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :
A = x(4 -2x ) = 2 –
( ) ( )
2 2
2 2 2. 2 2x x
 
− +
 
 
=
( )
2
2 2 2x− −
=> Max A = 2 khi
1
2 2 0
2
2 4
x
x
y
x xy

=

− =


⇔
 
=
+ =




Cách 2: Ta có : A =
1
.2 .
2
x xy
. Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho
2 số 2x, xy ta có:
( )
2
2
2
2
2 2
2 . 2 .
2 2 4.2
x xy
x xy x xy
x xy x xy x y
+
+ +
 

≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 ÷
 
Thay số
ta có :
2
2 x y≥
=A
Vậy Max A =2 khi
2 1
2 4 2
x xy x
x xy y
= =
 
⇔
 
+ = =
 
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
19
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Bài 1: Tìm GTNN của HS: a,
2 2
4 4 1 4 12 9y x x x x= − + + − +
b,
2 2
4 4 6 9y x x x x= + + + − +
Bài 2: Tìm GTNN của HS: a,

2 2
4 20 25 8 16y x x x x
= + + + − +
b,
2 2
25 20 4 25 30 9y x x x x
= − + + − +
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của
A x 2 x 1 x 2 x 1= − − + + −
Suối Ngô, Ngày 25,26,28/09/2012-01,02/10/2012
CHUYÊN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC
Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.
CMR: ab + bc + ca
≤
a
2
+b
2
+c
2
< 2.(ab + bc + ca).
Giải:
Ta có:
a
2
+b
2
+c
2
- ab + bc + ca

[ ]
.0)()()(.
2
1
222
≥−+−+−= accbba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy: ab + bc + ca
≤
a
2
+b
2
+c
2
.
Lại có:
a < b + c
⇒
a
2
< a.(b + c) (1)
Tương tự: b
2
< b.(a + c) (2) ,c
2
< c.(b + a) (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được:
a
2

+b
2
+c
2
< a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca).
Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR:
xyzyzzxz ≤−+− ).().(
(1).
Giải:
Đặt:



+=
+=
nzy
mzx
(m,n,z > 0).
Khi đó (1) trở thành:
)).(( nzmzznzm ++≤+
( )
zn
z
m
nm +







+≤+⇔ .1
(2).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
( )
2
2
1 .( ) . 1 .( ) .
m m m
n z n z n m n z n m
z z z
 
   
+ + ≥ + = + ⇔ + + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm).
Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR:
( )
.5
1
.8
44
≥++
xy
yx
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô

20
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Giải:
Từ giả thiết
.0,
01
0
>⇒



>=+
>
yx
yx
xy
Ta có:
).1(4
1
4
1
.21 ≥⇒≥⇒≥+=
xy
xyxyyx
Lại có:
( )
( )
2
2
2

4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2
8. 4.(1 1 ).( ) 4.( ) (1 1 ).( ) 1.x y x y x y x y x y
 
 
+ = + + ≥ + = + + ≥ + =
 
 
Suy ra: 8.(x
4
+ y
4
)
1≥
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
( )
.541
1
.8
44
=+≥++
xy
yx
Ta có đpcm.
Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương:
x = (a + b + c)
2
- 9ab ; y = (a + b + c)
2
- 9cb ; z = (a + b + c)

2
- 9ac.
Giải:
Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)
2
- 9.(ab + bc + ca) = 3.(a
2
+ b
2
+c
2
- ab - bc - ca) =
=
[ ]
.0)()()(.
2
3
222
>−+−+− accbba
(Do a
≠
b
≠
c
≠
a).
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương.
Bài 5: Nếu




>
≥+
0
1
ab
ba
thì
8
1
44
≥+ba
.
Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3.
Bài 6:CMR:
( ) ( ) ( ) ( )
4488221010
yxyxyxyx ++≥++
.
Giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
4488221010
yxyxyxyx ++≥++
( ) ( )
4444121288221212
yxyxyxyxyxyx +++≥+++⇔
( ) ( )
44448822
yxyxyxyx +≥+⇔

( )
0.
62268822
≥−−+⇔ yxyxyxyx
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 6 6 2 2 2 2 4 2 2 4
. . 0 . . 0x y x y x y x y x y x x y y⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≥
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.
Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :
P = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc < 0.
Giải:
Có:P = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = (a + b + c).(a
2
+ b
2
+ c
2

- ab - bc - ca) < 0.
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
21
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Bài 8:CMR:
4
1
)12(
1

25
1
9
1
2
<
+
+++=
n
A
với
.1, >Ν∈ nn
Giải:
Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:







++
+
+
<
+
)22).(12(
1
)12.(2
1
.
2
1
)12(
1
2
nnnn
n
Áp dụng ta có:
.
4
1
22
1
2
1
.
2
1
22
1

12
1

4
1
3
1
3
1
2
1
.
2
1
)22).(12(
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
.
2
1
<







+
−=






+
−
+
++−+−=
=






++
++++<
nnn
nn
A
Ta có đpcm.
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì:
pq

qp
qp
≥
+
+
22
.
Giải:
Có:
( ) ( )
.0
.
2
22
≥
+
++−
=−
+
+
qp
qpqpqp
pq
qp
qp
Ta có đpcm.
Bài 10:CMR:
kk
k
1

1
11
2
−
−
<
với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:
n
n
1
2
1

3
1
2
1
1
222
−<++++
với n >1.
Giải:
Ta có:
kkkk
k
1
1
1
).1(
11

2
−
−
=
−
<
.
Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được:
.
1
2
1
1
1

3
1
2
1
2
1
1
1
1
1

3
1
2
1

1
222
nnn
n
−=






−
−
++−+−+<++++
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR:
.022
22
≥−
−
+
yx
yx
Giải:
Ta có:
.022
2
).(.2
2
22
≥=

−
−≥
−
+−=
−
+
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Ta có đpcm.
Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn:
.cba
≤≤
CMR:
( )
.9
2
bccba ≤++
Giải:
Từ giả thiết bài ra ta có:
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
22
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
( )
)1(9254
0)4).((042
2

22
bccbbccb
cbcbcbcabb
≤+⇒≤+⇒
≤−−⇒>−⇒>+≥
Mà: (a + b + c)
2

≤
(2b + c)
2
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)
2

≤
(2b + c)
2

≤
9bc.
Ta có đpcm.
Bài 13:
Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1.
Giải:
Ta có:
.1
2
2

.
2
2
.
2
2
)2().2.().2.()2().2().2.(
222
=






−+






−+






−+

≤
≤−−−=−−−
ccbbaa
ccbbaaaccbba
Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1.
Ta có đpcm.
Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR:
caca
c
baba
b
−−+
<
−−+
.
Giải:
Ta có:
caca
c
baba
b
−−+
<
−−+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2. 2 2.
a b a b a c a c
a b a b a c a c
a a b a a c a b a c b c

+ + − + + −
⇔ < ⇔ + + − < + + −
⇔ + − < + − ⇔ − < − ⇔ >
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy ta có đpcm.
Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn:
.1
222
≥++ zyx
CMR:
.1
333
≥++
x
z
z
y
y
x
Giải:
Áp dụng BĐT Cô Si:
2
33
2.2 xxy
y
x
xy
y
x
=≥+

(1).
Tương tự:
2
3
2yyz
z
y
≥+
(2) và
2
3
2zxz
x
z
≥+
(3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có:
).(2
222
333
zyxzx
x
z
yz
z
y
xy
y
x
++≥+++++

Suy ra:
.1)()().(2
222222
333
≥++≥++−++≥++ zyxzxyzxyzyx
x
z
z
y
y
x
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
23
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Vậy ta có đpcm.
Suối Ngô, Ngày 03,05,08,09,10/10/2012
CHUYÊN ĐỀ 3: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN THỨC
Các công thức biến đổi căn thức.
a.
2
A A=
b.
. ( 0; 0)AB A B A B
= ≥ ≥
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B

= ≥ >
d.
2
( 0)A B A B B= ≥
e.
2
( 0; 0)A B A B A B
= ≥ ≥


2
( 0; 0)A B A B A B
= − < ≥
f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
= ≥ ≠
i.
( 0)
A A B
B
B
B
= >
k.
2
2

( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
m.
2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
Bài 1:
Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

 
+ −
 
− + +
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
với x>0 ,x
≠
1
a)Rút gọn A
b)Tính A với a =
(
)
( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15
+ − −
HD: a) A= 4a b) Xong
Bài 2: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +

− + + −
với x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rút gọn A. b. Tìm GTLN của A .
HD: a)A =
1
x
x x
+ +
   
≠ = ⇔ + + ⇔ +
 ÷  ÷
+ +
   
+ +
 
+ = ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
b)NÕu x = 0 th× A = 0
x 1 1 1
NÕu x 0 th× A = . A max x 1 min x
1
x 1 x x
x 1
x
1 1 1

Theo bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã: x min 2 x 1.Khi ®ã Amax =
3
x x
x
x
Bài 3:
Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
với x > 0 , x
≠
4.
a)Rút gọn A. b)So sánh A với
1
A

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô

24
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
HD: a) A =
9
6
x
x
+

( )
( )
2
9
1 1
)XÐt hiÖu: A - 0 A
A A
6 9
x
b
x x
−
= = ≥ ⇒ ≥
+
Bài 4:
Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x

x
x x x x
   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   

a)Tìm x để biểu thức A xác định. b)Rút gọn A.
c)với giá trị nào của x thì A < 1. d)Tìm
x Z∈
để
A Z∈
HD a) x
≥
0 , x
≠
9, x
≠
4 b)A=
3
2x −
c)Xong
d)Xong
Bài 5: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3

x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
với x
≥
0 , x
≠
1.
a)Rút gọn A. b)Tìm GTLN của A. c)Tìm x để A =
1
2
d)CMR : A
2
3
≤
.
HD:a) A =
2 5
3
x
x
−
+
( )
( )
− +
−
   

= = = − + ⇔ >
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
⇔ + ⇔
17 5 3
2 5 17 17 17 17
) 5 . max max. V× 0 nªn max
3 3 3 3 3 3
3 min x=0
x
x
b A A
x x x x x x
x
d)Xét hiệu A – 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dương.
Các bài tập luyện:
Bài 6: Cho A =
( )
2
:
− +
 
−
−
+
 ÷
 ÷
−
− +

 
x y xy
x x y y
x y
y x
x y x y
với x
≥
0 , y
≥
0,
x y≠
a)Rút gọn A. b)CMR : A
≥
0
HD:
)
=
− +
xy
a A
x xy y

2
) 0
3
2 4
Víi x,y 0= = ≥ ≥
− +
 

− +
 ÷
 ÷
 
xy xy
b A
x xy y
y
y
x
Bài 7: Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Với x > 0 , x
≠
1.

a) Rút gọn A. b)Tìm x để A = 6 HD:a) A =
( )
2 1x x
x
+ +
b)
Bài 8: Cho A =
4 3 2
:
2 2 2
   
− +
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − −
   
x x x
x x x x x
với x > 0 , x
≠
4.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5
−
HD:a)A =
1 x−
) b)
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
25