Giáo án toán lớp 12 ban cơ bản phần giải tích

GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
Ngày soạn 07/08/2014: Ngày giảng
12B7 12B8 12B9
17/08 15/08 15/08
Tiết 1.
ÔN TẬP VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC, TAM THỨC BẬC HAI.
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Qua bài giảng, học sinh:
- Nhớ lại định lý về dấu của nhị thức.
- Nhớ lại định lý về dấu của tam thức bậc hai.
2. Kỹ năng:
-Vận dụng định lý về dấu của nhị thức, tam thức bậc hai vào việc xét dấu của nhị thức
và tam thức bậc hai.
3. Tư duy, thái độ:
- Xây dựng lư duy logíc, biết quy lạ về quen.
- Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận.
II. Chuẩn bị :
1. Thực tiễn:
Học sinh đã nắm được lý về dấu của nhị thức, tam thức bậc hai ở lớp 10.
2. Phương tiện: Hệ thống bài tập và câu hỏi ôn tập.
III. Tiến trình dạy học:
1. Ổn định tổ chức lớp.
2. Dạy học bài mới:
Hoạt động 1.
Ôn tập lý thuyết:
Định lý: Cho f(x) = ax+b . Khi đó:
• a>0 thì
( ) 0,
b

f x x
a
> ∀ > −
,
( ) 0,
b
f x x
a
< ∀ < −
.
• a<0 thì
( ) 0,
b
f x x
a
> ∀ < −
,
( ) 0,
b
f x x
a
< ∀ > −
.
Định lý: Cho tam thức Cho f(x)=ax
2
+bx+c (a
≠
0),
∆
=b

2
-4ac.
• Nếu
∆
<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với
x
∀ ∈
¡
.
• Nếu
∆
=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =
2
b
a
−
• Nếu
∆
>0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x<x
1
hoặc x>x
2
, trái dấu với hệ số
a khi x
1
<x<x
2
trong đó x
1
, x

2
(x
1
<x
2
) là hai nghiệm của f(x).
Hoạt động 2.
Hệ thống bài tập:
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 1
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
1. Lập bảng xét dấu của các biểu thức:
a)
4 3
( )
2 1
x
f x
x
−
=
+
b)
2
( ) ( 2) (3 )f x x x x= − −

* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
a)
4 3

( )
2 1
x
f x
x
−
=
+
Nhì
n vào bảng xét dấu của f(x), ta có:
1 4
( ) , ( ; )
2 3
f x x
> ∀ ∈ −

1 4
( ) 0, ( ; ) ( ; )
2 3
f x x< ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞
b)
2
( 3)
( )
( 5)(1 )
x x
f x
x x
−
=

− −
Nhì
n vào bảng xét dấu của f(x), ta có:
( ) 0, ( ;0) (1;3) (3;5)f x x
> ∀ ∈ −∞ ∪ ∪


( ) 0, (0;1) (5; )f x x
< ∀ ∈ ∪ +∞
2. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) f(x)=3x
2
-2x+1 b) f(x)= -x
2
+4x-1
c)
2
3
( ) 3
4
f x x x
= − +
d)
2
( ) (1 2) 2 1 2f x x x
= − − + +
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
a) f(x)=3x
2
-2x+1

Ta có:
3 0a
= >
;
' 2
( 1) 3 2 0∆ = − − = − <
( ) 0,f x x
⇒ > ∀ ∈
¡
b) f(x)= -x
2
+4x-1
Ta có: a=-1<0;
' 2
2 ( 1).( 1) 2 0∆ = − − − = >
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 2

0 1 3 5
_
++
_
+
+
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt:
1
2 2x = − −
;

2
2 2x
= −
( ) 0, ( 2 2; 2 2)f x x
⇒ > ∀ ∈ − − −

( ) 0, ( ; 2 2) ( 2 2)f x x
< ∀ ∈ −∞ − − ∪ −
c), d): Giải tương tự.
3. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn luôn dương:
a) f(x)=(m
2
+2)x
2
-2(m+1)x+1 b) f(x)=(m+2)x
2
+2(m+2)x+m+3
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
a) f(x)=(m
2
+2)x
2
-2(m+1)x+1
Ta có:
[ ]
2
' 2
( ) , ( 1) ( 1) 0f x x m m> ∀ ∈ ⇔ ∆ = − + − + <¡
b) f(x)=(m+2)x
2

+2(m+2)x+m+3
Ta có:
' 2
2 0
( ) 0,
( 2) ( 2)( 3) 0
m
f x x
m m m
+ >

> ∀ ∈ ⇔

∆ = + − + + <

¡

Củng cố bài học:
- Giáo viên hệ thống lại hai định lý về dấu của nhị thức, tam thức bậc hai.
- Giáo viên ra bài tập về nhà:
Bài tập về nhà:
1. Xét dấu của các biểu thức:
a)
( ) (4 1)( 3 4)f x x x
= + − +
b)
(2 1)(3 5)
( )
4 7
x x

f x
x
− +
=
− +
.
2. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:
a)
2 2
( ) 2 2 2 1f x x m x m
= − + − −
b) f(x)= (m-2)x
2
-2(m-3)x+m-1.



Ngày soạn07/08/2014: Ngày giảng
12B7 12B8 12B9
18/08 16/08 15/08
Tiết 2.
ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Qua bài giảng, học sinh:
- Nhớ lại các quy tắc tính giới hạn của hàm số.
- Nhớ lại các quy tắc tính đạo hàm.
2. Kỹ năng:
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 3

GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
-Vận dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số và các quy tắc tính đạo hàm vào giải các
bài tập tính giới hạn hàm số, tính đạo hàm của một hàm số .
3. Tư duy, thái độ:
- Xây dựng lư duy logíc, biết quy lạ về quen.
- Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận.
II. Chuẩn bị:
1. Thực tiễn:
Học sinh đã nắm được các quy tắc tính giới hạn của hàm số và các quy tắc tính đạo hàm
ở lớp 11.
2. Phương tiện: Hệ thống bài tập và câu hỏi ôn tập.
III. Tiến trình bài học:
1. Ổn định tổ chức lớp.
2. Dạy học bài mới:
Hoạt động 1.
Ôn tập lý thuyết về quy tắc giới hạn của tích và của thương.
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x

f x g x
→
L>0
+∞
+∞
−∞
−∞
L<0
+∞
−∞
−∞
+∞
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
Dấu của
( )g x
0
( )
lim
( )
x x
f x

g x
→
0
∞
Tuỳ ý 0
L>0 0 +
+∞
-
−∞
L<0 0 +
−∞
-
+∞
L
0
≠
∞
Tuỳ ý 0
Hoạt động 2.
Bài tập:
1. Tính các giới hạn sau:
a)
3 2
lim ( 3 2 4)
x
x x x
→+∞
− + +
b)
4 2

lim ( 5 3)
x
x x
→−∞
− + −
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
a)
3 2 3
2 3
3 2 4
lim ( 3 2 4) lim (1 )
x x
x x x x
x x x
→+∞ →+∞
− + + = − + + = +∞
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 4
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
b)
4 2 4
2 4
5 3
lim ( 5 3) lim ( 1 )
x x
x x x
x x
→−∞ →−∞
− + − = − + − = −∞

2. Tính các giới hạn sau:
a)
2
3 1
lim
2
x
x
x
−
→
− +
−
b)
2
3 1
lim
2
x
x
x
+
→
− +
−
c)
2
2
1

3 1
lim
( 1)
x
x x
x
→
+ −
−
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
a)
2
3 1
lim
2
x
x
x
−
→
− +
−
Ta có:
2
lim( 3 1) 5
x
x
−
→
− + = −

;
2
lim ( 2) 0
x
x
−
→
− =
;
2 0, 2x x
− < ∀ <

2
3 1
lim
2
x
x
x
−
→
− +
⇒ = +∞
−
b), c): Giải tương tự.
Củng cố bài học:
- Giáo viên hệ thống lại các quy tắc tính giới hạn của tích và của thương.
- Giáo viên ra bài tập về nhà:
Bài tập về nhà:
1. Tính cá giới hạn sau:

a)
3 2
lim ( 2 3 4)
x
x x x
→−∞
− + − +
b)
4 2
lim ( 2 5)
x
x x
→+∞
− +
2. Tính các giới hạn sau:
a)
2
3
3 1
lim
3
x
x x
x
−
→
+ +
−

b)

2
3
3 1
lim
3
x
x x
x
+
→
+ +
−
Hoạt động 3.
Ôn tập đạo hàm của các hàm số sơ cấp và đạo hàm của hàm hợp.
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp
'
0y c y
= ⇒ =
'
ax yy a
= ⇒ =
' '
au yy au
= ⇒ =
' 1n n
y x y nx
−
= ⇒ =
' 1 '
.

n n
y u y nu u
−
= ⇒ =
'
2
1 1
y y
x x
= ⇒ = −
'
'
2
1 u
y y
u u
= ⇒ = −
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 5
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
'
1
2
y x y
x
= ⇒ =
'
'
2

u
y u y
u
= ⇒ =
'
sinx y osxy c
= ⇒ =
' '
sinu y osuy u c
= ⇒ =
'
osx y sinxy c
= ⇒ = −
' '
osu y sinuy c u
= ⇒ = −
'
2
1
t anx y
os
y
c x
= ⇒ =
'
'
2
t anu y
os
u

y
c u
= ⇒ =
'
2
1
cotx y
sin
y
x
= ⇒ = −
'
'
2
cotu y
sin
u
y
u
= ⇒ = −

Hoạt động 4.
Ôn tập đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
Định lý:
' ' '
( )u v u v
± = ±
;
' ' '
( . )u v u v v u= +

;
' '
'
2
( )
u u v v u
v v
−
=
Hoạt động 5.
Bài tập:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3 2
2 4 1y x x x
= − + +
b)
4 2
5 7y x x
= − +
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
a)
3 2
2 4 1y x x x
= − + +
' 2
6 8 1y x x
⇒ = − +
b)
4 2

5 7y x x= − +
' 3
4 10y x x
⇒ = −

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 3
( 2 )y x x
= −
b)
sin( 1)y x
= +
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
a)
2 3
( 2 )y x x
= −
' 2 2 2 '
3( 2 ) ( 2 )y x x x x
⇒ = − −

2 2 2 2
3( 2 ) (2 2) 6( 2 ) ( 1)x x x x x x
= − − = − −

b)
sin( 1)y x
= +
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi

Trang 6
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
' '
os( x 1)
( 1) os( x 1)
2
c
y x c
x
+
⇒ = + + =
Củng cố bài hoc:
Giáo viên hệ thống lại các công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp và đạo
hàm của các hàm hợp.
Giáo viên ra bài tập về nhà:
Bài tập về nhà:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
2 4 5y x x
= − + −
b)
2 1
sinx
x x
y
− +
=
a)

2
tan 3y x x
= +
Hoạt động 6.
Ôn tập về ứng dụng đạo hàm.
Định lý: Cho hàm sô y=f(x) có đồ thị (C). Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là một điểm thuộc (C). Khi đó tiếp
tuyến của (C) tại M
0
có phương trình dạng:

'
0 0 0
( )( )y f x x x y
= − +
Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) ta phải xác định được 3 yếu
tố: x
0
, y
0
,
'
0
( )f x
.

Hoạt động 7.
Bài tập:
1. Lập phương trình tiếp tuyến với parabol (P): y
2
=-x
2
+4x-3 tại những điểm mà (P) cắt trục
hoành.
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
(P) cắt Ox tại A(1;0), B(3;0). Xét điểm
0
x
∈
¡
.
0
2 2
'
0 0
0
0
4 3 4 3
( ) lim
x x
x x x x
f x
x x
→
− + − + − +
=

−

0
0 0
0
0
( )(4 )
lim 4 2
x x
x x x x
x
x x
→
− − −
= = −
−
Phương trình tiếp tuyến tại A(1;0) có
'
(1) 2f
=
:

0 2( 1) 2 2y x y x− = − ⇔ = −
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 7
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
Phương trình tiếp tuyến tại B(3;0) có
'
(3) 2f

= −
:

0 2( 3) 2 6y x y x− = − − ⇔ = − +
2. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):
2
1
x
y
x
=
−
biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng (
∆
):
1
2
y x
= −
* Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh:
Cho
0
1x
≠
:
0
0
'
0

0
0
2
2
1 1
( ) lim
x x
x
x
x x
f x
x x
→
−
− −
=
−

0
2
0 0 0
2( )
2
lim
( )( 1)( 1) ( 1)
x
x x
x x x x x
→∞
− −

−
= =
− − − −
Yêu cầu bài toán 
0 0
2
0 0
0
1, 1
2 1
3, 3
( 1) 2
x y
x y
x
= − =

−
= − ⇔

= =
−

Phương trình tiếp tuyến tại A(-1;1) có
'
1
( 1)
2
f
− = −

là:

1 1 1
1 ( 1)
2 2 2
y x y x
− = − + ⇔ = − +
Phương trình tiếp tuyến tại B(3;3) có
'
1
(3)
2
f
= −
là:

1 1 9
3 ( 3)
2 2 2
y x y x
− = − − ⇔ = − +
Củng cố bài hoc:
Giáo viên nhấn mạnh cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) khi biết một
trong 3 yếu tố x
0
, y
0
,
'
0

( )f x
.
Giáo viên ra bài tập về nhà:
Bài tập về nhà:
Cho hàm số
1
, 2
1
( )
1
, 2
1
x
x
f x
x
x

≥


−
=


≤

−


Tính
'
( )f x
Khảo sát tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại M
0
(2;1) và M
1
(2;-1).
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 8
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp



Ngày soạn:07/08/2014 Ngày giảng
12B7 12B8 12B9
18/08 17/08 17/08
CHƯƠNG I : ( 20 tiết )
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tiết 1.
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Mục tiêu:
Kiến thức:
Biết mối liên hệ giữ tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu hiệu đạo hàm cấp một
của nó.
Kỹ năng:
Biết cách xét tính đồng biến, nghich biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu hiệu
đạo hàm cấp một của nó.

Tư duy, thái độ:
Xây dựng tư duy logic, biết quy lạ về quen.
Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận.
Chuẩn bị:
GV: Học sinh đã nắm được định nghĩa hàm số đồng biến và nghịch biến trên một khoảng ở lớp
10 và đã nắm đuợc định nghĩa, các quy tắc tính đạo hàm ở lớp 11.
HS: SGK, sách bài tập, bút, thước kẻ và hệ thống ví dụ , bài tập.
Tiến trình bài học:
Ổn định tổ chức lớp.
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 9
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
Bài mới:
Hoạt động 1.
Tính đơn điệu của hàm số.
Nhắc lại định nghĩa.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
H1: Nhắc lại định nghĩa về
hàm số đồng biến trên K?
GV cho học sinh phát biểu
và viết định nghĩa hàm số
nghịch biến trên K.
H2: y=f(x) đồng biến trên
K thì tỷ số
2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
−

−

dương hay âm?
TL1: Hàm số y=f(x)
đồng biến trên K nếu
với mọi x
1
, x
2
thuộc K
mà x
1
nhỏ hơn x
2
thì
f(x
1
) nhỏ hơn f(x
2
).
TL2:Vì
2 1
( ) ( )f x f x
−
và
2 1
x x
−
cùng dấu nên
2 1

2 1
( ) ( )f x f x
x x
−
−
>0
Định nghĩa:
-Hàm số y=f(x) đồng biến trên K 
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <
-Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K 
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >
Nhận xét:
Hàm số y=f(x) đồng biến trên K 
2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
−
−
>0
Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K

2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x

−
−
>0
Hàm số y=f(x) đồng biến trên
K thì trên K đồ thị hàm số y=f(x) có
hướng đi lên từ trái qua phải.
Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K
thì trên K đồ thị hàm số y=f(x) có
hướng đi xuống từ trái qua phải.
Hoạt động 2.
Tính đơn điệu và dấu hiệu đạo hàm.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
Định lý: Cho hàm số y=f(x) có
đạo hàm trên K. Khi đó:
f
’
(x)>0
⇒
y=f(x) đồng biến.
f
’
(x)<0
⇒
y=f(x) nghịch biến.
Chú ý: Nếu
'
( ) 0,f x x K= ∀ ∈
thì
f(x) không đổi trên K.
Hoạt động 3.

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
H1: Từ định lý trên hãy đưa TL1: Các bước xét tính 1. Quy tắc:
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 10
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
ra quy tắc xét tính đơn điệu
của hàm số?
đơn điệu của hàm số
y=f(x):
Tìm tập xác định.
Tính f
’
(x). Tìm các
điểm x
i
(i=1,2 n) mà
f
’
(x)=0 hoặc f
’
(x) không
xác định.
3. Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và
xét dấu f
’
(x).

4. Kết luận về các
khoảng đồng biến và
nghịch biến của hs.
Tìm tập xác định.
Tính f
’
(x). Tìm các
điểm x
i
(i=1,2 n) mà f
’
(x)=0 hoặc
f
’
(x) không xác định.
3. Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự
tăng dần và xét dấu f
’
(x).
4. Kết luận về các khoảng đồng
biến và nghịch biến của hs.

3. Hoạt động củng cố bài học.
- Giáo viên nhấn mạnh lại định lý và quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
- Giáo viên ra bài tập về nhà và hướng dẫn về cách giải:
- Dạng đồ thị của hàm số đồng biến, nghịch biến
Bài tập về nhà: Xét tính đơn điệu của hàm số sau:
1) y=x

3
-2x
2
+x-1
2) y=x
4
-3x
2
+2
3)
1
1
x
y
x
−
=
+
BẢNG PHỤ
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 11
GA : Gii Tớch 12 Hc Hc na Hc mói Trng THPT Sp
Cp



Ngy son:15/08/2011 Ngy ging
12B7 12B8 12B9
24/08 22/08 22/08
Tit 2.

Đ1. S NG BIN, NGHCH BIN CA HM S
I. Mục tiêu:
1.V kin thc: - Hiểu đợc quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
- Biết thêm một cách chứng minh bất đẳng thức.
2. V k nng: - Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một ham số.
- Biết vận dụng tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng để chứng minh một số bất đẳng
thức.
- Rốn luyện cách vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số vào việc xét sự đồng
biến, nghịch biến của hàm số bậc 3, bậc 4, phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
3. V t duy, thái độ: - Hỡnh thnh t duy logic, lp lun cht ch, v linh hot trong quỏ trỡnh
suy ngh.Bit vn dng o hm xột s bin thiờn ca mt hm s.
- Tớch cc xõy dng bi, ch ng chim lnh kin thc theo s hng dn ca Gv, nng ng,
sỏng to trong quỏ trỡnh tip cn tri thc mi, thy c li ớch ca toỏn hc trong i sng, t
ú hỡnh thnh nim say mờ khoa hc
II. Chun b:
1. GV: SGK, phơng tiện dạy học, câu hỏi hoạt động nhóm, bảng phụ.
2. HS: SGK, bài củ, đồ dùng học tập, đọc trớc bài ở nhà.
III. Tin trỡnh bi dy:
1. Kim tra bi c:
GV: Xét các khoảng đơn điệu của hàm số 1. y=4+3x-x
2
2.
3 2
1
3 7 2
3
y x x x
= +
GV : Bựi Mnh Tựng Hc Hc na Hc mói
Trang 12

GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
HS: Lªn b¶ng tr×nh bµy
GV: XÐt kho¶ng ®¬n ®iÖu cña hµm sè: y = x
4
-2x
2
+3
HS: Thùc hiÖn gi¶i díi sù híng dÉn cña GV: TX§:
D
=
¡
y’ = 4x
3
-4x
( )
0
2
' 0 4 1 0 1
1
x
y x x x
x
=


= ⇔ − = ⇔ =


= −


B¶ng biÕn thiªn:
x
−∞
-1 0 1
+∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
3
+∞
2 2
Hµm sè ®ång biÕn trong kho¶ng (-1; 0) vµ
( )
1;
+∞
Hµm sè ®ång biÕn trong kho¶ng
( )
; 1
−∞ −
vµ (0; 1)
2. Bài mới:
Hoạt động 1.
2. Ápdụng
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y=x
3
-2x
2
+x-1
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung

H1:Từ quy tắc xét tính đơn
điệu của hàm số hãy xét tính
đơn điệu của hàm số:
y=x
3
-2x
2
+x-1?

HS độc lập tiến hành giải
toán và trình bày lời giải, các
học sinh khác theo dõi và
nhận xét, chính xác hoá lời
giải.
Giải:
TXĐ:
¡
y
’
=3x
2
-4x+1
y
’
xác định với mọi x thuộc
¡
y
’
=0
1

3
1
x
x

=


=

GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 13
GA : Gii Tớch 12 Hc Hc na Hc mói Trng THPT Sp
Cp

'
1
0, ( ; ) (1; )
3
y x
> +

'
1
0, ( ;1)
3
y x<
Hay hm s y=x
3
-2x

2
+x-1
ng bin trờn cỏc khong
1
( ; )
3

v
(1; )
+
, nghch
bin trờn khong
1
( ;1)
3
.
Hot ng 2.
Vớ d 2. Xột s ng bin, nghch bin ca hm s: y=x
4
-3x
2
+2.
Hot ng 3.
Vớ d 3. Xột s ng bin, nghch bin ca hm s:
1
1
x
y
x

=
+
Hot ng ca GV Hot ng ca HS Ni dung
H1:T quy tc xột tớnh n
iu ca hm s hóy xột tớnh
n iu ca hm s:
1
1
x
y
x

=
+
?

HS c lp tin hnh gii
toỏn v trỡnh by li gii,
cỏc hc sinh khỏc theo dừi
v nhn xột, chớnh xỏc hoỏ
li gii.
Gii:
TX:
\{-1}Ă
'
2 2
( 1) ( 1) 2
( 1) ( 1)
x x
y

x x
+
= =
+ +
y xỏc nh vi
{ }
\ 1x

Ă


'
0, ( ; 1) ( 1; )y x
> +
Hay hm s y=x
4
-3x
2
+2 ng
bin trờn cỏc khong
( ; 1)

v
( 1; )
+
Vớ d 4.
Chứng minh rằng x > sin x trên khoảng
(0; )
2

bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số
f(x) = x sin x
Hot ng ca GV Hot ng ca HS Ni dung
GV : Bựi Mnh Tựng Hc Hc na Hc mói
Trang 14
GA : Gii Tớch 12 Hc Hc na Hc mói Trng THPT Sp
Cp
- Yêu cầu học sinh vận dung
tính đơn điệu của hàm số để
chứng minh Bất đẳng thức
thảo luận nhóm thực hiện, kết
quả ghi trên tờ Rôki.
- Tổ chức học sinh báo cáo.
- Nhận xét, chỉnh sửa (nếu
cần).
- Vận dụng tính đơn điệu
của hàm số để thực hiện
theo yêu cầu của GV.
- Đáp án ghi trên tờ Rôki.
- Treo đáp án khi GV yêu
cầu.
- Qua bài tập học sinh nắm
đợc thêm một phơng pháp
chứng minh bất đẳng thức.
Đáp án:
Xét hàm số f(x) = x sin x
trên
(0; )
2

Ta có f(x) = 1 cos x

0
nên f(x) đồng biến trên
(0; )
2

Do đó f(x) > f(0) trên
(0; )
2

Vậy x > sin x trên
(0; )
2

3. Hot ng cng c bi hc.
Giỏo viờn nhn mnh li mt ln na vic vn dng quy tc vo xột tớnh n iu ca
mt hm s.
Giỏo viờn hng dn hc sinh lm cỏc bi tp 1, 2 trang 9, 10 SGK.



Ngy son:20/08/2011 Ngy ging
12B7 12B8 12B9
25/08 23/08 22/08
Tit 3.
Đ2. CC TR CA HM S
Mc tiờu:
Kin thc:
Hiu khỏi nim cc i, cc tiu.

Nm c iu kin hm s cú cc tr.
2. K nng:
Bit vn dng cỏc iu kin hm s cú cc tr. S dng thnh tho cỏc iu kin tỡm
cc tr.
3. T duy, thỏi :
Xõy dng t duy logớc, bit quy l v quen.
GV : Bựi Mnh Tựng Hc Hc na Hc mói
Trang 15
GA : Gii Tớch 12 Hc Hc na Hc mói Trng THPT Sp
Cp
Cn thn, chớnh xỏc trong tớnh toỏn, lp lun.
Chun b:
1. GV: SGK, phơng tiện dạy học, câu hỏi hoạt động nhóm, bảng phụ.
2. HS: SGK, bài củ, đồ dùng học tập, đọc trớc bài ở nhà.
III. Tin trỡnh bi dy :
1. Kim tra bi c:
a. Cõu hi:
Nờu quy tc xột tớnh n iu ca hm s ?
p dng :
Xột s ng bin , nghch bin ca hm s sau: y = x
2
2x + 3
b. ỏp ỏn :
Lý thuyt (SGK T8)
p dng:
Hm s ó cho xỏc nh trờn R
y = 2x 2, y = 0 x = 1
Bng bin thiờn
x
- 1 +

y 0 +
y
+ +
2
Hm s nghch bin trờn ( + ; 1 ) v ng bin trờn (1 ; + ).
Hot ng 1.
Hot ng ca GV Hot ng ca HS Ni dung
H1: nh ngha giỏ tr
cc i, giỏ tr cc tiu
ca y=f(x) trờn (a; b)?
HS nghiờn cu nh ngha
giỏ tr cc i, giỏ tr cc
tiu ca y=f(x) trờn (a; b)
trong SGK v phỏt biu
bng li v bng biu thc
toỏn hc.
I. Khỏi nim cc i , cc tiu.
1. nh ngha.
Cho hm s y=f(x) xỏc nh trờn
(a; b) v
0
( ; )x a b

a) f(x) t giỏ tr cc i ti x
0

0 0 0
0: ( ) ( ), ( ; )h f x f x x x h x h
> < +
b) f(x) t giỏ tr cc tiu ti x

0

GV : Bựi Mnh Tựng Hc Hc na Hc mói
Trang 16
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
0 0 0
0: ( ) ( ), ( ; )h f x f x x x h x h
∃ > < ∀ ∈ − +
Hoạt động 2.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
H: Để tìm điểm cực trị
của hàm số ta phải làm
gì?
HS: Để tìm điểm cực trị của
hàm số y=f(x):
1) Tìm TXĐ.
2) Tính f
’
(x).
3) Giải pt f
’
(x) = 0.
2. Chú ý:
- Nếu f(x) đạt giá trị cực đại (cực tiểu)
tại x
0
thì x
0
được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm số, f(x
0
) được
gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu),
M
0
(x
0
;y
0
) gọi là điểm cực đại ( điểm
cực tiểu) của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi
chung là các điểm cực trị. Một hàm số
có thể có một hoặc nhiều điểm cực trị.
Điểm cực đại của một hàm số có thể
nhỏ hơn điểm cực tiểu của hàm số đó.
- Dễ chứng minh: Nếu y=f(x) có đạo
hàm trên (a; b) và đạt cực trị tại x
0
thì
f
’
(x
0
)= 0.
Hoạt động 3.
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí 1:

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K=(x
0
-h;x
0
+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\
{x
0
}, với h>0.
a)
'
0 0
( ) 0, ( ; )f x x x h x
> ∀ ∈ −
và
'
0 0
( ) 0, ( ; )f x x x x h
< ∀ ∈ +
thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
f(x).
b)
'
0 0
( ) 0, ( ; )f x x x h x
< ∀ ∈ −
và
'
0 0

( ) 0, ( ; )f x x x x h
> ∀ ∈ +
thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
f(x).
f
’
(x) + 0 - f
’
(x) - 0 +
f
CĐ
f(x) f(x)
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 17
x x
0
-h
x
0
x
0
+h x x
0
-h x
0
x
0
+h

GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
f
CĐ
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
H: Hãy nêu các bước để
tìm điểm cực đại, cực tiểu
của hs y=f(x)?
HS tìm hiểu và trả lời. Để tìm điểm cực đại, cực tiểu của
hàm số y=f(x):
1) Tìm TXĐ.
2) Tính f
’
(x).
Tìm những điểm x
0
mà f
’
(x
0
)=0
hoặc f
’
(x
0
) không tồn tại.
3) Xét dấu f
’
(x) .
4) Kết luận về điểm cực đại, điểm cực

tiểu.
Hoạt động 4.
Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm số:
3 2
5
6 4
3 2
x x
y x= − + −
.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
H1: Từ quy tắc xác định
điểm cực trị của hàm số
hãy xác định điểm cực trị
của hàm số:
3 2
5
6 4
3 2
x x
y x= − + −
?

HS độc lập tiến hành
giải toán và trình bày lời
giải, các học sinh khác
theo dõi và nhận xét,
chính xác hoá lời giải.
Giải:
TXĐ:

¡
' 2
5 6y x x
= − +

y
’
xác định với mọi x thuộc
¡
y
’
=0
2
3
x
x
=


=


'
0, ( ;2) (3; )y x
> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞

'
0, (2;3)y x
< ∀ ∈
⇒

Hàm số đạt giá trị cực đại tại
2x
=
và y
CĐ
2
3
=
Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại
3x
=
và y
CT
1
2
=
3. Hoạt động củng cố bài học.
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 18
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
- Giáo viên nhắc lại định nghĩa giá trị cực đại, giá trị cực tiểu và quy tắc xác định điểm cực trị
của hàm số.
- Hướng dẫn học sinh giải bài tập 1, trang 18, SGK.
Bài tập làm thêm:
Xác định cực trị của các hàm số sau:
a)
2
2
8 24

( )
4
x x
f x
x
+ −
=
−
b)
2
( )
4
x
f x
x
=
+
c)
( ) 3f x x x
= −
d)
2
( ) 2 2f x x x
= − +



Ngày soạn:20/08/2011 Ngày giảng
12B7 12B8 12B9
25/08 24/08 24/08

Tiết 4.
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I . Mục tiêu
1. Về kiến thức
Nắm được khái niệm cực đại, cực tiểu, điểm cực đại, cực tiểu (hay cực trị) của hàm số.
Nắm được các quy tắc tìm cực trị của hàm số.
2. Về kỹ năng
Hs biết tìm cực trị của hàm số dựa vào các quy tắc tìm cực trị.
3.Về tư duy, thái độ
Tích cực, tự giác,chủ động trong việc chiếm lĩnh tri thức mới.
II . Chuẩn bị :
1. GV: Giáo án, SGK, SGV, phiếu học tập, bảng phụ, phấn
2. HS: Vở ghi, SGK, đồ dùng học tập
giải quyết vấn đề.
III. Tiến trình bài dạy:
1. Kiểm tra bài cũ:
a. Câu hỏi: Tìm cực trị của hàm số sau:
y = x
3
– x
2
– 3x + 1
b. Đáp án: Hàm số đã cho xác định trên R
y’ = x
2
– 2x – 3 , y’ = 0  x = -1; x = 3
Bảng biến thiên
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 19
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp

Cộp
x
- -1 3 +
y’ + 0 - 0 +
y
8/3 +
- -8
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 => y
CĐ
= y(-1) = 8/3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 => y
CT
= y (3) = 8
2. Bài mới:
Hoạt động 1.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
GV: Từ bài cũ ta có quy
tắc thứ nhất để tìm cực trị
hàm số,
HS nghiên cứu quy tắc. III. Quy tắc tìm cực trị.
Để tìm điểm cực đại, cực tiểu của
hàm số y=f(x), quy tắc I:
1) Tìm TXĐ.
2) Tính f
’
(x).
Tìm những điểm x
0
mà f
’

(x
0
)=0
hoặc f
’
(x
0
) không tồn tại.
3) Xét dấu f
’
(x) .
4) Kết luận về điểm cực đại, điểm
cực tiểu.
Hoạt động 2.
Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí 2:
Giả sử hàm số y=f(x) và có đạo hàm cấp hai trên khoảng K=(x
0
-h;x
0
+h) với h>0. Khi đó:
a) Nếu f
’
(x
0
) = 0, f
’’
(x
0
) > 0 thì x

0
là điểm cực tiểu.
b) Nếu f
’
(x
0
) = 0, f
’’
(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
H: Từ Định lí 2 hãy nêu
các bước để tìm điểm
cực đại, cực tiểu của hs
y=f(x)?
HS tìm hiểu và trả lời. Để tìm điểm cực đại, cực tiểu của
hàm số y=f(x) ta có quy tắc II:
1) Tìm TXĐ.
2) Tính f
’
(x).
Tìm những điểm x
i
mà f
’
(x
i

)=0
hoặc f
’
(x
i
) không tồn tại.
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 20
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
3) Tính f
’’
(x) và f
’’
(x
i
)
4) Dựa vào dấu của f
’’
(x
i
) kết luận
về điểm cực đại, điểm cực tiểu.
Hoạt động 3.
Ví dụ1: Tìm cực trị của hàm số:
4
2
( ) 2 6
4
x

f x x= − +
.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
H1: Từ quy tắc II xác
định điểm cực trị của
hàm số hãy xác định
điểm cực trị của hàm số:
4
2
( ) 2 6
4
x
f x x= − +
?

HS độc lập tiến hành giải
toán và trình bày lời giải,
các học sinh khác theo dõi
và nhận xét, chính xác hoá
lời giải.
Giải:
TXĐ:
¡
' 3 2
( ) 4 ( 4)f x x x x x
= − = −

'
( )f x
xác định với mọi x

thuộc
¡

'
( )f x
=0
1
2
3
0
2
2
x
x
x
=


=


= −


'' 2
( ) 3 4f x x
= −

''
( 2) 8 0f

± = >

⇒
x=-2 và
x=2 là hai điểm cực tiểu.

''
(0) 4 0f
= − <

⇒
x=0 là điểm
cực đại.
Kết luận:
⇒
Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại
2x
= −
và
2x
=
;

f
CT
=
( 2) 2f
± =
Hàm số đạt giá trị cực đại tại
0x

=
và f
CĐ
(0) 6f
= =
.
3. Củng cố bài học.
- Giáo viên nhắc lại định lí 1, định lí 2 và hai quy tắc xác định điểm cực trị của hàm số.
- Hướng dẫn học sinh giải bài tập 2, 3, 4, 5, 6 trang 18, SGK.
- Các quy tắc tìm cực trị của hàm số.
Quy tắc I:
Tìm TXĐ
Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 21
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
Lập bảng biến thiên.
Từ BBT suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
1. Tìm TXĐ
2. Tính f’(x). Giải PT f’(x)=0 và kí hiệu x
i
( i = 1,2 ) là các nghiệm của nó.
3. Tính f’’(x) và f’’(x
i
)
4. Dựa vào dấu của f’’(x
i
) suy ra tính chất cực trị của điểm x

i
Bài tập làm thêm:
Xác định cực trị của các hàm số sau:
( ) sin 2f x x
=
.



Ngày soạn:25/08/2011 Ngày giảng
12B7 12B8 12B9
31/08 25/08 29/8
Tiết 5.
§2. BÀI TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. Mục tiêu
1.Về kiến thức: HS củng cố kiến thức về:
- Khái niệm về cực trị của hàm số
- Các qui tắc tìm cực trị của hàm số
2. Về kỹ năng
Hs biết tìm cực trị của hàm số ,giải một số bài toán liên quan.
3.Về tư duy, thái độ
Vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập
II . Chuẩn bị :
1. GV: Giáo án, SGK, SGV, phiếu học tập, bảng phụ, phấn
2. HS: Vở ghi, SGK, đồ dùng học tập
III. Tiến trình bài dạy:
1. Kiểm tra bài cũ: : Giáo viên gọi 2 học sinh lên bảng thực hiện giải bài tập sau
a. Câu hỏi:
1, Áp dụng quy tắc 1 hãy tìm cực trị của hàm số sau:
3 2

3 4y x x= + −
2, Áp dụng quy tắc 2 hãy tìm cực trị của hàm số sau:
4 2
2 3y x x= − −

b. Đáp án- Biểu điểm
Đáp án Biểu điểm
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 22
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
1,
3 2
3 4y x x= + −

y
Bảng biên thiên:
x
−∞
-2 0
+∞
f
’
(x) + 0 - 0 +
f( )
−∞
0
-4

+∞

Vậy: Hàm số đạt cực đại tại: x = - 2, y
CĐ
= 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= - 4
2,
4 2
2 3y x x= − −

TXĐ: D = R, y
’
= 4x
3
– 4x = 4x( x
2
-1) , y
’
= 0 x = 0, x =
y
”
= 12x
2
– 4
y
”
(0) = - 4, y
”
(-1) = 8, y
”

(1) = 8
Vậy : Hàm số đạt cực đại tại: x = , y
CĐ
= - 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= - 3
5
2
3
5
3
2

2. Bài mới : Hoạt động 1: Giải bài tập số 4
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
Nêu nội dung bài toán
Cho học sinh nhắc lại
qui tắc tìm cực trị của
hàm số

? Tính y
’
?
? Tính
’
, dựa vào
dấu của y
’
kết luận

Chú ý theo dõi đề bài,
xem lại bài đã làm tại nhà
Học sinh nhắc lại
y
’
= 3x
2
– 2mx – 2
Trả lời
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị
của m , hàm số:
y = x
3
– mx
2
– 2x +1 luôn luôn có một
cực đại và một điểm cực tiểu
Giải
y
’
= 3x
2
– 2mx – 2
’
= m
2
+ 6 > 0 với
Nên phương trình y
’
= 0 luôn có hai

nghiệm phân biệt và y
’
đổi dấu khi qua
các nghiệm đó
Hoạt động 2: Giải bài tập 5
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
Nêu nội dung bài toán Chú ý theo dõi đề bài, Bài 5: Tìm a và b để cực trị của hàm số
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 23
GA : Giải Tích 12 Học Học nữa Học mãi Trường THPT Sốp
Cộp
? Hãy xét với trường
hợp a = 0?
? Tính y
’
và giải
phương trình y
’
= 0
Chia lớp thành hai
nhóm
Nhóm 1: xét với
trường hợp a < 0
Nhóm 2: Xét với
trường hợp a > 0
Cho học sinh thực
hiện theo các bước
sau:
+ Lập bảng biến thiên
trong từng trường hợp

+ Dựa vào giả thiết x
0
= là điểm cực đại
tìm ra a và b
Gọi các nhóm lên
bảng trình bày kết quả
xem lại bài đã làm tại nhà
HS xét
HS trả lời
Theo sự phân công của
giáo viên học sinh hoạt
động theo 2 nhóm, thảo
luận nghiêm túc và có
hiệu quả
Các nhóm cử đại diện
trình bày kết quả
y =
Đều là những số dương và
x
0
= là điểm cực đại
Giải
*a = 0 thì hàm số trở thành
y = - 9x + b. Hàm số này không có cực
trị
*a 0.
y
’
= 5a
2

x
2
+ 4ax – 9;
y
’
= 0 x = - , x =
a, a < 0, ta có bảng biến thiên
sau
Theo giả thiết x = - là điểm cực đại nên
Mặt khác, giá trị cực tiểu là số dương
nên y
CT
= y(- = y(1) > 0
y(1) =
= + b > 0 >
GV : Bùi Mạnh Tùng Học Học nữa Học mãi
Trang 24
x
−∞
+∞
f
’
(x) + 0 - 0 +
f(x)
−∞

+∞
GA : Gii Tớch 12 Hc Hc na Hc mói Trng THPT Sp
Cp
Nhn xột, ỏnh giỏ ,

b xung kt qu
b, a > 0
Theo gi thit ta cú
V y
CT
= y ( >0 b >
Kt lun
Vy: a = v >
Hoc v b >
.
Hoạt động 3: (8 ) X m để hàm số: y = f(x) =
2
x mx 1
x m
+ +
+
đạt cực đại tại x = 2.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
- Phát vấn:
Viết điều kiện cần và đủ để hàm số
f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x =
x
0
?
- Củng cố:
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có
cực đại tại điểm x = x
0
:
Có f(x

0
) = 0 (không tồn tại f(x
0
))
và f(x) dổi dấu từ dơng sang âm
khi đi qua x
0
.
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có
cực tiểu tại điểm x = x
0
:
Có f(x
0
) = 0 (không tồn tại f(x
0
))
và f(x) dổi dấu từ âm sang dơng khi
đi qua x
0
.
- Hàm số xác định trên R \
{ }
m

và ta có:
y = f(x) =
( )
2 2
2

x 2mx m 1
x m
+ +
+
- Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì f(2) = 0, tức là:
m
2
+ 4m + 3 = 0
m 1
m 3
=


=

a) Xét m = -1 y =
2
x x 1
x 1
+

và y =
( )
2
2
x 2x
x 1


.

Ta có bảng:
x
- 0 1 2 +
GV : Bựi Mnh Tựng Hc Hc na Hc mói
Trang 25
x

+
f

(x) + 0 - 0 +
f(x)


+