Giáo án thiết kế cơ khí - Chương 3 pot

Chương 3 Phân tích ứng suất và biến dạng
Tổng quan
Bạn là nhà thiết kế
3.1 Nội dung của chương
3.2 Quan điểm thiết kế
3.3 Biểu diễn các ứng suất trên một phân tố ứng suất
3.4 Ứng suất pháp: kéo và nén
3.5 Biến dạng dưới tải trọng dọc trục
3.6 Ứng suất cắt trực tiếp
3.7 Liên hệ giữa mômen xoắn, công suất và tốc độ quay
3.8 Ứng suất xoắn
3.9 Biến dạng xoắn
3.10 Xoắn trong chi tiết có mặt cắt ngang không tròn
3.11 Xoắn trong ống thành mỏng, kín
3.12 Ống hở và sự so sánh với ống kín
3.13 Ứng suất cắt
3.14 Những công thức ứng suất cắt đặc biệt
3.15 Ứng suất uốn
3.16 Tâm uốn của dầm
3.17 Độ võng của dầm
3.18 Phương trình đường đàn hồi
3.19 Dầm có mômen uốn tập trung
3.20 Ứng suất pháp tổng hợp: nguyên lý cộng tác dụng
3.21 Tập trung ứng suất
3.22 Độ nhạy với vết khía và hệ số giảm độ bền
Tài liệu tham khảo
Địa chỉ internet
Bài tập
96
Tổng quan
Nội dung thảo luận

 Với tư cách một người
thiết kế bạn phải có
trách nhiệm đảm bảo độ
an toàn của các bộ phận
và hệ thống bạn thiết
kế.
 Bạn cần áp dụng những
nguyên lý cơ bản về
sức bền vật liệu đã học
trước đây.
Tìm hiểu
Các sản phẩm tiêu dùng và các máy móc bị hỏng như thế
nào?
Mô tả hư hỏng của một vài sản phẩm mà bạn đã quan sát
được.
Chương này trình bày tóm tắt lại cơ sở của phân tích ứng
suất. Nó sẽ giúp bạn tránh mắc phải lỗi trong thiết kế sản
phẩm, và chuẩn bị cho bạn với những chủ đề khác nữa ở
phần sau của giáo trình này.
Một người thiết kế có trách nhiệm đảm bảo sự an toàn của các bộ phận và hệ thống mà họ
thiết kế. Có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến sự an toàn, nhưng yếu tố có tính quyết định nhất đến độ
an toàn của thiết kế đó là mức ứng suất của bộ phận máy phải chắc chắn nhỏ hơn mức chấp nhận
được đã dự đoán trước. Dĩ nhiên, điều kiện đó dẫn đến không có gãy hỏng trong thực tế. Sự an
toàn cũng có thể bị ảnh hưởng nếu các bộ phận được phép biến dạng quá mức mặc dù không gãy
hỏng.
Bạn vừa mới học sức bền vật liệu để có những kiến thức cơ bản về phân tích ứng suất. Vì
vậy, ở phần này bạn sẽ thành thạo khi tính toán ứng suất và biến dạng của các chi tiết mang tải
kéo nén đúng tâm, lực cắt, mômen xoắn, và uốn.
Bây giờ, xem xét các sản phẩm tiêu dùng và máy móc quen thuộc với bạn và thử giải
thích xem chúng có thể hỏng như thế nào. Dĩ nhiên, chúng ta không mong muốn chúng bị hỏng,

bởi vì hầu hết các sản phẩm như vậy đều được thiết kế tốt. Nhưng một số vẫn bị hỏng. Bạn có thể
chỉ ra một số sản phẩm? Chúng đã bị hỏng như thế nào? Chế độ làm việc của chúng khi bị hỏng là
gì? Vật liệu của các bộ phận bị hỏng? Bạn có thể nhận biết và mô tả loại tải trọng tác dụng lên bộ
phận bị hỏng? Chúng chịu uốn, kéo, nén, cắt, hay xoắn? Liệu có thể có đồng thời nhiều loại ứng
suất tác động? Có dấu hiệu của sự quá tải ngẫu nhiên? Những tải trọng như vậy đã được người
thiết kế dự đoán trước chưa? Có thể sự hỏng hóc đó là do quá trình chế tạo hơn là do thiết kế của
nó?
Nói về sự hỏng hóc của sản phẩm và máy móc với những bạn học và người hướng dẫn
bạn. Chú ý đến các bộ phận trên ôtô, các dụng cụ gia đình, thiết bị chăm sóc cỏ, hoặc các thiết bị
mà bạn đã làm việc với nó. Nếu có thể, đem những bộ phận hỏng hóc đó đến gặp các bạn học và
thảo luận về các bộ phận đó và sự hỏng của chúng.
Hầu hết quyển sách này nhấn mạnh sự phát triển những phương pháp riêng biệt để phân
tích và thiết kế các chi tiết máy. Những phương pháp này đều dựa trên nền tảng của phân tích ứng
suất, và nó thừa nhận rằng bạn đã hoàn thành khoá học về sức bền vật liệu. Chương này trình bày
lại các cơ sở đó một cách ngắn gọn. (Xem tham khảo 1, 3, 4, và 6.)
97
Hình 3-1 Phác hoạ sơ đồ của một cẩu trục
Bạn là nhà thiết kế
Bạn là người thiết kế một cẩu trục đa năng
có thể được sử dụng trong sửa chữa ôtô, trong
một nhà máy sản xuất, hoặc trên một khối di
động như một xe tải móc. Chức năng của nó là
nâng các vật nặng. Sơ đồ bố trí một dạng của
cẩu trục được chỉ ra trên hình 3-1. Nó bao
gồm 4 bộ phận mang tải, đánh số 1, 2, 3, 4.
Các bộ phận này được nối với nhau bằng khớp
bản lề tại A, B, C, D, E, và F. Tải trọng được
mang ở cuối dầm ngang, bộ phận số 3. Điểm
neo cẩu trục là A, và B sẽ truyền tải trọng từ
cẩu trục đến một đế cứng. Chú ý rằng đây chỉ

là một hình chiếu đơn giản hoá của cẩu trục
với những bộ phận kết cấu cơ bản và lực nằm
trong mặt phẳng đặt tải. Cẩu trục cũng sẽ cần
các chi tiết gia cố trong mặt phẳng vuông góc
với bản vẽ.
Bạn cần phân tích các loại lực tác dụng lên
mỗi một bộ phận mang tải trước khi có thể
thiết kế chúng. Thảo luận sau đây sẽ cung cấp
lại một số nguyên lý cơ bản bạn sẽ cần đến
trong khoá học này.
Khi là người thiết kế công việc của bạn tiến
hành như sau:
1. Phân tích lực tác dụng lên các bộ phận
mang tải sử dụng các nguyên lý tĩnh học
2. Xác định loại ứng suất mà mỗi bộ phận
phải chịu do tải trọng tác dụng
3. Đề xuất một hình dạng chung cho từng
bộ phận mang tải và vật liệu của chúng
4. Hoàn thành phân tích ứng suất cho từng
bộ phận để xác định kích thước cuối
cùng của chúng.
Bây giờ ta hãy làm các bước 1 và 2 để ôn
lại phần tĩnh học. Bạn sẽ nâng cao năng lực
98
của mình qua các bước 3 và 4 khi gặp phải
một vài vấn đề thực tế trong chương này và
chương 4, 5 nhờ việc ôn lại về sức bền vật liệu
và những kiến thức bổ sung được hình thành
qua quá trình trên.
Phân tích lực

Ở đây tóm tắt một phương pháp phân tích
lực.
1. Xét toàn bộ kết cấu cẩu trục như là một
vật tự do với lực tác dụng tại điểm G và
phản lực tác dụng tại điểm A và B. Xem
hình 3-2 với các lực và những kích
thước quan trọng của kết cấu cẩu trục.
2. Tách kết cấu thành từng phần sao cho
mỗi phần được biểu diễn dưới dạng sơ
đồ tách vật, chỉ ra tất cả các lực tác
động lên từng khớp. Xem kết quả trên
hình 3-3.
3. Phân tích độ lớn và hướng của tất cả các
lực
Những diễn giải được trình bày trên đây là
tóm lược các phương pháp sử dụng trong tĩnh
học và đưa ra kết quả. Bạn nên làm việc thông
qua những tính toán chi tiết của bản thân hoặc
cùng với những bạn học để chắc chắn rằng
bạn có thể thực hiện những tính toán như vậy.
Tất cả các lực tác dụng trực tiếp tỉ lệ với tải
trọng nâng F. Chúng ta sẽ đưa ra kết quả với
giả thiết giá trị của F = 10.0 kN (xấp xỉ 2250
lb)
Bước 1: Khớp bản lề tại A và B có thể đỡ theo
phương bất kì. Chúng ta chỉ ra phản lực tác
dụng theo hai phương x và y trên hình 3-2.
Khi đó, tiếp tục như sau:
1. Từ tổng mômen so với B tìm được
R

Ay
= 2.667 F = 26.67 kN
Hình 3-2 Sơ đồ cẩu trục hoàn thiện
99
2. Từ tổng lực tác dụng theo phương
thẳng đứng ta có
R
By
= 3.667 F = 36.67 kN
Tại điểm này chúng ta cần thừa nhận thanh
giằng AC liên kết chốt tại hai đầu và chỉ mang
tải tại hai đầu của nó. Vì vậy có hai thành
phần lực, và phương của lực tổng R
A,
phụ
thuộc vào thành phần của nó. Khi đó R
Ax
và
R
Ay
là hai thành phần vuông góc của R
A
như
đã chỉ ra ở phần dưới bên trái của Hình 3-2.
Chúng ta thấy rằng
tg (33.7
0
) = R
Ay
/R

Ax
và khi đó R
Ax
= R
Ay
/tg (33.7
0
) =
= 26.67 kN/ tg(33.7
0
) = 40.0 kN
Lực tổng cộng R
A
có thể tính dựa vào định
lí Pitago
R
A
=
67,26
40
2
2
22
+=+
RR
AyAx
= 48.07 kN
Lực này tác dụng dọc theo thanh giằng
AC, thanh hợp với phương ngang một góc
33.7

0
ở bên trên, và nó là lực gây ra cắt chốt
tại khớp A. Lực tại C trên thành giằng AC
cũng là 48.07 kN hướng lên bên phải để cân
bằng với R
A
như trên hình 3-3. Vì vậy thanh
giằng AC bị kéo thuần tuý.
Hình 3-3 Sơ đồ tách các bộ phận của cẩu trục
100
Bây giờ chúng ta có thể tính tổng lực tác
dụng lên kết cấu theo phương ngang, xác định
được R
Ax
= R
Bx
= 40.0 kN. Hợp lực của R
Bx
và
R
By
là 54.3 kN tác dụng hợp với phương
ngang một góc 42.5
0
và hướng lên, và nó là
lực cắt tổng cộng trên chốt tại khớp B. Xem
biểu đồ ở phần dưới bên phải hình 3-2.
Bước 2: Sơ đồ các nhóm được chỉ ra trên hình
3-3.
Bước 3: Bây giờ xét sơ đồ của tất cả các bộ

phận trên hình 3-3. Chúng ta vừa xét đến bộ
phận 1, có hai thành phần lực kéo là R
A
và R
C
bằng 48.07 kN. Phản lực của R
C
tác dụng lên
bộ phận thẳng đứng 4.
Bây giờ chú ý rằng bộ phận 2 cũng có hai
lực, nhưng đó là lực nén không phải kéo. Vì
vậy chúng ta biết lực tại D và F là bằng nhau
và chúng tác dụng theo đường thẳng của bộ
phận 2, hợp với phương ngang một góc 31.0
0
.
Khi đó phản lực của những lực này tác dụng
lên điểm D của trên cột thẳng đứng 4, và điểm
F trên dầm ngang, bộ phận 3. Chúng ta có thể
tìm được giá trị của R
F
bằng cách xét sơ đồ
tách bộ phận 3. Bạn sẽ phải kiểm tra lại các
kết quả dưới đây sử dụng những phương pháp
đã được chứng minh.
R
Fy
= 1.600 F= (1.600)(10.0kN) = 16.00 kN
R
Fx

= 2.667 F= (2.667)(10.0 kN) = 26.67 kN
R
F
= 3.110 F= (3.110)(10.0kN) = 31.10 kN
R
Ey
= 0.600 F= (0.600)(10.0 kN) = 6.00 kN
R
Ex
= 2.667 F= (2.667)(10.0 kN) = 26.67 kN
R
E
= 2.733 F= (2.733)(10.0 kN) = 27.33 kN
Đến đây tất cả các lực trên cột 4 đều biết từ
những phân tích trên sử dụng nguyên lý lực
tác dụng và phản lực tại từng khớp.
Các loại ứng suất trong mỗi bộ
phận
Một lần nữa xét các sơ đồ tách vật trong
hình 3-3 để hình dung các loại ứng suất được
tạo ra trong mỗi chi tiết. Ở đây sẽ hưóng dẫn
sử dụng từng loại tính toán ứng suất khi hoàn
thiện thiết kế. Bộ phận 3 và 4 chịu lực vuông
góc với trục dài vì vậy chúng làm việc như
những dầm chịu uốn. Hình 3-4 chỉ ra những
bộ phận này với biểu đồ lực cắt và mômen
uốn. Bạn đã được học cách để vẽ những biểu
đồ như vậy trong nội dung bắt buộc về sức
bền vật liệu. Sau đây là tổng hợp các loại ứng
suất trên từng bộ phận.

Bộ phận 1: Thanh giằng chịu kéo thuần tuý
Bộ phận 2: Thanh chống chịu nén thuần
tuý. Cần kiểm tra độ ổn định của thanh.
Bộ phận 3: Dầm ngang làm việc như một
dầm chịu uốn. Đoạn cuối bên phải giữa F và
G chịu ứng suất uốn và ứng suất cắt đứng.
Giữa E và F là hỗn hợp của uốn, cắt và ứng
suất kéo dọc trục.
Bộ phận 4: Cột đứng chịu hỗn hợp các ứng
suất tuỳ thuộc vào từng đoạn.
Giữa E và D: tổ hợp của ứng suất uốn, ứng
suất cắt đứng và kéo dọc trục.
Giữa D và C: tổ hợp của ứng suất uốn và
nén dọc trục.
Giữa C và B: tổ hợp của ứng suất uốn , ứng
suất cắt đứng, và nén dọc trục.
Khớp bản lề: Sự liên kết giữa các bộ phận
tại mỗi khớp cần phải được thiết kế để chịu
được phản lực tổng cộng đã tính ở trên. Một
cách tổng quát, mỗi một liên kết sẽ bao gồm
một chốt trụ nối hai phần. Chốt này sẽ chịu cắt
thuần tuý.
101
Hình 3-4 Biểu đồ lực cắt và mômen uốn của bộ phận 3 và 4
3-1 Nội dung của chương
Sau khi hoàn thành chương này bạn sẽ:
1. Được ôn lại các nguyên lý của tính toán ứng suất và biến dạng với một vài loại ứng
suất như sau
2. Kéo và nén thuần tuý
3. Cắt thuần tuý

4. Xoắn cho cả hai tiết diện tròn và không tròn
5. Ứng suất cắt trên các dầm
6. Uốn
7. Có khả năng giải thích bản chất của ứng suất tại một điểm bằng cách vẽ phân tố ứng
suất tại điểm bất kì trên các bộ phận mang các dạng tải trọng khác nhau.
8. Ôn lại về tầm quan trọng của tâm uốn của mặt cắt của dầm xét đến sự định hướng của
tải trọng trên dầm.
9. Nhắc lại các công thức biến dạng của dầm.
10. Có khả năng phân tích các biểu đồ tải trọng trên dầm, kể cả các bước nhảy của mômen
uốn trên dầm.
11. Có khả năng sử dụng nguyên lí cộng tác dụng để phân tích chi tiết máy chịu các dạng
tải trọng dẫn đến những ứng suất tổng hợp.
12. Có khả năng sử dụng hệ số tập trung ứng suất một cách đúng đắn trong phân tích ứng
suất.
3-2 Quan điểm thiết kế
102
Trong giáo trình này, mọi phương pháp thiết kế sẽ đảm bảo rằng mức ứng suất sẽ thấp
hơn giới hạn chảy của vật liệu dẻo, làm cho chi tiết không bị gãy hỏng dưới tải trọng tĩnh. Với các
vật liệu giòn, chúng ta sẽ phải chắc chắn rằng mức ứng suất phải dưới giới hạn bền kéo. Chúng ta
cũng sẽ phân tích biến dạng tại các mặt cắt quyết định đến sự an toàn hoặc sử dụng của chi tiết.
Hai dạng hỏng khác ở các chi tiết máy đó là mỏi và mòn. Hiện tượng mỏi là đặc trưng của
các chi tiết chịu tải trọng lặp (xem chương 5). Mòn được thảo luận trong các chương dành cho các
chi tiết máy có liên quan nhiều đến mòn như bánh răng, ổ, và xích.
3-3 Biểu diễn các ứng suất trên một phân tố ứng suất
Một mục tiêu quan trọng của phân tích ứng suất là xác định điểm trên chi tiết mang tải có
mức ứng suất cao nhất. Bạn sẽ phát triển khả năng xây dựng một phân tố ứng suất, một khối lập
phương vô cùng nhỏ trong vùng ứng suất cao của chi tiết, và chỉ ra các véctơ biểu diễn cho những
loại ứng suất tồn tại trên phân tố đó. Sự định hướng của thành phần ứng suất có tính quyết định,
và nó được hướng theo các trục đã xác định trên phân tố, thường gọi là x, y, và z.
Hình 3-5 chỉ ra 3 ví dụ của các phân tố ứng suất với ba loại ứng suất cơ bản là: kéo, nén

và tiếp. Cả dạng khối lập phương hoàn chỉnh và dạng hình vuông đơn giản biểu diễn các phân tố
ứng suất đều được chỉ ra. Hình vuông là một mặt của khối lập phương trong mặt được chọn. Các
hình vuông biểu diễn hình chiếu vuông góc các mặt của khối lập phương xuống mặt được chọn.
Đầu tiên bạn cần lưu ý khi thể hiện khối lập phương và sau đó biểu diễn một phân tố ứng suất
vuông chỉ ra ứng suất trên một mặt riêng mà bạn cần. Trong một số trường hợp, với trạng thái ứng
suất tổng quát hơn, có thể yêu cầu hai hoặc ba phân tố ứng suất vuông để mô tả một trạng thái ứng
suất hoàn chỉnh.
Ứng suất kéo và nén, gọi là ứng suất pháp; tác dụng vuông góc với mặt đối diện của phân
tố ứng suất. Ứng suất kéo có xu hướng kéo phân tố, trong khi ứng suất nén có xu hướng nén nó.
Hình 3-5 Các phân tố ứng suất của ba loại ứng suất
103
Ứng suất tiếp tạo ra bởi cắt trực tiếp, lực cắt trên dầm, hoặc xoắn. Trong mỗi trường hợp,
một phân tố chịu cắt có xu hướng bị cắt bởi một ứng suất hướng xuống trên một mặt đồng thời là
một ứng suất hướng lên trên mặt đối diện song song. Sự tác động như là một dụng cụ xén đơn
giản hay cái kéo. Nhưng chú ý rằng nếu chỉ có một cặp ứng suất tiếp đối ứng tác động, phân tố
ứng suất sẽ không cân bằng . Đúng hơn là phân tố có xu hướng quay vì cặp ứng suất tiếp tạo
thành một ngẫu lực. Để tạo ra sự cân bằng, cần tồn tại một cặp ứng suất tiếp thứ hai trên hai mặt
khác của phân tố, tác dụng theo hướng ngược với cặp đầu tiên.
Tóm lại, các ứng suất tiếp trên một phân tố sẽ thường được biểu diễn như hai cặp ứng suất
bằng nhau tác dụng trên 4 mặt của phân tố. Hình 3-5(c) chỉ ra một ví dụ.
Kí hiệu qui ước cho ứng suất tiếp
Giáo trình này thừa nhận qui ước sau:
Những ứng suất tiếp dương có xu hướng làm quay phân tố theo chiều kim đồng hồ.
Ứng suất tiếp âm có xu hướng làm quay phân tố theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Hai chỉ số dưới được dùng để thể hiện ứng suất tiếp ở trong mặt nào. Ví dụ, trên hình 3-5(c) vẽ
mặt x-y, cặp ứng suất tiếp là τ
xy
, thể hiện ứng suất tiếp tác dụng trên mặt của phân tố vuông góc
với trục x và song song với trục y. Khi đó τ
yx

tác dụng trên mặt vuông góc với trục y và song song
với trục x. Trong ví dụ này, τ
xy
là dương, τ
yx
là âm.
3-4 Ứng suất pháp: kéo và nén
Ứng suất có thể được định nghĩa như là sức cản bên trong của một diện tích đơn vị của vật liệu
ứng với tải trọng bên ngoài. Ứng suất pháp (σ) có hai loại là kéo (dương) hoặc nén (âm).
Với các chi tiết mang tải mà tải trọng bên ngoài phân bố đều trên diện tích mặt cắt ngang
của chi tiết, độ lớn của ứng suất có thể được tính từ công thức ứng suất pháp:
Kéo hoặc nén đúng tâm: σ = lực/diện tích = F/A (3-1)
Đơn vị của ứng suất thường là lực trên đơn vị diện tích , như từ công thức 3-1. Các đơn vị
thường dùng trong hệ Anh và hệ SI như sau.
Hệ Anh
lb/in
2
= psi
Kips/in
2
= ksi
Chú ý: 1.0 kip = 1000 lb
1.0 ksi = 1000 psi
Hệ mét SI
N/m
2
= Pa
N/mm
2
= 10

6
Pa = MPa
Ví dụ 3-1 Một lực kéo 9500 N được đặt lên một thanh tròn đường kính 12 mm, như trên Hình 3-
6. Tính ứng suất kéo trong thanh.
Lời giải
104
Vấn đề: tính ứng suất kéo trong thanh tròn
Đã cho: lực F = 9500 N; đường kính D = 12 mm
Tính toán: sử dụng công thức cho trường hợp kéo đúng tâm, công thức (3-1): σ =
F/A. Tính diện tích mặt cắt ngang từ công thức A = πD
2
/4
Kết quả: A = πD
2
/4 = π(12 mm)
2
/4 = 113 mm
2
σ = F/A = (9500 N)/(113 mm
2
) = 84.0 N/mm
2
= 84.0 Mpa
Nhận xét: kết quả được biểu diễn trên phân tố ứng suất A trong hình 3-6, phân tố này có
thể lấy tại một vị trí bất kì trên thanh vì một cách lí tưởng thì ứng suất là giống nhau trên mọi mặt
cắt ngang. Dạng lập phương của phân tố được chỉ ra trên hình 3-5(a).
Hình 3-6 Ứng suất kéo trong thanh tròn
Các điều kiện để sử dụng công thức (3-1) là:
1. Bộ phận mang tải cần phải thẳng
2. Đường thẳng tác dụng của tải phải đi qua tâm mặt cắt ngang của chi tiết

3. Các mặt cắt của chi tiết phải đồng đều quanh vị trí tính ứng suất
4. Vật liệu phải đồng nhất và đẳng hướng
5. Trong trường hợp chi tiết chịu nén, nó phải ngắn để tránh mất ổn định. Điều kiện xảy
ra mất ổn định được trình bày trong chương 6.
3-5. Biến dạng dưới tác dụng của tải trọng dọc trục
Công thức sau tính độ giãn do tác dụng của tải trọng kéo dọc trục thuần tuý hoặc độ co
ngắn do tải trọng nén dọc trục thuần tuý
Biến dạng do tải dọc trục thuần tuý δ = FL/EA (3-2)
Trong đó
δ là biến dạng tổng của chi tiết mang tải dọc trục
105
F là tải trọng dọc trục
E là môđun đàn hồi của vật liệu
A là diện tích mặt cắt ngang của chi tiết
Chú ý rằng σ = F/A, chúng ta cũng có thể tính biến dạng từ công thức sau
δ = σ.L/E (3-3)
Ví dụ 3-2 Cho một thanh chịu kéo như trên hình 3-6, tính biến dạng tổng nếu chiều dài ban đầu
của thanh là 3600 mm. Thanh được làm từ thép có môđun đàn hồi là 207 Gpa.
Lời giải:
Vấn đề: tính biến dạng của thanh.
Đã cho: lực F = 9500 N; đường kính D = 12 mm; chiều dài L = 3600 mm; E = 207 GPa
Tính toán: từ ví dụ 3-1, ta có σ = 84.0 Mpa. Sử dụng công thức (3-3).
Kết quả:
6 2
9 2
(84.0 / )(3600 )
10
(207 / )
10
L N mm

m
E N
m
σ
δ
×
= = =
×
1.46 mm
3-6 Ứng suất cắt trực tiếp
Ứng suất cắt trực tiếp xuất hiện khi lực tác dụng có xu hướng cắt qua chi tiết như cái kéo
hoặc dao cắt hoặc khi chày và khuôn được dùng để đột một lỗ trên một tấm vật liệu. Một ví dụ
quan trọng khác của cắt trực tiếp trong thiết kế máy là xu hướng then bị cắt đứt tại mặt cắt giữa
trục và mayơ của chi tiết máy khi truyền mômen xoắn. Hình 3-7 chỉ ra tác động đó.
Phương pháp tính ứng suất cắt trực tiếp tương tự với phương pháp đã dùng để tính ứng
suất kéo thuần tuý vì lực tác dụng được giả thiết phân bố đều trên mặt cắt ngang chịu lực của chi
tiết. Nhưng loại ứng suất này là ứng suất tiếp khác với ứng suất pháp. Kí hiệu sử dụng cho ứng
suất cắt là chữ cái Hi Lạp tô (τ). Công thức tính ứng suất cắt được viết như sau
Ứng suất cắt trực tiếp τ = lực cắt/ diện tích chịu cắt = F/A
S
(3-4)
Ứng suất này được gọi một cách chính xác hơn là ứng suất cắt trung bình, nhưng để đơn
giản chúng ta sẽ giả thiết là ứng suất phân bố đều trên diện tích cắt.
106
Hình 3-7 Cắt trực tiếp trên then
Ví dụ 3-3 Hình 3-7 chỉ ra một trục mang hai puli được ghép then với trục. Phần (b) chỉ ra lực F
được truyền từ trục đến mayơ của puli qua một then vuông. Trục có đường kính 2.25 in và truyền
mômen xoắn là 14 063 lb.in. Then có mặt cắt ngang hình vuông, cạnh là 0.50 in, và chiều dài là
1.75 in. Tính lực trên then và ứng suất cắt gây ra bởi lực đó.
Lời giải

107
Vấn đề: tính lực trên then và ứng suất cắt
Đã cho: sơ đồ bố trí trục, then, mayơ trên hình 3-7.
Mômen xoắn T = 14 063 lb.in; kích thước then 0.5× 0.5 × 1.75 in.
Đường kính trục D = 2.25 in; bán kính R = D/2 = 1.125 in.
Tính toán: mômen xoắn T = lực F × bán kính R. Khi đó F = T/R.
Sử dụng công thức (3-4) để tính ứng suất cắt: τ = F/A
S

Diện tích cắt là diện tích mặt cắt ngang của then tại mặt phân cách giữa trục và
mayơ: A
S
= b.L
Kết quả:
F = T/R = (14 063 lb.in)/(1.125 in) = 12 500 lb
A
S
= bL = (0.50 in)(1.75 in) = 0.875 in
2
τ = F/A
S
= (12 500 lb)/(0.875 in
2
) = 14 300 lb/in
2
Nhận xét: mức ứng suất này là đồng đều trên toàn bộ mặt cắt ngang của then.
3-7 Liên hệ giữa mômen xoắn, công suất và tốc độ quay
Sự liên hệ giữa công suất (P), tốc độ quay (n), và mômen xoắn (T) trên trục được mô tả bởi công
thức:
Liên hệ Công suất-Mômen xoắn-Tốc độ T = P/n (3-5)

Trong hệ SI, công suất được biểu diễn theo đơn vị là W hoặc tương đương với W, N.m/s,
và tốc độ quay là rađian trên giây (rad/s).
Ví dụ 3-4 Tính độ lớn của mômen xoắn trên trục truyền công suất 750 W khi quay với tốc độ 183
rad/s. (chú ý: nó tương đương với trục ra của động cơ điện 4 cực công suất 1.0 hp,làm việc ở tốc
độ 1750 v/ph. Xem chương 21)
Lời giải:
Vấn đề: tính mômen xoắn T trên trục.
Đã cho:
Công suất P = 750 W = 750 N.m/s.
Tốc độ quay n = 183 rad/s.
Tính toán: sử dụng công thức (3-5)
Kết quả: T = P/n = (750 N.m/s)/(183 rad/s) = 4.10 N.m/rad = 4.10 N.m
Nhận xét: trong những tính toán như vậy, đơn vị N.m/rad là thứ nguyên đúng, và một số
tán thành sử dụng nó. Tuy nhiên hầu hết đều coi radian là không thứ nguyên, vì vậy mômen xoắn
được biểu diễn theo N.m, hoặc những đơn vị thông thường của lực nhân với khoảng cách.
108
Trong hệ Anh, công suất thường được biểu diễn theo sức ngựa (hp), tương đương với 550
ft.lb/s. Đơn vị điển hình cho tốc độ quay là rpm, hay vòng/phút. Nhưng đơn vị thuận tiện nhất cho
mômen xoắn là pound.in (lb.in). Xét tất cả các đại lượng đó và đưa ra hệ số chuyển đổi đơn vị cần
thiết, chúng ta sử dụng công thức sau đây để tính mômen xoắn (theo lb.in) trên trục mang công
suất đã biết P (theo hp) với tốc độ quay n theo rpm
Liên hệ P-T-n trong hệ Anh T = 63 000.P/n (3-6)
Mômen xoắn thu được sẽ theo pound-in. Bạn nên kiểm tra giá trị hằng số 63 000.
Ví dụ 3-5: Tính mômen xoắn trên trục truyền công suất 1.0 hp với tốc độ quay 1750 rpm. Chú ý
rằng nó tương tự với mômen được tính ở ví dụ 3-4 sử dụng đơn vị SI.
Lời giải:
Vấn đề: tính mômen xoắn trên trục.
Đã cho: P = 1.0 hp; n = 1750 rpm
Tính toán: sử dụng Công thức (3-6).
Kết quả: T = 63 000.P/n = [63 000(1.0)]/1750 = 36.0 lb.in

3-8 Ứng suất xoắn
Khi xoắn, hoặc mômen xoắn, được đặt lên chi tiết, nó có xu hướng biến dạng do vặn, vì
một phần của chi tiết bị xoay kéo theo các phần khác nữa. Sự vặn như vậy gây ra ứng suất xoắn
trong chi tiết. Với một phân tố nhỏ của chi tiết, bản chất của ứng suất này cũng giống như chịu
ứng suất cắt trực tiếp. Tuy nhiên khi bị xoắn, phân bố của ứng suất không đồng đều trên mặt cắt
ngang.
Đa phần các trường hợp thường xuyên chịu ứng suất xoắn trong thiết kế máy là các trục
tròn truyền công suất. Chương 12 bao gồm toàn bộ phần thiết kế trục.
Hình 3-8 Phân bố ứng suất trong trục đặc
109
Công thức tính ứng suất xoắn
Khi chịu mômen xoắn, mặt ngoài của trục tròn đặc chịu biến dạng trượt lớn nhất và vì vậy
ứng suất xoắn là lớn nhất. Xem hình 3-8. Giá trị lớn nhất của ứng suất xoắn được xác định theo:
Giá trị ứng suất xoắn lớn nhất trên trục tròn: τ
max
= T.c/J (3-
7)
Trong đó: c là bán kính mặt ngoài của trục
J là mômen quán tính độc cực
Xem phụ lục 1 để xác định J.
Ví dụ 3-6 Tính ứng suất xoắn lớn nhất trên một trục có đường kính 10 mm khi nó chịu mômen
xoắn 4.10 N.m
Lời giải:
Vấn đề: tính ứng suất xoắn trên trục
Đã cho: mômen xoắn T = 4.10 N.m; đường kính trục D = 10 mm.
c = bán kính trục = D/2 = 5.0 mm
Tính toán: sử dụng công thức (3-7) để tính τ
max
= T.c/J.
J là mômen quán tính độc cực: J = πD

4
/32 (xem phụ lục 1)
Kết quả: J = πD
4
/32 = [π(10 mm)
4
]/32 = 982 mm
4
τ
max
=
mm
mmmmmN
4
3
982
).0.5)(.10.4(
10
= 20.9 N/mm
2
= 20.9 Mpa
Nhận xét: Ứng suất xoắn lớn nhất xuất hiện tại mặt ngoài trục trên toàn bộ chu vi của nó.
Nếu muốn tính ứng suất xoắn tại một số điểm trong trục, thường sử dụng công thức sau:
Công thức chung tính ứng suất xoắn: τ = T.r/J (3-8)
Trong đó r là bán kính từ tâm của trục đến điểm cần tính.
Hình 3-8 chỉ ra đồ thị biến thiên tuyến tính của ứng suất xoắn từ 0 tại tâm của trục đến giá
trị lớn nhất trên mặt ngoài trục.
Công thức (3-7) và (3-8) cũng dùng cho cả trục rỗng (hình 3-9 chỉ ra phân bố của ứng suất
xoắn). Một lần nữa chú ý rằng ứng suất xoắn lớn nhất là tại mặt ngoài. Cũng cần lưu ý mặt cắt
ngang đặc có mức ứng suất tương đối cao. Với cùng kết quả trục rỗng có hiệu quả hơn. Chú ý

rằng lớp vật liệu gần tâm trục đặc chịu ứng suất không cao.
Để thuận tiện cho thiết kế, xác định môđun chống xoắn, Z
P
:
Môđun chống xoắn Z
P
= J/c (3-9)
Khi đó công thức tính ứng suất xoắn lớn nhất là:
τ
max
= T/Z
P
(3-10)
110
Công thức tính môđun chống xoắn cũng được trình bày trong phụ lục 1. Dạng này của
công thức rất hữu ích trong xác định ứng suất xoắn vì môđun chống xoắn chỉ là một thông số liên
quan đến đặc trưng hình học của mặt cắt ngang.
3-9 Biến dạng xoắn
Khi trục chịu mômen xoắn, biến dạng xoắn là góc quay tương đối của một mặt cắt ngang
với mặt cắt ngang khác trên trục. Góc xoắn được tính từ
Biến dạng xoắn θ = TL/GJ (3-11)
Trong đó θ là góc xoắn (rad); L là chiều dài của đoạn trục trên đó tính góc xoắn
G là môđun đàn hồi trượt của vật liệu trục
Hình 3-9 Phân bố ứng suất trong trục rỗng
Ví dụ 3-7: Tính góc xoắn của trục đường kính 10 mm chịu mômen xoắn 4.10 N.m, nếu nó dài
250 mm và làm từ thép có G = 80 Gpa. Biểu diễn kết quả theo cả rad và độ.
Lời giải:
Vấn đề: tính góc xoắn của trục
Đã cho: T = 4.10 N.m; chiều dài L = 250 mm; D = 10 mm; G = 80 Gpa.
Tính toán: sử dụng công thức (3-11). Để thống nhất, đổi T = 4.10 × 10

3
N.mm và G = 80
× 10
3
N/mm
2
. Từ ví dụ 3-6, J = 982 mm
4
.
Kết quả:
)982)(/80(
)250)(.10.4(
423
3
10
10
mmmm
N
mmmmN
GJ
TL
×
×
==
θ
= 0.013 rad
Sử dụng π rad = 180
0
: θ = (0.013 rad)(180 độ/π rad) = 0.75
0

Nhận xét: trên chiều dài 250 mm, góc xoắn của trục là 0.75 độ.
111
3-10 Xoắn trong chi tiết có mặt cắt ngang không tròn
Ảnh hưởng của xoắn đến các chi tiết có mặt cắt ngang không tròn hoàn toàn khác so với
các chi tiết có mặt cắt ngang tròn. Tuy nhiên hầu hết các thông số sử dụng trong thiết kế máy là
ứng suất lớn nhất và góc xoắn của những chi tiết như vậy. Công thức ứng với những tiết diện đó
có thể được biểu diễn tương tự như dạng của những chi tiết có mặt cắt ngang tròn (trục tròn đặc
và rỗng).
Có thể sử dụng hai công thức sau đây:
Ứng suất xoắn: τ
max
= T/Q (3-12)
Góc xoắn với mặt cắt không tròn: θ = TL/GK (3-13)
Chú ý rằng công thức (3-12) và (3-13) tương tự với công thức (3-10) và (3-11), với sự
thay thế của Q cho Z
P
và K cho J. Tham khảo phương pháp xác định các giá trị của K và Q cho
một vài kiểu mặt cắt ngang sử dụng trong thiết kế máy trên hình 3-10. Những giá trị này là gần
đúng chỉ khi hai đầu của chi tiết tự do biến dạng. Nếu một trong hai đầu cố định, như hàn với một
kết cấu đặc, ứng suất và góc xoắn thu được sẽ hoàn toàn khác. (xem tham khảo 2, 4, và 6.)
Ví dụ 3-8 Một trục đường kính 2.50 in đỡ một đĩa xích có một đầu được phay dạng hình vuông
cho phép lắp tay quay. Hình vuông đó có cạnh là 1.75 in. Tính ứng suất xoắn lớn nhất trên phần
hình vuông của trục khi mômen xoắn trên trục là 15 000 lb.in
Ngoài ra, nếu chiều dài của đoạn tiết diện vuông là 8.00 in, tính góc xoắn trên đoạn đó.
Vật liệu trục là thép có G = 11.5 × 10
6
psi.
Lời giải:
Vấn đề: Tính ứng suất xoắn lớn nhất và góc xoắn trong trục.
Đã cho: T = 15 000 lb.in; chiều dài L = 8.00 in; Trục vuông cạnh a = 1.75 in;

G = 11.5 × 10
6
psi
Tính toán: Hình 3-10 chỉ ra phương pháp tính giá trị của Q và K để sử dụng trong công
thức (3-12) và (3-13).
Kết quả: Q = 0.208a
3
= (0.208)(1.75 in)
3
= 1.115 in
3
K = 0.141a
4
= (0.141)(1.75 in)
4
= 1.322 in
4
Bây giờ có thể tính ứng suất và biến dạng
τ
max
=
)115.1(
.15000
3
in
inlb
Q
T
=
= 13 460 psi

θ =
)322.1)(/
10
5.11(
)00.8)(.15000(
426
inin
lb
ininlb
GK
TL
×
=
= 0.0079 rad
Chuyển góc xoắn sang độ: θ = (0.0079 rad)(180
0
/π rad) = 0.452
0
Nhận xét: Trên chiều dài 8.00 in, đoạn tiết diện vuông của trục bị xoắn 0.452
0
. Ứng suất
tiếp lớn nhất là 13 460 psi, và nó xuất hiện tại trung điểm của mỗi cạnh như đã chỉ trên hình 3-10.
112
Hình 3-10 Phương pháp xác định K và Q cho một vài loại mặt cắt ngang
3-11 Xoắn trong ống thành mỏng, kín
Một cách tổng quát, gần như bất kì dạng nào của ống thành mỏng, kín đều có thể sử dụng công
thức (3-12) và (3-13) với những phương pháp riêng để tính K và Q. Hình 3-11 chỉ ra một dạng
ống như vậy, có chiều dày thành không đổi. Giá trị của K và Q là
K = 4A
2

.t/U (3-14)
Q = 2.t.A (3-15)
Trong đó:
113
Hình 3-11 Ống kín thành mỏng với chiều dày thành không đổi
A là diện tích bao quanh bởi đường biên trung bình (biểu diễn bằng đường nét đứt trên
hình 3-11).
t là chiều dày thành ống (cần đồng đều và mỏng)
U là chiều dài đường biên trung bình
Ứng suất xoắn tính bằng phương pháp này là ứng suất trung bình trong thành ống. Tuy
nhiên, nếu chiều dày thành ống t nhỏ (thành mỏng) , ứng suất là gần đồng đều trên thành, và
phương pháp này sẽ tiến đến gần đúng giá trị ứng suất lớn nhất. Tính toán của ống có chiều dày
thành không đều nhau xem tham khảo 2, 4, và 7.
Để thiết kế một chi tiết chỉ chịu xoắn, hoặc chịu tổng hợp cả xoắn và uốn, nên chọn những
ống rỗng tròn hoặc hình chữ nhật, hoặc một số dạng kín khác nữa. Chúng có hiệu quả tốt đối với
cả uốn và xoắn.
3-12 Ống hở và ống kín
Thuật ngữ ống hở nhắc đến một dạng có hình ống nhưng không hoàn toàn đóng kín. Ví
dụ, một số ống được chế tạo bắt đầu từ một tấm thép phẳng, mỏng, sau đó lốc thành dạng mong
muốn (tròn, hình chữ nhật, vuông, và vân vân). Sau đó mối ghép được hàn dọc theo toàn bộ chiều
dài của ống. Cần chú ý so sánh những đặc trưng mặt cắt ngang của ống như vậy trước và sau khi
được hàn. Ví dụ dưới đây minh hoạ sự so sánh với một kích thước của ống tròn.
Ví dụ 3-9 Hình 3-12 chỉ ra một ống trước [phần (b)] và sau [phần (a)] khi mối ghép được hàn. So
sánh độ cứng và độ bền của mỗi dạng.
Hình 3-12 So sánh của ống kín và ống hở
114
Lời giải:
Vấn đề: so sánh độ cứng xoắn và độ bền của ống kín hình 3-12(a) với ống hở (có khe)
hình 3-12(b).
Đã cho: dạng ống được chỉ ra trên hình 3-12. Cả hai đều có cùng chiều dài, đường kính,

và chiều dày thành ống, và được làm từ cùng một loại vật liệu
Phân tích: công thức (3-13) đưa ra góc xoắn của một chi tiết không tròn và chỉ ra góc này
tỉ lệ nghịch với của K. Tương tự, công thức (3-11) chỉ ra góc xoắn của ống tròn rỗng là tỉ lệ
nghịch với mômen quán tính độc cực J. Toàn bộ các số hạng còn lại trong hai công thức đều
giống nhau với mỗi thiết kế. Vì vậy, tỉ lệ của θ
hở
trên θ
kín
bằng tỉ lệ J/K. Từ phụ lục 1, ta có
J = π(D
2
– d
2
)/32
Từ hình 3-10, ta thấy
K = 2.π.r.t
3
/3
Sử dụng lôgíc tương tự, công thức (3-12) và (3-8) chỉ ra rằng ứng suất tiếp lớn nhất tỉ lệ
nghịch với Q và Z
P
theo thứ tự cho ống hở và kín. Khi đó chúng ta có thể so sánh độ bền của hai
dạng bằng cách tính tỉ số Z
P
/Q. Từ công thức (3-9), ta thấy
Z
P
= J/c = J/(D/2)
Công thức xác định Q cho ống hở được liệt kê trong hình 3-10.
Kết quả: chúng ta so sánh độ cứng xoắn bằng cách tính tỉ số J/K. Với ống rỗng, kín

J = π(D
4
– d
4
)/32 = π(3.500
4
– 3.188
4
) = 4.592 in
4
Với ống hở trước rãnh được hàn, từ hình 3-10:
K = 2.π.r.t
3
/3 = [(2)(π)(1.672)(0.156)
3
]/3 = 0.0133 in
4
Tỉ số J/K = 4.592/0.0133 = 345
Sau đó chúng ta có thể so sánh độ bền của hai dạng bằng cách tính tỉ số Z
P
/Q. Giá
trị của J mới được tính là 4.592 in
4
. Khi đó
Z
P
= J/c = J/(D/2) = (4.592 in
4
)/[(3.500 in)/2] = 2.624 in
3

Với ống hở:
Q =
)]156,0.(8,1)672,1(6[
)156,0()672,1(
4
)8,1.6(
.4
22
2
2
2
2
inin
inin
tr
t
r
+
=
+
π
π
π
π
= 0,0845 in
3
Khi đó so sánh độ bền được:
Tỉ số Z
P
/Q = 2.624/0.0845 = 31.1

Nhận xét: khi chịu mômen xoắn, ống hở sẽ bị xoắn nhiều gấp 345 lần ống kín. Ứng suất
trong ống hở sẽ cao hơn trong ống kín là 31.1 lần. Cũng lưu ý rằng nếu ống mỏng, nó sẽ có khả
năng bị biến dạng ở mức ứng suất tương đối thấp, và ống sẽ bị phá huỷ đột ngột. So sánh này chỉ
ra khả năng làm việc tốt hơn nhiều của dạng khép kín so với dạng hở của mặt cắt. Một so sánh
tương tự có thể được tiến hành với các dạng không tròn.
115
3-13 Ứng suất cắt
Một dầm đỡ tải trọng, trục đặt nằm ngang sẽ chịu lực cắt, kí hiệu bằng V. Trong tính toán
dầm, thường tính toán sự biến đổi lực cắt trên toàn bộ chiều dài của dầm và vẽ biểu đồ lực cắt.
Sau đó tính ứng suất cắt từ
Ứng suất cắt đứng trong dầm τ = VQ/I.t (3-16)
Trong đó:
I là mômen quán tính thẳng góc của mặt cắt ngang của dầm
t là chiều dày của mặt cắt tại vị trí tính ứng suất
Q là mômen cấp 1, đối với trục trung hoà của diện tích phần mặt cắt ngang nằm về một
phía đường ngang với điểm tính ứng suất. Để tính giá trị của Q dùng công thức sau,
Mômen cấp 1 Q =
y
A
P
.
(3-17)
Trong đó: A
P
là diện tích mặt cắt bên trên điểm tính ứng suất

y
là khoảng cách từ đường trung hoà của mặt cắt đến trọng tâm của diện tích A
P
.

Trong một số sách hoặc tài liệu tham khảo, và trong những lần xuất bản trước đây của
quyển sách này, Q được gọi là mômen tĩnh. Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng thuật ngữ mômen diện
tích cấp một.
Hình 3-13 Những minh hoạ về A
P
và
y
sử dụng để tính Q cho ba dạng mặt cắt
Hình 3-14 Biểu đồ lực cắt và ứng suất tiếp (cắt đứng) trong dầm
116
Với hầu hết các dạng mặt cắt, ứng suất cắt lớn nhất xuất hiện tại trục trọng tâm. Đặc biệt
nếu chiều dày lớn hơn tại các vị trí cách xa trục trọng tâm, khi đó bảo đảm rằng giá trị lớn nhất
của ứng suất cắt xuất hiện tại trục trọng tâm.
Hình 3-13 chỉ ra 3 ví dụ làm thế nào nào để tính Q với các mặt cắt ngang điển hình của
dầm. Trong mỗi ví dụ, ứng suất cắt lớn nhất đều xuất hiện tại trục trung hoà.
Ví dụ 3-10 Hình 3-14 chỉ ra một dầm tựa đơn giản mang hai tải trọng tập trung. Biểu đồ lực cắt
được vẽ ra, cùng với mặt cắt ngang hình chữ nhật và kích thước. Phân bố ứng suất là đường
parabol, với ứng suất lớn nhất là tại đường trung hoà. Sử dụng công thức (3-16) để tính ứng suất
cắt lớn nhất trong dầm.
Lời giải:
Vấn đề: tính ứng suất cắt lớn nhất trong dầm trên hình 3-14.
Đã cho: dầm dạng hình chữ nhật: h = 8.00 in; t = 2.00 in.
Lực cắt lớn nhất V = 1000 lb trên đoạn AB
Tính toán: sử dụng công thức (3-16) để tính τ. V và t đã cho. Từ phụ lục 1,
I = t.h
3
/12
Giá trị của mômen thứ nhất của diện tích Q có thể được tính từ công thức (3-17). Với
dạng mặt cắt ngang hình chữ nhật đã chỉ ra trên hình 3-13(a), A
P

= t(h/2) và
y
= h/4. Khi đó
Q = A
P
.
y
= (t.h/2)(h/4) = t.h
2
/8
Kết quả: I = t.h
3
/12 = (2.0 in)(8.0 in)
3
/12 = 85.3 in
4
Q = A
P
.
y
= t.h
2
/8 = (2.0 in)(8.0 in)
2
/8 = 16.0 in
3
Khi đó ứng suất cắt lớn nhất là
)0.2)(3.85(
)0.16)(1000(
.

4
3
in
in
in
lb
tI
VQ
==
τ
= 93.8 lb/in
2
= 93.8 psi
Nhận xét: Ứng suất cắt lớn nhất là 93.8 psi xuất hiện tại trục trung hoà của mặt cắt hình
chữ nhật như trên hình 3-14. Phân bố ứng suất trong mặt cắt ngang là một đường parabol thông
thường, kết thúc với ứng suất cắt bằng không tại mép trên và dưới. Đây là đặc trưng của ứng suất
cắt tại mọi vị trí giữa gối đỡ bên trái tại A và điểm đặt tải 1200 lb tại B. Giá trị lớn nhất của ứng
suất cắt tại một điểm bất kì trên dầm tỉ lệ với độ lớn của lực cắt tại điểm đó.
Chú ý rằng ứng suất cắt đứng bằng với ứng suất cắt ngang vì mọi phân tố của vật liệu
chịu ứng suất cắt trên một mặt phải có ứng suất cắt với độ lớn tương tự trên mặt bên cạnh để phân
tố cân bằng. Hình 3-15 chỉ ra hiện tượng này.
Trong hầu hết các dầm, độ lớn của ứng suất cắt hết sức nhỏ so với ứng suất uốn (xem mục
phía sau). Với lí do này, nó thường không được tính đến. Một số trường hợp mà có ý nghĩa quan
trọng là:
117
1. Khi vật liệu dầm có độ bền cắt tương đối nhỏ (ví dụ gỗ).
2. Khi mômen uốn bằng không hoặc nhỏ (và vì vậy ứng suất uốn nhỏ), ví dụ tại những
các đầu của dầm tựa đơn giản và với những dầm ngắn.
3. Khi chiều dày của tiết diện chịu lực cắt là nhỏ, như những bộ phận làm từ tấm cán,
một số dạng kéo, và bụng của những dạng kết cấu cán ví dụ như dầm cánh rộng

Hình 3-15 Ứng suất cắt trên một phân tố
3-14 Những công thức ứng suất cắt đặc biệt
Công thức (3-16) có thể phức tạp bởi vì cần phải tính mômen thứ nhất của diện tích Q.
Một vài mặt cắt ngang thường dùng có điểm riêng biệt, dễ dàng sử dụng công thức tính ứng suất
cắt lớn nhất:
τ
max
cho hình chữ nhật: τ
max
= 3.V/2.A (chính xác) (3-18)
Trong đó A là diện tích toàn bộ mặt cắt ngang của dầm
τ
max
cho hình tròn: τ
max
= 4.V/3.A (chính xác) (3-19)
τ
max
cho dạng chữ I: τ
max
≈ V/t.h (xấp xỉ: nhỏ hơn khoảng 15%) (3-20)
Trong đó: t là chiều dày bụng
h là chiều cao bụng (cho ví dụ một dầm cánh rộng)
τ
max
cho ống thành mỏng: τ
max
= 2.V/A (xấp xỉ: cao hơn không đáng kể) (3-21)
Trong tất cả các trường hợp trên đây, ứng suất cắt lớn nhất xuất hiện tại đường trung hoà
Ví dụ 3-11 Tính ứng suất cắt lớn nhất trong dầm mô tả ở ví dụ 3-10 sử dụng công thức ứng suất

cắt riêng cho mặt cắt hình chữ nhật.
Lời giải:
Vấn đề: tính ứng suất cắt lớn nhất trong dầm trên hình 3-14
Đã cho: các thông số tương tự như ví dụ 3-10 và trên hình 3-14
Tính toán: Sử dụng công thức (3-18) để tính τ = 3V/2A. Với hình chữ nhật, A = t.h
Kết quả: τ
max
=
3 3(1000 )
2 2[(2.0 )(8.0 )]
V lb
A in in
=
= 93.8 psi
Nhận xét: Kết quả này giống như đã nhận được từ ví dụ 3-10.
118
3-15 Ứng suất uốn
Dầm là một chi tiết mang tải trọng với trục đặt nằm ngang. Những tải trọng như vậy tạo ra
mômen uốn trên dầm, sinh ra ứng suất uốn. Ứng suất uốn là ứng suất pháp, là kéo hoặc nén. Ứng
suất uốn cực đại trong mặt cắt ngang của dầm sẽ xuất hiện ở phần xa nhất tính từ trục trung hoà
của mặt cắt. Tại điểm đó, công thức xác định ứng suất uốn:
Công thức xác định ứng suất uốn lớn nhất: σ = M.c/I (3-22)
Trong đó M là độ lớn mômen uốn tại mặt cắt
I là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà của nó
c là khoảng cách từ trục trung hoà đến thớ ngoài cùng của mặt cắt ngang dầm.
MDESIGN
Độ lớn của ứng suất uốn thay đổi tuyến tính trong mặt cắt ngang từ giá trị bằng không tại
trục trung hoà đến giá trị ứng suất kéo lớn nhất về một phía của trục trung hoà, và ứng suất nén
lớn nhất ở phía còn lại. Hình 3-16 chỉ ra phân bố ứng suất điển hình trong mặt cắt ngang của dầm.
Lưu ý rằng phân bố ứng suất phụ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang.

Chú ý rằng uốn dương xuất hiện khi khi kiểu võng của dầm là phần lõm ở bên trên, dẫn
đến nén ở phần trên của mặt cắt ngang và kéo ở phần dưới. Ngược lại, uốn âm làm cho dầm bị
lõm ở bên dưới.
Công thức uốn được sử dụng khi thoả mãn những điều kiện sau:
1. Dầm cần phải chịu uốn thuần tuý. Ứng suất cắt bằng không hoặc không đáng kể.
Không có tải dọc trục.
2. Dầm không bị vặn hoặc chịu tải trọng xoắn.
3. Vật liệu dầm cần tuân theo định luật Húc
4. Môđun đàn hồi của vật liệu là như nhau với cả kéo và nén.
5. Dầm là thẳng lúc đầu và có mặt cắt ngang không đổi.
6. Mọi mặt cắt ngang của dầm vẫn phẳng khi uốn
7. Không có phần nào của dầm bị hỏng do mất ổn định hoặc uốn cục bộ.
Nếu điều kiện 1 là không hoàn toàn phù hợp, bạn có thể tiếp tục tính toán bằng cách sử
dụng phương pháp của ứng suất tổng hợp trình bày trong chương 4. Với đa số các dầm trong thực
tế đều khá dài so với chiều cao của chúng, ứng suất cắt là đủ nhỏ để bỏ qua. Hơn nữa, ứng suất
uốn lớn nhất xuất hiện tại những lớp ngoài cùng của mặt cắt dầm, là nơi mà ứng suất cắt bằng
không. Một dầm với mặt cắt ngang thay đổi, sẽ không thoả mãn điều kiện 5, có thể tính toán bằng
cách sử dụng hệ số tập trung ứng suất thảo luận ở phần sau của chương này.
Để thuận tiện cho thiết kế đưa ra thuật ngữ mômen chống uốn, S
S = I/c (3-23)
Công thức tính ứng suất uốn sẽ trở thành
Ứng suất uốn σ = M/S (3-24)
119
Vì I và c là các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang của dầm, nên S cũng vậy. Khi đó,
trong thiết kế thường xác định được ứng suất thiết kế σ
d
và với mômen uốn đã biết, giải được S:
Mômen chống uốn yêu cầu S = M/σ
d
(3-25)

Kết quả này là giá trị yêu cầu của mômen chống uốn. Từ đó những kích thước yêu cầu của
mặt cắt ngang của dầm có thể được xác định.
Hình 3-16 Phân bố ứng suất uốn điển hình trong mặt cắt ngang của dầm
Ví dụ 3-12 Cho dầm trên hình 3-16, tải trọng F do ống là 12 000 lb. Các khoảng cách a = 4 ft và
b = 6 ft. Xác định mômen chống uốn cần thiết của dầm để giới hạn ứng suất uốn ở 30 000 psi, ứng
suất thiết kế đề nghị cho các kết cấu thép điển hình là uốn tĩnh.
Lời giải:
Vấn đề: tính mômen chống uốn cần thiết S của dầm trong hình 3-16.
Đã cho: sự bố trí và sơ đồ tải được chỉ ra trong hình 3-16.
Chiều dài: chiều dài toàn bộ L = 10 ft; a = 4ft; b = 6 ft.
Tải trọng F = 12 000 lb. Ứng suất thiết kế σ
d
= 30 000 psi
Tính toán: sử dụng công thức (3-25) để tính mômen chống uốn cần thiết S. Tính mômen
uốn lớn nhất, xuất hiện tại điểm đặt tải trọng, sử dụng công thức trong hình 3-16(b).
120