Giáo án thiết kế cơ khí - Chương 6 Cột doc

Chương 6 Cột
Tổng quan
Bạn là nhà thiết kế
6.1 Nội dung của chương
6.2 Các đặc trưng của mặt cắt ngang của cột
6.3 Liên kết đầu cột và chiều dài làm việc
6.4 Độ mảnh
6.5 Độ mảnh giới hạn
6.6 Tính toán cột dài: Công thức Euler
6.7 Tính toán cột ngắn: Công thức J.B. Johnson
6.8 Bảng tính toán cột
6.9 Các dạng phù hợp với mặt cắt ngang của cột
6.10 Thiết kế cột
6.11 Cột cong
6.12 Cột chịu tải lệch tâm
248
Tổng quan
Nội dung thảo luận
 Cột là một chi tiết
dài, mảnh chịu tải
trọng nén dọc trục
và hỏng do mất ổn
định hơn là do phá
huỷ.
Tìm hiểu
Tìm ít nhất 10 ví dụ về cột. Mô tả chúng, chúng chịu tải như
thế nào, và thảo luận với các bạn học của mình.
Cố gắng tìm ít nhất một cột mà bạn có thể đặt tải thuận tiện
bằng tay, và quan sát hiện tượng mất ổn định.
Thảo luận với các bạn học về những thông số tác động đến
việc cột hỏng như thế nào và tải trọng mà nó có thể chịu

trước khi bị hỏng
Chương này sẽ giúp bạn nắm được một số công cụ phân tích
cần thiết để thiết kế và tính toán cột.
Cột là một bộ phận kết cấu chịu tải trọng nén dọc trục và có xu hướng hỏng do sự mất ổn định đàn
hồi, hoặc oằn, hơn là do hỏng vật liệu. Mất ổn định đàn hồi là dạng hỏng do hình dạng của cột
không đủ bền vững để giữ nó thẳng dưới tác dụng của tải trọng. Tại điểm xảy ra mất ổn định,
đường tâm của cột bị uốn cong hoàn toàn một cách đột ngột. Khi đó nếu tải trọng không giảm cột
sẽ bị oằn. Dĩ nhiên trong các kết cấu và chi tiết máy cần phải tránh dạng hỏng này.
Các cột thẳng một cách lí tưởng, tương đối đối dài và mảnh. Nếu chi tiết bị nén ngắn đến
mức nó không có xu hướng mất ổn định, thì để phân tích cần sử dụng các phương pháp đã trình
bày trong chương 5. Chương này sẽ trình bày một vài phương pháp tính toán và thiết kế cột đảm
bảo an toàn với các chế độ tải trọng khác nhau.
Hãy dành một vài phút để hình dung các ví dụ về mất ổ định cột. Tìm chi tiết bất kì dài và
mảnh, ví dụ que đo, thước nhựa, chốt bằng gỗ dài với đường kính nhỏ, ống hút, hay một thanh
nhựa hoặc kim loại mỏng. Đặt tải trọng hướng xuống một cách cẩn thận trên cột của bạn trong khi
kê đầu dưới trên bàn hoặc sàn. Cố gắng đảm bảo rằng nó không bị trượt. Tăng tải trọng dần dần
và quan sát trạng thái của cột cho đến khi nó bắt đầu uốn một cách đáng kể ở giữa. Tiếp theo giữ
mức tải trọng này. Không tăng quá mức này, có thể làm cột bị gãy.
Bây giờ dỡ tải cột sẽ trở lại hình dạng ban đầu của nó. Sẽ không xảy ra phá hủy hay chảy
dẻo. Nhưng liệu rằng bạn sẽ không cần chú ý đến hiện tượng cột bị hỏng tại điểm mất ổn định?
Việc giữ tải trọng tác dụng nhỏ hơn tải bắt đầu gây ra mất ổn định là không quan trọng?
Bây giờ quan sát xung quanh bạn. Nghĩ đến những thứ mà bạn thấy quen thuộc, hay dành
thời gian đi ra ngoài và tìm những ví dụ khác về cột. Nhớ rằng tìm kiếm những chi tiết tương đối
dài, mảnh và chịu nén. Chú ý đến các bộ phận của đồ đạc, nhà cửa, ôtô, xe tải, đồ chơi, các kết
cấu, máy móc công nghiệp, và máy xây dựng. Cố gắng tìm ít nhất 10 ví dụ. Mô tả chúng: được
làm từ vật liệu gì, cách thức đỡ, cách thức chịu tải. Làm công việc đó với các bạn học trong lớp,
đem những nội dung đó đến buổi học tới để thảo luận.
Chú ý rằng bạn đã được yêu cầu tìm các chi tiết chịu tải tương đối dài, mảnh. Bạn sẽ phải
biết một chi tiết thế nào là dài và mảnh? Ở điểm này, bạn nên tiến hành tranh luận và đưa ra ý
kiến. Nếu đã có cột, và bạn đủ mạnh để làm nó mất ổn định, tiến tới và thử. Ở phần sau trong

chương này, chúng ta sẽ xác định ý nghĩa của các thuật ngữ dài và mảnh.
249
Nếu bạn thấy các cột bị biến dạng mà không bị mất ổn định, vậy đặc trưng gì của vật liệu
có liên quan chủ yếu đến đến hiện tượng hư hỏng do mất ổn định? Nhớ rằng hư hỏng đã được mô
tả là mất ổn định đàn hồi. Khi đó có thể thấy rằng môđun đàn hồi của vật liệu là yếu tố then chốt.
Xem lại định nghĩa của đặc trưng này từ chương 1, và tìm giá trị trong bảng về các đặc trưng của
vật liệu trong phụ lục 3-13.
Cũng cần lưu ý rằng chúng ta đã định rõ ban đầu các cột thẳng và tải trọng tác dụng dọc
trục. Điều gì xảy ra nếu các điều kiện trên không đạt được? Nếu cột hơi cong trước khi đặt tải?
Bạn có cho rằng nó sẽ mang được một tải trọng nén bằng với cột như vậy nhưng thẳng? Tại sao
và tại sao không? Sẽ thế nào nếu cột chịu tải lệch tâm, là tải có hướng lệch so với tâm, cách một
khoảng so với trục trọng tâm của cột? Điều đó sẽ tác động thế nào đến khả năng mang tải? Cách
thức đỡ ở các đầu của cột ảnh hưởng như thế nào đến khả năng này? Các kiểu đỡ nào thường gặp?
Những câu hỏi trên đây và những câu khác nữa sẽ bắt gặp trong chương này. Bất cứ khi
nào bạn gặp rắc rối trong thiết kế mà tải trọng tác dụng là nén, bạn nên nghĩ đến việc tính toán nó
như là cột. Sau đây phần Bạn là nhà thiết kế là một ví dụ tốt về vấn đề thiết kế máy như vậy.
Bạn là nhà thiết kế
Bạn là thành viên của nhóm đang thiết kế
một máy nén thương mại để giảm thể tích rác
bìa cứng và giấy loại để có thể vận chuyển dễ
dàng đến nhà máy xử lí. Hình 6-1 là một bản
phác thảo của pittông nén được dẫn động bằng
một xylanh thủy lực với một lực khoảng vài
nghìn pound. Thanh truyền giữa xylanh thủy
lực và pittông cần được thiết kế như cột vì nó
là một chi tiết chịu nén tương đối dài, tiết diện
nhỏ. Mặt cắt ngang thanh truyền nên chọn
hình dạng nào? Từ đó loại vật liệu chế tạo sẽ
là gì? Và nó sẽ được nối như thế nào với
pittông và xylanh thủy lực? Những kích thước

cuối cùng của thanh là gì? Bạn, người thiết kế,
cần phải xác định tất cả các thông số trên.
Hình 6-1 Máy ép giấy phế liệu
6-1 Nội dung của chương
Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có thể:
1. Nhận dạng mọi chi tiết chịu nén tương đối dài và mảnh cần được tính toán như với cột
để tránh xảy ra mất ổn định.
2. Xác định các dạng mặt cắt ngang hiệu quả với cột.
3. Tính bán kính quán tính của một mặt cắt ngang của cột.
250
4. Xác định giá trị phù hợp cho hệ số liên kết K, và xác định chiều dài làm việc của cột.
5. Tính độ mảnh của các cột.
6. Chọn một phương pháp tính toán hay thiết kế phù hợp với cột trên cơ sở đặc tính của
tải trọng, kiểu đỡ, và độ mảnh.
7. Xác định xem một cột là dài hay ngắn dựa trên giá trị độ mảnh khi so sánh với độ
mảnh giới hạn.
8. Sử dụng công thức Euler cho tính toán và thiết kế các cột dài.
9. Sử dụng công thức J.B. Johnson cho tính toán và thiết kế các cột ngắn.
10. Tính toán các cột cong để xác định tải trọng cho phép.
11. Tính toán các cột với tải trọng tác dụng lệch tâm một lượng nhỏ để xác định ứng suất
lớn nhất và độ võng lớn nhất của những cột như vậy.
6-2 Các đặc trưng của mặt cắt ngang của cột
Xu hướng để cột mất ổn định tùy thuộc vào hình dạng và kích thước mặt cắt ngang của
nó, cùng với chiều dài và cách thức gắn với các bộ phận hoặc gối đỡ liên quan. Các đặc trưng mặt
cắt ngang quan trọng là:
1. Diện tích mặt cắt ngang A.
2. Mômen quán tính của mặt cắt ngang I, với trục mà giá trị của I là nhỏ nhất.
3. Giá trị nhỏ nhất của bán kính quán tính của mặt cắt ngang r.
Bán kính quán tính được tính từ:
Bán kính quán kính

AIr /=
(6-1)
Cột có xu hướng mất ổn định so với trục mà bán kính quán tính và mômen quán tính là
nhỏ nhất. Hình 6-2 chỉ ra bản vẽ phác thảo của cột có mặt cắt ngang hình chữ nhật. Trục có khả
năng mất ổn định là Y-Y vì cả I và r đều nhỏ hơn nhiều so với I và r của trục X-X. Bạn có thể
chứng minh được hiện tượng này bằng cách đặt tải theo cách thông thường với tải trọng dọc trục
đủ lớn để gây ra mất ổn định. Xem công thức I và r của những hình dạng thông dụng trong phụ
lục 1. Xem các dạng kết cấu trong phụ lục 16.
6-3 Liên kết đầu cột và chiều dài làm việc
Thuận ngữ ngàm một đầu nhắc đến cách thức đỡ hai đầu của cột. Thông số quan trọng nhất là số
hạn chế xu hướng chuyển động quay đạt được ở hai đầu cột. Ba dạng liên kết ở đầu là khớp, ngàm
chặt, và tự do.
Cột đầu khớp bị hạn chế sao cho đầu cột không thể lắc từ mặt này sang mặt khác, nhưng
nó cho phép quay quanh khớp. Đầu khớp gần đúng nhất sẽ là khớp cầu không ma sát. Một khớp
chốt trụ ít cản trở chuyển động quanh một trục, nhưng nó có thể cản trở theo trục vuông góc với
đường tâm chốt.
Một đầu ngàm là loại hạn chế chuyển động quay tại gối. Một ví dụ là cột trụ lắp chặt vào
một ống mà bản thân ống là tựa cứng. Ống ngăn cản quay theo mọi hướng để cố định đầu trục.
Đầu cột được hàn chắc vào một bản đế cũng là dạng cột ngàm một đầu.
251
Đầu tự do có thể lấy ví dụ bằng cột cờ. Đầu trên của cột cờ là tự do và không bị dẫn
hướng, trường hợp xấu nhất của cột chịu tải.
Phương thức đỡ hai đầu cột tác động đến chiều dài làm việc, xác định như sau
Chiều dài làm việc
e
KL
L
=
(6-2)
Trong đó L = chiều dài thực của cột giữa hai gối đỡ

K = hằng số tùy thuộc vào liên kết ở hai đầu, như minh họa trong hình 6-3
Các giá trị đầu tiên của K là giá trị lí thuyết dựa trên hình dạng của đường đàn hồi. Các
giá trị thứ hai tính đến sự ngàm chặt ở các đầu cột trong thực tế. Sẽ rất là khó để đạt được cột
ngàm chặt hoàn toàn vì gối hoặc các liên kết không hoàn toàn cứng vững. Vì vậy đề xuất các giá
trị K lớn hơn
Hình 6-2 Cột hình chữ nhật mỏng mất ổn định. (a) Hình dạng tổng quát của cột mất ổn
định. (b) Bán kính quán tính với trục Y-Y. (c) Bán kính quán tính với trục X-X.
252
Hình 6-3 Các giá trị của K cho chiều dài làm việc,
e
KL
L
=
.
6-4 Độ mảnh
Độ mảnh là tỉ số giữa chiều dài làm việc của cột trên bán kính quán tính nhỏ nhất của nó.
Đó là:
Độ mảnh Độ mảnh = L
e
/r
min
= KL/r
min
(6-3)
Chúng ta sẽ sử dụng độ mảnh để hỗ trợ trong việc chọn phương pháp tính toán các cột
thẳng chịu tải đúng tâm.
6-5 Độ mảnh giới hạn
Trong các mục sau trình bày hai phương pháp dùng để tính toán các cột thẳng chịu tải
đúng tâm: (1) Công thức Euler cho các cột dài, mảnh và (2) Công thức J.B. Johnson cho các cột
ngắn.

Việc lựa chọn phương pháp nào phụ thuộc vào giá trị độ mảnh thực tế của cột đang tính
so với độ mảnh giới hạn, hay hằng số của cột C
C
, xác định theo:
Độ mảnh giới hạn
2
2
c
y
E
C
s
π
=
(6-4)
Trong đó E = môđun đàn hồi của vật liệu cột
s
y
= giới hạn chảy của vật liệu
Việc sử dụng độ mảnh giới hạn được trình bày trong qui trình sau để tính các cột thẳng
chịu tải đúng tâm.
253
Qui trình tính toán các cột thẳng chịu tải đúng tâm
1. Với cột đã cho, tính độ mảnh thực của nó.
2. Tính giá trị C
c
.
3. So sánh C
c
với KL/r

.
Vì C
c
là giá trị của độ mảnh để phân biệt cột dài so với cột ngắn,
kết quả so sánh cho thấy kiểu tính toán sẽ được sử dụng.
4. Nếu KL/r lớn hơn C
c
, cột dài. Sử dụng công thức Euler như trong mục 6-6.
5. Nếu KL/r nhỏ hơn C
c
, cột ngắn. Sử dụng công thức J.B. Johnson, như trong mục 6-7.
Hình 6-4 là một sơ đồ khối của qui trình này.
Giá trị của độ mảnh giới hạn tùy thuộc vào đặc trưng của vật liệu là môđun đàn hồi và
giới hạn chảy. Với loại vật liệu bất kì đã cho, ví dụ thép, môđun đàn hồi gần như là hằng số. Vì
vậy giá trị của C
c
tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của giới hạn chảy. Các hình 6-5 và 6-6 chỉ ra lần
lượt các giá trị của thép và nhôm, với khoảng giới hạn chảy của từng loại vật liệu. Các hình cho
thấy rằng giá trị của C
c
giảm khi giới hạn chảy tăng. Tầm quan trọng của nhận xét đó được thảo
luận trong mục sau đây.
6-6 Tính toán cột dài: công thức Euler
Tính toán cột dài sử dụng công thức Euler (xem tham khảo 3):
Công thức Euler cho các cột dài
( )
2
2
/
cr

EA
P
KL r
π
=
(6-5)
MDESIGN
Công thức đưa ra tải trọng tới hạn P
cr
, là giá trị tải trọng mà cột bắt đầu mất ổn định.
Từ công thức (6-5) suy ra một dạng biến đổi thường dùng của công thức Euler:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2
2
/
/
cr
EA EA EA
r
P
KL r KL KL
r
π π π
= = =
Nhưng từ công thức xác định bán kính quán tính, r,
AIr /=

2

/I A
r
=
Khi đó
Dạng biến đổi của công thức Euler
( ) ( )
2 2
2 2
cr
EAI EI
P
A
KL KL
π π
= =
(6-6)
Dạng này của công thức Euler dùng trong các vấn đề thiết kế mà mục tiêu là xác định kích
thước và hình dạng mặt cắt ngang của cột chịu tải trọng đã biết. Mômen quán tính của mặt cắt
ngang cần tìm có thể dễ dàng xác định từ công thức (6-6).
Chú ý rằng tải trọng tới hạn chỉ phụ thuộc vào các thông số hình học (chiều dài và mặt cắt
ngang) của cột và độ cứng của vật liệu thể hiện bởi môđun đàn hồi. Độ bền của vật liệu không bao
hàm ở đây. Với những lí do trên, khi chọn vật liệu có độ bền cao làm cột dài thường không có lợi.
Sử dụng một vật liệu có độ bền thấp hơn với cùng độ cứng, E sẽ tốt hơn.
254
Hình 6-3
Tính toán cột thẳng
chịu tải đúng tâm
255
Hình 6-5 Độ mảnh giới hạn C
c

ứng với giới hạn chảy của thép
Hình 6-6 Độ mảnh giới hạn C
c
ứng với giới hạn chảy của nhôm
Hệ số an toàn và tải trọng cho phép
Vì hư hỏng được dự báo xuất hiện tại tải trọng tới hạn, chứ không phải tại ứng suất, khái
niệm hệ số an toàn được áp dụng sẽ khác biệt so với hầu hết các bộ phận mang tải trọng. Thay vì
áp dụng hệ số an toàn vào giới hạn chảy hay giới hạn bền, chúng ta áp dụng nó vào tải tới hạn, từ
256
công thức (6-5) hoặc (6-6). Với các ứng dụng thiết kế máy điển hình, sử dụng hệ số an toàn là 3.
Với cột xác định, tải trọng và liên kết đã biết, có thể sử dụng hệ số an toàn nhỏ hơn, thí dụ như
2.0. Hệ số 1.92 được sử dụng trong một vài kết cấu. Ngược lại, với những cột rất dài, có sự không
chắc chắn về các tải trọng hay liên kết, hoặc có những nguy hiểm đặc biệt nên sử dụng hệ số lớn
hơn. (Xem tham khảo 1 và 2).
Trong phần tổng kết, mục tiêu của tính toán và thiết kế cột là bảo đảm rằng tải trọng tác
dụng lên cột là an toàn, nhỏ hơn tải tới hạn. Cần nắm vững các thuật ngữ sau đây:
P
cr
= tải trọng tới hạn
P
a
= tải trọng cho phép
P = tải trọng tác dụng thực tế
N = hệ số an toàn
Khi đó
Tải trọng cho phép P
a
= P
cr
/N

Tải trọng tác dụng thực P phải nhỏ hơn P
a
.
Ví dụ 6-1 Một cột có mặt cắt ngang tròn đặc, đường kính 1.25 in, chiều dài 4.50 ft và liên kết
khớp tại cả hai đầu. Nếu nó được làm từ thép kéo nguội AISI 1020, xác định tải trọng an toàn của
cột?
Lời giải
Vấn đề: Xác định tải trọng an toàn của cột
Đã cho: Mặt cắt ngang tròn đặc: đường kính d = 1.25 in; dài L = 4.50 ft.
Cả hai đầu trục đều liên kết khớp.
Vật liệu: thép kéo nguội AISI 1020.
Tính toán: sử dụng qui trình trong hình 6-4
Kết quả:
Bước 1: Với cột liên kết khớp, hệ số liên kết K = 1.0. Chiều dài làm việc bằng với chiều
dài thực; KL = 4.50 ft = 54 in.
Bước 2: Từ Phụ lục 1, với mặt cắt tròn đặc,
r = D/4 = 1.25/4 = 0.3125 in
Bước 3: Tính độ mảnh:
173
3125.0
)54(0.1
==
r
KL
Bước 4: Tính độ mảnh giới hạn từ công thức (6-4). Với thép kéo nguội AISI 1020, giới
hạn chảy là 51 000 psi, và môđun đàn hồi là 30×10
6
psi. Khi đó
257
( )

2 6
2
2 30
10
2
108
51000
c
y
E
C
s
π
π
×
= = =
Bước 5: Vì KL/r lớn hơn C
c
, cột là dài , sử dụng công thức Euler. Diện tích mặt cắt là
( )
2
2
1.25
1.23
4 4
D
A
π
π
= = =

in
2
Khi đó tải trọng tới hạn là
( )
( )
( )
( )
2 6
2
2 2
30 1.23
10
12200
/ 173
cr
EA
P
KL r
π
π
×
= = =
lb
Ở tải trọng này, cột bắt đầu mất ổn định. Tải trọng an toàn phải là giá trị nhỏ hơn, tìm
được bằng cách áp dụng hệ số an toàn vào tải trọng tới hạn. Chúng ta sử dụng N = 3 để tính tải
trọng cho phép, P
a
= P
cr
/N:

P
a
= (12 200)/3 = 4067 lb
Kết luận: Tải trọng an toàn trên cột là 4067 lb
6-7 Tính toán cột ngắn: Công thức J.B. Johnson
Khi độ mảnh thực tế của cột KL/r nhỏ hơn giá trị giới hạn C
c
, cột ngắn chúng ta sử dụng
công thức J.B. Johnson. Dùng công thức Euler trong phạm vi này sẽ đưa ra một tải trọng tới hạn
lớn hơn giá trị thật của nó.
Hình 6-7 Đường cong Johnson
258
Công thức J.B. Johnson được viết như sau
Công thức J.B. Johnson cho cột ngắn
( )
2
2
/
1
4
y
cr y
KL r
s
A
s
P
E
π
 

= −
 
 
 
(6-7)
Hình 6-7 đưa ra một đồ thị các kết quả của công thức này như là một hàm của độ mảnh, KL/r.
Chú ý rằng nó tiếp tuyến với kết quả của công thức Euler tại độ mảnh giới hạn, là giới hạn ứng
dụng của công thức này. Ngoài ra, tại các giá trị độ mảnh rất nhỏ, số hạng thứ hai của công thức
tiệm cận với không, và tải trọng tới hạn tiệp cận với tải trọng gây chảy. Các đường cong cho ba
loại vật liệu khác nhau được biểu diễn trong hình để minh họa cho ảnh hưởng của E và s
y
đến tải
trọng tới hạn và độ mảnh giới hạn.
Tải trọng tới hạn của cột ngắn chịu ảnh hưởng bởi độ bền của vật liệu cộng với độ cứng
của nó, E. Như đã nêu ra trong mục trước, độ bền không phải là một hệ số khi sử dụng công thức
Euler cho cột dài.
Ví dụ 6-2 Xác định tải trọng tới hạn trên cột thép, mặt cắt ngang chữ nhật, 12 mm × 18 mm, dài
280 mm. Dự kiến sử dụng thép cán nóng AISI 1040. Đầu dưới của cột được lắp kín vào đế và hàn
chắc. Đầu trên là liên kết khớp (xem hình 6-8).
Lời giải:
Vấn đề: Tính tải trọng tới hạn của cột.
Đã cho: Mặt cắt ngang chữ nhật đặc: B = 12 mm; H = 18 mm; L = 280 mm.
Đầu dưới ngàm, đầu trên khớp (xem hình 6-8).
Vật liệu: thép cán nóng AISI 1040.
Tính toán: Sử dụng qui trình trong hình 6-4.
Hình 6-8 Cột thép
259
Kết quả:
Bước 1: Tính độ mảnh. Cần xác định bán kính quán tính nhỏ nhất. Ở đây là với trục Y-Y,
46.3

12
12
12
===
mmB
r
mm
Cột với một đầu khớp, một đầu ngàm có K = 0.8. Khi đó
KL/r = [(0.8)(280)]/3.46 = 64.7
Bước 2: Tính độ mảnh giới hạn. Với thép cán nóng AISI 1040, E = 207 Gpa và s
y
= 290
Mpa. Khi đó từ công thức (6-4),
( )
2 9
6
2 207
10
119
290
10
c
Pa
C
Pa
π
×
= =
×
Bước 3: Vì KL/r < C

c
nên đây là cột ngắn. Sử dụng công thức J.B. Johnson để tính tải
trọng tới hạn:
( )
2
2
/
1
4
y
cr y
KL r
s
A
s
P
E
π
 
= −
 
 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
2
6
2 2

2 9
290
64.7
10
216 290 / 1
4 207
10
cr
Pa
N
mm mm
P
Pa
π
 
×
 
= −
×
 
 
cr
P
= 53.3 × 10
3
N = 53.3 kN
Kết luận: Đây là tải trọng mất ổn định tới hạn. Chúng ta sẽ phải áp dụng hệ số an toàn để
xác định tải trọng cho phép. Chọn N = 3 được kết quả là P
a
= 17.8 kN.

6-8 Bảng tính toán cột
Hoàn thành quá trình trong hình 6-4 sử dụng máy tính, bút, và giấy sẽ rất mệt mỏi. Một
bảng tính sẽ tự động làm các tính toán sau khi bạn đưa vào các số liệu tương ứng cho một cột cụ
thể. Hình 6-9 trình bày đầu ra của một bảng tính sử dụng để giải ví dụ 6-1. Việc thiết lập các bảng
tính có thể được làm bằng nhiều cách, và bạn nên xây dựng bảng của riêng mình. Các nhận xét
sau đây chỉ ra các đặc điểm của bảng tính đã cho:
1. Ở phần đầu của bảng, đưa ra các hướng dẫn cho người sử dụng để nhập các số liệu và
đơn vị. Bảng tính này chỉ sử dụng hệ Anh. Nếu là hệ SI, một bảng tính khác sẽ được
sử dụng. (Xem hình 6-10, với lời giải cho ví dụ 6-2).
2. Phần bên trái bảng tính liệt kê các thông số mà người sử dụng cần nhập vào để chạy
các tính toán. Ở phần bên phải là các giá trị đầu ra. Các công thức tính L
e
, C
c
, KL/r, và
tải trọng cho phép được viết trực tiếp vào ô của các giá trị cần tính. Đầu ra báo “Cột
là: dài” và tải trọng mất ổn định tới hạn được tính bằng các hàm cài đặt trong phần
macrô viết bởi Visual Basic và đặt vào một ô riêng của bảng tính. Hình 6-11 là hai
macrô đã sử dụng. Macrô đầu tiên (LorS) thực hiện xử lí để kiểm tra xem liệu cột là
dài hay ngắn bằng cách so sánh độ mảnh của cột với độ mảnh giới hạn. Macrô thứ hai
(Pcr) tính tải trọng mất ổn định tới hạn sử dụng công thức Euler hoặc công thức J.B.
260
Johnson, tùy thuộc vào kết quả của macrô LorS. Những hàm này được gọi ra bởi các
lệnh trong ô có chữ “dài” và giá trị tính toán của tải trọng mất ổn định tới hạn (12 197
lb) được xác định.
3. Với bảng tính như vậy có bạn có thể tính toán một vài phương án thiết kế nhanh
chóng. Với ví dụ đã đưa ra có hai đầu cột là khớp, kết quả là K =1. Điều gì sẽ xảy ra
nếu cả hai đầu đều là ngàm? Chỉ việc thay giá trị của ô đó thành K = 0.65 làm cho
toàn bộ bảng sẽ được tính lại, và sẽ có ngay giá trị tải trọng mất ổn định tới hạn. Kết
quả là P

cr
= 28 868, tăng 2.37 lần so với giá trị ban đầu. Với sự cải tiến như vậy, bạn –
người thiết kế, có thể sẵn sàng thay đổi thiết kế để tạo ra cả hai đầu ngàm.
Hình 6-9 Bảng tính toán cột với số liệu từ ví dụ 6-1
261
Hình 6-10 Bảng tính toán cột với số liệu từ ví dụ 6-2
262
Hình 6-11 Các macro đã sử dụng trong bảng tính toán cột
Hình 6-12 Các mặt cắt ngang cột
6-9 Các dạng phù hợp với mặt cắt ngang của cột
Một hình dạng phù hợp là loại có thể tạo ra hiệu quả tốt với lượng nhỏ vật liệu. Trong
trường hợp của cột, hình dạng mặt cắt ngang và các kích thước của nó quyết định giá trị của bán
kính quán tính, r. Từ công thức xác định độ mảnh, KL/r, chúng ta có thể thấy rằng khi r lớn, độ
mảnh sẽ nhỏ. Trong công thức tải trọng tới hạn, một độ mảnh nhỏ hơn sẽ cho kết quả là tải trọng
263
tới hạn lớn hơn, đó chính là điều mong muốn nhất. Vì vậy, cần có bán kính quán tính lớn nhất khi
thiết kế một mặt cắt ngang hiệu quả.
Nếu sự liên kết ở đầu cột là không thay đổi so với các trục của mặt cắt ngang, cột sẽ có xu
hướng mất ổn định so với trục có bán kính quán tính nhỏ nhất. Vì vậy một cột với các giá trị bán
kính quán tính bằng nhau theo mọi phương là điều được mong muốn.
Nhắc lại cách xác định bán kính quán tính:
AIr /=
Công thức này cho thấy với một diện tích đã cho, chúng ta nên cố gắng đạt được mômen
quán tính lớn nhất để có bán kính quán tính cực đại. Dạng có mômen quán tính lớn có diện tích
phân bố xa so với các trục trọng tâm của nó.
Các dạng có đặc điểm phù hợp bao gồm các cột tròn rỗng và ống, ống vuông rỗng, và các
cột được làm từ các dạng kết cấu đặt tại biên ngoài của tiết diện. Các tiết diện tròn đặc và vuông
tròn đặc cũng tốt, mặc dù không hiệu quả như các tiết diện rỗng. Hình 6-12(a-d) minh họa cho
một vài dạng trên. Tiết diện ghép (e) tạo ra tiết diện vững chắc dạng hộp gần giống với ống vuông
rỗng kích thước lớn. Trong trường hợp của hình 6-12(f), các tiết diện chữ L tại các góc đóng góp

lớn nhất vào mômen quán tính. Các thanh giằng chỉ đơn thuần để giữ các thép góc. Cột H trong
(g) có chiều cao và chiều rộng bằng nhau với bản cánh, bản bụng tương đối lớn. Mômen quán tính
với trục y-y vẫn nhỏ hơn so với trục x-x, nhưng chúng gần bằng nhau hơn so với hầu hết các dạng
chữ I được sử dụng làm dầm chịu uốn phẳng. Vì vậy dạng này là dạng được ưu tiên hơn cho cột.
6-10 Thiết kế cột
MDESIGN
Trong thiết kế, sẽ biết trước tải trọng mong muốn trên cột, cùng với chiều dài yêu cầu bởi
ứng dụng. Khi đó người thiết kế sẽ phải xác định những thông số sau:
1. Phương thức gắn các đầu cột vào kết cấu có tác động đến liên kết đầu cột.
2. Hình dạng của mặt cắt ngang (ví dụ, tròn, vuông, chữ nhật, ống).
3. Vật liệu làm cột.
4. Hệ số an toàn, xét đến ứng dụng.
5. Các kích thước cuối cùng của cột.
Cũng có thể yêu cầu đề xuất và tính toán một vài thiết kế khác nhau để tiến đến một phương án tối
ưu. Một chương trình máy tính hoặc bảng tính sẽ thuận tiện cho quá trình này.
Giả thiết rằng các mục từ 1 đến 4 được xác định bởi người thiết kế với mọi phép thử đưa
ra. Với một số dạng đơn giản, như tiết diện tròn hoặc vuông đặc, các kích thước cuối cùng được
tính từ các công thức tương ứng: công thức Euler, công thức (6-5) hay (6-6), hoặc công thức J.B.
Johnson, công thức (6-7). Nếu không thu được nghiệm đại số, các bước lặp có thể được tiến hành.
Trong một vấn đề thiết kế, các kích thước mặt cắt ngang chưa biết làm cho việc tính bán
kính quán tính và dẫn đến tính độ mảnh KL/r là không thể. Không có độ mảnh chúng ta không thể
xác định được cột là dài (Euler) hay ngắn (Johnson). Vì vậy chưa thể biết sẽ sử dụng công thức
nào.
264
Chúng ta khắc phục khó khăn này bằng cách đưa ra một giả thiết rằng cột là dài hoặc ngắn
và tiến hành với công thức tương ứng. Khi đó, sau khi các kích thước mặt cắt ngang được xác
định, giá trị thực tế của KL/r sẽ tính được và so sánh với C
c
. Nó sẽ cho thấy liệu rằng công thức đã
sử dụng là đúng hay không. Nếu không thay đổi, đáp án đã tính là đúng. Nếu không, công thức kế

tiếp cần được sử dụng và lặp lại phép tính để xác định các kích thước mới. Hình 6-13 chỉ ra một
sơ đồ khối cho lôgic thiết kế đã mô tả ở đây.
Thiết kế: Giả thiết cột dài
Công thức Euler được sử dụng nếu giả thiết là cột dài. Công thức (6-6) là dạng thuận tiện
nhất vì có thể từ đó tìm được mômen quán tính, I:
Từ công thức Euler tìm giá trị yêu cầu của I:
( ) ( )
2 2
2 2
cr a
NKL KL
P P
I
E E
π π
= =
(6-8)
Trong đó P
a
= tải trọng cho phép, thường lấy bằng tải trọng thực lớn nhất.
Có giá trị yêu cầu của I, chúng ta có thể xác định các kích thước của tiết diện bằng các
tính toán bổ xung hoặc bằng cách tra bảng thông số các đặc trưng của các mặt cắt ngang sẵn có.
Với mặt cắt tròn đặc có thể từ công thức cuối cùng để xác định kích thước đặc trưng của
nó là đường kính. Mômen quán tính là
2
64
D
I
π
=

Thay vào công thức (6-8) được
( )
2
2
2
64
a
N KL
P
D
I
E
π
π
= =
Giải ra được D
Đường kính cần tìm cho cột tròn đặc, dài.
( )
1
4
2
64
3
N KL
P
a
D
E
π
 

 
=
 
 
(6-9)
Thiết kế: Giả thiết cột ngắn
Công thức J.B. Johnson được sử dụng để tính một cột ngắn. Sẽ khó để tìm được một dạng thuận
tiện để sử dụng trong thiết kế. Khi đó trong trường hợp tổng quát, phương pháp thử và phát hiện
lỗi được sử dụng.
Với một vài trường hợp đặc biệt, bao gồm tiết diện tròn đặc, có thể biến đổi công thức J.B.
Johnson để tìm kích thước đường kính:
( )
2
2
/
1
4
y
cr y
KL r
s
A
s
P
E
π
 
= −
 
 

 
(6-7)
265
Hình 6-13 Thiết kế cột thẳng chịu tải trọng đúng tâm
266
Nhưng
2
/ 4A
D
π
=
4/Dr =
(từ Phụ lục 1)
P
cr
= NP
a
Khi đó
( )
( )
2
2
2
2
1
4
4
/ 4
y
a y

KL
s
D
N
s
P
E
D
π
π
 
= −
 
 
 
( )
( )
2
2
2
2
16
4
1
4
y
a
y
KL
N

s
P
D
E
s
D
π
π
 
= −
 
 
 
Giải được D:
Đường kính cần tìm cho cột ngắn tròn đặc:
( )
1/ 2
2
4
4
2
KL
s
N
y
P
a
D
s
E

y
π
π
 
 
= +
 
 
 
(6-10)
Ví dụ 6-3 Xác định đường kính phù hợp của một mặt cắt ngang tròn đặc của một khâu nếu nó
chịu lực nén đúng tâm là 9800 lb. Chiều dài khâu là 25 in, các đầu liên kết khớp. Sử dụng N = 3,
thép cán nóng AISI 1020.
Lời giải
Vấn đề: Xác định đường kính thích hợp của cột
Đã cho: Mặt cắt ngang tròn đặc: L = 25 in; sử dụng N = 3.
Cả hai đầu đều liên kết khớp.
Vật liệu: thép cán nóng AISI 1020.
Tính toán: Sử dụng qui trình trong hình 6-13. Đầu tiên giả thiết cột là dài.
Kết quả: Từ Công thức (6-9),

( )
( ) ( )
( )
( )
1/ 4
1/ 4
2 2
64 64 3 9800 25
3

3 6
30
10
N KL
P
a
D
E
π
π
 
 
 
 
= =
 
 
×
 
 
 
D = 1.06 in
Bây giờ có thể tìm được bán kính quán tính:
r = D/4 = 1.06/4 = 0.265 in
Độ mảnh là
KL/r = [(1.0)(25)]/0.265 = 94.3
267
Với thép cán nóng AISI 1020, s
y
= 30 000 psi. Tra đồ thị hình 6-5 được C

c
xấp xỉ 138. Vì
vậy độ mảnh thực tế KL/r nhỏ hơn giá trị giới hạn, và cột cần phải được thiết kế lại như là một cột
ngắn, sử dụng công thức (6-10) suy ra từ công thức Johnson:
( )
1/ 2
2
4
4
2
KL
s
N
y
P
a
D
s
E
y
π
π
 
 
= +
 
 
 
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
1/ 2
2
4 300004 3 9800 25
2 6
30000
30
10
D
π
π
 
 
= +
 
×
 
 
= 1.23 in (6-10)
Kiểm tra độ mảnh một lần nữa, chúng ta có:
KL/r = [(1.0)(25)]/(1.23/4) = 81.3
Hình 6-14 Sử dụng bảng tính cột làm công cụ thiết kế cột có mặt cắt ngang tròn.
268
Nhận xét: Đây vẫn là giá trị nhỏ hơn giá trị giới hạn, vì vậy tính toán trên được chấp
nhận. Chọn D = 1.25 in.
Một phương pháp khác từ sử dụng bảng tính để thiết kế cột là sử dụng một tính toán gần
đúng tương tự với trong hình 6-9 nhưng để thuận tiện sử dụng công cụ “thử và lỗi”. Bạn có thể
tính các thông số bằng tay, hoặc tìm kiếm chúng trong bảng với A, I và r cho mọi dạng mặt cắt

ngang và các kích thước yêu cầu sau đó đưa vào bảng tính. Khi đó bạn có thể so sánh tải trọng
cho phép tính được với giá trị yêu cầu và chọn các tiết diện nhỏ hơn hoặc lớn hơn làm cho giá trị
tính được tiến đến giá trị yêu cầu. Có thể hoàn thành nhiều bước lặp trong một khoảng thời gian
ngắn. Với các dạng cho phép tính r và A một cách khá đơn giản, bạn có thể thêm một phần mới
vào bảng tính để tính các giá trị này. Một ví dụ được đưa ra trong hình 6-14, ở đó các ô tô đen
khác nhau chỉ ra các tính toán cho những đặc trưng của mặt cắt ngang tròn. Số liệu lấy từ ví dụ 6-
3, và kết quả đạt được chỉ sau 4 bước lặp.
6-11 Cột cong
Các công thức Euler và Johnson giả thiết rằng cột là thẳng và tải trọng tác dụng đồng trục
với trọng tâm mặt cắt ngang của cột. Nếu cột cong ở mức độ nào đó, uốn sẽ xuất hiện (xem hình
6-15).
Công thức cột cong cho phép xét đến độ cong ban đầu a (xem tham khảo 6, 7, và 8):
Công thức cột cong:
2
2
2
1
1 0
cr
y
a cr ay
A
ac
s
P
A
s
P P P
N
N

r
 
 
− + + + =
 ÷
 
 
 
(6-11)
Trong đó c = khoảng cách từ đường trung hòa của mặt cắt ngang mà uốn xuất hiện đến
cạnh ngoài của nó. P
cr
là tải trọng tới hạn tìm từ công thức Euler.
Mặc dù công thức này có thể làm tăng sự không chính xác với các cột ngắn hơn, nhưng
việc chuyển đổi từ công thức Johnson là không thích hợp.
Hình 6-15 Minh họa của cột cong
269
Công thức cột cong là một phương trình bậc hai của tải trọng cho phép P
a
. Coi tất cả các
thông số khác là hằng chúng ta có phương trình dạng:
2
1 2
0
a a
C C
P P
+ + =
Khi đó giải phương trình ta được,
2

1 2
1
0.5 4
a
C C C
P
 
= − − −
 
 
Chọn giá trị nhỏ hơn trong hai nghiệm.
Ví dụ 6-4 Một cột có cả hai đầu liên kết khớp, và dài 32 in. Nó có mặt cắt ngang tròn đường kính
0.75 in và độ cong ban đầu là 0.125 in. Vật liệu là thép cán nóng AISI 1040. Tính tải trọng cho
phép với hệ số an toàn là 3.
Lời giải:
Vấn đề: Xác định tải trọng cho phép của cột.
Đã cho: Mặt cắt ngang tròn đặc: D = 0.75 in; L = 32 in; sử dụng N = 3.
Cả hai đầu liên kết khớp. Độ cong ban đầu a = 0.125 in.
Vật liệu: thép cán nóng AISI 1040
Tính toán: Sử dụng công thức (6-11). Đầu tiên tính C
1
và C
2
. Sau đó giải phương trình
bậc hai tìm P
a
.
Kết quả:
s
y

= 42 000 psi
A = πD
2
/4 = π(0.75)
2
/4 = 0.442 in
2
r = D/4 = 0.75/4 = 0.188 in
c = D/2 = 0.75/2 = 0.375 in.
KL/r = [(1.0)(32)]/0.188 = 171
( )
( ) ( )
2
2
2
2
30,000,000 0.442
4476
171
/
cr
EA
P
KL r
π
π
= = =
lb
1
2

1
1 9649
cry
ac
A
C s
P
N
r
 
−
 
= + + = −
 ÷
 
 
 
6
2
2
9.232
10
cr
y
A
s
P
C
N
= = ×

Phương trình bậc 2 trở thành
6
2
9649 9.232 0
10
a a
P P
− + × =
Kết luận: Từ đó có P
a
= 1077 lb là tải trọng cho phép.
270
Hình 6-16 Bảng tính toán cột cong
Hình 6-16 đưa ra lời giải của ví dụ 6-4 sử dụng bảng tính. Trong khi cách thức của nó
tương tự với các bảng tính toán cột trước đây, sự khác biệt là các tính toán để giải phương trình
(6-11). Ở phần dưới bên trái, hai giá trị đặc biệt cần có: (1) độ cong a và (2) khoảng cách c từ
đường trung hòa đến mặt ngoài của mặt cắt ngang. Ở giữa của phần bên phải liệt kê một số giá trị
trung gian sử dụng trong phương trình (6-11): C
1
và C
2
như đã xác định trong ví dụ 6-4. Kết quả
tải trọng cho phép P
a
ở phần dưới bên phải của bảng tính. Để so sánh, bên trên nó là giá trị tính
được của tải trọng mất ổn định tới hạn cho cột thẳng với thiết kế tương tự. Lưu ý rằng trình tự giải
này là phù hợp nhất cho các cột dài. Nếu tính toán cho thấy rằng cột là ngắn chứ không phải dài,
người thiết kế nên lưu ý cột ngắn như thế nào bằng cách so sánh độ mảnh KL/r với độ mảnh giới
hạn, C
c

. Nếu cột là khá ngắn, người thiết kế không nên chờ đợi độ chính xác của các kết quả từ
phương trình (6-11)
6-12 Cột chịu tải lệch tâm
271
Hình 6-17 Minh họa của cột chịu tải lệch tâm
MDESIGN
Tải trọng lệch tâm là tải tác dụng cách một khoảng so với trục trọng tâm của mặt cắt
ngang của cột, như trong hình 6-17. Một tải trọng như vậy gây thêm uốn đối với cột, kết quả thể
hiện ở dạng cong như trong hình. Ứng suất lớn nhất trong cột võng xuất hiện ở những thớ ngoài
cùng của mặt cắt ngang tại đoạn giữa chiều dài cột, nơi xuất hiện độ võng cực đại y
max
. Chúng ta
kí hiệu ứng suất tại điểm này là σ
L/2
. Khi đó với tải trọng tác dụng bất kì P:
Hàm sec với cột chịu tải lệch tâm:
/ 2
2
1 sec
2
L
P ec KL P
A r AE
r
σ
 
 
= +
 
 ÷

 ÷
 
 
 
(6-12)
(Xem tham khảo 4, 5, và 9.) Lưu ý rằng ứng suất này không tỉ lệ thuận với tải trọng. Khi đánh giá
hàm sec trong đẳng thức trên, lưu ý rằng đối số của nó trong ngoặc là theo rad. Ngoài ra, vì hầu
hết các máy tính không có hàm sec, gọi lại nó bằng 1/cos.
Tùy theo các mục đích thiết kế, chúng ta sẽ xác định một hệ số an toàn N để có thể áp
dụng vào tải trọng phá huỷ tương tự như xác định cho cột thẳng chịu tải đúng tâm. Tuy nhiên
trong trường hợp này, hư hỏng được dự báo khi ứng xuất lớn nhất trong cột vượt quá giới hạn
chảy của vật liệu. Bây giờ chúng ta đưa ra một số hạng mới, P
y
, là tải trọng tác dụng lệch tâm khi
ứng suất lớn nhất bằng với giới hạn chảy. Khi đó công thức (6-12) trở thành:
2
1 sec
2
y y
y
ec KL
P P
s
A r AE
r
 
 
= +
 
 ÷

 ÷
 
 
 
Bây giờ nếu định nghĩa tải trọng cho phép là
P
a
= P
y
/N
hay P
y
= NP
a
công thức này trở thành
Công thức thiết kế cho cột chịu tải lệch tâm
272