Giáo án Toán 12 ban cơ bản : Tên bài dạy : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN pps

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Hình phẳng giới hạn bởi
các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b.
- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung
- Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối
nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox
2. Về kỹ năng:
- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức
tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt
- Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn
xoay nói riêng
3. Về tư duy, thái độ:
- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích
- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK
2. Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới
III. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Kiểm tra bài cũ: Tính
 


2
1

2
.23 dxxxI

3. Bài mới:
Tiết 1:
HĐ1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
cong và trục hoành
TG

Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học
sinh
Ghi bảng
HĐTP 1: Xây dựng
công thức


I. Tính diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi
- Cho học sinh tiến
hành hoạt động 1
SGK
- GV treo bảng phụ
hình vẽ 51, 52 SGK
- GV đặt vấn đề
nghiên cứu cách tính
diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f(x), trục

Ox và các đường
thẳng x = a, x = b.
- GV giới thiệu 3
trường hợp:
+ Nếu hàm y = f(x)
liên tục và không
âm trên


ba; . Diện
tích S của hình
- Tiến hành giải hoạt
động 1


- Hs suy nghĩ













đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên
tục, trục Ox và các đường
thẳng x = a, x = b được tính
theo công thức:


b
a
dxxfS )(












phẳng giới hạn bởi
đồ thị của f(x), trục
Ox và các đường
thẳng x = a, x = b là:


b
a

dxxfS )(

+ Nếu hàm y = f(x)

0 trên


ba; . Diện
tích


b
a
dxxfS ))((

+ Tổng quát:


b
a
dxxfS )(

HĐTP2: Củng cố
công thức
- Gv đưa ra ví dụ 1
SGK, hướng dẫn
học sinh thực hiện
- Gv phát phiếu học

- Giải ví dụ 1 SGK
















Ví dụ 1: SGK
Ví dụ 2: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi Parabol
23
2
 xxy và trục hoành
Ox .
Bài giải
tập số 1
+ Phân nhóm, yêu
cầu Hs thực hiện



- Tiến hành hoạt
động nhóm
Hoành độ giao điểm của
Parabol 23
2
 xxy và trục
hoành Ox là nghiệm của
phương trình






2
1
023
2

1
2
x
x
xx
.
 
2
2
3
3
.23
2
1
23
2
1
2










x
xx

dxxxS

HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
cong
HĐTP 1: Xây dựng
công thức
- GV treo bảng phụ
hình vẽ 54 SGK
- GV đặt vấn đề
nghiên cứu cách tính
diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị


- Theo dõi hình vẽ


- Hs lĩnh hội và ghi
nhớ

2. Hình phẳng giới hạn bởi
hai đường cong
Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y
= f
2
(x) liên tục trên



ba; . Gọi
D là hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hai hàm số đó và các
đường thẳng x = a, x = b trong
hình 54 thì diện tích của hình
hàm số y = f
1
(x), và
y = f
2
(x) và hai
đường thẳng x = a, x
= b
- Từ công thức tính
diện tích của hình
thang cong suy ra
được diện tích của
hình phẳng trên được
tính bởi công thức


b
a
dxxfxfS )()(
21

phẳng được tính theo công
thức


b
a
dxxfxfS )()(
21

Lưu ý: Để tính S ta thực hiện
theo các cách
Cách 1: Chia khoảng, xét dấu
biểu thức f
1
(x) – f
2
(x) rồi khử
dấu trị tuyệt đối
Cách 2: Tìm nghiệm của
phương trình f
1
(x) – f
2
(x) = 0.
Giả sử ptrình có 2 nghiệm c, d
(c < d) thuộc


ba; thì:

HĐTP2: Củng cố
công thức
- Gv hướng dẫn học
sinh giải vd2, vd3
SGK
- Gv phát phiếu học
tập số 2
+ Phân nhóm, yêu

cầu Hs thực hiện




+ Treo bảng phụ,
trình bày cách giải
bài tập trong phiếu
học tập số 2

- Theo dõi, thực hiện


- Hs tiến hành giải
dưới sự định hướng
của giáo viên.
- Hs thảo luận theo
nhóm và tiến hành
giải.
Hoành độ giao điểm
của 2 đường đã cho
là nghiệm của ptrình

x
2
+ 1 = 3 – x

x
2
+ x – 2 = 0







2
1
x
x

 
 
 












b
d
d
c

c
a
b
d
d
c
c
a
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxfS
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
21
21
21
21
21
21

2
9
)2(
)3(1
1
2
2
1
2
2







dxxx
xxS

Tiết 2:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P)
2
xy  và xy 
.

3. Bài mới:
HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể
TG

Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học
sinh
Ghi bảng
- Giáo viên đặt vấn
đề như SGK và
thông báo công thức
tính thể tich vật thể
(treo hình vẽ đã
chuẩn bị lên bảng)
- Hs giải quyết vấn
đề đưa ra dưới sự
định hướng của giáo
viên


II. Tính thể tích
1. Thể tích của vật thể
Một vật thể V giới hạn bởi 2
mp (P) và (Q). Chọn hệ trục
toạ độ có Ox vuông góc với
(P) và (Q). Gọi a, b (a < b) là

- Hướng dẫn Hs giải
vd4 SGK






- Thực hiện theo sự
hướng dẫn của giáo
viên
giao điểm của (P) và (Q) với
Ox. Gọi một mp tùy ý vuông
góc với Ox tại x (


bax ; ) cắt
V theo thiết diện có diện tích
là S(x). Giả sử S(x) liên tục
trên


ba; . Khi đó thể tích của
vật thể V được tính bởi công
thức



b
a
dxxSV )(

HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp
cụt
- Xét khối nón (khối
chóp) đỉnh A và diện
tích đáy là S, đường
cao AI = h. Tính
diện tích S(x) của
thiết diện của khối
2
2
.)(
h
x
SxS 
Do đó, thể tích của
khối chóp (khối nón)
là:
3
.
.
0
2
2
hS
dx
h

x
SV
h



2. Thể tích khối chóp và
khối chóp cụt
* Thể tích khối chóp:
3
.
.
0
2
2
hS
dx
h
x
SV
h



* Thể tích khối chóp cụt:
chóp (khối nón) cắt
bởi mp song song
với đáy? Tính tích
phân trên.
- Đối với khối chóp

cụt, nón cụt giới hạn
bởi mp đáy có hoành
độ AI
0
= h
0
và AI
1
=
h
1
(h
0
< h
1
). Gọi S
0

và S
1
lần lượt là diện
tích 2 mặt đáy tương
ứng. Viết công thức
tính thể tích của khối
chóp cụt này.
- Củng cố công thức:
+ Giáo viên phát
phiếu học tập số 3:
Tính thể tích của vật

- Hs tiến hành giải
quyết vấn đề đưa ra
dưới sự định hướng
của giáo viên.
Thể tích của khối
chóp cụt (nón cụt) là:



1100
.
3
SSSS
h
V 

- Hs giải bài tập dưới
sự định hư
ớng của
giáo viên theo nhóm



- Hs tính được diện
tích của thiết diện là:


1100
.

3
SSSS
h
V 
thể nằm giữa 2 mp x
= 3 và x = 5, biết
rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mp
vuông góc với Ox tại
điểm có hoành độ x
(


5;3x ) là một hình
chữ nhật có độ dài
các cạnh là 2x,
9
2
x
Yêu cầu Hs làm việc
theo nhóm
- Gv yêu cầu Hs
trình bày


- Đánh giá bài làm
và chính xác hoá kết
9.2)(
2
 xxxS

- Do đó thể tích của
vật thể là:
3
128
9.2
)(
5
3
2
5
3




dxxx
dxxSV

- Thực hiện theo yêu
cầu của giáo viên
- Các nhóm nhận xét
bài làm trên bảng
quả
Tiết 3:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Bài mới:
HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn
xoay
TG

Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học
sinh
Ghi bảng
- Giáo viên nhắc lại
khái niệm khối tròn
xoay: Một mp quay
quanh một trục nào
đó tạo nên khối tròn
xoay
+ Gv định hướng Hs
tính thể tích khối
tròn xoay (treo bảng
phụ trình bày hình





- Thiết diện khối
tròn xoay cắt bởi mp
vuông góc với Ox là
hình tròn có bán
kính y = f(x) nên
III. Thể tích khối tròn xoay
1. Thể tích khối tròn xoay





b
a
dxxfV )(.
2


2. Thể tích khối cầu bán
kính R
3
3
4
RV


vẽ 60SGK). Xét bài
toán cho hàm số y =
f(x) liên tục và
không âm trên


ba; .
Hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị y = f(x),
trục hoành và đường
thẳng x = a, x = b
quay quanh trục Ox
tạo nên khối tròn
xoay.
Tính diện tích S(x)

của thiết diện khối
tròn xoay cắt bởi mp
vuông góc với trục
Ox? Viết công thức
tính thể tích của
khối tròn xoay này.
diện tích của thiết
diện là:
)(.)(
2
xfxS


Suy ra thể tích của
khối tròn xoay là:


b
a
dxxfV )(.
2


HĐ2: Củng cố công thức
- Gv hướng dẫn Hs
giải vd5, vd6 SGK

- Chia nhóm học
sinh, yêu cầu Hs làm
việc theo nhóm để

giải vdụ
+ Đối với câu a) Gv
hướng dẫn Hs vẽ
hình cho dễ hình
dung






- Dưới sự định
hướng của giáo viên
Hs hình thành công
thức tính thể tích
khối cầu và giải vd5
SGK


- Tiến hành làm việc
theo nhóm.






- Đại diện các nhóm

Ví dụ: Tính thể tích vật tròn

xoay tạo thành khi quay hình
phẳng (H) xác định bởi các
đường sau quanh trục Ox
a)
23
3
1
xxy  , y = 0, x = 0 và x
= 3
b) xey
x
cos. , y = 0, x =
2

, x =


Giải:

35
81
3
2
9
3
1
3
0
45
6

3
0
2
23






















dxxx
x
dxxxV

b)
 
).3(
8

2cos.
2
.
2
cos.
2
22
2
22
22








ee
xdxedxe
dxxeV
xx
x












+ Đánh giá bài làm
và chính xác hoá kết
quả
lên trình bày và nhận
xét bài làm của
nhóm khác
IV. Củng cố:
1. Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học
2. Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra
công thức của thể tích khối chóp, khối nón
3. Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay
Bài tập về nhà:
- Giải các bài tập SGK
- Bài tập làm thêm:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) 335,0,1,0
24
 xxyyxx .
b) 3,1
2
 yxxy .

c) xyxy 3,2
2
 .
d) 0,4
2
 yxxy .
e) exyxy



,0,ln .
f) 8,1,
3
 xyyx .
2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol 22
2
 xxy tiếp tuyến
với nó tại điểm M(3;5) và trục tung .
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox .
a)
4
,0,0,cos

 xxyxy .
b)

 xxyxy ,0,0,sin
2
.

c) 1,0,0,
2
 xxyxey
x
.