ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 3 pdf

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 02
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số:
3 2 2
5
2 6
2
z x x xy y y
= + − + −
• Tìm cực trị của hàm z.
• Tại điểm N (1,2) hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra
khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox góc 60
0
.
• Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, dùng tích phân mặt tính
khối lượng của tam giác phẳng ABC với A (-2,3,0), B ( 4,0,0)
và C (-2,0,
3
2
) với hàm mật độ ρ (x,y,z) = y.
Câu 3: Trên mặt phẳng hệ toạ độ Oxy chọn ba điểm A (1,-1),B (0,0) và
C (1,2).
L là đường cong kín theo chiều dương, trong đó:
• Đoạn nối A với B có phương trình x = y
2

• Đoạn nối B với C có phương trình y = 2x
2
• Đoạn nối C với A là đường thẳng.
Tính
2 2
3 (2 1) 2( )
L
y x dx x y dy
+ + +
∫
i
Kiểm chứng kết qủa thông qua việc sử dụng công thức Green.
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
,
,
3 2
1
.
2
x
y y z
z y z x e

= +


= − + +


với điều kiện: khi x = 0 thì y = 0 và z = 0.

Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề
z
y
x
C
A
-2
-1
-1
3
2
C
B
2
1
2
1
2
-2
y
5
x
N
Đáp án
Câu 1:
, 2
3 5 2 0
x
z x x y

= + − =
,
2 2 6 0 3
y
z x y y x
= − + − = ⇒ = +
Thay vào ta có :
2 2
3 5 2 6 3 3 6 0x x x x x
+ − − = + − =
2
1 2 1 2
2 0 1, 2 4, 1x x x x y y
⇒ + − = ⇒ = = − ⇒ = =
Hàm số có 2 điểm tới hạn
1 2
(1,4), ( 2,1)M M= = −
1
(1,4)M =

2
( 2,1)M = −
,,
6 5
xx
z x= +
=r 11 -7
,,
2
xy

z = −
=s -2 -2
,,
2
yy
z =
=t 2 2
2
s rt−
4-22<0 4+14>0
r=11 hsố đạt cực tiểu không cực trị
2.
,
( ) 3 5 4 4
x
z N = + − =
,
( ) 2 4 6 4
y
z N = − + − = −
0 0
3 1
4cos60 4cos30 4( ) 0
2 2
z
l
∂
= − = − + <
∂
Vậy hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với

trục Ox một góc
0
60
.
3. Hướng thay đổi nhanh nhất 4i-4j.
Câu 2: + Vẽ hình
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ABC.
2 3
9
6 3 0 0 ( 2) 9( 3) 18 0
2
3
3
2
0
x y
x y z
z
 
 ÷
+ −
 ÷
− = ⇔ − + − − − =
 ÷
 ÷
−
 ÷
 
1
4 2

x y
z⇔ + + =
Bước 2: Đưa tích phân mặt về tích phân bội 2 bằng cách chiếu xuống mặt
phẳng Oxy. Khi đó ta có:
, 2 , 2
1 ( ) ( )
x y
S D
m yds y z z dxdy
= = + +
∫∫ ∫∫
2 2
1 1 21
1 ( ) ( )
4 2 4
D D
m y dxdy ydxdy
− −
= + + =
∫∫ ∫∫
2
y
5
x
C
B
A
2
-2
B

A
C
Tính tích phân này có 2 cách:
Cách 1:
2
4
2
2 0
21 21
9.
4 4
x
y
y
dx ydy
−
= +
− =
=
∫ ∫
Cách 2:
2 4
3
0 2
21 21
9.
4 4
x y
x
dy ydx

=− +
=−
=
∫ ∫
Câu 3:
L BA AC CB
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
i
1.Trên đoạn BA:
2
, : 0 1x y y= → −
2 2
1
2 4 2
0
1
3 4 2
0
1
4 2 4 2
0
1
4 2 5 3
0
3 (2 1) 2( )
[3 (2 1)2 2( )]dy
[(6y 3 ).2 2 2 ]
(2y 2 12 6 )
1

14 8 14 8 82
(14y 8 ) ( )
0
5 3 5 3 15
BA
y x dx x y dy
y y y y y
y y y y dy
y y y dy
y dy y y
−
−
−
−
+ + +
= + + +
= + + +
= + + +
−
− −
= + = + = − =
∫
∫
∫
∫
∫
2. Trên đoạn AC:
1, : 1 2x y
= − →
2

2 2 2 3
1
2
2
3 (2 1) 2( ) 2(1 ) (2 ) 12
1
3
AC
y x dx x y dy y dy y y
−
+ + + = + = + =
−
∫ ∫
3. Trên đoạn CB:
2
2 , :1 0y x x= →
0 0
2 2 2 2 4 3 2 3 5
1 1
0
5 3 2 6 4 3
1
3 (2 1) 2( ) [(6x (2 1) 2( 4 ).4x] (12x 6 8 32 )
0
32 37
(32x 20 6 ) ( x 5 2 )
1
6 3
CB
y x dx x y dy x x x dx x x x dx

x x dx x x
+ + + = + + + = + + +
= + + = + + = −
∫ ∫ ∫
∫
Vậy
2 2
82 37 29
3 (2 1) 2( ) 12
15 3 5
L
y x dx x y dy
−
+ + + = + − = −
∫
i
.
Dùng công thức Green:

2 2
2( )Q x y= +
,
3 (2 1)P y x
= +

6 3 4 2 3
Q P
x x x
x y
∂ ∂

− = − − + = − −
∂ ∂

2
1
0
1
5 3
2 4 3
2 2
0
(2 3) (2 3)
1
4
(2 3)(2 ) ( 2 2 )
0
5
4 29
(1 2 2)
5 5
y x
D
y x
x dxdy dx x dy
x x x dx x x x x
=
=−
− + = − +
= − + + = − + + +
−

= − + + + =
∫∫ ∫ ∫
∫

Câu 4:
Bước 1: Khử
,, , , , , ,
3 2 3 ( 2 2 ) 3 3 2
x x
y y z y y z xe y y y y xe= + = + − + + = − + − +
,, ,
4 4 2
x
y y y xe⇔ − + =
.
Bước 2: Phương trình thuần nhất
,, ,
4 4 0y y y− + =
Phương trình đặc trưng
2
1 2
4 4 0 2
λ λ λ λ
− + = ⇔ = =
Nghiệm riêng
2 2
1 2
,
x x
y e y xe

= =
Nghiệm tổng quát
2
1 2
x x
y c e c xe
= +
Bước 3: Phương trình không thuần nhất
,, ,
4 4 2
x
y y y xe− + =
. Tìm nghiệm
bằng phương pháp biến thiên hằng số:
' 2 ' 2 ' 2 ' 2
1 2 1 2
' 2 2
2
' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' 2 2
1 2 1 2
0 0
2
( ) ( ) 0 2 ( 2 ) 0
x x x x
x x
x x x x x
C e C xe C e C xe
C e xe
C e C xe C e C e xe
 

+ = + =
 
⇔ ⇔ =
 
+ = + + =
 
 
*
' *
2 2
2 2 2
' ' 2 *
2 *
1 2 1 1
1 1
2
2 2( 1)
( 2 2)
x
x x
x
x
C xe dx C
C xe C x e C
C xC C x x e C
C x e dx C
−
− −
−
−


= +
 
= = − + +
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= − = − + + +
 
= − +

 

∫
∫
Nghiệm tổng quát phương trình không thuần nhất:
2 * 2 * 2 2 * 2 * 2
1 2 1 2
y=[( 2 2) ] [ 2( 1) ]xe (3 4 2) xe
x x x x x x x
x x e C e x e C x x e C e C
− −
− + + + + − + + = − + + + +
Thay vào tìm z
2 * 2 * 2 * 2 2 * * 2 * 2
1 2 2 1 2 2
(6 2 ) (6 2 ) ( )
x x x x x x x
z x x e C e C e C xe x x e C C e C xe
= + − + − = + − − −

Bước 4: Thay điều kiện vào tìm
* *
1 2
,C C
ta được
* *
1 2
2, 2C C= =
Vậy
2 2
2 2
(3 4 2) 2( 1)
(6 2 ) 2
x x
x x
y x x e x e
z x x e xe

= − + + + +


= + −


Thang điểm
Câu 1:
(1.5d)
, 2
3 5 2 0
x

z x x y
= + − =
,
2 2 6 0 3
y
z x y y x
= − + − = ⇒ = +
⇒
2 2
3 5 2 6 3 3 6 0x x x x x
+ − − = + − =
2
1 2 1 2
2 0 1, 2 4, 1x x x x y y
⇒ + − = ⇒ = = − ⇒ = =
0.5
tại
1
(1,4)M =
cực tiểu
tại
2
( 2,1)M = −
hàm số không đạt cực trị
0.5
,
( ) 3 5 4 4
x
z N = + − =
,

( ) 2 4 6 4
y
z N = − + − = −
0 0
3 1
4cos60 4cos30 4( ) 0
2 2
z
l
∂
= − = − + <
∂
0.25
hướng thay đổi nhanh nhất 4i-4j 0.25
Câu 2:

(2.75đ)
Vẽ hình 0.25
Lập phương trình mặt phẳng ABC 1.0
Lập bài toán tính:
, 2 , 2
1 ( ) ( )
x y
S D
m yds y z z dxdy
= = + +
∫∫ ∫∫
2 2
1 1 21
1 ( ) ( )

4 2 4
D D
m y dxdy ydxdy
− −
= + + =
∫∫ ∫∫
0.5
1.0
Câu 3:
(3.25đ)
Vẽ hình: 0.25
2 2
1
2 4 2
0
3 (2 1) 2( )
82
[3 (2 1)2 2( )]dy
15
BA
y x dx x y dy
y y y y y
−
+ + +
−
= + + + =
∫
∫
0.5
2 2

3 (2 1) 2( ) 12
AC
y x dx x y dy
+ + + =
∫
0.5
2 2
0
2 2 4
1
3 (2 1) 2( )
37
[(6x (2 1) 2( 4 ).4x]
3
CB
y x dx x y dy
x x x dx
+ + +
−
= + + + =
∫
∫
0.5
Lập biểu thức theo công thức Green
0.5
2
1
0
(2 3)
(2 3)

29
5
D
y x
y x
x dxdy
dx x dy
=
=−
− + =
= − +
−
=
∫∫
∫ ∫
1
Câu 4:
(2.5)
Phép khử
,, ,
4 4 2
x
y y y xe⇔ − + =
0.5
Phương trình thuần nhất
,, ,
4 4 0y y y− + =
Phương trình đặc trưng
2
1 2

4 4 0 2
λ λ λ λ
− + = ⇔ = =
Nghiệm tổng quát
2
1 2
x x
y c e c xe
= +
0.5
Tim ra
*
2 2
2 *
1 1
2( 1)
( 2 2)
x
x
C x e C
C x x e C
−
−

= − + +


= − + + +



0.5
0.5
* *
1 2
2, 2C C= =
0.25
2 2
2 2
(3 4 2) 2( 1)
(6 2 ) 2
x x
x x
y x x e x e
z x x e xe

= − + + + +


= + −


0.25