Bài giảng xác suất thống kê ( Nguyễn Văn Thìn ) - Chương 6 doc

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Bài Giảng Môn học
Xác Suất và Thống Kê
Nguyễn Văn Thìn
Khoa Toán - Tin Học
Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM
Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Nội dung
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Biến cố và xác suất
Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Một số biến ngẫu nhiên thông dụng
Lý thuyết mẫu
Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng trung bình của tổng thể.
Ước lượng tỷ lệ của tổng thể.
Xác định kích thước mẫu
Xác định độ tin cậy
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Giới thiệu về bài toán ước lượng thống kê
Bài toán ước lượng
Các tham số đặc trưng của tổng thể như trung bình tổng thể, tỷ lệ
tổng thể, phương sai tổng thể, được sử dụng rất nhiều trong
phân tích kinh tế xã hội và các lĩnh vực khác. Nhưng các tham số
đăc trưng này thường là chưa biết. Vì vậy đặt ra vấn đề cần ước
lượng chúng bằng phương pháp mẫu.
Phát biểu bài toán
Cho đại lượng ngẫu nhiên X có thể đã biết một phần hoặc hoàn
toàn chưa biết quy luật phân phối xác suất và chưa biết tham số θ
nào đó của nó. Hãy ước lượng tham số θ bằng phương pháp mẫu.

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Giới thiệu về bài toán ước lượng thống kê
Các loại ước lượng
Vì θ là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước
lượng θ. Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng điểm. Ngoài
dùng ước lượng điểm ta còn dùng ước lượng khoảng. Tức là chỉ ra
môt khoảng nào đó có thể chứa θ.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Phương pháp khoảng tin cậy
Mô tả phương pháp khoảng tin cậy:
Để ước lượng tham số θ của đại lượng ngẫu nhiên X , từ X ta lập
mẫu ngẫu nhiên (X
1
, , X
n
)
Chọn thống kê
ˆ
θ = f (X
1
, X
2
, , X
n
, θ) sao cho mặc dù chưa biết
giá trị của θ nhưng qui luật phân phối xác suất của
ˆ
θ vẫn hoàn
toàn xác định. Do đó với xác suất α khá bé ta có thể tìm được hai
số a, b thõa mãn P(a ≤

ˆ
θ ≤ b) ≤ 1 − α.
•
Khoảng (
ˆ
θ
1
,
ˆ
θ
2
) được gọi là khoảng tin cậy của θ.
•
(1 − α) gọi là độ tin cậy của ước lượng.
•
l =
ˆ
θ
2
−
ˆ
θ
1
gọi là độ dài khoảng tin cậy.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng trung bình của tổng thể.
Bài toán
Cho tổng thể với trung bình µ với phương sai có thể đã biết hoặc
chưa biết. Từ mẫu ngẫu nhiên (X
1

, X
2
, , X
n
) hãy ước lượng µ với
độ tin cậy 1 − α.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng trung bình của tổng thể.
Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có
phân phối chuẩn), σ
2
đã biết
Xét đại lượng ngẫu nhiên
Z =
¯
X − µ
σ
√
n
=
√
n(
¯
X − µ)
σ
Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là

¯
X − z
1−

α
2
σ
√
n
,
¯
X + z
1−
α
2
σ
√
n

=

¯
X − ,
¯
X + 

với  = z
1−
α
2
σ
√
n
được gọi là độ chính xác của ước lượng.

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng trung bình của tổng thể.
Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30, σ
2
chưa biết
Ta có thể dùng ước lượng của Var(X ) là S
2
để thay thế cho σ
2
Xét đại lượng ngẫu nhiên
Z =
¯
X − µ
S
√
n
=
√
n(
¯
X − µ)
S
Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là

¯
X − z
1−
α
2
S

√
n
,
¯
X + z
1−
α
2
S
√
n

=

¯
X − ,
¯
X + 

với  = z
1−
α
2
S
√
n
.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng trung bình của tổng thể.
Trường hợp kích thước mẫu n < 30, σ

2
chưa biết, X tuân theo
quy luật phân phối chuẩn.
Xét đại lượng ngẫu nhiên
T =
¯
X − µ
S
√
n
=
√
n(
¯
X − µ)
S
Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là

¯
X − t
1−
α
2
S
√
n
,
¯
X + t
1−

α
2
S
√
n

=

¯
X − ,
¯
X + 

với  = t
1−
α
2
S
√
n
.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng tỷ lệ của tổng thể.
Bài toán
Cho tổng thể X , trong đó tỷ lệ cá thể mang đặc tính A nào đó là
trong tổng thể là p. Từ mẫu ngẫu nhiên (X
1
, X
2
, , X

n
) hãy ước
lượng p với độ tin cậy 1 − α.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Ước lượng tỷ lệ của tổng thể.
Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 nhưng X có
phân phối chuẩn, σ
2
đã biết:
Quan sát sự xuất hiện của biến cố "Cá thể mang đặc tính A"
trong n phép thử độc lập. Nếu có m lần xuất hiện biến cố trên thì
tần suất f =
m
n
là một ước lượng điểm của xác suất P(A) = p.
Gọi F là tần số xuất hiện A trong n phép thử thì F ∼ B(1, p).
Gọi (F
1
, , F
n
) là một mẫu ngẫu nhiên của F, khi đó
¯
F =
1
n
n

i=1
F
i

= f
Xét đại lượng ngẫu nhiên
Z =
¯
F − p

pq
n
=
√
n(
¯
F − p)
√
pq
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là

f − z
1−
α
2

p(1 − p)
n
, f + z
1−
α
2


p(1 − p)
n

Trong đó f chính là
¯
F ta tính được từ mẫu. Thay p bằng ước
lượng điểm của nó là f ta thu được

f − z
1−
α
2

f (1 − f )
n
, f + z
1−
α
2

f (1 − f )
n

=

f − , f + 

với  = z
1−
α

2

f (1−f )
n
được gọi là độ chính xác của ước lượng.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Xác định kích thước mẫu.
Ta thấy chất lượng của ước lượng phản ánh qua độ tin cậy 1 − α
và độ chính xác . Độ tin cậy và độ chính xác càng cao thì ước
lượng đó càng tốt. Nhưng độ chính xác  lại phụ thuộc vào kích
thước mẫu n và độ tin cậy 1 −α. Vấn đề đặt ra là: Ta muốn độ tin
cậy 1 − α và độ chính xác  đạt được ở một mức độ nào đó cho
trước thì cần kích thước mẫu n tối thiểu là bao nhiêu?
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Xác định kích thước mẫu.
Xác định kích thước mẫu khi ước lượng trung bình tổng thể
a Nếu biết Var(X ) = σ
2
, từ công thức
 = z
1−α/2
σ
√
n
ta suy ra
n = (z
1−α/2
)
2
σ

2

2
b Nếu chưa biết σ
2
, khi đó căn cứ vào mẫu đã cho để tính s
2
.
Từ đó xác định được kích thước mẫu theo công thức
n = (z
1−α/2
)
2
s
2

2
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Xác định kích thước mẫu.
Xác định kích thước mẫu khi ước lượng tỷ lệ tổng thể
a Nếu biết f (ước lượng điểm của p) từ công thức
 = z
1−α/2

f (1 − f )
n
ta suy ra
n = (z
1−α/2
)

2
f (1 − f )

2
b Nếu chưa biết f , (ước lượng điểm của p) Từ công thức
 = z
1−α/2

pq
n
ta suy ra
n = (z
1−α/2
)
2
pq

2
Nhưng do pq đạt cực đại khi p = q = 0.5 nên n ≥
0.25(z
1−α/2
)
2

2
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Xác định độ tin cậy.
Khi ước lượng các số đặc trưng của tổng thể bằng các số liệu quan
sát của một mẫu kích thước n, nếu ta muốn độ chính xác  đạt
được ở một mức nào đó thì độ tin cậy (1 − α) sẽ là bao nhiêu?

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Xác định độ tin cậy.
Xác định độ tin cậy khi ước lượng trung bình tổng thể
a Nếu biết Var(X ) = σ
2
thì từ công thức
 = z
1−α/2
σ
√
n
ta suy ra
z
1−α/2
=

√
n
σ
sau khi xác định được z
1−α/2
ta suy ra độ tin cậy 1 − α (tra
bảng).
b Nếu chưa biết Var (X ) = σ
2
, khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho
để tính s. Từ đó xác định z
1−α/2
theo công thức
z

1−α/2
=

√
n
s
Rồi suy tiếp ra độ tin cậy 1 − α như đã làm ở trên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu nhiên thông dụng Lý thuyết mẫu Ước lượng tham số thống kê
Xác định độ tin cậy.
Xác định độ tin cậy khi ước lượng tỷ lệ tổng thể.
Từ công thức
 = z
1−α/2

f (1 − f )
n
ta suy ra
z
1−α/2
= 

n
f (1 − f )
Từ đây ta suy ngược ra 1 − α như đã làm ở trên.