Bài giảng xác suất thống kê chương 5 các phân phối sác xuất thông kê thông dụng nguyễn ngọc phụng

Các phân phối xác suất thông dụng

1

Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Định nghóa (Normal Distribution)
Bnn X có phân phối chuẩn, được kí hiệu X ∼ N(µ; σ 2 ), có hàm mđxs
(x − µ)2
−
1
2σ 2
f(x, µ, σ) = √ e

σ 2π
1

X(Ω) = R

2

ModX = MedX = EX = µ
VarX = σ 2

3

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Ví dụ: Đồ thị minh họa cho hàm mđxs f(x,4,1):

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Định nghóa (Standard Normal Distribution)
Trường hợp µ = 0, σ = 1 ta được X ∼ N(0; 1). Khi đó X có phân phối
x2
1 −
chuẩn chuẩn tắc với hàm mđxs f(x) = √ e 2 (Hàm Gauss)
2π

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Đồ thị của hàm Gauss

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

z

Hàm ϕ(z) =

f(x)dx (Hàm Laplace). Giá trị của hàm Laplace là diện tích
0

của miền sau:

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

z

Hàm Laplace ϕ(z) =

f(x)dx có đồ thị như sau
0

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Một số tính chất của hàm Gauss và hàm Laplace:
f(−x) = f(x), ∀x
ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x

ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, 5
Khi tính toán làm tròn đến số lẻ thứ 5 ta coù:
f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 76
ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 42

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Định lý
X ∼ N(µ; σ 2 ) ⇔ aX + b ∼ N(aµ + b; (aσ)2 ) (a = 0).
X ∼ N(0; 1) :
b

P(a ≤ X ≤ b) =

b

a

a

f(x)dx −

f(x)dx =
0

f(x)dx = ϕ(b) − ϕ(a).
0

X−µ
∼ N(0; 1) :
σ
a−µ
X−µ
b−µ
≤
≤
)
P(a ≤ X ≤ b) = P(
σ
σ
σ
b−µ
a−µ
= ϕ(
) − ϕ(
).
σ
σ
X ∼ N(µ; σ 2 ) =⇒

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Ví dụ:
Một trang trại trồng thử nghiệm 2 giống táo A và B cho thấy táo thu
hoạch của 2 giống này có đường kính tối đa (cm) lần lượt tuân theo phân
phối chuẩn N(8,35;48,65) và N(8,21;12,26). Táo loại I là táo có đường
kính tối đa không nhỏ hơn là 8cm. Hãy cho biết giống táo nào cho tỉ lệ
táo loại I cao hơn?

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức

Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Quy tắc nσ
Cho bnn X ∼ N(µ; σ 2 )
n=2: P(|X − µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 95, 45%
n=3: P(|X − µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 99, 73%
n=6: P(|X − µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 99, 999999803%

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Phân phối Bernoulli

Trong một phép thử, xác suất để biến cố A xảy ra là P(A) = p. Gọi X là
số lần biến cố A xảy ra trong phép thử đó. Ta nói X tuân theo luật phân
phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(1; p).
X 0 1
, với q = 1 − p.

Ta có: Luật phân phối xác suất của X là
P q p
Từ đó ta được:
E(X) = p, Var(X) = E(X2 ) − E(X)2 = p − p2 = p(1 − p) = pq.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối nhị thức
Định nghóa (Binomial Distribution)
Thực hiện n phép thử độc lập, cho biết biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử
với xác suất không đổi là p.
Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong số n phép thử, Xi là số lần biến cố
A xảy ra ở phép thử thứ i. Khi đó X = X1 + X2 + · · · + Xn có phân phân
phối nhị thức, kí hiệu X ∼ B(n; p).
Ta có
1

X(Ω) = {0..n}

2

P(X = k) = Ck pk qn−k với k ∈ X{Ω}, q = 1 − p
n

3

EX =

n
i=1
4

n

Var(Xi ) = npq

E(Xi ) = np, VarX =
i=1

ModX = nk với (n + 1)p − 1 ≤ nk ≤ (n + 1)p
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KEÂ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức

Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Phân phối nhị thức

Ví dụï:
Một người thực hiện mỗi loạt bắn 5 phát đạn vào một mục tiêu cố định,
xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu ở mỗi phát bắn là 0,3.
a. Tính xác suất người đó có bắn trúng mục tiêu ở mỗi loạt bắn.
b. Nếu người đó thực hiện 300 loạt bắn, số loạt bắn trúng mục tiêu nhiều
khả năng nhất là bao nhiêu? Tính số loạt bắn trúng mục tiêu trung bình
của người đó.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Phân phối Poisson
Định lý (Poisson)
Xét một dãy biến ngẫu nhiên độc lập

{Xn } : Xn ∼ B(n; p(n)), n.p(n) = λ. Khi đó Xn → P(λ).
Trong đó P(λ) là phân phối Poisson với thông số λ. X ∼ P(λ) thỏa
1

X(Ω) = N

2

P(X = k) = e−λ .

λk
k!

3

EX = VarX = λ

4

ModX = nk với λ − 1 ≤ nk ≤ λ

Điều này có nghóa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn và p khá
nhỏ sao cho np < 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ P(λ) với λ = np
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson

Ví dụï:
Một máy sản xuất sản phẩm tự động với khả năng sản xuất ra một phế
phẩm ở mỗi lần sản xuất là 0, 1%. Cho máy này sản xuất 1000 sản
phẩm. Tính xác suất
a. Có đúng 2 phế phẩm trong số đó.
b. Có ít nhất 5 phế phẩm trong số đó.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Các phân phối xác suất thông dụng

Định lý (Định lý Lyapunov (Định lý giới hạn trung tâm))
Cho (Xn ) là các dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, có các kỳ vọng

E(Xi ) = µi hữu hạn, và các phương sai Var(Xi ) = σi2 hữu hạn.
n

Nếu ∃δ > 0 : lim

E |Xi − µi |2+δ

i=1

s2+δ
n

n→∞

thì

1
sn

n

= 0 (điều kiện Lyapunov)
n

(Xi − µi ) −→ N(0; 1) hay
i=1

n

, với mn =

i=1

µi , s2 =
n

n
i=1

i=1

Xi −→ N(mn ; s2 )
n

σi2 .

Trong thực hành, ta thường xét trường hợp đơn giản là δ = 1.
n

Ý nghóa: Khi một đại lượng ngẫu nhiên X =

Xi mà không có biến
i=1

ngẫu nhiên nào trong các Xi , 1 ≤ i ≤ n chiếm ưu thế so với các biến
ngẫu nhiên còn lại thì đại lượng ngẫu nhiên X sẽ tuân theo luật phân
phối chuẩn với kỳ vọng mn và phương sai s2 .
n
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Định lý (Định lý Lévy)
Cho X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với
kỳ vọng µ và độ lệch chuẩn σ hữu hạn. Khi đó Sn −→ N(nµ; nσ 2 ), với
Sn − nµ
√
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn hay
−→ N(0; 1).
σ n
Định lý (Moivre-Laplace)
Xét biến ngẫu nhiên X ∼ B(n; p). Khi đó X −→ N(np; npq), với
X − np
q = 1 − p hay √
−→ N(0; 1).
npq
n

Chứng minh: Ta có X =

Xi , với Xi ∼ B(1; p). Áp dụng định lý giới
i=1

hạn trung tâm ta có được định lý Moivre-Laplace.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Điều này có nghóa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn sao cho
√
np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ N(µ; σ 2 ) với µ = np, σ = npq.
1 k−µ
P(X = k) ≈ f(
)
σ
σ
k1 − µ
k2 − µ
) − ϕ(
) ≈ P(k1 < X ≤ k2 )
P(k1 ≤ X < k2 ) ≈ ϕ(
σ

σ
Ví dụ
1. Một dây chuyền sản xuất có tỉ lệ sản phẩm loại A chiếm 69%. Cho
dây chuyền này sản xuất 500 sản phẩm, tính xác suất trong số đó:
a. Có ít nhất 330 sản phẩm loại A.
b. Có từ 330 đến 360 sản phẩm loại A.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

2. Một nhà máy sản xuất dây xích, độ dài của mắt xích được định
nghóa sao cho độ dài dây xích bằng tổng độ dài của các mắt xích. Cho
biết mỗi dây xích có 50 mắt xích.
a. Cho biết độ dài mỗi mắt xích có phân phối chuẩn với độ dài trung
bình là 1,2cm và độ lệch chuẩn là 0,01cm. Tính tỉ lệ dây xích của dây
chuyền sản xuất có độ dài sai lệch không quá 0,1cm so với độ dài trung
bình của dây xích.
b. Cho biết độ dài của mỗi dây xích có phân phối chuẩn với độ dài
trung bình là 58,5cm và độ lệch chuẩn là 0,08cm. Tính tỉ lệ mắt xích của
dây chuyền sản xuất có độ dài sai lệch quá 0,02cm so với độ dài trung

bình của mắt xích.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Ví dụ
√
Với n = 100, p = 0, 015 ⇒ λ = µ = np = 1, 5, σ = npq =
Ta coù đồ thị của B(n; p), P(λ), N(µ, σ 2 ) như sau:

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

1, 4775.


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn

Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Ví dụ
√
√
Với n = 100, p = 0, 4 ⇒ λ = µ = np = 40, σ = npq = 24.
Ta coù đồ thị của B(n; p), P(λ), N(µ, σ 2 ) như sau:

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Phân phối Siêu bội
Định nghóa (Hypergeometric Distribution)
Cho N phần tử, trong đó có NA phần tử có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên n
phần tử từ N phần tử trên, gọi X là số phần tử có tính chất A trong số n
phần tử lấy ra.
Khi đó X có phân phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(N; NA ; n).

Ta có
1

2

3

4

X(Ω) = {max{0, n − (N − NA )}..min{n, NA }}.
n−k
Ck A CN−NA
N
, với k ∈ X{Ω}.
n
CN
N−n
NA
EX = np, VarX = npq
, với p =
, q = 1 − p.
N−1
N
(NA + 1)(n + 1) + 2
(NA + 1)(n + 1) + 2
ModX = k với
−1≤k≤
.
N+2
N+2

P(X = k) =

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Phân phối Siêu bội

Ví dụï:
Một hộp có 30 bi trong đó có 8 bi đỏ, 12 bi xanh và 10 bi vàng. Lấy ngẫu
nhiên từ hộâp ra 10 bi.
a. Tính xác suất lấy được ít nhất 2 bi đỏ.
b. Tìm số bi đỏ trung bình lấy được và phương sai của số bi đỏ lấy được.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Các phân phối xác suất thông dụng

Phân phối chuẩn
Phân phối nhị thức
Phân phối Poisson
Định lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác

Chi-squared distribution
Định nghóa (Phân phối Chi-squared)
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Chi-squared với k bậc tự do
(degree of freedom), kí hiệu X ∼ χ2 (k).
Hàm mật độ xác suất của X ∼ χ2 (k) là

1
k
x

x 2 −1 e− 2 , x > 0
k
k
fk (x) =
.
2 2 Γ( 2 )

0
, x≤0
+∞

Trong đó Γ(x) =

t x−1 e−t dt

, x > 0.

0

Xây dựng phân phối: Cho (Xi )i≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, với
k

Xi ∼ N(0; 1). Khi đó X =
i=1

X2 ∼ χ2 (k).
i

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ