CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC docx

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
Phương trình dạng : a.f
2
(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác, a
≠
0.
Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì
1t ≤
)
+ Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
+ Giải phương trình f(x) = t.
II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:
Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b
≠
0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a
2
+ b
2

≥
c
2
.
+ Cách giải : + Chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được :

2 2 2 2 2 2
cosasinx b x c
a b a b a b
+ =
+ + +
+ Đặt
2 2 2 2
sin
a b
cos
a b a b
α α
= ⇒ =
+ +
và đặt
2 2
sin
c
a b
β
=
+
ta có
phương trình:
sin( ) sinx
α β
+ =

III. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình có dạng : asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x + d = 0. (1)
Cách giải 1: (Dạng công thức hạ bậc đưa về PT bậc 1 theo sin và cosin cùng 1 cung)
(1)
⇔

1 cos2 1 cos 2
sin 2 0
2 2 2
x b x
a x c d
− +
+ + + =

sin 2 ( )cos2 (2 )b x c a x d a c⇔ + − = − + +
.
Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx), xét hai trường hợp :
+ Nếu x =
;
2
k k Z
π
π
+ ∈
có là nghiệm phương trình hay không.
+ Nếu x
;

2
k k Z
π
π
≠ + ∈
, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được:
IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cosin cùng một cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)
Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c
)R∈
(1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx =
2
4
sin2 ≤⇒






+ tx
π

(*)
2
1
cossincossin21

2
2
−
=⇒+=⇒
t
xxxxt
(1)
)1.1(0220
2
1
.
2
2
=−++⇔=+
−
+⇔ bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
≤t
.
Thay giá trị t
0
vô PT (*) và giải PT sin2x =
1

2
0
−t
để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c
)R∈
(2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx =
2
4
sin2 ≤⇒






− tx
π

(**)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
−

=⇒−=⇒
(1)
)1.2(0220
2
1
.
2
2
=−−−⇔=+
−
+⇔ bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
≤t
.
Thay giá trị t
0
vô PT (**) và giải PT sin2x = 1-
2
0
t
để tìm x.
Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau
1. sinx =

3
2
. 2. sinx =
1
3
3. sin(x + 45
0
) =
2
2
−

4. cosx =
1
2
−
5. cosx =
2
3
6. cos(x + 30
0
) =
2
2
−

7. cos(x -
3
π
) =

3
2
−
8. cos(x+
4
π
) =
2
2
−
9. tan2x = tan(x -
3
π
)
10. tanx = 2/3 11. tan(3x – 15
0
) = -
3
12. cot4x = cot(x -
3
π
)
13. cotx = -3 14. cot(2x – 10
0
) = -
3
15. sin ( x – 2) = 1/3
16.
0
1

sin( 60 )
2
x − =
17.
cot(4 ) 3
6
x
π
− =
18.
3
cos(3 )
6 2
x
π
− = −

19.
sin2 sin( )
3
x x
π
= −
20.
2cos2
0
1 sin2
x
x
=

−
21. cos2x tan x = 0
22. sin3x cotx = 0 23. sin3x – cos 5x = 0 24. tan3x tanx = 1
25. 3cosx + 5 = 0 26.
3
cotx – 3 = 0 27. 5cosx – 2sin2x = 0
28. 8sinxcosxcos2x = -1 29. sin2x – 2cosx = 0 30. cos3x – sin2x = 0
31. sin3x + sin5x = 0 32. tanx.tan2x = -1 33. cot2x.cot3x = 1
Giải các phương trình lượng giác sau
1.
2
2sin 5sin 3 0x x+ − =
2.
2
cot 3 cot 3 2 0x x− − =
3.
2cos 2 2cos 2 0x x+ − =
4.
5tan 2cot 3 0x x− − =
5.
2
2 cos 1 0;2sin 3sin 1 0x x x− = − + =
? 6. sinx + cosx = 1
7.
3 sin cos 1x x− =
8.
2sin 3 5 cos3 3x x+ = −
9. Tìm m để phương trình
2sin 3 5 cos3x x m+ =
có nghiệm?

10. 3sinx + 4cosx = -5 11.
2 2
4sin 5sin cos 6cos 0x x x x− − =
12.
2 2
2sin 5sin cos cos 2x x x x− − = −
13.
2 2
sin 3 sin cos 2cos 1x x x x− + =
14.
( )
2 2
4sin 2 1 2 sin cos 2 cos 0x x x x− + + =
15. sin2xsin5x = sin3xsin4x
16.
2 2 2
sin sin 3 2sin 2x x x+ =
17.
( )
2 2
4sin 2 1 2 sin cos 2 cos 0x x x x− + + =
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
18.
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
x co x x
x
+ + +

=
19.
1
cos1
sin2)1cos2(cos1
=
−
−+−
x
xxx
20.
2
3 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − −
21.
6 6 2
sin 2 1x cos x cos x+ = −
22. Tìm các nghiệm trên khoảng
( )
0;
π
của phương trình :

sin 3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1
x x
cosx x
x
−
 

− = −
 ÷
−
 
23.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
+ − −
=
24.
( )
2
cos 2 3 2 2 1
1
1 sin 2
x sinx cos x
x
+ − −
=
+
25.
2
5 2 3(1 ).tansinx sinx x− = −
26.
8 8 2
17

sin 2
16
x cos x cos x+ =
27. Tìm các nghiệm trên khoảng
( )
0;2
π
của phương trình :

cos3 sin 3
5 3 cos 2
1 2sin 2
x x
sinx x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:
28.
xxxx 2cos34cos26sin32cos4
3
+=+
29.
3 1
8sinx
cosx sinx

= +

30.
0sincos2cos2sin
=−−−
xxxx
31.
82cos2sin3cos3sin9
=+−+
xxxx

32.
3
2 cos2 0cos x x sinx+ + =
33.
3 3
sin x cos x sinx cosx+ = −

34. 4
4 4
(sin ) 3 sin 4 2x cos x x+ + =
35.
xxxx sin3cos)cos3(sin3 +=−

36.
xxxx 3sin43cos29cos33sin3
3
+=−
37.
3 1

8
sin
cosx
x cosx
= +
38.
2
sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2x x sin xcosx cos x x x+ − = + −
39.
4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x
+ − + =
40.
3
2sin cos2 0x x cosx− + =
41.
3 3
sin x cos x sinx cosx− = +
42.
( )
24sin33cossin8
66
=−+ xxx
43.
xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+
Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
44. cos
2
x -
3
sin2x = 1 + sin

2
x 45. 4sin
2
x – 3sinxcosx +
( )
3 4+
cos
2
x = 4
46. 10cos
2
x – 5sinxcosx + 3sin
2
x = 4 47. cos
2
x + sinxcosx + 3sin
2
x = 3.
48. 3sin
2
x - 5
3
sinxcosx – 6cos
2
x = 0 49. sin
2
x +
2
(1 3)sin cos 3 0x x cos x+ + =

50. 2sin
2
x + sinxcosx – 5cos
2
x = 1 51. cos
2
x – 3sin
2
x – 4sinxcosx = 0
Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cosin cùng một cung:
52.
( )
02cos12)sin(cos122sincossin =+−+− xxxxxx

53.






+−=−
4
sin27cos2sin3sin2sin32cos8
π
xxxxxx

54.
02cos2sinsin
23

=−++ xxx
55.
12cossin)2sincos(sin12cossin
22
=−+−+ xxxxxxx
56.
1)1(sin2sin2coscossinsin
2
=−++− xxxxxx
57.
0sincos2cos)1cos(sin =−+− xxxxx

58.
2
4
cos2)1cos(sin2sin2 =






−+−+
π
xxxx
. 59.
xxxxx cossin4sin
2
1
cossin

44
−=+−
60.
02sin2coscos
23
=−++ xxx
61.
( )
( )
)cos2(8sin3sin3
2
xxx −=++
62.
0sincos)cossin1(2cos =+++ xxxxx
63.
06cos6sin3sin
23
=+−− xxx
Giải các phương trình lượng giác sau
Bài 1:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2003)
xx
x
x
x 2sin
2
1
sin
tan1
2cos

1cot
2
−+
+
=−
b) (KB-2003)
x
xxx
2sin
2
2sin4tancot =+−

c) (KD-2003)
0
2
costan.
42
sin
222
=−






−
x
x
x

π

Bài 2:Giải các phương trình sau :
a) (KB-2004)
xxx
2
tan)sin1(32sin5 −=−
b)(KD-2004)
xxxxx sin2sin)cossin2)(1cos2( −=+−
Bài 3:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2005)
0cos2cos.3cos
22
=− xxx
b) (KB-2005)
02cos2sincossin1
=++++
xxxx
c) (KD-2005)
0
2
3
)
4
3sin().
4
cos(sincos
44
=−−−++
ππ

xxxx
Bài 4:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2006)
( )
0
sin22
cossinsincos2
66
=
−
−+
x
xxxx
b) (KB-2006)
4)
2
tan.tan1(sincot =++
x
xxx

c) (KD-2006)
01cos2cos3cos
=−−+
xxx
Bài 5:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2007)
xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1(
22
+=+++
b) (KB-2007)

xxx sin17sin2sin2
2
=−+
c) (KD-2007)
2cos3
2
cos
2
sin
2
=+






+ x
xx
Bài 6:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2008)






−=







−
+ x
x
x 4
7
sin4
2
3
sin
1
sin
1
π
π

b) (KB-2008)
xxxxxx cossin3cossincos3sin
2233
−=−
c) (KD-2008)
xxxx cos212sin)2cos1(sin2 +=++
Bài 7:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2009) Giải phương trình
( )
( ) ( )
1 2sin x cos x

3.
1 2sin x 1 sinx
−
=
+ −
b) (KB-2009) Giải phương trình
3
sin x cos xsin 2x 3cos3x 2(cos4x sin x)+ + = +
c) (KD-2009) Giải phương trình
3cos5x 2sin3x cos2x sin x 0− − =
.
Bài 8: 1. (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4cos
2
x 2. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
3. cos
3
xcos3x + sin
3
xsin3x =
2
4
4. cos
3
4x = cos3xcos
3
x + sin3xsin
3
x
5. 1 + sin
2

x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(
4 2
x
π
−
) 6. sin
2
2x – cos
2
8x = sin(
17
10
2
x
π
+
)
7. 4cosx – 2 cos2x – cos4x = 1
8. cos10x + 2cos
2
4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos
3

3x
9. sin
8
x + cos
8
x =
17
16
cos
2
2x 10. cos
4
x – cos2x + 2sin
6
x = 0
11. sin
4
x + cos
4
(
4
x
π
+
) =
1
4
12. sin
3
xcos3x + cos

3
xsin3x = sin
3
4x
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO
Bài 1: Giải phương trình
a. sin
6
x + cos
6
x = 2(sin
8
x + cos
8
x) b. sin
3
x + cos
3
x = 2(sin
5
x + cos
5
x)
c. sin
8
x + cos
8
x = 2(sin
10
x + cos

10
x) +
5
4
cos2x d. cos
4
x + sin
6
x = cos2x
e.
4 4
sin cos 1
(tan cot )
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
f. cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2

Bài 5: Giải phương trình lượng giác sau:
ĐH Khối A 2010
ĐH Khối B 2010
ĐH Khối D 2010