Tài liệu ôn thi Toán lớp 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (434.47 KB, 33 trang )
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
1
Chứng minh rằng :
3
4
4
3
4
1
2
2
6
0
1
1. dx
3 2 sin x 2
3 cotg 1
2. dx
12 x 3
1 1
3. dx
2 6
1 x
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π π
π ππ π
π π
−
−−
−
π
ππ
π
−
−−
−
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
4
1
0
2
5 4 3
1
4. ln2 dx
4
1 x x
1
5. dx
x x 1 8
x
6. dx
18 x x x 3
9 3
π
ππ
π
< <
< << <
< <
+
++
+
π
ππ
π
+ +
+ ++ +
+ +
π π
π ππ π
π π
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
1
0
1
0
Bài giải :
3 3 3 3
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2 2
2
2 2
3 1 1 1 1
1. x sinx 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1
4 4 2 2 3 2 sin x
2
1 1 1
dx dx dx dx
2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π
π ππ π
π π
−
−−
−
−
−−
−
π π
π ππ π
π π
− −
− −− −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
3 3 3
4 4 4
3
4
cotgx 1
3 cotgx 4 3 cotgx 4
2. x dx dx dx
4 x x
3 1 4
x
3 cotgx 1
dx
12 x 3
π π π
π π ππ π π
π π π
π π π
π π ππ π π
π π π
π
ππ
π
π
ππ
π
π π
π ππ π
π π
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π
π ππ π
π π
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫∫
∫
1
3
⇒ ⇒ ⇒
3
⇒
Bài toán này có thể giải theo phương pháp đạo hàm.
1 1
2 2
6 2 2 6 2 6 2 6
6 2 60
1
3. 0 x 1 0 x x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
2
1 1 1
1 dx dx
1 x 1 x 1 x
I
< < − − − − − − −
< < − − − − − − −< < − − − − − − −
< < − − − − − − −
− − −
− − −− − −
− − −
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Với
1
2
2
0
1
I = dx
1- x
∫
Đặt
x sint ; t ; dx costdt
2 2
π π
π ππ π
π π
= − =
= − == − =
= − =
⇒ ∈
1 1
2 2
2
0 0
1
x 0
costdt
2
I dt
6
t 0
1 sin t
6
π
ππ
π
= = =
= = == = =
= = =
π
ππ
π
−
−−
−
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
⇒
Vậy
1
2
6
0
1 1
dx
2 6
1 x
π
ππ
π
−
−−
−
∫
∫∫
∫
2 2
4. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
⇒ ⇒ ⇒
(
((
( )
))
)
[
[[
[ ]
]]
]
2
1 1 1
1 ; x 0,1
x 1 1 x
1 x x
+ +
+ ++ +
+ +
+
++
+
⇒ ∀ ∈
Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi :
x = 0
x = 1
(1) (1)
(1) (1)
VT VG
x
VG VP
∅
∅∅
∅
⇒
∈
Do đó :
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1 1 dx 1
dx dx ln2 dx
1 x x 1 4
1 x x 1 x x
π
ππ
π
< < < <
< < < << < < <
< < < <
+ +
+ ++ +
+ +
+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒
Chú ý :
1
2
0
1
dx
1 x 4
π
ππ
π
=
==
=
+
++
+
∫
∫∫
∫
Xem bài tập 5 .
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1 1
5. 0 1 2 2 2
2 2( 1)
1 1 1 1
;
2 2 1 1
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
=
==
=
+ + + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx I dx
x x x x
Đặt
x tgt dx dt ( tg t)dt
cos t
= = = +
= = = += = = +
= = = +
2
2
1
1⇒
π π
π ππ π
π π
+ π π
+ π π+ π π
+ π π
= = = =
= = = == = = =
= = = =
π
ππ
π
+
++
+
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
4 4
2
2
0 0
0 1 1
1 4 4
0
4
⇒ ⇒
x tg t
I dt dt I
tg t
t
Vậy
π
ππ
π
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
1
2
0
1
2 8
dx
x x
(
((
( )
))
)
5 3
5 4 3 3 5 4 3 3
4 3
3 5 4 3 3 3 5 4 3 3
3 5 4 3 3
1 1
1
3 3
0 0
6. 0 1 0 2 3 3 3 3
0
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3 3
1
; Đặt
3 3 3 1
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
= = =
= = == = =
= = =
+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
°
1 1 1
0 0 0
0
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
I dx dx x
x x
2
0 1
;( 0) 2
0
=
==
=⇒
1
x
t t dx tdt
t
2
1 1
1
6 3 2
0 0
1 2 2 3 .
3 1 9 ( ) 1
= =
= == =
= =
+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
t t dt
I dt
t t
Đặt
= =
= == =
= =
3 2
0 1
3
0 1
⇒
t
u t du t dt
u
π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
2
9 1 18
⇒
du
I
u
Kết quả :
π
ππ
π
=
==
=
4
I
(bài tập 5)
π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
2
3
0
°
3
9 3
x
I
x
(tương tự) Vậy
( )
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
1
1 2
5 4 3
0
1
3
⇔
x
I dx I
x x x
π π
π ππ π
π π
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
5 4 3
18 3
9 3
1
0
x
dx
x x x
1,Chứng minh rằng
:
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
2
4 4
0
12
1 1+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
sin .cos
sin cos
x x
dx
x x
π
ππ
π
π
ππ
π
2.Nếu
:
(
((
( )
))
)
= >
= >= >
= >
∫
∫∫
∫
4
0
0 , 0 , ;
cos 2 4
∀
∈
t
tg x
I dx t
x
t
π
ππ
π
thì :
(
((
(
)
))
)
2
3
3
3
4
+
++
+
+ >
+ >+ >
+ >
tg t tgt
tg t e
π
ππ
π
Bài giải
:
1. Ta có
cos x sin x sin x cos x
:
( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)
+ + + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
=
==
=
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
2 2 4 4
4 4 4 4 4 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1
sin cos
( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
= +
= += +
= +
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
4 4
4 4 4 4 4 4
3 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
⇒
x x
x x x x x x
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
3
sin .cos sin .cos sin .cos sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos
sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos
π π
π ππ π
π π
+ +
+ ++ +
+ +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+
++
+
+ + + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
0 0
3 1 2 2
1 1 1 1 1 1 6 1 1
3 1 2 2
1 1 6 1 1
⇒ ⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
dx dx dx
x x x x
sin
Đặt sin sin
sin
π
ππ
π
π
ππ
π
= = =
= = == = =
= = =
+
++
+
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
2
2
0
2
1
4
0
2
° 2
1
⇒
x
J dx t x dt xdx
x
π
ππ
π
π
ππ
π
⇒ = =
⇒ = =⇒ = =
⇒ = =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
0
2
0 1 4
1
x
dt
J
t t
(kết quả I=
4
π
bài tập 5)
sin
Đặt cos sin
cos
π
ππ
π
= = = −
= = = −= = = −
= = = −
+
++
+
∫
∫∫
∫
2
2
2
4
0
2
° 2
1
⇒
x
J dx u x du xdx
x
π
ππ
π
π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
2
2
0
0
2
0 1 4
⇒
1
x
du
J
u u
(kết quả I=
4
π
bài tập 5)
sin .cos
( )
( sin )( cos )
π
ππ
π
+
++
+
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
2
4 4
0
1
1 1 6
⇒
x x
dx I J
x x
Vậy
sin .cos
( sin )( cos )
π
ππ
π
π
ππ
π
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
2
4 4
0
1 1 12
x x
dx
x x
2. Đặt
( )= = + =
= = + == = + =
= = + =
+
++
+
2
2
1
1
⇒ ⇒
dt
t tgx dt tg x dx dx
t
4
2 3 3
2
2 2 2
0 0 0
0
2
4
tgt
tgt tgt tgt
t dt t dt 1 1 1 t-1 1 1 tgt-1
I = . = = -t -1+ dt = - t -t- ln = - tg t- tgt- ln
1-t
1+ t 1- t 1-t 3 2 t+1 3 2 tgt +1
1+ t
t
∫ ∫ ∫
Vì
( )
>
>>
>
0
I
t
nên
3
1 1 tgt-1
: - tg t-tgt- ln > 0
3 2 tgt+1
ln ln
+
++
+
− π π
− π π− π π
− π π
= + > + + >
= + > + + >= + > + + >
= + > + + >
+
++
+
3
3
3
1 1 1 1
2 1 2 4 3 4
2
3
⇔ ⇒
tg t tgt
tgt
tg t tg t tgt tg t e
tgt
2
n
x
1. I =
x +1
Chứng minh :
( )
≤ ≤
≤ ≤≤ ≤
≤ ≤
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
1
0
1 1
2 1 1
n
I dx
n n
và
lim
→+∞
→+∞→+∞
→+∞
=
==
=
0
n
n
I dx
(
)
-
n x
n
2. J = x 1+ e
Chứng minh :
n
J dx
n
<
<<
<
+
++
+
∫
∫∫
∫
0
1
2
0
1
và
n
n
lim J dx
0
→+∞
=
Bài giải
:
. +
++
+
+
++
+
1 1
1 0 1 1 1 2 1
2 1
⇒ ⇒
x x
x
;
n n n
n n n
x x x
x x dx dx x dx
x x+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 1 1
0 0 0
1
2 1 2 1
⇒
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
n n nn
x x x x
dx dx
n x n n x n
+
++
++
++
+
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
1
1
1 1
0 0
0
0
11
1
2 1 1 1 1 1
1
⇒ ⇒
2 +1
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
4
Ta có :
(
((
( )
))
)
1
0
2 1
0
1
1
0
1
→∞
→∞→∞
→∞
→∞
→∞→∞
→∞
→∞
→∞→∞
→∞
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
+ +
+
n
n
n
n
lim
n
lim
x
lim
n
x
⇒
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
0
1
0 0 0
1
1
2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2
2
0 1 2 0 1
1
− − −
− − −− − −
− − −
− −
− −− −
− −
−
−−
−
= + + +
= + + += + + +
= + + +
+ +
+ ++ +
+ +
+
++
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
. .⇒ 0 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
n n n n n
n x n n
x x
x
x
x
x e e e x x e x hay x e x
x e dx x dx x e dx
n
Ta có :
(
((
( )
))
)
2
0 1 0
1
−
−−
−
→∞ →∞
→∞ →∞→∞ →∞
→∞ →∞
= + =
= + == + =
= + =
+
++
+
n x
x e dx
n
lim lim
⇒
n n
Chứng minh rằng
:
2
2
3 4
4
2
1
0
4 6
0
-
1. cosx(4 3 cosx)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 l
nx 2 lnx)dx 8(e 1)
2 49
3. sinx(1 2 sin x)(5 3 sinx)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx
3 64
243
5. sin x.cos xdx
6250
π
π
π π
π
π
− + ≤ π − − ≤ −
π π
+ − < − ≤
π
≤
∫ ∫
∫ ∫
∫
Bài giải
:
Đặt
f(x) = cosx(4-3 cosx)(2 cosx +2)
cosx cosx cosx
f(x)
f(x)dx dx cosx( cosx)( cosx )dx
2 2 2
2 2 2
3
4 3 2 2
8
3
8 4 3 2 2 8
− − −
⇒ ⇒
cauchy
π π π
π π π
+ − + +
=
− + π
∫ ∫ ∫
2. Đặt
( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )
9 3 2 3 3 2
f x x x x x x x
= − − = + −
ln ln ln
( )
( ) ln ( ln ln ) ( )
1 1 1
3
3 3 2
8
3
8 9 3 2 8 1
⇒ ⇒
e
e e
x x x
f x
f x dx dx x x x dx e
+ + + −
=
− − −
∫ ∫ ∫
3. Đặt
( ) sin ( sin )( sin )
1 2 5 3
f x x x x
= + −
;
sinx sinx sinx
f(x)
3
1 2 5 3
8
3
+ + + −
Đẳng thức
sinx sinx sinx
x
sinx sinx sinx
= + = −
= + = −= + = −
= + = −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
= − =
= − == − =
= − =
1 2 1
5 3 4 5
f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sinx)dx
3 3 3
4 4 4
2
8 8 1 2 5 3
3
π π π
π π π
π
⇒ < ⇒ < ⇒ + − <
∫ ∫ ∫
4. Đặt
f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)
1
7 4 4 7 4
4
= − = −
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
5
( )
( )
2
0 0 0
4 4 4
4 7 4
1 49
( )
4 2 16
49 49
7 4
16 16
x
tgx tgx
f x
f dx dx tgx tgx dx
∏ ∏ ∏
+ −
≤ =
∏
⇒ ⇒ −
∫ ∫ ∫
4 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 6 4 6
0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1
(2 2 cos )(1 cos ).cos .cos .cos
2
1 2 2 cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243
sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
− + − + + +
≤
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤
∏
∫
Chứng minh rằng :
(
)
2 2 2 2
2
3
5 2
1. cos 3sin sin 3cos
3
x x x x dx
−
∏
∏
∏
+ + +
∫
(
)
( )
2 2
1
2. 3 2 ln 5 2ln 4 1
e
x x dx e
+ + − −
∫
2
3 cos sin
3.
4 4
4
x x
dx
x
∏ + ∏
−
+
∫
Bài giải :
1. Đặt
2 2 2 2
( )
1 cos 3sin 1. sin 3cos
x
f x x x x
= + + +
( )
(
)
( )
( )
(
)
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 3
2
2 cos 3sin 3cos sin 2 2
5 2
2 2 cos 3sin sin 3cos
3
x x
x
f x x x x f
f dx dx x x x x dx
∏ ∏
− − −
∏ ∏ ∏
∏
+ + + ⇒
∏
⇒ ⇒ + + +
∫ ∫ ∫
2. Đặt
( )
2 2
1 3 2ln 1 5 2ln
x
f x x
= + + −
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2ln 4
4 3 2ln 5 2ln 4 1
x x
x
e e
e
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −
∫ ∫ ∫
( )
2 2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin
3 cos sin 3 cos sin
2
2
4 4 4 4
x x x x
x x x x
dx
x x x x
+ ≤ + +
+ +
⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + +
∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
6
Đặt
(
)
2
2 2 1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
(
)
( )
2
2
2
0 0 0
2 2
0 0
4 4
2
2 2
2 1
0 1 1
4 2 8
4 1
0
4
3 cos sin
3 cos sin
4 4 4 4 4
tg t
x dx
dt dt
x
tg t
t
x x
x x
dx dx
x x
∏ ∏
+
∏
⇒ = = =
∏
+
+
+
∏ ∏ + ∏
⇒ ⇒ −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ
CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN
Chứng minh rằng :
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
4
4
1. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 1
3.
1
xdx xdx
xdx xdx
x x
dx dx
x x
∏ ∏
∏
∏
≤
− −
<
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2
2
0
2 2
2
1 1
0 0
4 4
sin sin
4
5. (ln ) ln
6. sin cos
x x
dx dx
x x
x dx xdx
xdx xdx
∏
∏
∏
∏ ∏
>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Bài giải :
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 1
1. 0; 2sin .cos 2cos
0 cos 1
4
sin2 2cos sin2 2 cos
x
x x x x
x
x x xdx xdx
≤ ≤
∏
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
≤ ≤
⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
7
∏ ∏
0 0
2 2
cos 1
2. 0; 2sin2 .cos 2sin
0 sin
2
sin2 2sin sin2 2 sin
x
x x x x
x
x x xdx xdx
≤
∏
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
≤
⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
[
]
3. 1;2
x
∀ ∈
Xét hiệu :
2
-1 2 1 1
0
1 ( 1)
x x x x
x x x x
− − + −
− = <
+ +
1 1
2 2
1 2 1 1 2 1
1 1
x x x x
dx dx
x x x x
− − − −
⇒ < ⇒ <
+ +
∫ ∫
4. Đặt
- -
x u dx du
= ∏ ⇒ =
∏
∏
∏
0
∏
∏
∏
∏
0
2
2
2
sin sin( ) sin
2
( )
0
2
1 1
0 0
2
x
x u x
dx du dx
x u x
u
x x x
x x
∏−
⇒ = − =
∏− ∏−
∏
< < ⇒ < < ∏− ⇒ <
∏−
∫ ∫ ∫
Vì :
∏ ∏
∏
0
2 2
sin sin sin sin
sin 0
x x x x
x dx dx
x x x x
> ⇒ < ⇒ <
∏− ∏−
∫ ∫
∏
∏
∏
2
2
0
sin sin
x x
dx dx
x x
⇒ >
∫ ∫
5. Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)
2
cũng liên tục trên [1,2]
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<
∫ ∫
∈
Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x
0
= 1⊂
⊂⊂
⊂ [1,2]
0
∏
∏
∏ ∏
⇒ ⇔
⇔ ⇔
0
4
4
sin
6. 0 0 1 1
4 4 cos
sin cos sin cos
x
x tgx tg
x
x x xdx xdx
< < < < = <
< <
∫ ∫
Chứng minh rằng :
2
x
1
0
1
0
1
0
1
8
25
3
0
3
1. 2 4 5
1 1
2. 1
2
1
1 1
3.
26
26 2
1
dx
dx
x
x
dx
x
+
+
+
∫
∫
∫
<
2
8
∏
∏ ∏
1
0
2
1
2 3
0
1
3
.sin
4. 1 ln2
1 .sin
.sin
5.
12
1
6.
6
4
x
x x
dx
x x
e x
dx
e
x
dx
x x
−
−
+
+
− −
∫
∫
∫
0
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
8
Bài Giải:
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5
2 4 5 2 4 5
x x x x
dx x dx dx x dx
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
8 8
8
8
1 1 1 1
0 0 0 0
8 8
2. 0 1 0 1 1 1 2
1 1
0 1 2 1
2
1
1 1
1
2 2
1 1
x x x
x
x
dx dx
dx dx
x x
≤ ≤ ⇒ + ⇒ +
⇒ ⇔
+ +
⇒ ⇒
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
310 10
3
25 25
25
3 3
3 310 10
25 25
1 1 1 1
25 25
3 3
0 0 0 0
3 310 10
3. 0 1 1 1 2 1 1 2
1 1
1
2 2
1 1
1 1 1
26
2 26 2
1 1
x x x
x x
x
x x
x x
x dx dx x dx dx
x x
4. Trước hết ta chứng minh :
[ ]
sin
;(1) 0,1 .
1 sin 1
x x x
x
x x x
∀
+ +
∈
Giả sử ta có : (1).
[ ]
(1) ⇔ ∀ ⇔
1 1 1 1
1 1 ; 0.1
1 sin 1 1 sin 1
x
x x x x x x
− −
+ + + +
⇔ ⇔
1 1 .sin (1 sin ) 0
x x x x x
+ + −
đúng
[
]
∀
0,1
x
∈
Vậy (1) đẳng thức đúng , khi đó:
( )
⇔
⇔
⇒
1 1 1
0 0 0
1
1
0
0
1
0
sin 1
(1) 1
sin 1 1
.sin
ln 1 1 ln2
1 sin
.sin
1 ln2.
1 .sin
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
dx x x
x x
x x
dx
x x
= −
+ + +
− + = −
+
−
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
( )
( )
2
2
2 2 2
1 1 1
3 3 3
1 1
0
sin 1
5. 1, 3 0, 0
1
1
0 sin 1
sin 1 1
0 ;
1 1 1
x
x
x
x
e
e x
x
e
e
x
e x
x
e x dx dx
dx I I
e e
x x x
−
−
−
< =
⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <
+
+
< <
⇒ < < = =
+ + +
∫ ∫ ∫
∈
Đặt
2
2
1
(1 )
cos
x tgt dx dt tg t dt
t
= ⇒ = = +
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
9
(
)
3 3
2
3
2
4
4 4
1
1 3
1 12
4
tg t
x
dt dt t
tg t
t
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = = =
∏ ∏
+
∫ ∫
4
Vậy
2
1
3
sin
0
12
1
x
e x
dx
e
x
−
∏
< <
+
∫
3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2 3 2
1 1 1
0 0 0
2 2 3 2
6. 0 1 0 0
4 2 4 4
4 2 4 4
1 1 1
4 2 4 4
1 1 1
4 4 4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
I dx dx dx J
x x x x
⇒ ⇒ − −
⇒ − − − −
⇒ − − − −
⇒
− − − −
⇒ = =
− − − −
∫ ∫ ∫
Đặt
2sin 2cos
x t dx tdt
= ⇒ =
( )
2
0 0
6 6
0 1 2 cos
6
0
4 2sin
6
x tdt
I dt
t
t
∏ ∏
∏
⇒ = = =
∏
−
∫ ∫
Đặt
2 sin 2 cos
x t dx tdt
= ⇒ =
0 1
0
4
x
t
∏
( )
4
0
2
0
4
2 cos 2 2
2 8
4 2 2 sin
tdt
J
t
∏
∏
∏
⇒ = = =
−
∫
1
0
2 3
2
6 8
4
dx
x x
∏ ∏
⇒ ≤ ≤
− −
∫
Chứng minh rằng :
2
2
1
0
sin
2
0
1
1. 1
2.
2 2
x
x
e
e dx
e
e dx e
−
∏
−
∏ ∏
∫
∫
2
2
0
1
4
0
1 6
3. 1 sin .
2 2 4
1
4. 0.88 1
1
x dx
dx
x
∏
∏ ∏
≤ + ≤
< <
+
∫
∫
Bài giải :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
10
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0
1. 0 1 0 1 0
1 1
1
0 1 1 2
x x
x x
x
x
x x
x x x e e
e e
e
e
e e e
− −
−
⇒ ⇒ <
⇒ ⇔
⇒ = ⇒
2
°
°x
Từ (1) và (2) suy ra
2
: 1
x x
e e
− −
2 2 2
1 1 1 1
0 0 0 0
1
1
x x x
e
e dx e dx dx e dx
e
− − −
−
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2
2 sin
2 2 2 2
sin sin
0 0 0 0
2. 0 sin 1 1
.
2 2
x
x x
x e e
dx e dx e dx e dx e
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 3
3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin
2 2 2 2
1 3 1 6
1 sin 1 sin .
2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx
∏ ∏ ∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏
⇒ + ⇒ +
∫ ∫ ∫ ∫
4.
Cách 1:
(
)
0,1
x∀
∈
thì
4 2 4 2
4 2
1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
< ⇒ + < + ⇒ >
+ +
( )
1
2
4 2
0
1 1
ln 1 ln 1 2 0,88
1 1
dx dx x x
x x
1 1
0 0
⇒ > = + + = + >
+ +
∫ ∫
Mặt khác :
1
4
4 4
0
1 1
1 1 1 1
1 1
x dx
x x
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
∫
Vậy :
1
4
0
1
0,88 1
1
dx
x
< <
+
∫
Chú ý : học sinh tự chứng minh
2 2
2 2
1
ln
dx x x a C
a x
= + + +
+
∫
bằng phương pháp tích phân từng
phần .
Cách 2 :
(
)
4 2 2
1
4 2 4
0
0,1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x x
dx I
x x x
4
⇒ < ⇒1+ < +
⇒ > ⇒ >
+ + +
∫
∈
Với :
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Đặt
( )
2
2
1
1
cos
x tgt dx dt tg t dt
= ⇒ = = +
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
11
(
)
( )
4 4
4
2
0 0
2
2
0
1
0 1 1
cos
0
1
4
cos
1 sin
tg t
x
I dt dt
t
t
tg t
t
I dt
t
∏ ∏
∏
+
= =
∏
+
=
−
∫ ∫
∫
Đặt
0
4
sin cos
0
t
u t du tdt
u
∏
= ⇒ =
1
2
( )( )
2
0 0 0
1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2 1 2 1
du u u
I du du
u u u u u
u
du du
u u u
1 1
2 2
1 1
2
2
1
2
− + +
= = = +
− − + + −
+
= + =
+ − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 2 2 1
ln 0,88 0,88
2
2 2
1
I dx
x
1
0
+
= > ⇒ >
−
+
∫
Mặt khác
4
4
1
:1 1 1
1
x
x
+ > ⇒ <
+
( )
4
1
1 2
1
dx dx
x
1 1
0 0
⇒ < =
+
∫ ∫
Từ (1) và (2) suy ra :
1
4
0
1
0.88 1
1
dx
x
< <
+
∫
Chứng minh rằng :
4
2
0
1
0
3
2
1
1. 0
32
cos
2. ln 2
1
.sin
3.
1 12
x
x tgx dx
nx
dx
x
e x
dx
x e
∏
−
∏
< <
+
∏
<
+
∫
∫
∫
( )
200
100
3
2
1
1
1 1
0
cos
4.
1 12
cos 1
5.
200
1 1 1
6. 1 1
1 2 1 2
1
x
x
n
n n
e x
dx
x e
x
dx
x
e e
dx
n n
x
∏
∏
−
− −
∏
<
+
∏
− −
− −
+
∫
∫
∫
Bài giải :
1. 0 0 1 0 1 0
4
x tgx tgx x tgx x
∏
⇒ ⇒ ⇒
Xét
: 0
4
x
α β
∏
< < < <
ta có :
4 4
0 0
0 1
0
0
4
tgx
x tgx x
x
I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx
α β
α β
∏ ∏
< <
⇒ <
∏
< <
= = + +
∫ ∫ ∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
12
Ta có :
4 4
4 4
4
0 0
0 0
2
0
0
0 0
0
0
32
x tgx dx xdx
x tgx dx xdx x tgx dx xdx
x tgx dx xdx
x tgx dx
α α
β β
α α
β β
∏ ∏
∏ ∏
∏
< < ⇒ <
∏
⇒ < <
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
Chú ý :
(
)
[
]
, ,
a b
α β
⊂
thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b
x x x x
a b
f dx f dx f dx f dx
α β
α β
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tuy nhiên nếu :
( )
x
m f M
thì :
( )
( )
( )
( )
b b b b
x x
a a a a
m dx f dx M dx m b a f dx M b a
⇒ − −
∫ ∫ ∫ ∫
Nhưng
(
)
[
]
, ,
a b
α β
⊂
thì
( ) ( )
b b b
x x
a a a
m dx f dx M f dx
< <
∫ ∫ ∫
(Đây là phần mắc phải sai lầm phổ biến nhất )Do chưa hiểu hết ý nghóa hàm số
( )
x
f
chứa
(
)
,
α β
liên
tục
[
]
,
a b
mà
(
)
,
α β
⊂
[
]
,
a b
)
1 1 1 1
1
0
0 0 0 0
1
0
cos
cos cos 1
2. ln 1 ln 2
1 1 1 1
cos
ln 2
1
nx
nx nx
dx dx dx x
x x x x
nx
dx
x
= = + =
+ + + +
⇒
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
1
3 3 3
2 2 2
1 1
1
3. 1 3
sin 1
1
.sin .sin
1 1 1
x
x x
e e
e
x
x
e x e x
e
dx dx dx
x x x
− −
− −
=
⇒
⇒
+ + +
∫ ∫ ∫
3
2
1
.sin 1
.
1
x
e x
dx I
x e
−
⇒
+
∫
với
3
2
1
1
1
I dx
x
=
+
∫
Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
(
)
3 3
4 4
2
2
1
1 3
1 12
4 3
tg t
x
dt dt
tg t
t
∏ ∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = =
∏ ∏
+
∫ ∫
( )
3
1
.sin
*
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
⇒
+
∫
(Cách 2 xem bài 4 dưới đây )
Đẳng thức xảy ra khi :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
13
1
1
, 1, 3
sin 1
sin 1
x
x
e e
x x
x
x
− −
=
=
⇔ ⇒ ∅ ∀
=
=
∈ ∈
Vậy
3
2
1
.sin
:
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+
∫
Xem lại chú ý trên , đây là phần sai lầm thường mắc phải không ít người đã vội kết luận đẳng thức (*)
đúng . Thật vô lý
3 3 3
2 2 2
1 1 1
cos cos
4.
1 1 1
x x x
e x e x e
dx dx dx
x x x
− − −
+ + +
∫ ∫ ∫
Do
x
y e
−
=
giảm
( )
1
1
max
x
e e
e
− −
⇒ = =
3 3
2 2
1 1
cos 1 1
1 1 12
x
e x
dx dx
x e x e
−
∏
⇒ =
+ +
∫ ∫
;do I bài 3
Dấu đẳng thức :
1
1
, 1, 3
cos 1
cos 1
x
x
e e
x x
x
x
− −
=
=
⇔ ⇔ ∅ ∀
=
=
∈ ∈
Vậy
3
2
1
cos
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+
∫
5. Đặt
2
1
1
cos
sin
du dx
u
x
x
dv xdx
v x
= −
=
⇒
=
=
200
200 200
2
100 100
100
200
200 200
2
100 100
100
cos 1 sin
sin
cos 1 1 1
200
x x
dx x dx
x x x
x
dx dx
x x x
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒ = +
⇒ = − =
∏
∫ ∫
∫ ∫
Vậy
200
100
cos 1
200
x
dx
x
∏
∏
∏
∫
Bài toán này có thể giải theo phưong pháp đạo hàm .
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 1
1 1
1
0
0 0
1
6. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
.
1 1
1
x
x
n n n
x
n n n
n n
x
n
e e
x e e
x x x
e
dx dx e dx
x x x
x x
e
dx e
n n
x
− −
⇒ ⇒
+ + +
⇒
+ + +
+ +
⇔
− −
+
∫ ∫ ∫
∫
Vậy
( )
1
1 1
0
1 1 1
: 1 1 ; 1
1 2 1 2
1
x
n
n n
e e
dx n
n n
x
− −
− − >
− −
+
∫
Bài toán này có thể giải theo phương pháp nhò thức Newton .
Chứng minh rằng : nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục và x xác đònh trên [a,b] , thì ta có :
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
. . .
b b b
x x x x
a a a
f g dx f dx g dx
∫ ∫ ∫
Cách 1 :
Cho các số
1
α
, tuỳ ý
(
)
1,
i n
∈
ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1
n n n n
α α α β β β α β α β α β
+ + + + + + + + +
Đẳng thức (1) xảy ra khi :
1 2
1 2
n
n
α
α α
β β β
= =
Thật vậy : phân hoạch [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia :
a = x
0
< x
1
< x
2
< …. <x
n
= b và chọn :
[ ]
1 1
, ,
i i
b a
x x i i n
n
ξ
−
−
= ∀
∈ ∈
Do f và g liên tục , ta có :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
1
2 2
1
lim 2
lim 3
n
b
i
x
a
n
i
n
b
i
x
a
n
i
n
b a
f dx f
n
b a
g dx g
n
ξ
ξ
→+∞
=
→+∞
=
→∞
−
=
−
=
∑
∫
∑
∫
Khi đó (1)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
lim . lim .
lim . . 4
n n
i i
n n
i i
n
i i
n
i
b a b a
f g
n n
b a
f g
n
ξ ξ
ξ ξ
→+∞ →+∞
= =
→+∞
=
− −
⇔
−
∑ ∑
∑
Từ (4) ta cũng có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
. .
n n n n
i i i i
i i i i
f g f g
ξ ξ ξ ξ
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑
5
Đẳng thức xảy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x)
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
15
Từ (5)
(
)
2
2 2
( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
⇒
∫ ∫ ∫
Cách 2 :
t R
+
∀
∈
ta có :
[
]
2
2 2 2
2 2 2
0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0
b b b
a a a
tf x g x t f x t f x g x g x
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
− = − +
⇒ = − +
∫ ∫ ∫
h(t) là 1 tam thức bậc 2 luôn không âm nên cần phải có điều kiện :
(
)
2
2
2 2
2
2 2
0
' 0
0
( ). ( ) ( ) . ( ) 0
( ). ( ) ( ) . ( )
h
h
h
b b b
a a a
b b
a a
a t
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
= >
⇔ ∆
∆
⇔ − ≤
⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
b
a
Chứng minh rằng :
2
3
sin
5
1. 1
2
3
2.
2
x
x dx
e dx
+ <
∏
>
∫
∫
1
0
1
0
( )
2
0
1
2
0
1
3. 1 1
2
3cos 4sin 5
4.
1 4
x
x t t x x
e e e dt e e
x x
dx
x
−
− < + < − −
− ∏
+
∫
∫
Bài giải :
1. Ta có
(
)
2
2 2
: ( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
∫ ∫ ∫
( đã chứng minh bài trước )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 2 2
1 1 1 1
3 2 2
0 0 0 0
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1 1
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
x x x x x x x
x dx x x x dx x dx x x dx
⇒
+ = + − + = + − +
⇒ + = + − + < + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1
1
2
1
3
0
0
0
1
3
0
3 2
5
1
2 2
3 2
5
1
2
x
x x
x dx x
x
x dx
+ < + =
− +
⇒ + <
∫
∫
2 2 2
2
sin sin sin
0
2.
x x x
e dx e dx e dx
∏
2
∏
∏
= +
∫ ∫ ∫
0 0
Đặt
2
2
0
2
x
x
t t dx dt
t
∏
∏
= + ⇒ =
∏
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
16
(
)
2
2
2 2
2 2 2
2
sin
sin sin
2
0 0 0
2 2 2
sin cos sin
0 0 0
2
t
x x
x x x
e dx e dx e dt
e dx e dx e dx
∏
∏
∏
∏
+
∏ ∏ ∏
⇒ = +
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ta lại có
2 2
2 2
sin cos
2 2
2 2
0 0
.
x x
edx e e dx
∏ ∏
=
∫ ∫
2 2
2 2
2
2
2 2
sin cos
0 0
2 2
2 2 2 2
sin sin
0 0 0 0
2
sin
0
0
sin
0
.
1 3
;
2 2
3
2
x x
x x
x
x
e dx e dx
hay e dx e dx e dx e dx
e dx e e e
e dx
∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
∏
∏
∏
<
< ⇒ <
⇒ > = ∏ >
⇒ >
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Chú ý : bài này có thể giải theo phương pháp đạo hàm .
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
( )
2 2
2
0 0
2
2 2
2
0 0 0
2
2 2
2
2
2
1
2
0
3.
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 1
1 1
2 2
1
1 (1)
2
x x
t
t t t t
x t t
t
t t t t t
b b b
a a a
x
t t x x x x
x
o
t t x x
e e dt e e e dt
e e e dt e dt e e dt
vi f x g x dx f x dx g x dx
e e dt e e e e
e
e e dt e e
− −
− −
−
−
+ = +
+ +
⇒ + − − − < − −
⇒ + − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
Mặt khác
2
: ; 0
t t t
e e e t x
−
+ > ∀ < <
2
0 0
1 (2)
x x
t t t x
e e dt e dt e
−
⇒ + > = −
∫ ∫
Từ (1) và (2) suy ra
( )
2
0
1
: 1 1
2
x
x t t x x
e e e dt e e
−
− < + < − −
∫
( )
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
3cos 4sin 1 5
4. 3 4 sin cos
1 1 1
3cos 4sin 3cos 4sin 1
5
1 1 1
x x
x x
x x x
x x x x
dx dx dx
x x x
−
+ − + =
+ + +
− −
⇒
+ + +
∫ ∫ ∫
Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
17
(
)
2
2 2
2
1
0 1 1
1 1 4
0
3cos 4sin 5
4.
1 4
tg t
x
dx dt dt
x tg t
t
x x
dx
x
+
∏
⇒ = = =
∏
+ +
− ∏
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1
0 0 0
1
0
4
Chứng minh bất đẳng thức tích phân bằng phương pháp đạo hàm
.
Chứng minh rằng
:
(
)
(
)
( )
11
7
1
2
0
1. 54 2 7 11 108
4
2. 0 1
27
x x dx
x x dx
−
+ + −
< − <
∫
∫
( )
2
4
0
sin
0
2
sin cos
4 4
3
4.
2
e
x
x x dx
e dx
∏
∏ ∏
+
∏
>
∫
∫
Bài giải
:
1. Xét
( )
(
)
(
)
[
]
7 11 ; 7,11
f x x x x= + + − −
∈
( ) ( )
11 7
' ' 0 2
2 11 7
x x
f x f x x
x x
− − +
= ⇒ = ⇔ =
− +
x -7 2 11
f’
(x)
+ 0 -
f
(x)
6
3 2 3 2
ր ց
( ) ( )
( )
11 11 11
7 7 7
11
7
3 2 6 3 2 6
54 2 7 11 108
f x dx f x dx dx
x x dx
− − −
−
⇒ ⇒
⇒ + + −
∫ ∫ ∫
∫
2. Xét hàm số : f(x) = x(1-x
2
) ;
[
]
' 2
0,1 ( ) 3 - 4 1
x f x x x
∀ ∈ ⇒ = +
⇒
f’(x)=0
1
x x
1
⇔ = ∨ =
3
x
-
∞
0
1
3
1 +
∞
f’
(x)
+ 0 -
f
(x)
0 0
ր ց
4
27
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
18
4
0 ( )
27
f x⇒
(
)
(
)
( )
(0) (1)
1 1 1
0 0 0
1 1 4
0, ; ,0
3 3 27
0
4 4
0 ( ) 0 ( )
27 27
x
x f
va
f f
f x dx dx f x dx
∃ ⇒ 0 < <
= =
⇒ < < ⇒ < <
∫ ∫ ∫
∈
3. Xét hàm số :
'
( ) sin cos 2 sin ; 0,
4 4
( ) 2 cos 0 , 0,
4 4
f x x x x x
f x x x
∏ ∏
= + = +
∏ ∏
= + ∀
∈
∈
⇒
f(x) là hàm số tăng
( ) ( )
( )
0
4
0,
4
x
x f f f
∏
∏
∀ ⇒
∈
( )
4
0
2
1 sin cos 2 sin cos
4 4
x x x x dx
∏
∏ ∏
⇒ + ⇒ +
∫
4. Nhận xét
0
x
∀ >
thì
1
x
e x
> +
( đây là bài tập Sgk phần chứng minh bất đẳng thức bằng pp đạo hàm)
Xét
( ) ( )
'
1 ; 0 1 0 ; 0
t t
t t
f e t t f e t
= − − ⇒ = − > ∀ >
⇒
hàm số f(t) đồng biến
0
t
∀
Vì x > 0 nên f(x) > f(0) = 0
(
)
1 0 1 1
x x
e x e x
⇒ − − > ⇔ > +
Do vậy :
( ) ( )
2
sin 2
0, 1 sin (1)
x
x thi e x do∀ ∏ > +
∈
( )
2
2
sin 2
0 0 0
sin
0
1 cos 2
1 sin
2
3
2
x
x
x
e dx x dx dx
e dx
∏ ∏ ∏
∏
−
⇒ > + = ∏ +
∏
⇒ >
∫ ∫ ∫
∫
Chứng minh rằng :
3
4
2
2
1
2
0
2 1
1.
5 1 2
3 sin 1
2.
4 2
3 1 2 3
3.
3 3
cos cos 1
x
dx
x
x
dx
x
dx
x x
∏
∏
∏
+
∏ ∏
+ +
∫
∫
∫
( )
3
6
1
2
0
1
4
4 4
1
3 cot 1
4.
12 3
2 1 1
5.
3
2
2
6. 2 2 1 1 4
gx
dx
x
dx
x x
x x dx
∏
∏
−
< <
+ −
< + + − <
∫
∫
∫
Bài giải :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
19
1. Xét :
( )
[ ]
2
; 1,2 .
1
x
x
f x
x
=
+
∈
có
( )
( )
[ ]
2
'
2
2
1
0 ; 1, 2
1
x
x
f x
x
−
= ∀
+
∈
⇒
hàm số nghòch biến
[
]
( ) ( ) ( )
2 1
1,2
x
x f f f
∀ ⇒
∈
2 2 2
2 2
1 1 1
2
2
1
1 1
1 2 1 2
2 1
5 1 2
x x
dx dx dx
x x
x
x
2 2
⇒ ⇒
5 + 5 +
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
2. Xét
( ) ( )
'
2
sin .cos sin
; ;
6 3
x x
x x x x
f x f
x x
∏ ∏ −
= ∀ ⇒ =
∈
Đặt
.cos sin ' 0 ; ;
6 3
Z x x x Z x x x
∏ ∏
= − ⇒ = − < ∀
∈
⇒
Z đồng biến trên
;
6 3
x
∏ ∏
∀
∈
và :
( )
( )
3
'
3 3
0 ; ;
6 6 3
0 ; ;
6 3
x
Z Z x
f x
∏
∏ − ∏ ∏
= < ∀
∏ ∏
⇒ < ∀
∈
∈
x
-
∞
6
∏
3
∏
+
∞
f’
(x)
−
f
(x)
3
3 3
2
∏
∏
ց
( )
3 3 33
6 6 6 6
3 3 3
2
3 3 sin 3
2
3 3 sin 3 sin 1
2 4 2
X
f
x
hay
x
x x
dx dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏∏
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
∏ ∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏
∫ ∫ ∫ ∫
:
3. Đặt
[
]
[
]
cos ; 0, 1,1
t x x t
= ∏ ⇒ −
∈ ∈
và
( )
[
]
2
1; 1,1
t
f t t t
= + + −
∈
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
20
( ) ( )
' '
1
2 1; 0
2
t t
f t f t
= + = ⇔ = −
t
-
∞
-1
1
2
−
1 +
∞
f’
(t)
−
0 +
f
(t)
1 3
3
4
ց ր
( )
[ ]
3
3 ; 1,1
4
t
f t
⇒ ∀ −
∈
[ ]
2
2
2
2
0 0 0
2
0
3
cos cos 1 3 ; 0,
4
3 1 2
cos cos 1 3
2
3
cos cos 1
1 1 2
cos cos 1
3 3
3 1 2 3
3 3
cos cos 1
x x x
hay x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
∏ ∏ ∏
∏
⇒ + + ∀ ∏
1
+ + ⇒
3
+ +
⇒
+ +
∏ ∏
⇒
+ +
∫ ∫ ∫
∫
∈
Chú ý : thực chất bất đẳng thức trên phải là :
2
0
3 1 2 3
3 3
cos cos 1
dx
x x
∏
∏ ∏
< <
+ +
∫
(học sinh tự giải thích vì sao)
( )
cot
4. ;
x
gx
f
x
=
liên tục
;
4 3
x
∏ ∏
∀
∈
có
( )
(
)
'
2 2
2 sin 2
0 ; ;
2 sin 4 3
x
x x
f x
x x
− +
∏ ∏
= < ∀ ⇒
∈ f(x) :nghòch biến trên
;
4 3
∏ ∏
(
)
( )
(
)
3 4
x
f f f
∏ ∏
⇒
3 3 3
4 4 4
3
4
3 cot 4 cot 4
3 cot 1
12 3
gx gx
dx dx dx
x x
gx
dx
x
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏
∏
∏
3
⇒ ⇒
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∫ ∫ ∫
∫
( )
[
]
2
5. 2 ; 0,1
x
f x x x
= + − ∀
∈
có f’(x)=1- 2x
( )
'
1
0
2
x
f x
⇒ = ⇔ =
x
-
∞
0
1
2
1 +
∞
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
21
f’
(x)
+
0
−
f
(x)
2 2
ր ց
9
4
( )
9
2
4
x
f
⇒
và
(
)
(
)
( ) ( )
( )
0 1
1 1
0, ; ,1
9
2 2
2
4
2
x
x
f
f f
∃
⇒ < <
= =
∈
2
2
1 1 1
2
0 0 0
1
2
0
9 2 1 1
2 2
4 3
2
2
2 1 1
3
2
2
2 1 1
3
2
2
x x
x x
dx dx dx
x x
dx
x x
⇒ < + − < ⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
⇒ < <
+ −
∫ ∫ ∫
∫
6. Xét :
( )
[
]
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4 4
'
3 3
4 4
3 3
'
4 4
1 1 ; 1,1
1 1 1
4
1 1
0 1 1 0
x
x
x
f x x x
f
x x
f x x x
= + + − −
= −
+ −
= ⇔ − = + ⇔ =
∈
Mặt khác :
( )
( ) ( )
'
3 3
4 4
1 1
0 1 0
1 1
x
f x
x x
> ⇔ > ⇔ − < <
+ −
x -
∞
-1 0 1 +
∞
f’
(x)
+
0
−
f
(x)
4 4
2 2
ր ց
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4
4
4
1 1
1 1 1 1
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
2 2
-1, 0 ; 0,1
2 2
2
2 1 1 2 2 2 1 1 4
x
x
f
x
va f
f f
dx x x dx dx x x dx
−
− − − −
⇒ ≤ ≤
∃ ∈
⇒ < <
= =
⇒ < + + − < ⇒ < + + − <
∫ ∫ ∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
22
Chứng minh rằng
:
2
2
2
2
4
0
200
-
100
100
1
10
1. 2. 2
2. 0,005
9
3. 90 ln10 90 ln10
200
x x
x
x
e e dx e
e dx
e dx
− −
≤ ≤
<
− ≤ < + +
∫
∫
∫
2
3
2
4
4
0
1
1
1
0
2
0
3
4. 9 2 90
cos
5. 1
4
6. 1
x
x
tg x dx
e dx
tg
dx
x
∏
∏
+
− ≤
∏
≥ +
<
∫
∫
∫
Bài giải :
1. Đặt
( )
[
]
2
; 0, 2
x
f x x x
= −
∈
có
( )
'
1 2
x
f x
= −
có
( )
'
1
0
2
x
f x
= ⇔ =
x
-
∞
0
1
2
2 +
∞
f’
(x)
+
0
−
f
(x)
0 2
−
ր ց
1
4
( )
2 2
2
2
2 2 2
1
2 2
4 4
4
0 0 0
2
2
4
0
1
2
4
1
2
4
2. 2.
x
x x x x
x x
f
hay x x
e e e e e dx e dx e dx
e e dx e
− − − −
− −
⇒ −
− −
⇒ = ⇒ ≤ ≤
∫ ∫ ∫
∫
Chú ý : thực chất bất đẳng thức trên là :
2
2
2
4
0
2. 2.
x x
e e dx e
− −
< <
∫
2. Trước hết ta chứng minh :
( )
2
2
1
; 1 0
x
e x
x
−
≤ ≠
Đặt
2
; 0 0
t x x t
= ≠ ⇒ >
Giả sử ta có (1) và (1)
1
; 0 ; 0
t t
e t e t t
t
−
⇔ > ⇔ >
(
)
0 2 ; 0
t
e t t
⇔ − >
Đặt
( ) ( )
'
1 0 , 0
t t
x t
f e t co f e t
= − = − > >
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
23
( )
t
f
⇒
luôn đồng biến
0
t
∀ >
và
( ) ( )
0
1 0
t
f f
= >
( )
2 2
2 2
1 1
0 , 0
x x
t
f t e e dx dx
x x
200 200
− −
100 100
⇒ > ⇒ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
2
200
-
100
0,005
x
e dx⇒ <
∫
3. Trước hết ta chứng minh :
( )
1
2
1 1 1
1 1 ; 1 0
2
x
e x
x x x
−
− − + ∀ >
Đặt
1
; 0 0
t x t
x
= − > ⇒ <
( ) ( )
2
1
1 1 1 ; 2 0
2
t
t e t t t
⇔ + + + <
Xét hàm số
( ) ( )
2
1
1 ; 1 ; 0
2
t t
t t
f e t h e t t t
= − − = − − − <
( )
'
1
t
t
f e
= −
°
t -
∞
0
+∞
f’
(t)
−
f
(t)
0
+∞
ց
( )
0 ;
1 0 ; 0
t
t
f
hay e t t
⇒ > ∀τ < 0
− − > ∀ <
(
)
1 ; 0 3
t
t e t
⇒ + < ∀ <
( )
'
• 1
t
t
h e t
= − −
x -
∞
0 +
∞
'
h t
+
t
h
0
ր
( )
( )
0 ; 0
1
1 0 ; 0 4
2
t
t
h t
hay e t t
⇒ < ∀ <
< + + > ∀ <
Từ (3) và (4) suy ra :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
24
2
1
2
100 100 1001
2
10 10 10
1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1
2
t
x
x
t e t t t
hay e x
x x x
dx e dx dx
x x x
−
−
+ + + ∀ <
− − + >
⇒ − − +
∫ ∫ ∫
100 1
10
9
90 ln10 90 ln10
200
x
e dx
− ≤ < + +
∫
* Là bài toán khó , hi vọng các em tìm điều thú vò trong bài toán trên – chúc thành công .
4. Xét
( )
4
4
3
2 ; 0,
cos 3
x
f tg x x
x
∏
= −
∈
Đặt
[ ]
2
2
1
1 ; 0, 1; 4
cos 3
t tg x x x t
x
∏
= = + ⇒
∈ ∈ ∈
( ) ( )
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2 ' 3
1 4
4 4 4
1 1 1
4
4
0
4 2 4 4 0 ; 1, 4
30
3 30
3
9 2 90
cos
t t
t t
t
f t t f t t
f f f f
dt f dt dt
tg x dx
∏
⇒ = + − ⇒ = + > ∀
⇒ ⇒ 3
⇒ ≤
⇒ −
∫ ∫ ∫
∫
∈
5. Xét hàm số
( )
1 ; 0
x
x
f e x x
= − − ∀
có
( ) ( )
'
1 0 , 0
x
x x
f e x f
= − > ∀ ⇒
đồng biến
)
0,x
∀ + ∞
∈
( ) ( )
( )
2
2
0
1
1
2
1
1 1 1
1
2 2
0 0 0
0 1 0 1 ; 0
1
1 ; 0
1
1 1
1 1 *
1 1
x x
x
x
x
f f e x e x x
e x
x
e dx dx dx
x x
+
+
⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀
⇒ + ∀
+
⇒ + = +
+ +
∫ ∫ ∫
Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
(
)
2
1 1
2 2
0 0
0
1
0
1
1
1 1 4
4
t
tg t dt
x
dx
x
x tg t
t
=
+
=
∏
⇒ ⇒ = =
∏
=
+ +
=
∫ ∫
Từ (*) suy ra :
2
1
1
1
4
x
e dx
+
∏
+
∫
6. Trước hết ta chứng minh :
2
; 0,
2
x
tg
x
x
2 ∏
<
∏
∈
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
25
Xét hàm số
( )
1
. ; 0,
2 2
x
x
f tg x
x
∏
=
∈
( )
'
2 2
sin
2 .cos
2
x
x x
f
x
x
−
=
Đặt
sin ' 1 cos 0 , 0,
2
Z x x Z x x
∏
= − ⇒ = − > ∀
∈
( ) ( )
'
0
0 0 , 0,
2
x
Z Z f x
∏
⇒ > = ⇒ > ∀
∈
x
-
∞
0
2
∏
+
∞
f’
(x)
+
f
(x)
2
∏
−∞
ր
( )
2 2 2
0 0 0
2 2
2
2
2 2
1
x
x
tg
f
x
x x
tg tg
dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏
∫ ∫ ∫
Chứng minh rằng :
(
)
( )
4
2001 2001
1999 2
0
1
2
0
2
0
1
1. . .
2 2001 2002
1 2
2. ln 1 ln 1 2 1
2 2
1
3.
2 4
x
n
n
x e dx
x x x dx
xtg xdx
n
∏
∏
+
∏ ∏
> +
+ + + + −
∏
+
∫
∫
∫
Bài giải :
1. Trước hết ta chứng minh :
(
)
2 2
2 ; 0
x
e x x x
> + ∀ >
Xét hàm số:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
' 2 2
2 ; 0
2. 4 2 ; 4. 4 0 ; 0
' '
x
x
x x
x x
f e x x x
f e x f e x
= − + ∀ >
= − − = − > ∀ >
( )
'
x
f
⇒
là hàm tăng
( ) ( )
'
0
; 0 0
x
x f f
∀ > ⇒ > =
( )
x
f
⇒
là hàm tăng
( ) ( )
0
; 0
x
x f f
∀ > ⇒ >
