CAO HỌC : Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên

Ts t« v¨n ban




Bµi gi¶ng

X¸c suÊt thèng kª

Vµ

Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

(Dành cho các lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS)

PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07
(Ch−a hoµn thiÖn)

Hµ néi - 2005 - 2006 - 2007


M C L C
Phần Chơng
Nội dung trang

Mục lục 2

Lời nói đầu 5

Các ký hiệu hay sử dụng 7
Phần I Xác suất Thống kê
9
Chơng I Kiến thức bổ sung về xác suất 9

Đ1.1. Các biến ngẫu nhiên quan trọng
9

Đ1.1. Biến nhẫu nhiên chuẩn
8

Đ1.2. Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn
11

Đ1.3. Mở rộng khái niệm mật độ đối với BNN rời rạc
17

Câu hỏi và bài tập Chơng I 20
Chơng II
Chơng III
Đ3.5.Sự hội tụ của dãy các BNN
3.5.1. Các dạng hội tụ
3.5.2. Các định lý giới hạn
23
23
25
Chơng IV Lý thuyết ớc lợng
Phần II Quá trình ngẫu nhiên 32
Chơng V Những khái niệm tổng quát 32

Đ5.1. Mở đầu
5.1.1. Các định nghĩa
5.1.2. Phân loại sơ bộ
5.1.3. Ví dụ về QTNN
5.1.4. Họ các phân bố hữu hạn chiều
32
32
33
34
35

Đ5.2. Một số lớp các quá trình ngẫu nhiên
5.2.1. Quá trình cấp II
5.2.2. Quá trình số gia độc lập
5.2.3. Quá trình dừng (QT dừng theo nghĩa hẹp, dừng
theo nghĩa rộng, dừng đồng thời)
5.2.4. Quá trình Gauss

36
36
38
39

45

Đ5.3.Tính chất ergodic và trung bình thời gian
46

2

5.3.1. Giới thiệu
5.3.2. Ergodic kỳ vọng
5.3.3. Ergodic phơng sai, tự hiệp phơngsai, PS chéo
5.3.4. Các loại ergodic khác
5.3.5. Đo hàm tơng quan
46
47
50
54
55

Đ5.4.Liên tục, đạo hàm, tích phân
5.4.1. Liên tục (theo xác suất, theo trung bình)
5.4.2. Đạo hàm (theo bình phơng trung bình)
5.4.3. Tích phân (theo bình phơng trung bình)
57
57
59

61

Đ5.5.Hai QTNN quan trọng
5.5.1. QT Poisson (định nghĩa, xác suất đồng thời n
chiều, hàm tự tơng quan, dãy thời điểm đến, xác
định cờng độ dòng đến, các biến thể, nhiễu bắn,
sinh các quỹ đạo)
5.5.2. QT Wiener (đ. nghĩa, các tính chất, sinh quỹ đạo)
5.5.3. Giới thiệu về các QTNN khác
65
65


75
74
77

Đ5.6. Quá trình ngẫu nhiên phức
Câu hỏi lý thuyết và bài tập chơng V
77
79
Chơng VI Xử lý các QTNN 86

Đ6.1.Mật độ phổ công suất
6.1.1. Vấn đề nghiên cứu QTNN trong miền tần số
6.1.2. Mật độ phổ công suất
6.1.3. Mật độ phổ công suất chéo
6.1.4. Mật độ phổ công suất cho QT thực không dừng
6.1.5. Mật độ phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên
6.1.6. Một số mô hình nhiễu (nhiễu trắng, nhiễu nhiệt,

nhiễu trắng thông dải, nhiễu màu, nhiễu bắn)
6.1.7. Phổ công suất của QTNN phức
(Ví dụ: Phổ vạch, hiệu ứng Doppler)
86
86
89
93
95
97
99

103

Đ6.2.Căn bản về hệ tuyến tính
6.2.1. Hệ tuyến tính tổng quát
6.2.2. Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian
6.2.3. Hệ nhân quả và hệ ổn định
107
107
109
112

3

6.2.4. Trờng hợp hệ rời rạc 113

Đ6.3. Hệ tuyến tính với đầu vào ngẫu nhiên
6.3.1. Vấn đề đầu ra
6.3.2. Các đặc trng xác suất của QT đầu ra
6.3.3. Đáp ứng hệ LTI rời rạc với đầu vào ngẫu nhiên

6.3.4. Các ví dụ (Hệ lý tởng, Lọc bậc nhất, Trung bình
trợt, Phổ của QT đạo hàm)
115
115
117
120
122

Đ6.4. Quá trình tự hồi quy trung bình động
6.4.1. Quá trình tự hồi quy AR
4.4.2. Quá trình trung bình động MA
6.4.3. Quá trình ARMA
124
124
128
130

Đ6.5. Quá trình thông dải và điều chế
6.5.1. Quá trình thông dải
6.5.2. Nhiễu trong hệ thông tin điều biên AM
6.5.3. Nhiễu trong hệ thông tin điều tần FM
133
133
138
142



Đ6.6. Lọc phối hợp
6.6.1. Trờng hợp tổng quát

6.6.2. Lọc phối hợp cho nhiễu màu
6.6.3. Lọc phối hợp cho nhiễu trắng
Đ6.7. Ước lợng tuyến tính tối u
6.7.1. Đặt bài toán
6.7.2. Bài toán là trơn Lọc Wiener bất khả thi
6.7.3. Lọc Wiener khả thi
Câu hỏi lý thuyết và bài tập Chơng VI
147
147
148
149
151
151
153
155
159
Chơng VII
(dự trữ)



Quá trình Markov
Xích Markov
Quá trình Markov với thời gian liên tục

Phần III
Phụ lục A - Cỏc bng thng kờ
Phụ lục B - Phép biến đổi Fourier
Bảng B-1 Tính chất của phép biến đổi Fourier
Bảng B-2. Cặp phép biến đổi Fourier

171
171
172
Tài liệu tham khảo
173


4

Chơng 1. kiến thức bổ Sung về xác suất
Đ1.1.Các biến ngẫu nhiên quan trọng

1.1.1.Biến ngẫu nhiên rời rạc
Tên Kí hiệu
Xác suất P
{ }
Xk=

Kì vọng Phơng sai
Nhị thức B(n,p)
kk nk
n
C p (1 p) ;k 0,1,..., n

=

np np(1-p)
Poisson
P(

)

k
e
;k 0,1,...
k!


=





Hình học G(p)
p(1-p)
k=0,1,2,...
k
;
1p
p


2
1p
p


Siêu hình
học

H(N,n,p)
knk
Np N Np
n
N
CC
;k 0,1,..., n
C


=

........ .........
Các luật phân bố rời rạc khác: đều rời rạc, nhị thức âm,...
1.1.2Biến ngẫu nhiên liên tục
Tên Kí hiệu Mật độ Kì vọng Phơng sai
Đều U([a;b])
1
;a x b
b a



ab
2
+

2
(b a)
12

Mũ
E(
)


x
e

;

,x>0
1/


2
1/


Cauchy
C

(,)
22
/[ ( (x ) )]
+

Không tồn tại
Không tồn

tại
Chuẩn
N(m,
2

)
2
2
2
1(xm)
exp ( 0)
2
2



>






m
2


Gamma
(r, )

r1 x
(x) e ; ,r,x 0
(r)


>


r


2
r


Khi bình
phơng
2
(n)


nxn
1
222
x e /(2 (n / 2); x 0, n 1, 2,...

>=

n 2n
Student T(n)

((n 1) / 2))
n(n/2)
+

2
(n 1)/2
x
(1 )
n
+
+

0
n
n2


Fisher-
Snecdecor
F(n,m)
n2 nm
2
Bx (m nx) ;
+

+
2
m, n, x > 0
.......... ..........
Weibul

W(

,)
1x
xe ;,,x0


>

1
(1 1 / )


+

..........
Lôga chuẩn
2
LN(m, )

2
1
2
2
1 (ln x m)
xexp ;,x0
2
2

>





exp
2
m
2



+





Rayleigh
2
(x a) /b
2
(x a)e , x a
b

b
a
4

+

4
b
4




Lu ý:
với u>0 hàm Gamma.
u1 t
o
(u) t e dt


=

Tính chất:
;
(u 1) u (u)+=
(n) (n 1)! ; (1/ 2) = =
.
Các luật phân bố liên tục khác: Bê ta, tam giác,...
Biến ngẫu nhiên chuẩn rất quan trọng ta dành ra 1 phần riêng.

Đ.1.2. Biến ngẫu nhiên chuẩn
1.2.1.Tính chất hàm mật độ .
f(x) =
2
2
2
1(xm)
exp ( 0)
2
2



>






+Hàm mật độ xác định trên
Ă ;
+f(x) > 0: Đồ thị nằm trên trục hoành;
+Trục Ox là tiệm cận ngang;
+Giá trị cực đại
2
1
2
, đạt đợc tại x = m;
+Đồ thị đối xứng qua đờng thẳng x=m, có dạng hình chuông (Hình 1.1).

Hình 1.1. Đồ thị hàm mật độ của phân bố chuẩn.
2
1
2
m
x
O
1.2.2.Các tham số đặc trng
2
E[X] m;
D[X] .
=



=


(1.1)
Nh vậy nhận thấy rằng, chỉ cần biết kì vọng và phơng sai là có thể biết
mật độ f(x) và do đó hoàn toàn biết về phân bố chuẩn. Còn có thể tính đợc
+Độ chệch Skew(X) =
3
3
E[(X EX) ]

= 0;
+Độ nhọn Kurt(X) =
4
4
E[(X EX) ]

- 3 = 0. (1.2)
1.2. 3.Bnn chuẩn hoá (chuẩn tắc).
X đợc gọi là biến nn chuẩn tắc nếu X N(0,1).Hàm mật độ của nó cho bởi

8


2
x
2
1
(x) e
2

=

. (1.3)
Đặc điểm : -Giá trị của
đợc lập bảng với x
(x)

{0;4];
-Đồ thị đối xứng qua trục tung;

-Hàm phân bố tơng ứng

2
t
x
2
1
F(x) e dt
2


=


(1,4)
cũng đợc lập bảng. Tuy nhiên, để tiết kiệm bảng, thay cho F(x), ngời ta lập
bảng giá trị của hàm Laplace:

2
t
x
2
0
1
(x) e dt,
2

=

x

[0; 3]. (1.5)
Với x > 3, coi
(x)


1
2
.


Hình 1.2. Đồ thị hàm mật độ chuẩn hoá (a) và đồ thị hàm Laplace (b).

Khi cần tính F(x) qua

(x) hay ngợc lại, dùng công thức :
F(x) =
1
2
+

(x). (1,6)
Công thức sau rất có ích để tính xác suất X nằm trên đoạn nào đó:

[]
{ }
PX a;b (b) (a).=
(1,7)

1.2.4.Biến đổi tuyến tính bnn chuẩn.
+Cho X

N(m, ) Y= a X+b có phân bố chuẩn.
2


a,b ,Ă
Từ đó dễ thấy aX+b

N(am+b,
22
a

).
+Hệ quả. X

2
Xm
N(m, ) U

=



N(0,1). (1.8)

9

Hệ quả này cho ta phơng pháp thuận lợi để tính
{ }
PX [a;b]

:
[]
{ }
PX a;b

=P
amXm bm






b mam
()().

=

(1.9)
1.2.5.Phân vị .Phân vị chuẩn mức

, kí hiệu
U

, là giá trị xác định bởi
{ }

PU U

>=
, với U

N(0,1)
2
t
2
U
1
edt
2
+


=


. (1.10)




Hình 1.3. Phân vị chuẩn mức

.
Tính chất:
1
UU

=
. (1.11)
Một số giá trị đặc biệt: (1.12)
0,10 0,025
0,05 0,01
U 1,280; U 1,960;
U 1,645; U 2,326.
==



==


Lu ý: Nhiều tài liệu không lập bảng của
U

mà lập bảng của hoặc
p

u


với

{ }
PU p

<=

;
{ }
PU u

< =
.
1.2. 6. Sai số trung gian, dạng mật độ chuẩn dùng trong pháo binh.
Cho X

, U
(
2
Nm,
)

là phân vị chuẩn mức

, đặt
== 6745,0UL
25,0
;
.4769,02/U
25,0
==
(1.13)
Chúng ta có thể viết lại hàm mật độ của X dới dạng

()
22
(x m) /L

fx e
L

2

=

. (1.14)
Rõ ràng là , nếu m = 0 thì

{}
5,0LXLP =<<
. (1.15)

10

Nh vậy nếu quan sát BNN chuẩn quy tâm nhiều lần thì có khoảng 50% số
lần BNN đó rơi vào khoảng (-L;L). Chính vì thế, L đợc gọi là sai số trung gian,
nó tỉ lệ với độ lệch chuẩn. Dạng mật độ (1.14) của phân bố chuẩn hay đợc dùng
trong pháo binh.
1.2.7.Quy tắc
2,
3 .

Cho X

N(m, ), theo công thức (1.9) ta có
2

{}
Xm
PX m P


<=< <



=2
()



. (1.16)
Thay
ta đợc
1,2,3=
{ }
P X m 1 2 (1) 0,68268<==
;
{ }
P X m 2 2 (1) 0,95450<==
;
{ }
P X m 3 2 (1) 0,9973.<==
(1.17)
Các xác suất 0,9545; 0,9973 là các xác suất rất lớn. Theo nguyên lí xác suất
lớn ta có quy tắc 2
sau đây:

,(3 )
Quy tắc.Nếu BNN có phân bố chuẩn thì hầu nh chắc chắn (độ tin cậy trên
95%(trên 99%)), BNN chỉ sai lệch với giá trị trung bình cuả nó một lợng không
quá 2
).
(3 )
1.2.8.Tính phổ cập của phân bố chuẩn. Thực tế chúng ta rất hay gặp phân bố
chuẩn. Sở dĩ nh vậy vì xảy ra Định lí giới hạn trung tâm sau đây (xem mục
3.5.2d):
Nếu bnn X là kết quả của rất nhiều nguyên nhân, mỗi nguyên nhân chỉ có
vai trò không đáng kể đến kết quả cuối cùng thì X có phân bố rất gần phân bố
chuẩn.
Đ1.3.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn.
1.3.1.Véc tơ kì vọng, ma trận tơng quan, ma trận hệ số tơng quan

a)Trờng hợp 2 biến. Xét 2 BNN X, Y bình phơng khả tích. Mô men tơng
quan (gốc) của X và Y, kí hiệu
, xác định theo công thức
XY
R


XY
RE[XY= ].
Hiệp phơng sai của X và Y, kí hiệu Cov(X,Y) xác định bởi

.
Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)]=
Hai BNN X và Y đợc gọi là không tơng quan nếu

.
Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)] 0= =
Điều này tơng đơng với

.
E[XY] E[X] E[Y]=
Trái lại, nếu đẳng thức không xảy ra, X và Y đợc gọi là không tơng quan.

11

Nếu X và Y độc lập thì chúng không tơng quan. Ngợc lại không đúng:
Tồn tại những BNN X và Y không tơng quan, song chúng không độc lập.
Đối với 2 BNN chuẩn X, Ythì X và Y độc lập

X và Y không tơng quan.
b) Trờng hợp tông quát.
Cho
là VTNN với các thành phần là những BNN
bình phơng khả tích. Đặt
1
T
1n
n
X
X ... (X ,...,X )
X


==

11
nn
E[X ] m
m E[X] ... ...
E[X ] m


== =



- véc tơ kì vọng;
Ma trận tơng quan của X cho bởi

( )
ij i j
R(R) E[XX]==
.
Rõ ràng
.
2
ii i
RE[X

=
]

Ma trận hiệp phơng sai của X cho bởi
ij
()
= =
Cov(X) = E[(X-m) . (1.18)
T
(X m) ]

Lu ý:
22
ii iiii
D[X ] E[(X m ) ]= = =
j
- phơng sai của .
i
X
ij

= - hiệp phơng sai của .
iijj i
E[X m )(X m )] Cov(X ,X )
=
ij
X,X
ij i i j j
ij
ij ij

Cov(X ,X ) E[(X m )(X m )]
D[X ]D[X ] D[X ]D[X ]

= =
- hệ số tơng quan của .
ij
X,X
R
-ma trận các hệ số tơng quan.
ij
()
=
c)Tính chất 1)
ij
1, i, j.
(1.19)
2) Nếu các thành phần X
1
độc lập thì không tơng
quan và R=
ma trận chéo,
n j
,...,X
i
X,X
ij
(R )
ij
()
-ma trận đơn vị . Ngợc lại không đúng.

3)
và R đối xứng , xác định không âm.


1.3.2. VTNN chuẩn, các tính chất quan trọng.
VTNN X= đợc gọi là VTNN chuẩn ( X gọi là có phân bố
chuẩn trong
T
1n
(X ,...,X )
n
Ă
) nếu tổ hợp tuyến tính bất kì các thành phần của nó có phân bố
chuẩn.

12

Nói cách khác,

u
1
,...,
u
n
,
BNN

Y=
11 n
n

uX ... u X
+ +
có phân bố chuẩn.

Hệ quả. Từng thành phần của VTNN chuẩn là

BNN chuẩn.
Lu ý: Điều ngợc lại nói chung không đúng: Từng thành phần của VTNN

là chuẩn chuẩn.
T
1n
X (X ,...,X )
=
T
1n
X (X ,...,X )
=
Bây giờ gọi m = E[X] là véc tơ kì vọng và

= Cov(X) là ma trận hiệp
phơng sai của X (dễ thấy tồn tại ), phân bố chuẩn đợc kí hiệu bởi N(m,

).
VTNN chuẩn X có véc tơ kì vọng m và ma trận hiệp phơng sai đợc kí hiệu
bởi

X

N(m, ).

+ Nếu định thức của

bằng 0 thì VTNN chuẩn X đợc gọi là suy biến. Đặt
(hạnh của ), tồn tại không gian con k chiều của
kRang()=

n
Ă
để chiếu của
X trên không gian này là VTNN chuẩn không suy biến.

Mệnh đề- định nghĩa. Giả sử X là VTNN chuẩn với ma trận tơng quan

.
Nếu det(

) 0 thì X đợc gọi là VTNN chuẩn không suy biến và mật độ của nó
cho bởi

f(x)=
T1
n/2 1/2
11
exp (x m) (x m)
2
(2 ) (det )

,
n
x

Ă
. (1.20)
Nh vậy, véc tơ giá trị trung bình m và ma trận hiệp phơng sai
hoàn toàn
xác định phân bố chuẩn; các thông tin về mô men cấp cao hơn là không cần thiết.

Đặt
1
n
G.



=





Dễ thấy
1
G

=
1
n
1/
.
1/







, với
ii
D[X ]=

Lại đặt
;
11
RG G

=
Dễ thấy

= GRG ;
111
GRG
1

=
;

11 1n
1
n1 nn
D....D
1
R ..............
det(R)
D ....D



=




trong đó
là phần phụ đại số của trong ma trận R. Thay vào (1.20) ta đợc
ij
D
ij
R

13

f(x) =
n

jj
ii
ij
n/2 1/2
ij
i,j 1
1n
xm
11xm
exp D .
2
... (2 ) (det R)
=











(1.21)
Mệnh đề . Cho X =
T
1n
(X ,...,X ) N(m, ):
. Khi đó là các BNN

độc lập khi và chỉ khi
không tơng quan
1
X ,...,X
n
n1
X ,...,X
(
là ma trận chéo:

2
1
2
n
.



=





)

1.3.3.Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn.
Mệnh đề. Cho X

N(m,

), A- ma trận cấp k
ì
n tuỳ ý còn
k
b Ă
bất kì.
Khi đó VTNN Y=AX+b có phân bố chuẩn trên
k
Ă
với
T
E[Y] Am b;
Cov(Y) A A .
=+



=


Hệ quả. Giả sử X

N(m,

) là VTNN chuẩn trong
n
Ă
. Khi đó tồn tại ma
trận trực giao A sao cho

U = A(X-m)
N(0, D)
:
trong đó D là ma trận chéo, các phần tử trên đờng chéo chính của nó không âm.
Nếu X không suy biến (det
0
) thì các phần tử trên đờng chéo chính của
D dơng.
Chứng minh. Ta chứng minh cho trờng hợp det
0
. Khi đó,

đối xứng,
xác định dơng, vậy tồn tại ma trận trực giao F có các véc tơ cột e
i
là các véc tơ
riêng của

với các giá trị riêng
i

tơng ứng sao cho
D =
1
1T
n
FF .

=





(1.22)
là ma trận chéo. Vì

xác định dơng nên các giá trị riêng
i
0
>
. Đặt A =
1
F

thì
E[U] = 0 ; Cov(U) = E
TTT
[F (X m)(X m) F] F F D ==
. (1.23)
Khi đó U là VTNN chuẩn, quy tâm, các thành phần độc lập.


Bởi vì mỗi phép biến đổi trực giao chính là một phép quay trong
n
Ă
nên ta có

thể phát biểu hệ quả trên bằng lời nh sau:
Đối với mỗi VTNN chuẩn, ta có thể dùng một phép quay thích hợp để biến
nó thành VTNN chuẩn với các thành phần độc lập.



14










Hình 1.4.Đờng đồng mức của mật độ chuần 2 chiều.
O
x
y

1.3.4. Một số BNN liên quan đến VTNN chuẩn.

Mệnh đề. độc lập cùng phân bố chuẩn N(0,1) thì
1
X ,...,X
n
222
1n

YX ...X (n)=++ :

. (1.24)
Mệnh đề. U N(0,1) , V , U, V độc lập thì
:
2
(n):

U
T
V/n
=
T(n):
. (1.25)
Mệnh đề (Fisher). Nếu X = là VTNN n chiều sao cho các
thành phần là những BNN độc lập, cùng phân bố chuẩn N(m,
T
1n
(X ,...,X )
2

) thì :
a)
n
i
i1
1
XX
n
=

=

và
()
n
22
i
i1
1
SX
n
X
=
=

là hai BNN độc lập;
b)
2
2
2
n
2
i
2
i1
XN(m, );
n
XX
nS
(n 1).

=








=







:
:

(1.26)
Hệ quả.
độc lập cùng phân bố chuẩn N(m,
1
X ,...,X
n
2

) thì
n

2
i
i1
Xm
n
1
(X X)
n1
=




:
T =
T(n-1). (1.27)
1.3.5.Một số phân vị khác.

a)
. Phân vị mức

của phân bố Khi bình phơng với n bậc tự do, kí
hiệu là

, là giá trị xác định từ biểu thức:
2
(n)


2

(n)


15


{ }
2
PX (n)

> =
,
01< <

trong đó .
2
X(: n)
b)
. Phân vị Student mức
t(n)


với n bậc tự do, kí hiệu là , là giá trị
xác định từ biểu thức:
t(n)

{ }
PT t (n)

>=

,
01<<
trong đó T
.
T(n):
Tính chất: *
1
t (n) t (n)

=
;
*

t(n)

U


với n > 30.
Ngời ta lập bảng giá trị của
2
(n)


và
t(n)

với những giá trị khác nhau
của
và n.

2
t(n)

(n)



Hình 1.5. Phân vị của phân bố Khi bình phơng(a) và của phân bố Student (b).
1.3.5.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 2 chiều.
Cho Z = (X,Y) là VTNN chuẩn 2 chiều (không suy biến) với véc tơ kì vọng
m =
(
và ma trận hệ số tơng quan
)
.
T
1, 2
mm
1
R
1


=

Theo công thức (1.21),
mật độ đồng thời của Z cho bởi
f(x,y) =

22
112
2
2
1122
12
1 1 xm xmxm xm
exp 2
2(1 )
21

2





+

.
(1.28)

Dễ dàng tính đợc
E[X
1
] = m; D[X] =
2
1

;
E[X
2
]= m; D[X] =
2
2

;
XY
.
=
(1.29)
Đặc biệt, nếu X và Y độc lập

= 0
(
X và Y không tơng quan), mật độ
đồng thời cho bởi

16

f(x,y) =
22
2
12 1 2
11xym
exp
22






+








. (1.30)

Đối với mô men bậc cao chúng ta có kết quả quan trọng sau đây:
Nếu (X, Y) là VTNN chuẩn quy tâm thì
22 2 2 2
E[X Y ] E[X ]E[Y ] 2E [XY]=+
. (1.31)
Bây giờ chọn X = Y
N(0,
:
2
)

thì
4
E[X ] 3
4
=
và chúng ta nhận đợc công
thức tính độ nhọn (1.2).
1.3.6. Mật độ chuẩn 2 chiều dùng trong pháo binh - Elíp tản mát.

Để nghiên cứu mức độ tản mát của đạn rơi trên mặt phẳng nằm ngang, ngời
ta lập hệ trục Oxy với gốc O trùng với mục tiêu (điểm ngắm bắn), trục Ox là
hớng bắn. Tơng tự nh (1.13) đặt
(1.32)
D 1 0,25 1
H10,25 2
L U 0,6745 ;
L U 0,6745 .
= =

= =


Định luật tản mát khẳng định rằng, toạ độ điểm đạn rơi (X, Y) tuân theo luật
chuẩn với hàm mật độ (1.30), m
1
= m
2
= 0. Có thể viết lại mật độ này dới dạng
22
2
22
DH
DH
xy
f(x,y) exp
LL
LL
2




=+

(1.33)
trong đó L
D
- sai số trung gian về tầm, L
H
- sai số trung gian về hớng .
Đối với hầu hết các pháo thông dụng, L
D
lớn gấp
10 15ữ
lần L
H
.
Elip tản mát (E) là elíp có các bán trục 4L
D
, 4L
H
(có tài liệu ghi là L
D
, L
H
).
Xác suất để điểm đạn rơi (X,Y) nằm ngoài elip tản mát rất nhỏ, có thể bỏ qua:
()()
{}
()

22
2
0,25
XY
XY
PX,Y E P 4U 0,025



= +






. (1.34)
Ngời ta chia (E) thành các vùng với tỉ lệ % xấp xỉ đạn rơi vào (Hình 1.5);
nhờ đó có thể tính dễ dàng xác suất đạn rơi vào miền G cho trớc nào đó.






y
22

L
D

716
25
L
H
25
167
x

17


Hình 1.6 . Elip tản mát với thang chia độ.

1.4. Mở rộng khái niệm mật độ đối với BNN rời rạc.
+Chúng ta biết rằng, nếu X là BNN liên tục với hàm phân bố F(x) và hàm
mật độ f(x) thì:
*
dF(x)
f(x) , x
dx
= Ă
=
;
0.
; (1.35)
*
; (1.36)
f(x) 0; f(x)dx 1

*
. (1.37)
{}
b
a
Pa X b f(x)dx< =

+Để mở rộng khái niệm hàm mật độ cho BNN rời rạc trớc hết ta đa ra
hàm bớc nhảy đơn vị, đó là hàm:

1khix0
u(x)
0khix


=

<

(1.38)
+Hàm delta. Hàm delta (còn goị là hàm delta-Dirac) tại điểm x
, kí hiệu
, là hàm suy rộng, bằng không với
0
0
(x x )

0

xx

và bằng vô hạn tại x = :
0
x
()
0
0
0
0 khi x x ;
xx
khi x x ,


=

+ =

(1.39)
và thoả mãn quan hệ : Với a < b,

b
0
0
0o
a
1khiaxb;
(x x )dx
0khixahayx
<

=

b.
<


(1.40)







O x
1
y
(a)
x
0
x
O O x
1
1
y
y
(c)(b)
Hình 1.7. Hàm bớc nhảy đơn vị(a), hàm delta (b) và hàm delta tại
(c).

0
x
Một định nghĩa khác cho hàm delta là

18

jx
1
(x) e d
2



=



. (1.41)
Hàm delta đợc thể hiện bằng véc tơ đơn vị //Oy (Hình 1.7.). Nó có thể coi
là đạo hàm của hàm bớc nhảy đơn vị:

du(x)
(x)
dx
=

k0h;h,k 0
u(h) u(k)
lim
hk

<<

=

(1.42)
Khi đó, nếu X là BNN rời rạc tập trung tại
{ }
i
x,i 1,2,...=
với
{ }
ii
pPXx,==
i
i1
p1

=

i
, thì có thể coi X có mật độ
. (1.43)
i
i1
f(x) p (x x )

=

Mật độ này thoả mãn các tính chất (1.36) - (1.37) của hàm mật độ thông
thờng. Ngoài ra, có thể coi nó là đạo hàm của hàm phân bố:

dF(x)
f(x)
dx
=
.
Đặc biệt, hàm delta tại a chính là hàm mật độ của BNN hằng số X = a; sở dĩ
nh vậy là vì :

du(x a)
(x a)
dx

=
;
(x a) 0; (x a)dx 1


=

. (1.44)
Ngời ta cũng hay xét hàm khối lợng xác suất của BNN X

{ }
p(x) P X x , x .== Ă

Ví dụ.
Cho X là BNN với bảng xác suất

Hàm mật độ (suy rộng) và hàm khối lợng xác suất thể hiện ở Hình 1.8.






Hình 1.8. Hàm mật độ (a) và hàm khối lợng xác suất (b) của BNN rời rạc.

X 1 2 4
P 0,5 0,3 0,2
0,5
O x1 2
4
y
0,5
O x1 2
4
y
0,5 khi x 1
0,3 khi x 2

=

p(x)
0,2 khi x 4
0trailai
=

=

=





19


Cõu hi Chng I

1.1 Nờu mt s hiu bit v bin ngu nhiờn ri rc.
1.2 Nờu mt s hiu bit v BNN liờn tc, 4 lut phõn b liờn tc.
1.3 BNN chun: nh ngha, tớnh cht hm mt , cỏc tham s c trng, BNN
chun tc, bin i tuyn tớnh, phõn v U

.
1.4 BNN chun: nh ngha, sai s trung gian, dng mt BNN chun dựng
cho phỏo binh, qui tc 2

,3

.
1.5 Vộc t k vng, ma trn tng quan, ma trn hip phng sai ca vộc t
ngu nhiờn n chiu; vi tớnh cht.
1.6 Vộc t ngu nhiờn chun: nh ngha, tớnh cht.
1.7 Bin i tuyn tớnh VTNN chun.
1.8 Mt s bin ngu nhiờn liờn quan n VTNN chun.

1.9 Phõn v
, vộc t ngu nhiờn chun 2 chiu.
2
(n);t (n)


1.10 Mt chun 2 chiu dựng trong phỏo binh, elip tn mỏt.
1.11 Khỏi nim mt vi BNN ri rc.

Bài tập chơng I.
1.1. Chứng tỏ rằng nếu
a) X
thì E[X] = np; D[X] =np(1-p).
B(n, p):
b) X
thì
P( ): E[X] ; D[X]= =
;
c)
thì E[X] =(1-p)/p .
XG(P):
1.2. Chứng tỏ rằng nếu X
[ ]
Ua;b:
thì E[X] =
2
ab (ba)
;D[X] .
21
+

=
2

1.3. Cho X
; chứng tỏ rằng E[X] =m.
2
N(m, ):
1.4. Cho X
. Viết ra hàm mật độ của X và tính các sác suất
N(2,9):
a)
{ } { }
P0

X 1; b)P1 X 4.<
1.5. Cho X
. Tìm mật độ của Y = 2X 3. Tính E[Y], D[Y].
N(0,1):
1.6. Cho X
.Tính
N(0,1):
{ } { }
{ }
P X 1,645 ; P X 1,960 ; P X 1,960 .>> >

1.7. Viết mật độ của phân bố chuẩn, biết rằng nó có kì vọng 0 và sai số trung
gian 2. Tính
{ } { }
P2X2; P0X2
.

1.8. Đờng kính của viên bi có phân bố chuẩn với trung bình 20 và độ lệch
chuẩn 0,5. Quy tắc
khẳng định cho ta điều gì?
2; 3




1.9. Cho (X,Y)
:
.
N(0, )
a) Giả sử
, kết luận gì về tính độc lập giữa X và Y?
10
03

=


b)Giả sử
, tìm hệ số tơng quan giữa X và Y.
41
19

=



20

1.10. Ma trận nào sau đây là ma trận hiệp phơng sai?
a)
; b) ; c) ; d) .
20
01









21
11



21
01



11
11

1.11. Cho U=(X,Y,Z)
N(m, ):
,trong đó
T
m(0,1,2)
=
;

10,50,5
0,5 1 0
0,5 0 4





=
,)
.
Tìm phân bố của T = X 2Y + 3Z .
1.12. Cho
, trong đó
X
UN(0
Y

=

:
10,5
0,5 1



=


10
2
10
.
Tìm VTNN dạng sao cho 2 thành phần của V, tức là
aX+bY và cX+dY là 2 BNN độc lập.
aX bY
V
cX dY
+

=

+


1.13. Cho
là những BNN độc lập cùng phân bố chuẩn N(0,1).Đặt
. Tìm a, b để
1
X ,..., X

22 2
15 1
X X ... X ; Y X ... X=++ =++

{ } { }
P X a 0,05; P Y b 0,05>= <=
.
1.14. Giả sử điểm đạn rơi (X,Y) có phân bố chuẩn, trong đó độ lệch hớng
X và độ lệch tầm Y không có sai số hệ thống (tức là kì vọng 0), độc lập, và cùng
độ lệch chuẩn 4 mét. Tính xác suất để đạn rơi vào vòng tròn tâm O bán kính 3
mét.
1.15. Giả sử điểm đạn rơi (X,Y) có phân bố chuẩn, trong đó độ lệch hớng
X
:
, độ lệch tầm Y , X và Y độc lập. Tính xác suất để đạn rơi vào
vòng tròn bán kính 3 mét, tâm tại điểm ngắm bắn..
N(0,4) N(0,5):
1.16. ứơc lợng xác suất đạn trúng vào xe tăng, biết rằng ta ngắm bắn vào
điểm giữa của phần dới của xích và sau khi vẽ xe lên hệ trục với elíp tản mát thì
thu đợc hình vẽ sau đây.

y
2
2

L
D
716
25
L

H
25
167




x


Hình 1.9 . Xe tăng trong hệ thống elip tản mát .

21

1.17
. Cho , tính
XU[a;b: ] P{ X EX 2 }
− <σ
,
P{ X EX 3 }
−<σ
với
DX
σ=
; so sánh với công thức (1.17).
1.18.
Giả sử . Chứng tỏ rằng X là BNN “không có trí nhớ” theo
nghĩa
XE()λ:
P{X s t | X t} P{X s}, t, s 0>+ > = > ∀ ≥

.
1.19
. Cho , X và Y độc lập. Chứng minh rằng
XE(),YE(λ::)γ XY
+

. Mở rộng kết quả sang trường hợp có nhiều biến ngẫu nhiên.
E( )
λ+γ
:
1.20
. Biết rằng mật độ của BNN X có dạng
x
kxe khi x 0
f(x)
0x
−
⎧
≥
⎪
=
⎨
<
⎪
⎩
0.

a)Tìm hằng số k, Mod(X).
b)Tính

2
E[X], E[X ], D[X].
c)Tìm mật độ của BNN
X
.
ĐS.
;
2
k 1; Mod(X) 1; E[X] 2; E[X ] 6
====
2
3x
X
x)2xe .
−
=f(

1.21
. VTNN (X,
Y) c
ó mật độ
(x y)
e khi x 0, y 0
f(x,y)
0trailai
−+
⎧
≥≥
⎪
=

⎨
⎪
⎩

a) Tìm mật độ biên
. Suy ra rằng X, Y là hai BNN độc lập.
XY
f(x),f(y)
b) Tìm mật độ của Z = X + Y.
c) Tìm mật độ của BNN
.
2
X
ĐS.
x
X
f(x) e ,(x 0)
−
=≥
;
x
Z
f(x) xe ,(x 0)
−
= ≥
x
2
X
1
f(x) e ,(x0

2x
−
)
= ≥
.

22

Chương 3
VÉC TƠ NGẪU NHIÊN

§3.5. SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Mục này trình bày bốn dạng hội tụ thông dụng nhất của dãy các BNN cũng
như những định lý hạt nhân của lý thuyết xác suất về sự hội tụ của dãy các BNN
độc lập: luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm. Sự hội tụ của dãy các BNN dạng
khác như xích Markov, martilgal… được trình bày ở chuyên khảo khác.
3.5.1. Các dạng hội tụ
a)Định nghĩa. Giả sử X và , n = 1, 2, … là các BNN cùng xác định trên
không gian xác suất
(
n
X
)
,,PΩℑ
.
(i) Ta nói dãy các BNN
{ }
n
X
hội tụ chắc chắn tới BNN X và viết

(hay (cc)) nếu
cc
n
XX⎯⎯→
n
X
→
X
n
n
lim X ( ) X( ),
→∞
ζ = ζ ∀ζ ∈Ω
.
(i) Ta nói dãy các BNN
{ }
n
X hội tụ hầu chắc chắn tới BNN X và viết
(hay (hcc)) nếu tồn tại biến cố với P(A) = 1 sao
cho
hcc
n
XX
⎯⎯→
n
X
→
X A
⊂Ω
n

n
lim X ( ) X( ), A
→∞
ζ = ζ ∀ζ ∈
.
(ii) Ta nói dãy các BNN
{ }
n
X hội tụ theo xác suất tới BNN X và viết
nếu
P
n
XX
⎯⎯→
{ }
n
n
lim P X X 0, 0.
→∞
− ≥ε = ∀ε>
(iii) Ta nói dãy các BNN
{ }
n
X hội tụ trung bình cấp p (0 < p <
∞
) tới BNN
X , và viết
(hay theo trung bình cấp p), nếu
L
P

n
XX⎯⎯→
n
X→ X
p
n
EX , n< ∞∀ và
p
n
n
lim E X X 0
→∞
− = .
(4i) Ta nói dãy các BNN
{ }
n
X hội tụ theo luật đến BNN X và ta viết
hay
⇒
nếu
L
n
X⎯⎯→X
X
n
F
X
F
XX
n

n
lim F (x) F (x)
→∞
=
tại mọi điểm liên tục của hàm phân bố

X
F(x).
Từ bất đẳng thức Liapunov (xem 5.2.1), hội tụ trung bình cấp p sẽ suy ra hội
tụ trung bình cấp q với 0 < q < p. Tuy nhiên trong thực tế ứng dụng thì hội tụ trung
bình cấp hai là quan trọng nhất; hội tụ trung bình cấp hai còn gọi là hội tụ bình
phương trung bình hay MS - hội tụ (mean square convergence), ký hiệu
MS
n
XX,(n⎯⎯→ → ∞) hay
n
l.i.m. X X=

23

(l.i.m. là viết tắt của chữ limit in mean).
Riêng với hội tụ theo luật, các BNN
và X có thể xác định trên những
không gian xác suất khác nhau.
n
X
b. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ
Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thông thường cũng như
một vài kỹ thuật khác, chúng ta phát biểu các tiêu chuẩn Cauchy sau đây về sự hội
tụ của dãy các BNN.

¦
u điểm của các tiêu chuẩn Cauchy là không cần sự có mặt
của BNN giới hạn X.
Định nghĩa:
Ta nói dãy các BNN
{ }
n
X là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) hầu
chắc chắn, theo xác suất hay theo bình phương trung bình nếu lần lượt thoả mãn
các tính chất sau:
+ Dãy
{ }
n
X(),n 1,2,...ζ = là dãy Cauchy với hầu hết
ζ ∈Ω
;
+
,
0∀ε >
{ }
nm
PX X 0
−≥ε→
khi n,m
→∞
;
+
2
nm
E X X 0 khin,m .

−→ →∞

Định lý
(tiêu chuẩn Cauchy). Dãy các BNN
{ }
n
Xhội tụ đến BNN X nào đó:
(i) hầu chắc chắn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy hầu chắc chắn.
(ii) theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo xác suất;
(iii) theo bình phương trung bình khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo bình
phương trung bình.
Độc giả có thể tham khảo chứng minh trong các cuốn sách chuyên biệt về
xác suất như [4], [11].
c. Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ
Chúng ta sẽ phát biểu định lý sau đây nêu lên mối quan hệ giữa các dạng hội
tụ vừa nêu.
Định lý
. (i) Dãy
{ }
n
X hội tụ hầu chắc chắn sẽ hội tụ theo xác suất:
hcc
n
XX
⎯⎯→

P
n
XX
⇒⎯⎯→

.
(ii) Dãy
{ }
n
X hội tụ bình phương trung bình thì cũng hội tụ theo xác suất:


MS P
nn
XXX
⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→
X.
(iii) Dãy
{ }
n
X hội tụ theo xác suất thì cũng hội tụ theo luật:

XX
PL
nn
XX.
⎯⎯→⇒ ⎯⎯→
Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ thể hiện ở giản đồ sau






hầu chắc chắn Theo xác suất

Theo trung bình
Theo luậtChắc chắn
Ngoài ra, quan hệ sau đây cũng hay được sử dụng:
Định lý.
Nếu dãy các BNN {X hội tụ theo xác suất đến X thì có thể tích ra
một dãy con
{ hội tụ hầu chắc chắn đến X.
n
}
n
k
X ,k 1,2,...}
=

24

3.5.2. Các định lý giới hạn.
Các định lý giới hạn ở mục nhỏ này khảo sát dáng điệu của tổng các BNN
độc lập cũng phân bố khi số các số hạng tăng lên vô hạn, bao gồm luật yếu số lớn,
luật mạnh số lớn và định lý giới hạn trung tâm. Trước hết, chúng ta tìm hiểu bất
đẳng thức Chebyshev. Ngoài việc dùng để chứng minh luật yếu số lớn, bất đẳng
thức này còn được
ứng dụng vào nhiều mục đích khác.
a. Bất đẳng thức Chebyshev
Giả sử X là BNN với kỳ vọng EX và phương sai DX hữu hạn. Khi đó,
xảy ra bất đẳng thức:
0∀ε >
{}
2
D[X]

PX E[X] .−≥ε≤
ε
(3.5.1)

Chứng minh.
Chúng ta chứng minh cho trường hợp X có hàm mật độ, ta có:
E[X]
22
D[X] (x E[X]) f(x)dx (x E[X]) f(x)dx
−ε
+∞
−∞ −∞
=− ≥ −
∫∫


{}
22
E[X]
(x E[X]) f(x)dx P X E[X] .
+∞
+ε
+ −≥ε−
∫
≥ε
Nhận được đpcm. 

Đôi khi dạng sau đây của (3.5.1) cũng rất tiện lợi:
{}
2

D[X]
PX E[X] 1 .−<ε≥−
ε

Đặc biệt, khi
ε
là một số nguyên lần độ lệch chuẩn chúng ta thu được

{}
2
1
PX E[X] n 1 .
n
−<σ≥−
Nếu chọn n = 3 thì
{}
8
PX E[X] 3 .
9
− <σ ≥ (3.5.2)
Bất đẳng thức (3.5.2) cũng được phát biểu dưới dạng quy tắc 3
σ
:
Mỗi BNN không lệch khỏi giá trị trung bình của nó một lượng
3
với xác
xuất khá lớn.
σ
Chúng ta thấy xác suất “khá lớn” ở đây chỉ là 8/9, thấp hơn rất nhiều so với
0.9973 ở trường hợp X có phân bố chuẩn theo công thức (1.17). Như vậy, nếu biết

thêm thông tin về tính chuẩn của BNN X, chúng ta có những khẳng định mạnh
hơn về khả năng xuất hiện biến cố
{ }
XE[X]3 .− <σ

b. Luật yếu số lớn
Cho dãy BNN
{ }
n
X độc lập, cùng phân bố với kỳ vọng
i
E[X ] m= và
phương sai
hữu hạn. Khi đó, với mọi
2
i
D[X ] =σ
0
ε >
cố định,
1n
n
X ... X
lim P 1.
n
→∞
⎧⎫++
−µ <ε =
⎨
⎩⎭

⎬
(3.5.3)

25
Chứng minh.
Từ giả thiết suy ra

2
1n 1n
X ... X X ... X
E;D
nn
++ ++ σ
=µ =
.
n

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev chúng ta có
2
1n
2
X ... X
P1
n
n
⎧⎫
.
+ +σ
−µ <ε ≥ −
⎨⎬

ε
⎩⎭

Chuyển qua giới hạn khi nhận được đpcm.  n →∞
Theo các dạng hội tụ xét đến ở mục 3.5.1, luật yêu số lớn chính là:
Đối với dãy BNN độc lập, cùng phân bố với phương sai hữu hạn, dãy trung
bình cộng hội tụ theo xác suất đến kỳ vọng chung của dãy.
Định lý này được nêu ra bởi Bernoulli ở cuối thế kỷ 17 như là thành công
đầu tiên của lý thuyết xác suất non trẻ. Thực ra, v
ới cùng giả thiết, chúng ta còn
thu được sự hội tụ hầu chắc chắn, dạng hội tụ mạnh hơn hội tụ theo xác suất. Đó là
nội dung của luật mạnh số lớn, công trình thuộc về Kolmogorov.
c.Luật mạnh số lớn
Cho dãy BNN
{ }
n
X độc lập, cùng phần bố với kỳ vọng
i
E[X ] = µ và
phương sai
D[ hữu hạn. Khi đó
2
i
X ] =σ
1n
n
X...X
Plim 1
n
→∞

++
⎧⎫
= µ=
⎨
⎩⎭
⎬
. (3.5.4)
Chứng minh đầy đủ định lý này khá sâu sắc và chúng ta bỏ qua.
Như vậy, với điều kiện nêu ra, dãy trung bình cộng
( )
1n
X ... X / n++ hội
tụ hầu chắc chắn đến kỳ vọng
µ
.
Ví dụ 5.
Xét dãy các phép thử Becnoulli.

26


i
1
X
0
⎧
=
⎨
⎩
Trung bình cộng

()
1n
n
X ... X
X
n
+ +
= bằng
- tần suất xuất hiện biến cố
A trong n phép thử đầu tiên. Với P = P(A) ta có
n
f
ii
E[X] p;D[X] p(1 p).= =−
nếu biến cố A xảy ra ở phép thử thứ i
nếu trái lại
Theo luật mạnh số lớn, tần suất hội tụ hầu chắc chắn đến
E[
i
X ] p P(A).==
Như vậy, luật mạnh số lớn là cơ sở toán học của định nghĩa thống kê về xác
suất, đưa ra ở giai đoạn đầu của lý thuyết này.
Ví dụ 5..
Hình 3...(a) trình bày kết quả mô phỏng với BNN mũ X với kỳ
vọng E[X] = 1. Theo các giá trị , chúng ta tính toán được trung bình cộng
i
X
()
1n
n

X ... X
X.
n
++
=
Sau khoảng 200 phép thử chúng ta dường như nhận được sự ổn định.
Hình 3....(b) chỉ ra hình ảnh của
n
{(X) } với 50 giá trị đầu, sự biến động
dường như còn lớn.












( )
n
X
1
n
10 30 50400
1000
200

•
n
6
•
•
•
(a)
(b)
Hình 3. . Trung bình cộng của dãy BNN mũ kỳ vọng 1.

Nhận xét:
Sự hội tụ của dãy
n
{(X) } thường là chậm hơn rất nhiều so với sự
hội tụ của dãy tất định hay gặp thông thường.
Ví dụ, nếu chúng ta cần một ngưỡng xác suất (độ tin cậy) 95%, đối với
BNN có , theo bất đẳng thức Chebychev chúng ta có thể đưa ra bảng sau đây
về số phép thử cần thiết để trung bình cộng
1
σ=
n
(X) lệch khỏi kỳ vọng E[X] một
lượng bé hơn . ε

Sai số tuyệt đối
ε
0,1 0,01 0.001
Số phép thử n 2 000 200 000 2 000 000

Gần đây người ta đưa ra những bất đẳng thức tinh vi hơn, số phép thử cần

thiết giảm cỡ 5 lần.
d) Định lý giới hạn trung tâm.
n
(X)Để nghiên cứu tỉ mỉ hơn về , hãy chuẩn hoá nó bằng cách đặt
n
n
(X)
Tn
−µ
=
σ
.
Z ] 1.
(3.5.5)
Rõ ràng
và D[
n
E[T ] 0=
n
= Như vậy, kỳ vọng và phương sai của
BNN giới hạn (nếu có) vẫn là 0 và 1 tương ứng. Câu hỏi đặt ra là: Hàm phân bố
hay hàm mật độ (nếu có) của BNN giới hạn sẽ ra sao?
Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi này.
Định lý
(Định lý giới hạn trung tâm). Cho dãy BNN
{ }
n
X độc lập, cùng
phân bố với kỳ vọng
i

E[X ] = µ và phương sai
2
i
D[X ] = σ hữu hạn. Khi đó đối
với dãy
{ }
i
T xác định theo (3.5.5) xảy ra đẳng thức:
{}
2
t
x
2
n
x
1
lim P T x e dt
2
−
→∞
−∞
<=
π
∫
(3.5.6)
Vế phải của (3.5.6) chính là hàm phân bố chuẩn tắc F(x). Như vậy, định lý
giới hạn trung tâm khẳng định rằng: Đối với dãy BNN độc lập cùng phân bố và
phương sai hữu hạn, dãy chuẩn hoá của trung bình cộng hội tụ theo luật đến phân
bố chuẩn tắc.
Định lý được công bố đầu tiên bởi Laplace cho dãy {

} với
dựa vào công thức Stirling. Định lý được chứng minh theo phương pháp hàm đặc
n
X
n
X~B(1,p)

27