Chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.21 MB, 33 trang )
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG XOÀI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
ĐỀ TÀI: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
NĂM HỌC 2006 - 2007
A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy cho các em học sinh nhất là học sinh lớp 12, khi
dạy bài “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT” các em thường đặt
vấn đề là:“Có bao nhiêu cách tìm GTLN-GTNN của một hàm số hay một
biểu thức”. Thực tế vấn đề GTLN-GTNN các em đã bắt đầu học từ chương
trình lớp 8, lớp 9 và trong chương trình ở bậc THPT.
Các bài toán tìm GTLN-GTNN rất phong phú và đa dạng, nó mang một nội
dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: đi tìm cái tốt
nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất … trong một bài toán, để dần hình thành cho
học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó
cho cuộc sống sau này .
II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI:
Các bài toán tìm GTLN-GTNN có một vò trí xứng đáng trong chương trình học
và dạy ở các trường phổ thông. Các bài toán này đòi hỏi vận dụng nhiều kiến
thức và vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Do đó các em học
sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải, các em không biết
bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức nào trong chương trình đã học ?
Mặt khác trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đại Học và đề thi HSG thì
bài toán tìm GTLN-GTNN rất thường xuyên xuất hiện, thí sinh khi làm các
bài thi này thường rất lúng túng trong việc tìm lời giải .
Để giúp các em bớt gặp khó khăn cũng như có cách nhìn chung về vấn đề tìm
GTLN-GTNN, bài viết sau đây nhằm mục đích hệ thống lại các phương pháp
tìm GTLN-GTNN của một hàm số hay một biểu thức.
Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q thầy cô cùng
đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn.
Đồng Xoài, ngày 28 tháng 3 năm 2007
Giáo viên
TRÁC
1/ ĐỊNH NGHĨA:
a/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT:
Cho hàm số f(x) có miền xác đònh D.Ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x) trên
miền D ,nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
1/ f(x)
M≤
x D∀ ∈
2/
0 0
: ( )x D f x M∃ ∈ =
Ký hiệu: M =
max
x D∈
f(x)
b/ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:
Cho hàm số f(x) có miền xác đònh D.Ta nói m là giá trò nhỏ nhất của f(x) trên
miền D ,nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
1/ f(x)
m≥
x D∀ ∈
2/
0 0
: ( )x D f x m∃ ∈ =
Ký hiệu: m =
min
x D∈
f(x)
Chú ý: Khi nói đến GTLN-GTNN của một hàm số , bao giờ ta cũng xem nó
xác đònh trên tập hợp nào .Cùng một hàm số , nhưng nếu xác đònh trên tập
khác nhau , thì nói chung GTLN –GTNN tương ứng là khác nhau.
2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ :
Sau đây là môt số tính chất cơ bản của GTLN-GTNN để học sinh tham khảo
cũng như có thể xem là những ví dụ cho các bài toán về GTLN-GTNN mà
trong sách giáo khoa chưa đề cập .
a/ Tính chất 1: Giả sử A
⊂
B, khi đó ta có :
*/
max ( ) max ( )
x A x B
f x f x
∈ ∈
≤
**/
min ( ) min ( )
x A x B
f x f x
∈ ∈
≥
b/ Tính chất 2: Giả sử D = D
1
∪
D
2
, khi đó ta có:
*/
{ }
1 2
max ( ) max max ( ), max ( )
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈
=
**/
{ }
1 2
min ( ) min min ( ), min ( )
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈
=
c/ Tính chất 3: Nếu f(x)
≥
0
x D∀ ∈
, khi đó ta có:
*/
2
max ( ) max ( )
x D x D
f x f x
∈ ∈
=
**/
2
min ( ) min ( )
x D x D
f x f x
∈ ∈
=
d/ Tính chất 4:
*/
max[ ( ) ( )] max ( ) max ( )
x D x D x D
f x g x f x g x
∈ ∈ ∈
+ ≤ +
**/
min[ ( ) ( )] min ( ) min ( )
x D x D x D
f x g x f x g x
∈ ∈ ∈
+ ≥ +
e/ Tính chất 5:
max ( ) min( ( ))
x D
x D
f x f x
∈
∈
= − −
f/ Tính chất 6: Nếu đặt M =
max ( )
x D
f x
∈
và m =
min ( )
x D
f x
∈
thì:
{ }
max ( ) max ,
x D
f x M m
∈
=
NỘI DUNG 2: HỆ THỐNG LẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN-GTNN
PHƯƠNG PHÁP 1: ĐƯA VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A
2
≥
0, dấu bằng xãy ra khi A = 0
1/ KIẾN THỨC Ở CẤP 2:
Ở cấp 2 nhìn chung các bài toán thường giải bằng cách đưa về dạng bình
phương , chẳng hạn ta nhắc lại một số dạng sau đây :
Giải :
Hàm số y = x
2
– 2x + 5 xác đònh
x R
∀ ∈
Ta có : y = x
2
– 2x + 5 = (x – 1)
2
+ 4
≥
4
x R
∀ ∈
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0
1x
⇔ =
Vậy
min
x R
y
∈
= 4 khi x = 1
Giải:
Hàm số y = 18 – 6x – x
2
xác đònh
x R∀ ∈
Ta có y = 27 – (x +3)
2
≤
27
x R∀ ∈
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x+3 = 0
3x⇔ = −
Vậy
max
x R
y
∈
= 27 khi x = -3
2/ KIẾN THỨC Ở CẤP 3: Sang cấp 3 cũng bằng phương pháp bình phương ta
cũng có thể giải các bài toán sau:
Giải:
Ta có : y =
1
2
[tan(x+
α
) +tan(x -
α
)]
2
+
1
2
[tan(x+
α
) -tan(x -
α
)]
2
=
1
2
2 2
2 2 2 2
sin 2 1 sin 2
cos ( ) cos ( ) 2 cos ( ) cos ( )
x
x x x x
α
α α α α
+
+ − + −
Ví dụ 1: Với giá trò nào của x thì biểu thức : y = x
2
– 2x + 5 có giá trò nhỏ nhất
(SGK lớp 8)
Ví dụ 2: Với giá trò nào của x thì biểu thức : y = 18 – 6x – x
2
có giá trò lớn
nhất(SGK lớp 8)
Ví dụ 3: Gọi
α
là một góc cố đònh cho trước .Tìm giá trò nhỏ nhất của
hàm số : y = tan
2
(x+
α
) + tan
2
(x -
α
)
=
2 2
2 2
sin 2 sin 2
2cos ( ) cos ( )
x
x x
α
α α
+
+ −
=
2 2
2
2(sin 2 sin 2 )
(cos2 cos2 )
x
x
α
α
+
+
Nhận xét:
+ Tử số đạt giá trò nhỏ nhất khi sin 2x = 0 , khi đó cos 2x =
±
1
+ Mẫu số đạt giá trò lớn nhất bằng (1 + cos 2
α
)
2
nếu cos 2
α
≥
0 khi cos 2x = 1
và bằng (-1 +cos 2
α
)
2
nếu cos 2
α
≤
0 khi cos 2x = -1
Vậy :i/ Nếu cos 2
α
≥
0 thì miny =
2
2
2
2sin 2
2 tan
(1 cos 2 )
α
α
α
=
+
ii/ Nếu cos 2
α
< 0 thì miny =
2
2
2
2sin 2
2cot
(1 cos 2 )
α
α
α
=
−
Giải:
Ta có : P =
3
cosB + 6cos
2
A C+
cos
2
A C−
=
3
cosB + 6 sin
2
B
cos
2
A C−
=
3
(1 – 2 sin
2
2
B
) + 6 sin
2
B
cos
2
A C−
2
2 3 sin
2
B
≤ −
+ 6 sin
2
B
+
3
2
3 5 3 5 3
2 3(sin )
2 2 2 2
B
≤ − − + ≤
Suy ra : maxP =
5 3
2
khi
0
0
cos 1
30
2
3
120
sin
2 2
A C
A C
B
B
−
=
= =
⇔
=
=
Giải: Ta có :
f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) = 2cos
2
x y+
cos
2
x y−
- 2 cos
2
2
x y+
+ 1
= -2 [cos
2
2
x y+
- cos
2
x y+
cos
2
x y−
] +1
= -2[cos
2
2
x y+
- 2.
1
2
cos
2
x y+
cos
2
x y−
+
2
1
cos
4 2
x y−
] +
1
2
2
cos
2
x y−
+ 1
Ví dụ 4 :Cho tam giác ABC .Tìm giá trò lớn nhất của:
P =
3
cosB + 3( cosA + cosC)
Ví dụ 5: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của
f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) với x;y
[ ]
;∈ −Π Π
= -2(cos
2
x y+
-
1
2
cos
2
x y−
)
2
+
1
2
2
cos
2
x y−
+ 1
Suy ra f(x,y)
1 3
1
2 2
≤ + =
,x y R∀ ∈
Dấu “=” xãy ra khi
2
cos 1
2
1
cos cos
2 2 2
x y
x y x y
−
=
+ −
=
sin 0 sin 0
2 2
1 1
cos cos
2 2 2 2
x y x y
x y x y
− −
= =
⇔ ∨
+ +
= = −
3
3
3
x
x y
y
Π
=
Π
⇔ ∨ = = −
Π
=
Mặt khác x;y
[ ]
;∈ −Π Π
thì cosx
1≥ −
; cosy
1≥ −
; - cos(x+y)
1≥ −
( , ) 3f x y⇒ ≥ −
Dấu “=” xãy ra khi
x x
y y
= Π = −Π
∨
= −Π = Π
Vậy max f(x,y)=
3
2
khi
3
3
3
x
x y
y
Π
=
Π
∨ = = −
Π
=
min f(x,y) = -3 khi
x x
y y
= Π = −Π
∨
= −Π = Π
PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Bất đẳng thức Cauchy:
Nếu a
1
, a
2
,a
3
,……, a
n
là các số không âm, ta có :
1 2 3
1 2 3
n
n
n
a a a a
a a a a
n
+ + + +
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= a
3
= … = a
n
2/ Bất đẳng thức Bunhiacopski :
Nếu a
1
, a
2
,a
3
,……, a
n
và b
1
,b
2
, b
3
, … ,b
n
là 2n số tùy ý , ta có :
(a
1
2
+a
2
2
+a
3
2
+….+a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
+ b
3
2
+… + b
n
2
)
≥
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+…….+a
n
b
n
)
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
n
n
a
a a
b b b
= = =
(với quy ước rằng trong phân số
i
i
a
b
nếu b
i
= 0 thì a
i
= 0)
Giải:
Dựa vào tính chất sau đây của bất đẳng thức:
Nếu a,b
0≥
thì a
2 2
b a b≥ ⇔ ≥
Theo tính chất 3 : Nếu f(x)
0≥
x D∀ ∈
, khi đó ta có ;
1/
2
max ( ) max ( )
x D x D
f x f x
∈ ∈
=
2/
2
min ( ) min ( )
x D x D
f x f x
∈ ∈
=
Ta thấy hàm số f(x) =
1 5x x− + −
0≥
x D∀ ∈
, nên sử dụng tính chất 3 ta có :
f
2
(x) = 4 + 2
( 1)(5 )x x− −
Từ đó ta có :
2
2
( ) 4,
(1) 4
f x x D
f
≥ ∀ ∈
=
Vậy
2
min ( ) 4
x D
f x
∈
=
min ( ) 2
x D
f x
∈
⇒ =
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
f
2
(x) = 4 + 2
( 1)(5 )x x− −
4 [( 1) (5 )]x x≤ + − + −
2
( ) 8,f x x D⇒ ≤ ∀ ∈
Mặt khác f
2
(3)=8
Vậy
2
max ( ) 8 max ( ) 2 2
x D x D
f x f x
∈ ∈
= ⇒ =
Giải: p dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có :
x
100
+
9
1 1 1 1
so
+ + + +
1 442 4 43
10 100 9
10 1x≥
= 10x
10
Suy ra :x
100
– 10x
10
+ 9
0
≥
( ) 1,f x x R⇒ ≥ ∀ ∈
Mặt khác f(1) = 1
Vậy
min ( ) 1
x R
f x
∈
=
Giải :
Ta có A + B + C =
Π
( ) ( )tg A B tg C tgC⇒ + = Π − = −
tgA tgB tgC tgAtgBtgC⇔ + + =
p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA , tgB , tgC, ta có :
P = tgA + tgB + tgC
3
3 tgAtgBtgC≥
Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
f(x) =
1 5x x− + −
xét trên miền D = [1;5]
Ví dụ 2:Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số :f(x) = x
100
– 10x
10
+ 10 với x
∈
R
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm gtnn của P = tgA + tgB + tgC
3
3
2
3 27
27 3 3
P P P P
P P
⇔ ≥ ⇔ ≤
⇔ ≥ ⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra khi tgA = tgB = tgC
A B C⇔ = =
Vậy min P = 3
3
khi tam giác ABC là tam giác đều
Giải :
y =
2 1
1 x x
+
−
=
2 2 2 1
1
x x x x
x x
− + + −
+
−
= 2 +
2 1
1
1
x x
x x
−
+ +
−
= 3 +
2 1
1
x x
x x
−
+
−
Vì x
∈
(0;1)
1 x⇒ −
> 0
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
2 1
1
x x
x x
−
+
−
2 1
2 . 2 2
1
x x
x x
−
≥ =
−
3 2 2y⇔ ≥ +
Dấu “=” xảy ra khi
2 1
1
x x
x x
−
=
−
2 2 2
(1 ) 2 2 1 0 2 1x x x x x⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = −
Vậy
(0;1)
min 3 2 2
x
y
∈
= +
khi
2 1x = −
Giải:
p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
16 = (xy + yz + zx)
2
≤
(x
2
+ y
2
+ z
2
)(y
2
+ z
2
+ x
2
) = (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
Suy ra : x
2
+ y
2
+ z
2
4≥
Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
16
2 2 2 2
( )x y z≤ + + ≤
(1
2
+1
2
+1
2
)(x
4
+y
4
+z
4
)=3(x
4
+y
4
+z
4
)
Suy ra :x
4
+y
4
+z
4
≥
16
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
2 3
3
±
Vậy min A =
16
3
khi x = y = z =
2 3
3
±
Giải :
Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ nhất của y =
2 1
1 x x
+
−
trên (0;1)
Ví dụ 5: Ba đại lượng biến thiên x , y , z luôn thỏa mãn điều kiện :
xy+yz+zx = 4.Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A = x
4
+ y
4
+ z
4
.
Ví dụ 6: Tìm gtln của hàm số : y = sinx +
2 2
2 sin sin 2 sinx x x− + −
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
Sinx +
2 2 2 2 2
2 sin (1 1 )(sin 2 sin ) 2x x x− ≤ + + − ≤
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2 2 2
sin 2 sin sin 2 sin sin (2 sin )x x x x x x− ≤ − = −
2 2
1
(sin 2 sin ) 1
2
x x≤ + − =
Vậy y = sinx +
2 2
2 sin s in 2 sinx x x− + −
3
≤
Dấu “=” xảy ra khi
2
2 2
sin 2 sin
sin sin
sin 2 sin
x x
x x
x x
= −
=
= −
sin 1 2 ,
2
x x k k Z
Π
⇔ = ⇔ = + Π ∈
Vậy : max y = 3 khi
2 ,
2
x k k Z
Π
⇔ = + Π ∈
Giải : + Tập xác đònh của hàm số là : D = [2;4]
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
y = 1.
2 1. 4x x− + −
2 2
1 1 . 2 4 2x x≤ + − + − =
Dấu “=” xảy ra khi
2 4x x− = −
3x
⇔ =
Vậy
[2;4]
max y
= 2 khi x = 3
Nhận xét : Ở ví dụ 7 ta chỉ cần tìm giá trò lớn nhất nên ta có thể sử dụng bất
đẳng thức để tìm , nhưng nếu cũng với hàm số y =
2 4x x− + −
ta cần tìm giá
trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất thì cách làm gọn nhất là sử dụng đạo hàm để
tìm miền giá trò của hàm số từ đó ta tìm được GTLN và GTNN của hàm số .
Phương pháp sử dụng miền giá trò của hàm số là một phương pháp rất hay , rất
thuận lợi cho học sinh trong việc đi tìm GTLN –GTNN
PHƯƠNG PHÁP 3 : SỬ DỤNG MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ :
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D , có miền giá trò T
y
0
∈
T
⇔
phương trình y
0
= f(x) có nghiệm x
∈
D
0
m y M⇔ ≤ ≤
( dấu “=” xảy ra được)
Khi đó
min ( )
x D
f x m
∈
=
và
max ( )
x D
f x M
∈
=
2/ Phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi a
2
+ b
2
≥
c
2
Như vậy để tìm GTLN –GTNN của hàm số theo phương pháp này ta quy về
việc tìm điều kiện để một phương trình ( có thêm điều kiện phụ ) có nghiệm.
Ví dụ 7: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y =
2 4x x− + −
Giải:
+ Tập xác đònh D = R.Gọi T là tập giá trò của hàm số
Gọi y
0
∈
T
⇔
phương trình y
0
=
2
2 1
4
x
x x
−
+ +
có nghiệm x
∈
R
⇔
phương trình :y
0
x
2
+ (y
0
– 2)x + 4y
0
+ 1= 0 (1) có nghiệm x
∈
R
Ta xét hai trường hợp :
• Nếu y
0
= 0 thì (1)
⇔
- 2x + 1 = 0
1
2
x⇔ =
• Nếu y
0
≠
0 thì (1) có nghiệm
/ 2
0 0
15 8 4 0y y⇔ ∆ = − − + ≥
0 0
4 2 19 4 2 19
( 0)
15 15
y y
− − − +
⇔ ≤ ≤ ≠
Kết hợp hai trường hợp ta có pt (1) có nghiệm
⇔
0
4 2 19 4 2 19
15 15
y
− − − +
≤ ≤
Vậy
4 2 19
max
15
x R
y
∈
− +
=
và
4 2 19
min
15
x R
y
∈
− −
=
Giải:+ Tập xác đònh D = R
2
2
4,
1
max 4
4
1
x R
ax b
x R
x
y
ax b
pt
x
∈
+
≤ ∀ ∈
+
= ⇔
+
=
+
2
2
4 4 0,
: 4 4 0
x ax b x R
pt x ax b
− + − ≥ ∀ ∈
⇔
− + − =
2
2
16(4 ) 0
16(4 ) 0
a b
a b
∆ = − − ≤
⇔
∆ = − − ≥
2
64 16 0(1)a b⇔ − + =
Có nghiệm x
∈
R
Có nghiệm x
∈
R
Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :y =
2
2 1
4
x
x x
−
+ +
Ví dụ 2: Xác đònh các tham số a và b sao cho hàm số : y =
2
1
ax b
x
+
+
đạt giá trò lớn
nhất bằng 4 và đạt giá trò nhỏ nhất bằng -1
2
2
1,
1
min 1
: 1
1
x R
ax b
x R
x
y
ax b
pt
x
∈
+
≥ − ∀ ∈
+
= − ⇔
+
= −
+
2
2
1 0,
: 1 0
x ax b x R
pt x ax b
+ + + ≥ ∀ ∈
⇔
+ + + =
2
2
4( 1) 0
4( 1) 0
a b
a b
− + ≤
⇔
− + ≥
2
4( 1) 0(2)a b⇔ − + =
Vậy yêu cầu bài toán
2
2
2
60 20 0
64 16 0
4 4 0
4 4 0
b
a b
a b
a b
− + =
− + =
⇔ ⇔
− − =
− − =
2
3
4
3
16
3
4
b
a
b
a
b
a
=
=
=
⇔ ⇔
=
=
= −
Giải:
Vì phương trình : sinx + cosx – 2 = 0 vô nghiệm nên tập xác đònh D = R
Gọi T là tập giá trò của hàm số
Gọi y
0
∈
T
⇔
phương trình y
0
=
2 cos
sin cos 2
x
x x
+
+ −
có nghiệm x
∈
R
2 2 2
0 0 0
( 1) 4(1 )y y y⇔ + − ≥ +
2
0 0
0
2 10 3 0
5 19 5 19
2 2
y y
y
⇔ + + ≤
− − − +
⇔ ≤ ≤
Vậy :
5 19 5 19
max , min
2 2
x R
x R
y y
∈
∈
− + − −
= =
PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Để tìm GTLN-GTNN của hàm số bậc hai : ax
2
+bx +c = 0 ( a
≠
0) trên [
,
α β
] ta
có nhận xét sau: đồ thò của hàm số là Parabol có hoành độ đỉnh là x
0
= -
2
b
a
Ta xét hai trường hợp :
1/ a>0: * Nếu x
0
[ , ]
α β
∈
thì
{ }
0
[ , ]
[ , ]
min ( ) , max max ( ), ( )
x
x
y f x y f f
α β
α β
α β
∈
∈
= =
Có nghiệm x
∈
R
Có nghiệm x
∈
R
Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :y =
2 cos
sin cos 2
x
x x
+
+ −
* Nếu x
0
[ , ]
α β
∉
thì
{ }
[ , ]
min min ( ), ( )
x
y f f
α β
α β
∈
=
và
{ }
[ , ]
max max ( ), ( )
x
y f f
α β
α β
∈
=
2/ a < 0: * Nếu x
0
[ , ]
α β
∈
thì
{ }
0
[ , ]
[ , ]
max ( ) , min min ( ), ( )
x
x
y f x y f f
α β
α β
α β
∈
∈
= =
* Nếu x
0
[ , ]
α β
∉
thì
{ }
[ , ]
max max ( ), ( )
x
y f f
α β
α β
∈
=
và
{ }
[ , ]
min min ( ), ( )
x
y f f
α β
α β
∈
=
Giải :
Đặt S = x + y và P = xy
Ta có : S = 2a – 1 , x
2
+ y
2
= S
2
– 2P = a
2
+ 2a – 3
Suy ra P =
2
1
(3 6 4)
2
a a− +
Điều kiện để hệ có nghiệm là : S
2
– 4P
≥
0
2
2 2
2 8 7 0 2 2
2 2
a a a⇔ − + − ≥ ⇔ − ≤ ≤ +
Bây giờ ta tìm a để P =
2
1
(3 6 4)
2
a a− +
đạt giá trò nhỏ nhất trên [2-
2 2
, 2 ]
2 2
+
Ta có hoành độ đỉnh parabol : a
0
= 1 < 2 -
2
2
Parabol có bề lõm quay lên , do đó minP đạt được khi a = 2-
2
2
Vậy với a = 2-
2
2
thì xy đạt giá trò nhỏ nhất
Giải:
Ta có : y =
2
2
1
4( 1) 3
3
4( 1) 3 1 3
x
x a x khi
x
x a x khi x
≤
+ − +
≥
− + + − < <
Khi đó miny = min
{ }
{ }
2
(2 2 ); (1); (3) min 4 8 1;4 ;12y a y y a a a a− = − + −
Vậy : min y > 2
2
4 8 1 2
4 2
12 2
a a
a
a
− + − >
⇔ >
>
1 3
2 2
a⇔ < <
Ví dụ 1: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình :
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −
+ = + −
Xác đònh a để tích xy là nhỏ nhất ?
Ví dụ 2: Tìm tham số a để giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y = 4ax +
2
4 3x x− + −
lớn hơn 2
Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y =
2 2
2 4
cos cos 1
1 1
x x
x x
+ +
+ +
Giải :
Đặt u =
2
2
1
x
x+
với x
∈
R thì -1
1u
≤ ≤
khi đó
y = cos u + cos2u + 1 = cos u + 2cos
2
u
Đặt t =cosu
[ 1,1] cos1 1u thì t⇒ ∈ − ≤ ≤
Khi đó y = 2t
2
+ t có đồ thò là parabol với hoành độ đỉnh : t
0
< -
1
4
< cos1
Vậy : max y = y(1) = 3 tại x = 0, Min y = y(cos1) = 2 cos
2
1 + cos1 tại x =
1±
PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG ĐẠO HÀM:
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Trong chương trình lớp 12 , ở phần đạo hàm chúng ta đã sử dụng tính đơn điệu
và cực trò của hàm số để tìm GTLN-GTNN.
Đặc biệt nếu D = [a;b] và hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên (a;b) thì
{ }
{ }
0 1
0 1
max ( ) max ( ), ( ), , ( ), ( )
min ( ) min ( ), ( ), , ( ), ( )
x D
x D
f x f x f x f a f b
f x f x f x f a f b
∈
∈
=
=
với x
0
, x
1
,…
( ; )a b∈
lànghiệm của pt y
/
= 0
Ở đây ta xét thêm một số bài toán tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp đạo
hàm.
Nhận xét:Ví dụ 1 ta đã giải bằng pp sử dụng bất đẳng thức , nhưng đối với
học sinh yếu thì các em không sử dụng bất đẳng thức thành thạo .
Mặt khác ở chương trình lớp 12 các em đã học đạo hàm và biết cách lập bảng
biến thiên ,do đó khi giải ví dụ 1 thì phương pháp đạo hàm chiếm ưu thế hơn
vì mọi học sinh đều có thể giải được
Giải : Ta xét hàm số trên khoảng (0;1)
y
/
=
2
2 2
2 1
( )
x x
x x
+ −
− +
, y
/
= 0
2
1 2 3 2 2
2 1 0
1 2 3 2 2
x y
x x
x y
= − − = −
⇔ + − = ⇔ ⇒
= − + = +
BBT:
x -
∞
-1-
2
0 -1+
2
1 +
∞
y
/
+ 0 - - 0 + +
+
∞
+
∞
y
3+2
2
Ví dụ 1: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : y =
2 1
1 x x
+
−
trên (0;1)
Vậy :
(0;1)
min 3 2 2 1 2y khi x= + = − +
Nhận xét: Ví dụ 2 ta cũng đã giải bằng phương pháp bất đẳng thức , bây giờ
ta giải ví dụ này theo phương pháp đạo hàm để thấy tính ưu việt của phương
pháp đạo hàm.
Giải: Tập xác đònh : D = [1;5]
f
/
(x) =
1 1 5 1
2 1 2 5 2 5 1
x x
x x x x
− − −
− =
− − − −
f
/
(x) = 0
1 5
5 1 3
5 1
x
x x x
x x
≤ ≤
⇔ − = − ⇔ ⇔ =
− = −
BBT:
Suy ra :
[1;5]x∀ ∈
2 ( ) 2 2f x⇒ ≤ ≤
Vậy:
[1;5]
1
min ( ) 2
5
x
x
f x khi
x
∈
=
=
=
,
[1;5]
max ( ) 2 2 3
x
f x khi x
∈
= =
Giải: Miền xác đònh: D = R
y
/
= cosx + 6cos 2x = 12cos
2
x
+ cosx – 6
Ví dụ 3:Tìm giá trò lớn nhất của hàm số :y = sinx + 3 sin 2x
Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
f(x) =
1 5x x− + −
xét trên miền D = [1;5]
x -
∞
1 3 5 +
∞
f
/
(x) + 0 -
f(x) 2
2
2 2
y
/
= 0
2
cos
3
3
cos
4
x
x
=
⇔
= −
1/ Với cosx =
2
3
thì sinx =
5 5 5
sin 6sin cos
3 3
y x x x± ⇒ = + = ±
2/ Với cosx = -
3
4
thì sinx =
7 7 7
sin 6sin cos
4 8
y x x x± ⇒ = + = ±
Vậy :
5 5 2 5
max cos ,sin
3 3 3
x D
y khi x x
∈
= = =
Chú ý : Trong các ví dụ sau nếu xét hàm số đã cho theo biến x thì ta khó xét
tính đơn điệu của hàm số , nhưng nếu đặt ẩn phụ t thì ta có thể đưa hàm số
trên về dạng hàm số theo biến t quen thuộc với học sinh lớp 12 vì đó là một
trong các dạng hàm số mà các em đã khảo sát và vẽ đồ thò trong chương trình
lớp 12.
Giải:
Miền xác đònh D = (0;+
∞
)
Đặt t = lg
2
x , t
≥
0.Khi đó y = t +
1
2t +
y
/
= 1 -
2 2
1 ( 1)( 3)
0
( 2) ( 2)
t t
t
t t
+ +
= > 0,∀ ≥
+ +
Do đó hàm số luôn đồng biến trên [0;+
∞
)
Suy ra y(t)
1
(0) , 0
2
y t≥ = ∀ ≥
Vậy :
1
min 1
2
x D
y khi x
∈
= =
Giải: Hàm số xác đònh với mọi x
∈
R
Đặt t = sinx , t
[ 1;1]∈ −
Khi đó y =
2
1
1
t
t t
+
+ +
xác đònh trên
[ 1;1]−
y
/
=
2
2 2
2
( 1)
t t
t t
− −
+ +
, y
/
= 0
0
2 ( 1;1)
t
t
=
⇔
= − ∉ −
Ví dụ 4:Với giá trò nào của x ,hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất:
y = lg
2
x +
2
1
lg 2x +
y(0) = 1 , y(1) =
2
3
, y(-1) = 0
Vậy :
max 1 0 sin 0
x R
y khi t x x k
∈
= = ⇔ = ⇔ = Π
(k
∈
Z)
min 0 1 sin 1 2
2
x R
y khi t x x k
∈
Π
= = − ⇔ = − ⇔ = − + Π
(k
∈
Z)
Giải:
Hàm số xác đònh với mọi x
≠
0
Đặt t = x +
1
x
, điều kiện :
2
2
2
t
t
t
≥
≥ ⇔
≤ −
Khi đó y = t
2
– 2t + 3 = g(t) y
/
= 2t – 2 = 0
1t⇔ =
BBT:
Vậy:
0 2
1
min min (2) 3 2 2 1
x t
y y g khi t x x
x
≠ ≥
= = = = ⇔ + = ⇔ =
Nhận xét : Ở bài toán này nếu ta giải theo phương pháp miền giá trò của hàm
số thì ta không thể chỉ ra được x bằng bao nhiêu khi hàm số đạt GTLN ,
GTNN.Như vậy ta không trả lời được đúng yêu cầu của đề bài .Vì vậy ở bài
này ta phải giải bằng cách đặt ẩn phụ.
Giải:
Đặt t = tg
2
x
, vì
( ; )x ∈ −Π Π
nên
t R∈
Khi đó : cosx =
2
2 2
1 2
, sin
1 1
t t
x
t t
−
=
+ +
Suy ra y =
2
2
2 2
3
t t
t t
+ +
− +
x -
∞
-2 1 2 +
∞
y
/
- - 0 + +
+
∞
+
∞
y
11 3
Ví dụ 6: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : y =
2
2
1 1
2( ) 5x x
x x
+ + + +
Ví dụ 7: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y=
cos 2sin 3
( ; )
2cos sin 4
x x
khi x
x x
+ +
∈ −Π Π
− +
y
/
=
2
/
2 2
2
2
3 2 8
, 0
4
2
( 3)
3
11
t
y
t t
y
t t
t
y
=
=
− + +
= ⇔ ⇒
− +
= −
=
BBT:
Vậy:
( ; )
max 2 2 2 2
2
x
y khi t tg x
α
−Π Π
= = ⇔ = ⇔ =
với
2tg
α
=
( ; )
2 4 4
min 2
11 3 2 3
x
y khi t tg x
β
−Π Π
− −
= = ⇔ = ⇔ =
với
4
3
tg
β
= −
Giải:
Hàm số có chu kỳ T = 2
Π
Vì y
≥
0 và tính chất chẵn , lẻ của hàm số sinx , cosx nên ta chỉ cần xét hàm số
y=
cos sinx x+
trên miền xác đònh D = [0;
2
Π
]
Đặt t = cosx + sinx =
2 cos( )
4
x
Π
−
Vì
0 1 2
2
x t
Π
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Ta có : y
2
= t +
2
2 2 ( )t f t− =
y
/
(t) = 1 +
2
2
0 , [1; 2]
2 2
t
t
t
> ∀ ∈
−
Do đó với t
[1; 2]∈
thì hàm số y=
cos sinx x+
là hàm đồng biến
Vậy :
min (1) 1 , max ( 2) 2 2
x D
x D
y y y y
∈
∈
= = = =
PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ HÌNH HỌC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
• Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A , B cho trước thì đường
thẳng nối hai điểm A , B có độ dài nhỏ nhất .
• Trong một tam giác , tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba .
x -
∞
-
4
3
2 +
∞
y
/
- 0 + 0 -
1 2
y
2
11
1
Ví dụ 8: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y=
cos sinx x+
• Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d cho trước , khi đó độ dài đoạn
vuông góc kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống
cùng đường thẳng ấy .
• Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều có
chu vi và diện tích lớn nhất.
Trong thực tế phương pháp tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp hình học ,
chúng ta cũng đã làm quen rất nhiều ở cấp 2 , chẳng hạn : “ Trong các tam
giác có cùng cạnh đáy và cùng diện tích , tam giác nào có chu vi nhỏ
nhất”hay “ Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng cạnh đáy và cùng
diện tích , tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.”
Như vậy nếu như một bài toán nào đó tìm GTLN-GTNN bằng một phép
biến đổi nào đó có thể quy về sự kiện hình học mà bằng phương pháp đồ
thò và hình học ta có thể dễ dàng giải được thì chúng ta sử dụng phương
pháp này .
Giải:
Ta viết f (x) =
2 2
2 2
3 5 3 1x x− + − − +
Khi đó : f(3) = 4
Dựng tam giácABC vuông tại A, AC = 5 , AB =
3x −
Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 1.
Theo đònh lý Pitago, ta có :
BC =
2
2 2 2
3 5AB AC x+ = − +
BD =
2
2 2 2
3 1AB AD x+ = − +
Trong tam giác BCD ta luôn có: BC – BD < DC
Tức là :
2 2
2 2
3 5 3 1x x− + − − +
< 4
Vậy : f(x) < 4 ,
3x
∀ ≠
, f(3) = 4 .Từ đó suy ra :
max ( ) 4
x R
f x
∈
=
-
3
2
B
-
1
2
C
O
1
2
x
A -
3
2
B
A D C
Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số :
y= f(x)=
2 2
6 34 6 10x x x x− + − − +
trên miền xác đònh D = R
Ví dụ 2:Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số:
f(x) =
2 2
1 1x x x x+ + + − +
trên miền xác đònh D = R
y
Giải :
Ta có :
f(x) =
2 2 2 2
1 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x x+ + + − +
=
2 2 2 2
1 3 1 3
[ ( )] [0 ( )] ( ) (0 ) (1)
2 2 2 2
x x− − + − − + − + −
Xét các điểm A(-
1 3
; )
2 2
−
, B(
1 3
; )
2 2
và C (0;x) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Từ (1) ta có : f(x) = CA + CB
Rõ ràng : CA + CB
≥
AB với AB =
2
1 ( 3) 2+ =
Vậy : f(x)
≥
2
x R∀ ∈
Dấu “=” xảy ra
⇔
ba điểm A , B , C thẳng hàng
C O⇔ ≡
Vậy :
min ( ) 2
x R
f x
∈
=
Giải:
Nếu (x,y)
∈
D ta có : x
2
+ y
2
+16 = 8x + 6y
2 2
( 4) ( 3) 9x y⇔ − + − =
Vậy D chính là đường tròn tâm O
1
( 4; 3), bán kính R = 3
Khi (x,y)
∈
D ta có : f(x,y) = 4x + 3y =
2 2
2 2
16 1
8 ( ) (1)
2 2
x y
x y
+ +
= + +
Xét điểm M(x;y) trên D .Nối OO
1
cắt đường tròn D tại M
1
, M
2
.
Khi đó :
1 1 1
( ; )
min 5 3 2
M x y D
OM OM OO MO
∈
= = − = − =
2 1 1 2
( ; )
max 5 3 8
M x y D
OM OM OO O M
∈
= = + = + =
Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :
f(x,y) = 4x + 3y có miền xác đònh D =
{ }
2 2
( , ) : 16 8 6x y x y x y+ + = +
M
M
2
M
1
O
O
1
3
4
x
Vì x
2
+ y
2
= OM
2
nên từ (1) ta suy ra :
( ; )
max ( , ) 40
M x y D
f x y
∈
=
và
( ; )
min ( , ) 10
M x y D
f x y
∈
=
PHƯƠNG PHÁP 7: PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Các đẳng thức vectơ:
Trong không gian n chiều , cho hai vectơ :
1 2 1 2
( ; ; ; ) , ( ; ; ; )
n n
a a a a b b b b= =
r r
Khi đó : *
1 1 2 2
( ; ; ; )
n n
a b a b a b a b+ = + + +
r r
*
1 1 2 2
( ; ; ; )
n n
a b a b a b a b− = − − −
r r
*
1 2
. ( ; ; ; )
n
k a ka ka ka=
r
với k
R∈
*
1 1 2 2
.
n n
a b a b a b a b= + + +
r r
*
. . cos( , )a b a b a b=
r r r r r r
*
2 2 2
1 2
n
a a a a= + + +
r
2/ Các bất đẳng thức :
*
. .a b a b≤
r r r r
*
a b a b+ ≤ +
r r r r
*
a b a b− ≥ −
r r r r
Dạng 1: sử dụng bất đẳng thức :
. .a b a b≤
r r r r
Giải:
Xét hai vectơ:
(0;1) 1a a= ⇒ =
r r
và
2
2 2
1 2
( ; ) 1
1 1
x x
b b
x x
−
= ⇒ =
+ +
r r
Mặt khác :
2
2 2 2
1 2 2
. 0. 1.
1 1 1
x x x
a b
x x x
−
= + =
+ + +
r r
Do
. .a b a b≤
r r r r
⇒
2
1
x
x +
1≤
Dấu “=” xảy ra
a⇔
r
cùng phương với
b
r
2
1
1
1
x
x
x
=
⇔ = ⇔
= −
Vậy : max y =
1
2
khi
1
1
x
x
=
= −
Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y =
2
1
x
x +
Ví dụ 2: Cho x
2
+ y
2
= 1.Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức : A =
3
2
x
y+
Giải:
Xét hai vectơ :
(0;1) 1a a= ⇒ =
r r
và
2 2
2 1 3 2 1 3
( ; ) ( ) ( )
2 2 2 2
y x y x
b b
y y y y
+ +
= ⇒ = +
+ + + +
r r
2
2
4 4
1
(2 )
y y
b
y
+ +
⇒ = =
+
r
Mặt khác :
2 1 3 3
. 0. 1.
2 2 2
y x x
a b
y y y
+
= + =
+ + +
r r
. .a b a b≤
r r r r
2
2
1
1
x
x
⇒ ≤
+
2
1
1 2
x
y
x
⇒ = ≤
+
Do
. .a b a b≤
r r r r
3 3
1 1
2 2
x x
A
y y
⇒ ≤ ⇒ = ≤
+ +
Dấu “=” xảy ra
a⇔
r
cùng phương với
b
r
2 1 0
3
0
2
y
x
y
+ =
⇔
≠
+
1
2
3
2
y
x
= −
⇔
= ±
Vậy : max A = 1 khi
1
2
3
2
y
x
= −
= ±
Giải:
Xét hai vectơ:
(sin .sin ;cos .cos )a x y x y=
r
và
(sin ;cos )b z z=
r
.a b⇒
r r
= sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz
2 2 2 2 2 2
. sin .sin cos .cos . sin cosa b x y x y z z= + +
r r
=
2 2 2 2
sin .sin cos .cos .x y x y+
Do
. .a b a b≤
r r r r
⇒
sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz
≤
2 2 2 2
sin .sin cos .cos .x y x y+
A
⇒ ≤
2 2 2 2
sin .sin cos .cos .x y x y+
4 4 4 4
(sin cos ).(sin cos )x x y y≤ + +
Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức :A = sinx.siny.sinz +cosx.cosy.cosz
2 2
1 1
(1 sin 2 ).(1 sin 2 ) 1
2 2
x y= − − ≤
Dấu “=” xảy ra
cos 1 cos 1 cos 1 cos 1
cos 1 cos 1 cos 1 cos 1
cos 1 cos 1 cos 1 cos 1
x x x x
y y y y
z z z z
= = − = − =
⇔ = ∨ = − ∨ = ∨ = −
= = = − = −
Vậy : max A = 1
Giải:
Xét hai vectơ :
2 2 2
(sin ;1; 2 sin ) sin 1 2 sin 3u x x u x x= − ⇒ = + + − =
r r
2 2 2
(1; 2 sin ;sin ) 1 2 sin sin 3v x x v x x= − ⇒ = + − + =
r r
Mặt khác :
. sinu v x= +
r r
2 2
2 sin (sin ) 2 sinx x x− + −
Do
. .u v u v≤
r r r r
⇒
sinx +
2 2
2 sin (sin ) 2 sinx x x− + −
3≤
3y⇒ ≤
Dấu “=” xảy ra
,u v⇔
r r
cùng hướng
2
2
sin 1 2 sin
1 sin
2 sin
x x
x
x
−
⇔ = =
−
2 2
sin 1
2 s in sin 1
x
x x
=
⇔
− = =
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z
Π
⇔ = ⇔ = + Π ∈
Vậy : max y= 3 khi x=
2 ( )
2
k k Z
Π
+ Π ∈
Giải:
Xét hai vectơ :
2 2 2
( 4cos 1; 4cos 1; 4 cos 1)u
α β γ
= + + +
r
2 2 2
4cos 1 4cos 1 4 cos 1 7u
α β γ
⇒ = + + + + + =
r
và
(1;1;1) 3v v= ⇒ =
r r
Mặt khác :
.u v
r r
=
2 2 2
4 cos 1 4cos 1 4 cos 1
α β γ
+ + + + +
Do
. .u v u v≤
r r r r
⇒
2 2 2
4 cos 1 4cos 1 4 cos 1
α β γ
+ + + + +
21≤
21A⇒ ≤
Dấu “=” xảy ra
,u v⇔
r r
cùng hướng
Ví dụ 4: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y= sinx +
2 2
2 sin (sin ) 2 sinx x x− + −
Ví dụ 5: Gọi
, ,
α β γ
là ba góc tạo bởi đường chéo của hình hộp chữ nhật với ba
cạnh phát xuất từ một đỉnh và
2 2 2
cos cos cos 1
α β γ
+ + =
.Tìm giá trò lớn nhất của
biểu thức : A =
2 2 2
4 cos 1 4cos 1 4 cos 1
α β γ
+ + + + +
2 2
2
4cos 1 4 cos 1
4cos 1
1 1 1
β γ
α
+ +
+
⇔ = =
3
cos cos cos
3
α β γ
⇔ = = =
Vậy : max A =
21
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức :
a b a b+ ≤ +
r r r r
Nhận xét chung : Phân tích đề bài một cách khéo léo để chọn tọa độ vectơ
thích hợp thì giải được bài toán nhẹ nhàng
Giải:
Nhận xét : x
2
– 2x + 5 = (1 – x)
2
+2
2
, x
2
+ 2x + 5 = (x+1)
2
+2
2
Suy ra ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho y bằng tổng độ lớn của
hai vectơ đó.
Xét hai vectơ:
2 2
(1 ;2) (1 ) 4 2 5a x a x x x= − ⇒ = − + = − +
r r
2 2
( 1;2) ( 1) 4 2 5b x b x x x= + ⇒ = + + = + +
r r
Mà :
(2;4) 2 5c a b c a b= + = ⇒ = + =
r r r r r r
Do :
a b a b+ ≥ +
r r r r
⇒
2 2
2 5 2 5x x x x− + + + +
2 5≥
2 5y⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
,a b⇔
r r
cùng hướng
1 1 0x x x⇔ − = + ⇔ =
Vậy : min y = 2
5
khi x = 0
Giải:
Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho A bằng tổng độ lớn
của hai vectơ đó
Xét hai vectơ:
2 2 2
(2cos .cos ;sin( )) 4 cos .cos sin ( )a x y x y a x y x y= − ⇒ = + −
r r
2 2 2
(2sin .sin ;sin( )) 4si n .sin sin ( )b x y x y b x y x y= − ⇒ = + −
r r
Mà :
(2sin .sin 2cos .cos ; 2s in( )) (2cos( );2sin( ))c a b x y x y x y x y x y= + = + − = − −
r r r
2 2
4[cos ( ) sin ( )] 2c a b x y x y⇒ = + = − + − =
r r r
p dụng bất đẳng thức :
a b a b+ ≥ +
r r r r
Ví dụ 1: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : y =
2 2
2 5 2 5x x x x− + + + +
Ví dụ 2: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
A =
2 2 2 2 2 2
4 cos .cos sin ( ) 4sin .sin sin ( )x y x y x y x y+ − + + −
⇒
2 2 2 2 2 2
4 cos .cos sin ( ) 4sin .sin sin ( )x y x y x y x y+ − + + −
2≥
2A⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
( )x y k k Z⇔ = + Π ∈
Vậy : min A = 2 khi
( )x y k k Z= + Π ∈
Giải:
Nhận xét : Ta chọn ba vectơ có tọa độ thích hợp sao cho A bằng tổng độ lớn
của ba vectơ đó
Xét ba vectơ :
2 2 4 4
(cos ;cos ) cos cosa x y a x y= ⇒ = +
r r
2 2
(sin ; 0) sinb x b x= ⇒ =
r r
2 2
(0;sin ) sinc y c y= ⇒ =
r r
Mà :
2 2 2 2
(cos sin ;cos sin ) (1;1)a b c x x y y+ + = + + =
r r r
2a b c⇒ + + =
r r r
p dụng bất đẳng thức :
a b c a b c+ + ≥ + +
r r r r r r
⇒
4 4 2 2
cos cos sin sinx y x y+ + +
2≥
2A⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
( , )
x k
k m Z
y m
= Π
⇔ ∈
= Π
Vậy : min A =
2
khi
( , )
x k
k m Z
y m
= Π
∈
= Π
Giải:
Xét ba vectơ :
2
( ;2) 4a x a x= ⇒ = +
r r
2 2 2
( ;1) ( ) 1 2 1b y x b y x x xy y= − ⇒ = − + = − + +
r r
2 2
(3 ;1) (3 ) 1 6 10c y c y y y= − ⇒ = − + = − +
r r
Mà :
(3; 4) 5d a b c d a b c= + + = ⇒ = + + =
ur r r r ur r r r
p dụng bất đẳng thức :
a b c a b c+ + ≥ + +
r r r r r r
⇒
2 2 2 2
4 2 1 6 10x x xy y y y+ + − + + + − +
5
≥
5A
⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
, ,a b c⇔
r r r
cùng hướng
Ví dụ 3 : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A =
4 4 2 2
cos cos sin sinx y x y+ + +
Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
A =
2 2 2 2
4 2 1 6 10x x xy y y y+ + − + + + − +
