Tài liệu ôn tập Toán tốt nghiệp THPT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (474.46 KB, 42 trang )
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
CHƯƠNG I : TUẦN 1 VÀ TUẦN 2
TUẦN 1 ( 11/04 đến 17/04) : 5tiết
KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3. CHIỀU BIẾN THIÊN, CỰC TRỊ, TƯƠNG GIAO
CỦA HAI ĐỒ THỊ, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
- Về kiến thức: Học sinh nắm chắc hơn các bước khảo sát hàm số bậc 3, định nghĩa hàm
số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, điều kiện đủ để hàm số đồng
biến, nghịch biến trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, tìm m để hàm số đồng biến (nghịch
biến) trên tập xác định. Nắm vững hơn về định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm số, hai
quy tắc để tìm cực trị của hàm số, tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện cho
trước. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( số giao điểm của hai đường). Viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị
- Về kỹ năng: Biết khảo sát hàm số bậc 3 và giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số
bằng đạo hàm, cực trị, tương giao, tiếp tuyến của đồ thị.
- Về tư duy thái độ: Tích cực,chủ động nắm kiến thức theo sự hướng dẫn của GV, sáng
tạo trong quá trình tiếp thu kiến thức mới.
II. KIỂM TRA BÀI CŨ:
Hs: Nêu các bước KSHS, quy tắc xét tính đơn điệu, cực trị, công thức pttt tại điểm M.
III. BÀI MỚI:
* Phương pháp thảo luận nhóm + thuyết trình + đàm thoại.
1. Lý thuyết:
* Sơ đồ KSHS:
1. TXĐ: D = R.
2. Sự biến thiên:
- Tính giới hạn tại vô cực
- Tính đạo hàm (cho đạo hàm bằng 0 tìm nghiệm)
- Lập bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến và cực trị.
3. Vẽ đồ thị:( tìm giao điểm với các trục tọa độ, cực trị,và một số điểm khác)
* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm TXĐ
- Tính y’=f’(x). Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định
- lập bảng biến thiên và xét dấu y’
- kết luận y’ từ bảng xét dấu y’ tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến
*Quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số :
- Tìm TXĐ
- Tính y’ và tìm các điểm x
i
(i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc không xác định
- Lập bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực trị của hàm số
*Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số :
- Tìm TXĐ
- Tính y’ và tìm các điểm x
i
(i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc không xác định
- Tính y’’ và y’’(x
i
)
- Dựa vào dấu của y’’(x
i
) để kết luận các điểm cực trị của hàm số
* Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = g(m).
Bước 2: Dựa vào đồ thị biện luận theo m.
1
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
* PTTT của đồ thị hàm số
a) PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
)
Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y
0
=
f
′
(x
0
)(x – x
0
) Bước 2: Tính
f
′
(x)
Bước 3: Tính
f
′
(x
0
) Bước 4: Thay x
0
, y
0
và
f
′
(x
0
) vào bước 1
b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước
Bước 1: Tính
f
′
(x) Bước 2: Giải phương trình
f
′
(x
0
) = k
⇒
nghiệm x
0
Bước 3: Tính y
0
= f(x
0
) Bước 4: Thay x
0
, y
0
và k = f’(x
0
) vào PT: y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)
2. Bài tập :
1. Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9x có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’=0.
2. Cho hàm số y = x
3
– mx
2
+ 3x có đồ thị (C
m
).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
c. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên R.
d. Tìm m để ham số có cực trị.
3. Bài tập về nhà :
1. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x
3
– 3x
2
+ m = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-1 ; -2).
2. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m
3. Cho hàm số y = -x
3
– x
2
+ mx.
a. Xác định m để hàm số luôn nghịch biến trên R.
b. Tìm m để ham số đạt cực tiểu tại x = 1.
TUẦN 2 ( 21/04 đến 26/04): 5 tiết
KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC TRÙNG PHƯƠNG. CỰC TRỊ, TƯƠNG GIAO CỦA
HAI ĐỒ THỊ, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
- Về kiến thức: Học sinh nắm chắc hơn các bước khảo sát hàm số bậc trùng phương. Nắm vững
hơn về định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm số, hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số, tìm
tham số m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện cho trước. Biện luận theo m số nghiệm của
phương trình ( số giao điểm của hai đường). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
- Về kỹ năng: Biết khảo sát hàm số bậc trùng phương và giải toán về cực trị, tương giao, tiếp
tuyến của đồ thị.
- Về tư duy thái độ: Tích cực,chủ động nắm kiến thức theo sự hướng dẫn của GV, sáng tạo
trong quá trình tiếp thu kiến thức mới.
II. KIỂM TRA BÀI CŨ:
Hs: Nêu các bước KSHS, biện luận theo m số nghiệm của phương trình, công thức pttt tại điểm
M(x
0
; y
0
).
III. BÀI MỚI:
* Phương pháp thảo luận nhóm + thuyết trình + đàm thoại.
1. Lý thuyết:
* Sơ đồ KSHS:
1. TXĐ: D = R.
2. Sự biến thiên:
- Tính giới hạn tại vô cực
- Tính đạo hàm (cho đạo hàm bằng 0 tìm nghiệm)
- Lập bảng biến thiên
2
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến và cực trị.
3. Vẽ đồ thị:( tìm giao điểm với các trục tọa độ, cực trị,và một số điểm khác)
2. Bài tập:
1. Cho hàm số
4 2
1 9
2 ( )
4 4
y x x C= − + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
4
– 8x
2
– 9 + m = 0.
2. Cho hàm số y = -x
4
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
).
a. Khảo sát sự biến thên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1.
b. Tìm m để hàm số có đúng ba cực trị.
3. Bài tập về nhà:
1. Cho hàm số y = -x
4
+ 2x
2
+ 2 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
c. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
4
– 2x
2
– 2 + m = 0.
2. Cho hàm số
4 2
1
1
4
y x mx= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =
1
2
.
b. Xác định m để hàm số có đúng một cực trị.
KHẢO SÁT HÀM SỐ y =
ax+b
cx+d
. CHIỀU BIẾN THIÊN, TIỆM CẬN, TƯƠNG
GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ, ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
THỎA TÍNH CHẤT CHO TRƯỚC
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
- Về kiến thức: Học sinh nắm chắc hơn các bước khảo sát hàm số bậc 3, tìm m để hàm số đồng
biến (nghịch biến) trên tập xác định. Tiệm cận, biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị. Tìm những điểm thuộc đồ thị thỏa tính chất
cho trước.
- Về kỹ năng: Biết khảo sát hàm số y =
ax+b
cx+d
, giải được các bài toán tương giao, tiệm cận, tiếp
tuyến của đồ thị, tìm những điểm thuộc đồ thị thỏa tính chất cho trước.
- Về tư duy thái độ: Tích cực,chủ động nắm kiến thức theo sự hướng dẫn của GV, sáng tạo
trong quá trình tiếp thu kiến thức mới.
II. KIỂM TRA BÀI CŨ:
Hs: Nêu các bước KSHS, cách tìm tiệm cận của đồ thị hàm số,công thức pttt tại điểm M.
III. BÀI MỚI:
* Phương pháp thảo luận nhóm + thuyết trình + đàm thoại.
1. Lý thuyết:
* Sơ đồ KSHS: y =
ax+b
cx+d
1. TXĐ: D = R\
d
c
−
.
2. Sự biến thiên:
3
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
- Tính giới hạn tại vô cực, suy ra TCN :
a
y
c
=
và bên phải, bên trái của
d
c
−
, suy ra
TCĐ: x =
d
c
−
- Tính đạo hàm
- Lập bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến(hàm số không có cực trị).
3. Vẽ đồ thị:( tìm giao điểm với các trục tọa độ, và một số điểm khác)
2. Bài tập:
1. Cho hàm số
4
1
x
y
x
− +
=
−
có đồ thi (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm tọa độ giao của (C) và đường thẳng y = 2x + 2, Viết phương trình tiếp tuyến taị các giao
điểm đó.
c. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y = mx – 1.
d. Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên.
2. Cho hàm số
2 1mx
y
x m
+
=
+
có đồ thị (C
m
).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c. Tìm m để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm M(1 ; 4).
2. Bài tập:
1. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng đường thẳng d
m
: y = 2x + m (m là tham số) luôn cắt (C) tại hai điểm phân
biệt với mọi m.
c. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho điểm M cách đều các trục tọa độ.
d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng
3
2
.
2. Cho hàm số
3
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với các trục tọa độ.
c. Tìm những điểm trên (C) có tọa độ nguyên.
3. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số :
2
2
3 2
x
y
x x
+
=
− +
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
I/ Mục tiêu:
Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu rõ hơn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs thành tạo trong việc tìm GTLN, GTNN của hàm số và
biết ứng dụng vào các bài toán thường gặp.
Về tư duy : Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt.
Thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.
II/ Chuẩn bị của GV và HS
Hs: Học bài ở nhà nắm vững lí thuyết về cực trị, GTLN, GTNN. Chuẩn bị trước bài
tập ở nhà.
4
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp,hoạt động nhóm
IV/ Tiến trình tiết dạy:
1 / Ổn định lớp:
2/ Bài mới:
1: Ôn lý thuyết :
Phương pháp tìm GTLN- GTNN trên 1 đoạn:
- Tính y’. Tìm các điểm x
1
, x
2
,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’=0 hoặc không xác
định
- Tính f(a), f(b), tính f(x
1
), f(x
2
),….
- Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên
[ ]
[ ]
;
;
max ( ) ; min ( )
a b
a b
f x M f x m= =
2: Tổ chức luyện tập
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
-2x+3. (
R
Min
f(x) = f(1) = 2)
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
-2x+3 trên [0;3].
(
]3;0[
Min
f(x) = f(1) = 2 và
]3;0[
Max
f(x) = f(3.) = 6
3) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1. (
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0)= -4)
4) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
5) Tìm GTLN: y = −x
2
+2x+3. (
R
Max
y = f(1 ) = 4)
6) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. (
);0(
Min
±∞
y = f(1 ) = −3)
7) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn
− 1;
2
1
(
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−
)
8) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. (
R
Min
y = f(±1) = 2; Không có
R
Max
y)
b). y = e
x
– xe trên đoạn [-1; 1] c). y = ln(e
x
– 1) – e
x
trên đoạn [
1
2
; 1]
d) y = 4
x
– 2
x
trên đoạn [-2; 2].
3. Bài tập về nhà:
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1)
21232
23
+−−= xxxy
trên đoạn
[ ]
2;2−
.
2)
12
24
++−= xxy
trên đoạn
−
2
1
;2
.
3)
1
12
−
+−
=
x
x
y
trên
(
]
3;1
.
4)
xxy −+−= 31
5)
∈∀+=
∫
6
0
2
4;3sin,
16
π
xdxx
x
xy
6)
[ ]
3
2
;1,
ln
ex
x
x
y ∈∀=
Bài 2: Tìm a và b để cho hàm số :
5
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
1
2
2
+
++
=
x
baxx
y
đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng -1.
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1)
22
4
)1(
1
x
x
y
+
+
=
; 2)
2
4 xxy −+=
; 3)
1sinsin
1sin
2
++
+
=
xx
x
y
4)
xxy
2
sin4sin −+=
; 5)
x
x
y
cos2
sin
+
=
, với x
∈
[ ]
π
;0
6)
)sin1(cos xxy +=
,với x
∈
[ ]
π
2;0
HÌNH HỌC CHƯƠNG I + CHƯƠNG II
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRÒN TRÒN XOAY. DIỆN TÍCH XUNG QUANH,
DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN CỦA KHỐI TRÒN XOAY
CHƯƠNG I : TUẦN 1 ( 11/04 đến 17/04) ) : 2 tiết
CHƯƠNG II : TUẦN 2+ 3 (21/04 đến 26/04 + 28/04 đến 03/05 ) ( 1 tiết +2 tiết)
I. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
1. Kiến thức: Thể tích của khối chóp, lăng trụ, khối nón, khối trụ, khối cầu. Diện tích xung
quanh, của hình nón, hình trụ. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
2. Kỹ năng: Hs biết tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ, thể tích khối nón, khối
trụ, khối chóp, khối lăng trụ, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu.
3. Tư duy, thái độ: Tích cực,chủ động nắm kiến thức theo sự hướng dẫn của GV, sáng tạo trong
quá trình tiếp thu kiến thức mới.
II. KIỂM TRA BÀI CŨ:
Hs nêu công thức tính diện tích xung quanh hình nón, hình trụ, thể tích của khối chóp, khối lăng
trụ, khối nón, khối trụ, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu.
III. BÀI MỚI:
* Phương pháp thảo luận nhóm + thuyết trình + đàm thoại.
1. lý thuyết:
* Công thức tính thể tích khối chóp:
1
3
V Bh=
(B: diện tích đáy, h: chiều cao)
* Cho khối chóp tam giác S.ABC. Gọi A’, B’ và C’ là ba điểm lần lượt thuộc ba canh SA,
SB, SC
ta có
. ' ' '
.
' ' '
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
= × ×
* Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy, h: chiều cao)
* Công thức tính thể tích khối nón:
2
1 1
3 3
V Bh r h
π
= =
(B: diện tích đáy, h: chiều cao, r:
bán kính đáy)
* Công thức tính thể tích khối trụ: V = Bh =
π
r
2
h (B: diện tích đáy, h: chiều cao, r: bán
kính đáy)
6
C'
B'
A'
C
B
A
S
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
* Diện tích xung quanh hình trụ: S
xq
=
lR 2
π
( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
* Diện tích xung quanh hình nón: S
xq
=
lR
π
(R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
* Diện tích mặt cầu: S =
2
4 R
π
* Thể tích khối cầu: V =
3
.
3
4
R
π
2. Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều đó.
b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối tứ diện đó.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác
đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng: SH
⊥
(ABCD)
b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với
đáy một góc 60
0
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
Bài 4: Cho hình lăng trụ đều ABC.A
’
B
’
C
’
, có cạnh đáy bằng a, góc giữa (C’AB) và (CAB) bằng
60
0
.
a) Tính thể tích khối lăng trụ đó.
b) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đó.
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là một tamgiác đều cạnh a và điểm A
’
cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA
’
tạo với mp đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 6: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác
vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn
xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 7: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r = a và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC),
∆
ABC vuông tại B và
AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
3. Bài tập về nhà:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a,
3BC a=
và
3SA a
=
.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
(TN-THPT 2008 lần 2)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt đáy. Biết
·
0
120BAC =
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.(TN-THPT – 2009)
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc
với mp(ABCD).
a) Xác định tâm của mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó.
7
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
GIẢI TÍCH CHƯƠNG II
TUẦN 3 ( 28/04 đến 03/05) : 5 tiết
1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
2. Tìm nguyên hàm, tính tích phân. Bài toán tổng hợp.
HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Nắm được các kiến thức về hàm số mũ và hàm số lôgarit
- Nắm được phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
2. Về kỹ năng:
- Thành thạo các dạng toán về hàm số như rút gọn, tính giá trị của biểu thức,…
- Thực hiện thành thạo việc giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
3. Về tư duy- thái độ:
- Tự giác, tích cực trong học tập.
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp
tác xây dựng cao.
II. Phương pháp giảng dạy:
Thảo luận nhóm, vấn đáp, thuyết trình.
III. Tiến trình lên lớp:
1. Kiểm tra bài cũ:
2. Nội dung bài mới:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các định nghĩa:
thua so
.
n
n
a a a a
=
1 2 3
(n ∈
+
, n ≥1, a ∈ )
1
n
n
a
a
−
=
(n ∈
+
, n ≥1, a ∈ \{0}).
m
n
m
n
a a
=
(m, n ∈ , a > 0)
1 1
m
n
m
n
m
n
a
a
a
−
= =
1
a a
=
, ∀a;
0
1
a
=
∀a ≠0;
2. Các tính chất :
.
m n m n
a a a
+
=
;
m
m n
n
a
a
a
−
=
; (a
m
)
n
= a
m.n
; (a.b)
n
= a
n
.b
n
;
( )
n
n
n
a a
b
b
=
3. Hàm số mũ: Dạng : y = a
x
( 0 < a ≠ 1)
Tập xác định : D = R; Tập giá trị : T =
+
( a
x
> 0 ∀ x ∈ )
Tính đơn điệu: * a > 1 đồng biến trên R . * 0 < a < 1 nghịch biến trên R.
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghĩa: Với 0 < a ≠ 1 và N > 0 có log
a
N = M ⇔ a
M
= N.
Điều kiện có nghĩa:
log
a
N
có nghĩa khi
0 1
0
a
N
< ≠
>
2. Các tính chất :
log 1 0
a
=
;
log 1
a
a
=
; log
a
a
M
= M;
log
a
N
a N
=
;
log
a
(N
1
.N
2
)= log
a
|N
1
| + log
a
|N
2
|
1
1 2
2
log log log
a a a
N
N N
N
= −
log
a
N
α
= α; Đặc biệt : log
a
N
2
= 2.log
a
|N|
3. Công thức đổi cơ số :
log
a
N = log
a
b.log
b
N ⇔
log
log
log
a
b
a
N
N
b
=
.
1
log
log
a
b
b
a
=
1
log log
k
a
a
N N
k
=
8
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
4. Hàm số logarít: Dạng y = log
a
x (0 < a ≠ 1)
Tập xác định : D =
+
; Tập giá trị: T = .
Tính đơn điệu: * a > 1 đồng biến trên
+
. * 0 < a < 1 nghịch biến trên
+
.
Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
= b ( 0 < a ≠ 1 )
b ≤ 0 : pt vô nghiệm
b > 0 : a
x
= b ⇔ x = log
a
b
Dạng log
a
x = b ( 0 < a ≠ 1 )
Điều kiện : x > 0
log
a
x
= b ⇔ x = a
b
.
Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
> b ( 0 < a ≠ 1 )
b≤0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0:a
x
> b ⇔ x > log
a
b khi a>1
a
x
> b ⇔ x < log
a
b khi 0< a <1
Dạng log
a
x > b ( 0 < a ≠ 1 )
Điều kiện : x > 0
log
a
x
> b ⇔ x > a
b
khi a >1
log
a
x
> b ⇔ x < a
b
khi 0 < a< 1
C. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương pháp:
1. Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: a
M
= a
N
⇔
M = N
2. Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
3. Lấy logarit hai vế
VÍ DỤ 1: Giải các phương trình sau :
a)
2
3 2
1
2
4
x x+ −
=
; b)
1 2
2 2 36
x x+ −
+ =
a) HD:
2 2
3 2 3 2 2
1
2 2 2
4
x x x x
+ − + − −
= ⇔ =
2 2
0
3 2 2 3 0
3
x
x x x x
x
=
⇔ + − = − ⇔ + = ⇔
= −
Vậy phương trình có nghiệm:
0, 3x x= = −
b) HD:
1 2
2
2 2 36 2.2 36
4
x
x x x+ −
+ = ⇔ + =
x x x 4
8.2 2
36 9.2 36.4 2 16 2 2 4
4
x x
x
+
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm:
1, 2x x= =
VÍ DỤ 2: Giải các phương trình sau :
a)
2 8 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
; b)
2 2
3 3 24
x x+ −
− =
a) HD:
8 2 5
3 .3 4.3 .3 27 0
x x
− + =
( )
2
6561. 3 972.3 27 0
x x
⇔ − + =
(*)
Đặt
3 0
x
t = >
Phương trình (*)
2
1
9
6561 972 27 0
1
27
t
t t
t
=
⇔ − + = ⇔
=
Với
2
1
3 3 2
9
x
t x
−
= ⇔ = ⇔ = −
9
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
Với
3
1
3 3 3
27
x
t x
−
= ⇔ = ⇔ = −
Vậy phương trình có nghiệm:
2, 3x x= − = −
b) HD:
( )
2
2 2
9
3 3 24 9.3 24 0 9. 3 24.3 9 0
3
x x x x x
x
+ −
− = ⇔ − − = ⇔ − − =
(*)
Đặt
3 0
x
t = >
Pt (*)
2
3
9t 24 9 0
1
( loai)
3
t
t
t
=
⇔ − − = ⇔
= −
Với
3 3 3 1
x
t x= ⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm:
1x
=
VÍ DỤ 3: Giải phương trình sau :
a)
2
1
1
8 .5
8
x x −
=
; b)
a) HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được
2 2
1 1
8 8
1 1
8 .5 log 8 .5 log
8 8
x x x x− −
= ⇔ =
( )
2
1 1 2
8 8 8 8
log 8 log 5 log 8 1 log 5 1
x x
x x
− −
⇔ + = ⇔ + − = −
( )
( ) ( ) ( )
2
8 8
1 1 log 5 0 1 1 1 log 5 0x x x x x⇔ + + − = ⇔ + + + − =
( ) ( )
( )
8
8
1 0
1 1 1 log 5 0
1 1 log 5 0
x
x x
x
+ =
⇔ + + − = ⇔
+ − =
8 8 5
1 1
.log 5 log 5 1 1 log 8
x x
x x
= − = −
⇔ ⇔
= − = −
Vậy phương trình có nghiệm:
5
1, 1 log 8x x= − = −
b) HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được
2 2
3 3
3 .2 1 log 3 .2 log 1
x x x x
= ⇔ =
( )
2
3 3
log 2 0 1 log 2 0x x x x⇔ + = ⇔ + =
3
0
1 log 2 0
x
x
=
⇔
+ =
2
3
0
0
1
log 3
log 2
x
x
x
x
=
=
⇔ ⇔
= −
= −
Vậy phương trình có nghiệm:
2
0, log 3x x= = −
BÀI TẬP: Giải các phương trình sau
1.
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
2.
2 8 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
3.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
4.
1
2 1
3
x
x
= +
÷
5.
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
6.
2
3 .2 1
x x
=
PHẦN 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình cơ bản:
10
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
a.
( )f x
a b> ⇔
0
0
b
b
≤
>
Phương trình vô số nghiệm
Phương trình :
( )f x
a b> ⇔
( ) log
( ) log
a
a
f x b
f x b
>
<
khi
khi
1
0 1
a
a
>
< <
b.
( )f x
a b< ⇔
0
0
b
b
≤
>
Phương trình vô nghiệm
Phương trình :
( )f x
a b< ⇔
( ) log
( ) log
a
a
f x b
f x b
<
>
khi
khi
1
0 1
a
a
>
< <
Ví dụ: Giải bất phương trình:
2 1
3
3
1 log 2
3 2 2 1 log 2
2
x
x x
−
+
≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
Vậy bất phương trình có nghiệm:
3
1 log 2
;
2
S
+
= −∞
2. Phương pháp:
- Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:
a.
( ) ( )f x g x
a a> ⇔
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
>
<
khi
khi
1
0 1
a
a
>
< <
- Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
( )
2
2
3 9
x
x−
>
HD:
( )
2
2
3 9
x
x−
>
2 4
4
16
3 3 2 4 8 16
4 7
x
x
x
x x x x
−
⇔ > ⇔ > − ⇔ > − ⇔ <
Vậy bất phương trình có nghiệm:
16
;
7
S
= −∞
÷
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
2
5 5 26
x x−
+ <
HD:
( )
2
2
25
5 5 26 5 26 0 5 26.5 25 0
5
x x x x x
x
−
+ < ⇔ + − < ⇔ − + <
(1)
Đặt
5 0
x
t = >
Ta có: (1)
2
26 25 0t t⇔ − + <
1 25t⇔ < <
0 2
1 5 25 5 5 5 0 2
x x
x⇔ < < ⇔ < < ⇔ < <
Vậy bất phương trình có nghiệm:
( )
0;2S =
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
2x+1
3 10.3 3 0
x
− + ≤
HD:
2x+1
3 10.3 3 0
x
− + ≤
( )
2
3. 3 10.3 3 0
x x
⇔ − + ≤
(1)
Đặt
3 0
x
t = >
.
11
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
Ta có: (1)
2
1
3 10 3 0 3
3
t t t⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
1 1
1
3 3 3 3 3 1 1
3
x x
x
−
⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Vậy bất phương trình có nghiệm:
[ ]
1;1S = −
. BÀI TẬP Giải các bất phương trình sau:
1.
4
16 8
x−
≥
2.
2
4 15 4
3 4
1
2
2
x x
x
− +
−
<
÷
3.
2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x− + −
<
÷ ÷
4.
2 3 2
5 2.5 3
x x− −
− ≤
5.
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
>
6.
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + ≥
E. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
4
3
2 4
x−
=
b)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
c)
1
7 2.7 9 0
x x−
+ − =
d)
2.16 15.4 8 0
x x
− − =
e)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+
− + =
÷ ÷
f)
2
2 5 6
2 5
x x x
− − +
=
g)
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
h)
2 1
3 9.3 6 0
x x+
− + =
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
6
2
9 3
x
x+
≤
b)
2
6
4 1
x x− +
>
c)
2 5
1
9
3
x+
<
÷
d)
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x+ +
≤
e)
1
25 125
x−
≥
f)
2 6 2 7
2 2 17
x x+ +
+ >
g)
1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
h)
2 2
2.2 9.14 7.7 0
x x x
− + ≥
PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương pháp :
- Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số:
log log
a a
M N M N= ⇔ =
- Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
- Mũ hóa hai vế.
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :
2 2 2
log log ( 3) log 4x x+ + =
HD:
2 2 2
log log ( 3) log 4x x+ + =
(1)
Điều kiện:
0 0
0
3 0 3
x x
x
x x
> >
⇔ ⇔ >
+ > > −
Do đó phương trình
2 2
(1) log ( 3) log 4 ( 3) 4x x x x⇔ + = ⇔ + =
2
1
3 4 0 1
4 (loai)
x
x x x
x
=
⇔ + − = ⇔ ⇔ =
= −
Vậy phương trình có nghiệm:
1x =
Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau :
2 1
1 log ( 1) log 4
x
x
−
+ − =
HD:
2 1
1 log ( 1) log 4
x
x
−
+ − =
(1)
12
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
Điều kiện:
1 0 1
(*)
1 1 2
x x
x x
− > >
⇔
− ≠ ≠
Phương trình
2
2 2
2 2
log 4 2
(1) 1 log ( 1) 1 log ( 1)
log ( 1) log ( 1)
x x
x x
⇔ + − = ⇔ + − =
− −
[ ]
2
2 2
log ( 1) log ( 1) 2 0x x⇔ − + − − =
(2)
Đặt
2
log ( 1)t x= −
Lúc đó: phương trình (2)
2
1
2 0
2
t
t t
t
=
⇔ + − = ⇔
= −
2
2
1 2 3
log ( 1) 1
1 5
log ( 1) 2
1
4 4
x x
x
x
x x
− = =
− =
⇔ ⇔ ⇔
− = −
− = =
thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm
5
3,
4
x x= =
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
3
log (3 8) 2
x
x− = −
Điều kiện:
3 8 0
x
− >
( )
3
log (3 8)
2 2
3
2
2
log (3 8) 2 3 3 3 8 3
3 1( )
3 8.3 9 0 3 3 2
3 9
x
x x x x
x
x x x
x
x
loai
x
−
− −
− = − ⇔ = ⇔ − =
= −
⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
=
Vậy phương trình có nghiệm
2x =
.
Bài tập. Giải phương trình sau :
1)
2
2 2 2
log log log 9x x x+ =
2)
2
2 2
log 2log 2 0x x+ − =
3)
1
3
4 6
log 0
x
x
+
=
4)
8 1
8
2
2log ( 2) log ( 3)
3
x x− + − =
5)
( )
2
log 2 5 4 2
x
x x− + =
6)
2
3
log( 2 3) log 0
1
x
x x
x
+
+ − + =
−
PHẦN 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Phương trình cơ bản:
Ví dụ : Giải bất phương trình:
2
log ( 2) 3x − >
Điều kiện
2 0 2x x
− > ⇔ >
3
2
log ( 2) 3 2 2 10x x x− > ⇔ − > ⇔ >
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm:
( )
10;S = +∞
2. Phương pháp:
- Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:
13
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
a.
( ) ( )
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
>
> ⇔
<
khi
khi
1
0 1
a
a
>
< <
,
Điều kiện
( ) 0, ( ) 0f x g x> >
- Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2 1
2
log ( 5) log (3 ) 0x x+ + − ≥
HD: Điều kiện:
5 0
5 3
3 0
x
x
x
+ >
⇔ − < <
− >
2 1 2 2
2
log ( 5) log (3 ) 0 log ( 5) log (3 ) 0x x x x+ + − ≥ ⇔ + − − ≥
2 2
log ( 5) log (3 ) 5 3 1x x x x x⇔ + ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ −
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm:
[
)
1;3S = −
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
2
0,5 0,5
log log 2x x+ ≤
HD: + Điều kiện:
0x
>
+ Đặt :
0,5
logt x=
+ Lúc đó:
2
0,5 0,5
log log 2x x+ ≤
2 2
2 2 0 2 1t t t t t⇔ + ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
( )
2
0,5
4
0,5
2 log 1
1
0,5
2
x
x
x
x
x
−
≤
≤
⇔ − ≤ ≤ ⇔ ⇔
≥
≥
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :
1
;4
2
S
=
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
2
log 13log 36 0x x− + >
HD: + Điều kiện:
0x
>
+ Đặt :
logt x=
+ Lúc đó:
2
log 13log 36 0x x− + >
2
13 36 0t t− + >
4
9
4 log 4 10
9 log 9
10
t x x
t x
x
< < <
⇔ ⇔ ⇔
> >
>
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình
có nghiệm là :
( ) ( )
4 9
0;10 10 ;S = +∞U
Bài tập. Giải bất phương trình:
1)
2
1
2
log ( 7 ) 3x x+ >
2)
0,5 2
log ( 1) log (2 )x x+ ≤ −
3)
5 5 5
log ( 2) log ( 2) log (4 1)x x x+ + − < +
4)
2
2
2
log
log 1
x
x
>
−
14
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
5)
1
3
3 1
log 1
2
x
x
−
>
+
6)
( )
( )
2
1 5
5
log 6 8 2log 4 0x x x− + + − >
7)
( ) ( )
2 2
log 3 1 log 1x x+ > + −
8)
( )
2
8
log 4 3 1x x− + ≤
BÀI TẬP VỀ NHÀ.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
2 2
log 2.log 2.log 4 1
x x
x =
b)
( ) ( )
2 2
log 3 1 log 1x x+ = + −
c)
3 1
2
log log 0x
=
÷
d)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx −=++−
e)
( ) ( )
5 5 5
log log 6 log 2x x x= + − +
f)
1 2
1
4 log 2 logx x
+ =
− +
g)
3 9
1
log log 9 2
2
x
x x
+ + =
÷
h)
( )
2
1 4
3
log log 5 0x
− =
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
4 4
log ( 7) log (1 )x x+ > −
b)
2 2
log ( 5) log (3 2 ) 4x x+ ≤ − −
c)
2
2
log ( 4 5) 4x x− − <
d)
5
log (26 3 ) 2
x
− >
e)
3 9 27
log log log 11x x x+ + >
f)
8 1
8
2
2log ( 2) log ( 3)
3
x x− + − =
g)
3 1
2
log log 0x
≤
÷
h)
( )
2
1 4
3
log log 5 0x
− >
GIẢI TÍCH CHƯƠNG III
TUẦN 4 : 4 tiết ( 05/05 đến 10/05 + )
và TUẦN 5 : 2tiết
NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN- ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN. (6 tiết)
I/ Mục tiêu:
Về kiến thức:
Nắm được công thức tính nguyên hàm, cũng như phương pháp tính nguyên hàm.
Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Về kỹ năng : Biết cách tính những nguyên hàm cơ bản, vận dụng được công thức vào
từng bài toán cụ thể, qui lạ về quen.
Về tư duy : Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt.
Thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.
II/ Chuẩn bị của GV và HS
Hs: Học bài ở nhà nắm vững công thức tính nguyên hàm, đạo hàm, phương pháp
tính nguyên hàm. Chuẩn bị trước bt ở nhà.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp,hoạt động nhóm
IV/ Tiến trình tiết dạy:
1 / Kiểm tra bài cũ :
2/ Bài mới:
15
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
I. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ
1. Các kiến thức cần nắm vững :
- Các định nghĩa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm.
- Bảng nguyên hàm thường dùng.
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ
CẤP THƯỜNG GẶP.
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP.
( )
xuu =
, .
, , .
, ln , .
, .
, , .
ln
, cos . sin
, sin . cos
, tan
cos
, cot
sin
x x
x
x
dx x C
x
x dx C
dx
x C x
x
e dx e C
a
a dx C a
a
x dx x C
x dx x C
dx
x C
x
dx
x C
x
α
α
α
α
+
= +
= + ≠ −
+
= + ≠
= +
= + < ≠
= +
= − +
= +
= − +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
2
2
1
2 1
1
3 0
4
5 0 1
6
7
8
9
( )
, .
, , .
, ln , .
, .
, , .
ln
, cos . sin
, sin . cos
, tan
cos
, cot
sin
u u
u
u
du u C
u
u du C
du
u C u u x
u
e du e C
a
a du C a
a
u du u C
u du u C
du
u C
u
du
u C
u
α
α
α
α
+
= +
= + ≠ −
+
= + = ≠
= +
= + < ≠
= +
= − +
= +
= − +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1
2
2
1
2 1
1
3 0
4
5 0 1
6
7
8
9
2/ Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng hiệu, sau đó vận dụng
bảng nguyên ham thường dùng
⇒
kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = x
3
– 3x +
x
1
b) f(x) =
x
2
+
x
3
c) f(x) = (5x + 3)
5
d) f(x) = sin
4
x cosx
Giải
a/
4
3 3 2
1 1 x 3
( ) (x - 3x + ) x 3 ln
x x 4 2
f x dx dx dx xdx dx x x c
= = − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b/
x x
2 3
( ) (2 + 3 ) 2 3
ln2 ln3
x x
x x
f x dx dx dx dx c
= = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
c/
6
5 5
(5 3) (5 3)
( ) (5x+ 3) (5x+ 3)
5 30
d x x
f x dx dx c
+ +
= = = +
∫ ∫ ∫
d/
5
4 4
sin
( ) sin x cosx sin x (sin )
5
x
f x dx dx d x c
= = = +
∫ ∫ ∫
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thỏa điều kiện cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho.
16
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm
⇒
nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
6
π
)= 0.
Giải.
Ta có F(x)= x –
1
3
cos3x + C. Do F(
6
π
) = 0
⇔
6
π
-
1
3
cos
2
π
+ C = 0
⇔
C = -
6
π
.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3
cos3x -
6
π
Bài tập đề nghị:
1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin
2
x.cosx, biết giá trị của nguyên
hàm bằng
−
3
8
khi x=
π
3
.
2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(
=
1
) 0
2
.
3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
12
133
2
23
++
−++
xx
xxx
, biết F(
1
1)
3
=
.
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1. Các kiến thức cần nắm vững:
- Bảng nguyên hàm thường dùng.
- Định nghĩa tích phân,các tính chất của tích phân.
- Các phương pháp tính tích phân.
2. Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải: Đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng hiệu, sau đó vân
dụng bảng nguyên hàm thường dùng.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
b/
4
4
2
4
( 3sin )
cos
x dx
x
π
π
−
−
∫
c/
2
2
1x dx
−
−
∫
Giải
a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
=
3
3 3
4
3
1 1
1
81 1
1 ( ) ( 3) ( 1) 24
4 4 4
x
x dx dx x
− −
−
+ = + = + − − =
∫ ∫
b/
π π π
π π π
π
π
− − −
−
− = − = + =
∫ ∫ ∫
4 4 4
4 4 4
2 2
4
4
4 1
( 3sin ) 4 3 sin (4tan 3cos )
cos cos
x dx dx xdx x x
x x
=
π π π π
+ − − + −
(4 tan 3cos ) [4 tan( ) 3 cos( )]
4 4 4 4
=8
c/
2
2
1x dx
−
−
∫
=
1
2
1x dx
−
−
∫
+
2
1
1x dx−
∫
=
1
2
(1 )x dx
−
−
∫
+
2
1
( 1)x dx−
∫
=(x-
2 2
1 2
2 1
) ( )
2 2
x x
x
−
+ −
=5
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Tính các tích phân sau:
1/I=
π
+
∫
2
0
(3 cos2 ).x dx
2/J=
+
∫
1
0
( 2)
x
e dx
3/K=
+
∫
1
2
0
(6 4 )x x dx
Dạng 2a: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1.
Phương pháp giải:
B1: Đặt x = u(t)
⇒
dx =
u (t). dt
′
17
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
B2: Đổi cận.
x = a
⇒
u(t) = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
u(t) = b
⇒
t =
β
( chọn
α
,
β
thoả điều kiện đặt ở trên)
B3 : Viết
b
a
f(x)dx
∫
về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân.
Ví dụ: Tính
1
2
0
1 x dx−
∫
Đặt x = sint
⇒
dx = cost.dt. Vì x
∈
[0;1] nên ta chọn t
∈
[0; ]
2
π
Đổi cận: x = 0
⇒
t = 0 ; x= 1
⇒
t =
2
π
Vậy :
1
2
0
1 x dx−
∫
=
2 2
2
2
0
0 0
1 1 s 2
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2 2
in t
t
π π
π
= + +
∫ ∫
=
4
π
Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
2 2
a x−
thì đặt x=
a
sint, t
∈
[ ; ]
2 2
π π
−
2 2
a x+
thì đặt x=
a
tgt , t
∈
( ; )
2 2
π π
−
2 2
x a−
thì đặt x=
sin
a
t
, t
∈
[ ; ]
2 2
π π
−
\
{ }
0
Dạng 2b: Tính tích phân
f[ (x)] '(x)dx
b
a
ϕ ϕ
∫
bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải:
B1: Đặt t =
ϕ
(x)
⇒
dt =
'( ). dxx
ϕ
B2: Đổi cận
x = a
⇒
t =
ϕ
(a) ; x = b
⇒
t =
ϕ
(b)
B3 : Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được.
Ví dụ : Tính tích phân sau :
a/
1
2
0
2 1
1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
b/
1
2
0
3. .J x x dx= +
∫
Giải
a/ Đặt t = x
2
+ x +1
⇒
dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =1 ; x = 1
⇒
t = 3 Vậy I=
3
3
1
1
ln ln3
dt
t
t
= =
∫
b/ Đặt t=
2
3x +
⇒
t
2
= x
2
+ 3
⇒
tdt = x dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =
3
; x = 1
⇒
t = 2 Vậy J =
2
2
3
2
3
3
1
(8 3 3)
3 3
t
t dt = = −
∫
Bài tập đề nghị : Tính các tích phân sau
1/
π
∫
2
sin
0
.cos .
x
e x dx
2/
+
∫
1
0
1
x
x
e
dx
e
3/
+
∫
1
1 ln
e
x
dx
x
4/
+
∫
1
2 5
0
( 3)x x dx
Dạng 3 : Tính tích phân bằng phương pháp từng phần
18
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
Công thức từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Chú ý:
a) Khi tính tích phân từng phần đặt u, dv sao cho
b
a
vdu
∫
dễ tính hơn
∫
b
a
udv
nếu
không phải tìm cách đặt khác.
b) Khi gặp tích phân dạng
( ). ( ).
b
a
P x Q x dx
∫
- Nếu P(x) là một đa thức, Q(x) là một trong các hàm số e
ax+b
, cos(ax+b) ,
sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
- Nếu P(x) là một đa thức, Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ;dv =
P(x).dx
Ví dụ 1 : Tính các tích phân sau :
a/ I=
2
0
.cos .x x dx
π
∫
b/J=
1
.ln .
e
x x dx
∫
Giải
a/ Đặt:
cos . sin
u x du dx
dv x dx v x
= =
⇒
= =
(Chú ý v là một nguyên hàm của cosx )
Vậy I=x cosx
2
0
π
-
2
0
sin .x dx
π
∫
= cosx
2
0
π
= -1
b/ Đặt:
2
1
.
ln
.
2
du dx
u x
x
dv x dx
x
v
=
=
⇒
=
=
Vậy J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2
1
1 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
e e
e
x e e e
dx xdx x
x
+
= − = − =
∫ ∫
Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:
1/
∫
1
3
0
.
x
x e dx
2/
π
∫
4
2
0
cos
x
dx
x
3/
∫
1
ln .
e
x dx
4/
−
∫
5
2
2 .ln( 1).x x dx
5/
π
∫
2
0
.cos .
x
e x dx
Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a) Dạng bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu:
Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một
phần phân số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
2 2
2
1
1 1
2 1 1 1
(1 ) [ ln 2 1] 1 ln3
2 1 2 1 2 2
x
dx dx x x
x x
= + = + - = +
- -
ò ò
=
1
ln3
2
.
b/
0 0
3 3 2
2 0
1
1 1
3 1 5 23
( 4 ) [ 4 ln 1] ln2
1 1 3 2 6
x x x x
dx x x dx x x
x x
-
- -
+ +
= + + + = + + + - = -
- -
ò ò
Bài tập đề nghị. Tính các tích phân sau:
19
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
1/I=
+ −
∫
2
3 2
2
1
2 3x x x
dx
x
2/J=
+ +
+
∫
4
2
3
2 5 3
1
x x
dx
x
b) Dạng bậc 1 trên bậc 2:
Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
Trường hợp mẫu số có hai nghiệm phân biệt:
Ví dụ: Tính tích phân
( )
2
2
1
5 1
6
x dx
x x
-
- -
ò
Giải
Đặt
( )
2
5 1
6
x
x x
-
- -
=
5 5 ( 3) ( 2)
( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
- - + +
= + =
+ - + - + -
⇒
A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2
⇒
A=3. cho x=3
⇒
B=2. Vậy ta có:
( )
2
2
1
5 1
6
x dx
x x
-
- -
ò
=
2
2
1
1
3 2 16
( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln
2 3 27
dx x x
x x
+ = + + - =
+ -
ò
Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính tích phân
1
2
0
(2 1)
4 4
x dx
x x
+
- +
ò
Giải
C1:
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
(2 1) 2 4 5 ( 4 4) 1
( ) 5
4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2)
x dx x d x x
dx dx
x x x x x x x x x
+ - - +
= + = +
- + - + - + - + -
ò ò ò ò
=(ln
2
5
4 4 )
2
x x
x
− + −
−
1
0
5
ln4
2
= −
C2: Đặt
2 2 2 2
2 1 2 1 ( 2)
( 2) 2 1
4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
x x A B A x B
A x B x
x x x x x x
+ + - +
= = + = - + = +Û
- + - - - -
⇔
Ax -2A+B= 0
⇔
2 2
2 1 5
A A
A B B
= =
⇔
− + = =
Vậy
1 1
2 2
0 0
2 1 2 5
[ ]
4 4 2 ( 2)
x dx
dx
x x x x
+
= +
- + - -
ò ò
=
1
0
5
(2ln x-2 - )
x-2
=
5
ln4
2
−
Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính tích phân: I=
0
2
1
(2 3)
2 4
x dx
x x
-
-
+ +
ò
Giải
0 0 1
2
2 2 2
1 1 0
2 2 5 ( 2 4)
5
2 4 ( 1) 3 2 4
x d x x
I dx dx J
x x x x x
- -
+ + +
= - = -
+ + + + + +
ò ò ò
Ta có
1
2
2
0
( 2 4)
2 4
d x x
x x
+ +
+ +
ò
=
0
2
1
4
ln/x +2x+4/ ln4 ln3 ln
3
−
= − =
Tính J=
0
2
1
5
( 1) 3
dx
x
-
+ +
ò
Đặt x+1=
3tgt
(t
∈
;
2 2
π π
−
)
⇒
dx=
2
3(1 )tg t dt+
.
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=
6
π
vaäy J=
2
6 6
2
0 0
3(1 ) 3 3
1
(3 3 ) 3 3 6
tg t
dt dt
tg t
π π
π
+
= = −
+
∫ ∫
20
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
Vậy I= ln
4
5(
3
−
3
3 6
π
−
)
Bài tập đề nghị : Tính các tích phân sau :
1/I=
− +
∫
1
2
0
1
5 6
dx
x x
2/I=
−
− +
∫
5
2
4
1 2
6 9
x
dx
x x
3/ I=
4
2
2
3 1
4 8
x
dx
x x
−
− +
∫
Dạng 5 : Tính tích phân hàm vô tỉ
Dạng1:
+
∫
( , )
b
n
a
R x ax b dx
Đặt t=
n
ax b+
Dạng 2:
+
+
∫
( , )
b
n
a
ax b
R x dx
cx d
Đặt t=
n
ax b
cx d
+
+
Ví dụ: Tính tích phân I =
1
3
0
1 xdx−
∫
Giải.
Đặt t =
3
1 x−
⇔
t
3
= 1-x
⇔
x= 1-t
3
⇒
dx= -3t
2
dt.
Đổi cận:
x = 0
⇒
t=1; x=1
⇒
t = 0. Vậy I=
1
0 1
4
2 3
1 0
0
3
.( 3 ) 3 3
4 4
t
t t dt t dt− = = =
∫ ∫
Bài tập đề nghị. Tính các tích phân sau:
1/
−
∫
1
3
0
. 1x xdx
2/
−
−
∫
1
2
2
x
dx
x
Dạng 6 : Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp :
Dạng
sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx
β β β
α α α
∫ ∫ ∫
Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc
hiệu các tích phân rồi giải.
Dạng
sin ; cos
n n
xdx xdx
β β
α α
∫ ∫
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến.
Ví dụ:
2 1 2 2
2 2
sin sin sin (1 cos ) sin Ñaët t =cosx
1 cos2
cos (cos )
2
n n n
n
n n
xdx x xdx x xdx
x
xdx x dx dx
β β β
α α α
β β β
α α α
+
= = −
+
= =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Dạng:
(sin ).cos R x xdx
β
α
∫
Đặc biệt:
2 2 1
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải:Đặt t = sinx
Dạng:
(cos ).sin R x xdx
β
α
∫
Đặc biệt:
2 1 2
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
Các trường hợp còn lại đặt x = tant
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
21
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
b/
2
2
0
sin xdx
π
∫
c/
2
3
0
cos xdx
π
∫
d/
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
Giải
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
=
π
π
+ = − + =
∫
4
2
0
0
1 1 cos4 cos2 1
(sin4 s 2 ) ( )
2 2 4 2 2
x x
x in x dx
b/
π π
π
π
−
= = − =
∫ ∫
2 2
2
2
0
0 0
1 cos2 1 sin2
sin ( )
2 2 2 4
x x
xdx dx x
c/I=
2
3
0
cos xdx
π
∫
=
π π
= −
∫ ∫
2 2
2 2
0 0
cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx
Đặt u = sinx
⇒
du = cosx dx.
x= 0
⇒
u =0 ; x =
π
2
⇒
u=1 Vậy: I=
− = − =
∫
1
3
1
2
0
0
2
(1 ). ( )
3 3
u
u du u
d/J=
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
=
π π
= −
∫ ∫
2 2
2 2 2 2
0 0
cos sin .cos . (1 sin )sin .cos .x x x dx x x x dx
Đặt u=sinx
⇒
du = cosx dx.
x=0
⇒
u=0 ; x=
π
2
⇒
u=1
J=
− = − = − =
∫ ∫
1 1
3 5
1
2 2 2 4
0
0 0
2
(1 ) . ( ). ( )
3 5 15
u u
u u du u u du
Bài tập đề nghị. Tính các tích phân sau:
1/
π
∫
4
0
cos .x dx
2/
π
∫
2
3 3
0
sin .cos .x x dx
3/
π
∫
2
4 4
0
sin cosx x dx
4/
2
6
1
sin
dx
x
π
π
∫
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài I:
1) Tìm một nguyên hàm của y = f(x) =
2
1
2
2
−+
++
xx
xx
, biết đồ thị của nguyên hàm đó đi
qua M(2 ; -2ln2).
2) Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)
2
23
)1(
533
−
−+−
=
x
xxx
biết rằng :F(0) = -
2
1
.
Bài II:
1) Tính các tích phân sau:
a)
1
dx
I
2
0
x 3x 2
=
∫
+ +
; b)
( )
1
x
K dx
3
0
x 1
=
∫
+
; c)
1
2x
J dx
1 1 x
0
=
∫
+ +
2) Tính các tích phân sau:
a)
/4
I sin x.sin 3xdx
0
=
∫
π
; b)
/4
J sin x.sin 3x.cos5xdx
0
=
∫
π
,
c)
4
5
K cos xdx
0
π
=
∫
; d)
2
4
H sin xdx
0
π
=
∫
.
22
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
e)
4
1
I dx
cosx
0
π
=
∫
; f)
( )
3
2
I tanx cot x dx
4
π
= +
∫
π
.
g)
4
2
I tan xdx
0
π
=
∫
; h)
3
1
I dx
2 2
sin x.cos x
4
π
=
∫
π
.
3) Tính các tích phân sau:
a)
2
3
x 1
I dx
x 1
0
+
=
∫
+
; b) K =
dxxxx )112(
2
2
24
−−+−
∫
−
c)
1
x 1
J dx
5
0 2x 1
+
=
∫
+
, (HD: Đặt t = 2x+1 hoặc t =
5
12 +x
).
d)
( ) ( )
1
1
I dx
x 1 x 2
0
=
∫
+ +
HD: Đặt
t x 1 x 2= + + +
dx
xx
dt
t
dx
xx
xx
dx
xx
dt
)2)(1(
12
)2)(1(
21
2
1
2
1
1
1
2
1
++
=⇒
++
+++
=
+
+
+
=⇒
4) Tính các tích phân sau:
a)
4
2
I x.sin xdx
0
π
=
∫
; b)
( )
3
2
J x .ln x 1 dx
0
= +
∫
c)
cosx
K (e x).sin xdx
0
π
= +
∫
; d)
3
3 2
L x x 1dx
0
= +
∫
e)
2
x
M dx
2
sin x
6
π
=
∫
π
; f) N =
dx
x
xxx
e
∫
++
3
1
2
)ln1(ln
(HD:
tách ra làm hai tích phân , một TP dùng PP đổi biến, một TP dùng PPTPTP)
5) Tính các tích phân sau:
a)
2
P sin xdx
0
π
=
∫
; b) Q =
∫
2
1
ln
e
dx
x
x
c)
1
2
3 x
R x .e dx
0
=
∫
; d)
e
2
S (1 x ).ln xdx
1
= −
∫
e)
2
T (2x 1)ln xdx
1
= −
∫
; f)
2
U (x 1) cos3xdx
0
π
= −
∫
.
g) V =
( )
dxxex
x
∫
+−
−
1
0
2sin)12(
h) W =
∫
+
2
6
2
sin
)cos1(
π
π
dx
x
xx
HD: Câu g) tách ra làm 2 tích phân từng phần.
23
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
Câu h) W =
∫∫
+
2
6
2
2
6
2
sin
cos
.
sin
π
π
π
π
dx
x
x
xdx
x
x
sau đó tính mỗi tích phân bằng PP tích
phân từng phần
Bài tập thêm
Bài 1. Tính: a,
1
2
0
1
3 2
dx
x x− +
∫
b,
1
2
0
7 13
4 5
x
dx
x x
−
− −
∫
Giải a,
4 4 4
2
3 3 3
1 1 1 1
( )
3 2 ( 1)( 2) 2 1
dx dx dx
x x x x x x
= = −
− + − − − −
∫ ∫ ∫
4
4
(ln 2 ln 1) ln 2 ln3 ln1 ln 2 2ln 2 ln3 ln
3
3
= − − − = − − + = − =x x
b,
1 1 1
2
0 0 0
7 13 10 11
4 5 3( 1) 3( 5)
x
dx dx dx
x x x x
−
= +
− − + −
∫ ∫ ∫
1 1
10 11 10 11 11 1
ln( 1) ln 5 ln 2 ln 4 ln 5 (10ln 2 11ln 20)
0 0
3 3 3 3 3 3
= + + − = + + = +x x
Bài 2. Tính: a,
3
3
0
sin
cos 2
x
dx
x
π
+
∫
b,
1
0
1x xdx−
∫
c,
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
Giải. a,
3
3
0
sin
.
cos 2
x
dx
x
π
+
∫
Đặt
cos sint x dt xdx= ⇒ = −
. Đổi cận
1
0 1;
3 2
= ⇒ = = ⇒ =x t x t
π
1
1 1
3 2 2
3
2
1 1
0 1
2 2
sin (1 ) 4 3 3
(2 )
cos 2 2 2 2
− − − −
= − = = − −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
x t dt t
dx dt t dt
x t t t
π
2
1
1 1 5
(2 3ln 2 ) 2 3ln3 (1 3ln )
1
2 2 8 2
2
= − − + = − − − − −
t
t t
5 6
3ln
8 5
= −
b,
1
0
1x xdx−
∫
Đặt
2
1 1 2 2t x t x tdt dx dx tdt= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận
0 1; 1 0= ⇒ = = ⇒ =x t x t
1 0 1
2 2 4
0 1 0
1 (1 ) 2 (2 2 )x xdx t t tdt t t dt− = − − = −
∫ ∫ ∫
3 5
1
2 2 2 2 4
( )
0
3 5 3 5 15
t t= − = − =
c,
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
Đặt
1
lnt x dt dx
x
= ⇒ =
Đổi cận
1 0; 1= ⇒ = = ⇒ =x t x e t
. Vậy:
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
=
1
3
2
0
1
4
(1 ) ( )
0
3 3
t
t dt t+ = + =
∫
Bài 3. Tính : a,
1
0
x
xe dx
∫
b,
1
0
( 1)x sinxdx+
∫
c,
1
ln
e
xdx
∫
24
Trường THPT Trung An Tài liệu tham khảo ôn tập TN THPT Toán 12
Năm học:2013-2014
Giải a,
1
0
x
xe dx
∫
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
⇒
= =
. Vậy:
1
0
x
xe dx
∫
=
1
0
1 1
( ) 1 1
0 0
x x x
xe e dx e e e e− = − = − + =
∫
b,
2
0
( 1)x sinxdx
π
+
∫
. Đặt
1
cos
u x du dx
dv sinxdx v x
= + =
⇒
= = −
2 2
0 0
( 1) (( 1) ) cos 1 2
2 2
0 0
x sinxdx x cosx xdx sinx
π π
π π
+ = − + + = + =
∫ ∫
c,
1
ln
e
xdx
∫
. Đặt
1
lnu x
du dx
x
dv dx
v x
=
=
⇒
=
=
. Vậy:
1
ln
e
xdx
∫
=
1
( ln ) 1
1 1
e
e e
x x dx e x− = − =
∫
Bài 4. Tính tích phân sau:
1
2
0
2 4
1
x x
dx
x
+ +
+
∫
.
Giải:
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1 1
2 4 3 3 1
( 1 ) ( 1) 3ln 1 1 3ln 2
0 0
1 1 1 2 2
+ +
= + + = + + = + + + = + +
÷
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
x x x
dx x dx x dx dx x x
x x x
Bài 5. Tính tích phân sau:
1
3
0
2 2
2
x x
dx
x
− +
−
∫
Giải:
( )
1 1 1 1
3
2 2
0 0 0 0
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x x
dx x x dx x x dx dx
x x x
− +
= − − + + = − − + + =
÷
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
3
2
1 1
1 2
2 2ln 2 1 2 2ln 2 2ln 2
0 0
3 3 3
x
x x x
= − − + − − = − − + + = +
÷
Bài 6. Tính tích phân sau:
2
2
0
1
4
dx
x +
∫
.
Giải: Đặt
( )
2 2 2 2 2
2
4
2 tan 4tan 4 4 4tan 4 1 tan =
cos
= ⇒ = ⇒ + = + = +x t x t x t t
t
2
2 tan 2 .
cos
∗ = ⇒ =
dt
x t dx
t
0 0; 2 .
4
∗ = ⇒ = = ⇒ =x t x t
π
Ta có:
2
2
4 4
2 2
0 0 0
1 cos 1 1 1
.2 = .
4
4 4 cos 2 2 2 4 8
0
t dt
dx dt t
x t
π π
π
π π
= = = =
+
∫ ∫ ∫
Bài 7. Tính tích phân sau:
3
2
2
0
9
dx
x−
∫
.
Giải: Đặt
( )
2 2 2 2 2 2
3sin 9sin 9 9 9sin 9 1 sin 9cosx t x t x t t t∗ = ⇒ = ⇒ − = − = − =
2 2
9 9cos 3 cos .x t t⇒ − = =
3
3sin 3cos 0 0; .
2 6
x t dx tdt x t x t
π
∗ = ⇒ = ∗ = ⇒ = = ⇒ =
25
