Bài tiểu luận cuối học phần - CÁC MÔ HÌNH LÝ THUYẾT GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NĂNG LƯỢNG TỐI QUAN SÁT THẤY TRONG THIÊN VĂN ( Nguyễn Quốc Trị ) pot

Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 1

CÁC MÔ HÌNH LÝ THUYẾT
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NĂNG LƯỢNG TỐI
QUAN SÁT THẤY TRONG THIÊN VĂN

I. Năng lượng tối là gì
Năng lượng tối là dạng năng lượng không phát sáng, có áp suất âm và phân bố dàn
trãi trong vũ trụ. Theo những số đo của kính thiên văn vũ trụ Hubble, năng lượng tối đang
đẩy vũ trụ giãn ra, dường như là năng lượng không đổi mà Albert Einstein từng dự đoán.
N
ăng lượng này là một dạng năng lượng lạ, tác động theo cách đối lập với năng lượng
hấp dẫn. Năng lượng tối làm cho các thiên hà trong vũ trụ di chuyển ra xa nhau với tốc độ
ngày càng tăng. Einstein đã ám chỉ năng lượng này bằng một hằng số gọi là "hằng số vũ
trụ". Lý thuyết của ông cho rằng vũ trụ không có năng lượng tối sẽ tự sụp
đổ do suy sụp
hấp dẫn nên sự tồn tại của năng lượng tối là để làm cho vũ trụ cân bằng với lực hấp dẫn
bình thường và làm cho nó khỏi tự sụp đổ. Cuối cùng, Einstein đã bác bỏ lý thuyết này do
những quan sát thiên văn của Hubble chứng tỏ vũ trụ đang giản nở . Tuy nhiên, những
quan sát về các vụ nổ siêu tân tinh hay những ngôi sao xa nổ tung cách đây từ lâu, đã tăng
thêm tính tin c
ậy của lý thuyết trên. Các nhà khoa học cho rằng chính năng lượng tối là
nguyên nhân làm vũ trụ giãn ra và tăng tốc độ. Theo tính toán của các nhà khoa học, năng
lượng tối chiếm khoảng 73% vũ trụ, vật chất tối chiếm khoảng 23% vũ trụ, còn lại 4% là
vật chất mà chúng ta thấy được hiện nay.
Như đã biết năng lượng tối được giả thuyết như là một dạng của nă
ng lượng và tạo ra áp
suất âm. Thuyết tương đối rộng chỉ ra rằng, áp suất âm này có tác dụng nhưng ngược
chiều với lực hấp dẫn ở thang đo khoảng cách lớn. Chính vì vậy nó là nguyên nhân gia

tốc sự giãn nở của vũ trụ. Năng lượng tối có ở mọi nơi và choáng đầy vũ trụ của chúng ta.
Để hiểu được bản chất của năng lượng tối chúng ta cầ
n phải đi sâu vào vật lý lượng tử của
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 2

thế giới hạ nguyên tử. Như chúng ta đã biết, ở thang vi mô, không gian được coi là trống
rỗng hay chân không hoàn hảo thì không hoàn toàn trống rỗng mà được choáng đầy bởi
một trường gọi là Higgs. Chính trường này đã đưa làm cho các quark và lepton có khối
lượng . Trường Higgs làm chậm chuyển động của hạt, cho chúng khối lượng và giữ cho
cấu trúc của nguyên tử ổn định. Nếu không có trường Higgs, electron có thể chuyển động
với tố
c độ ánh sáng, nguyên tử sẽ bị phá vỡ cấu trúc và tan rã ngay lập tức. Năng lượng
chân không với các hạt lượng tử trong chân không hoàn hảo của thế giới vi mô có thể là
nguồn gốc của năng lượng tối. Việc khám phá ra lý thuyết siêu đối xứng, một phát biểu
quan trọng của lý thuyết dây, cho phép hiểu rõ mối liên hệ giữa năng lượng tối và trường
Higgs. Nếu tồn tại, các boson Higgs sẽ đóng một vai trò quan trọng về thành phần năng
lượng tối.Sau đây chúng ta đi tìm hiểu một số mô hình năng lượng tối hiện nay.

II. Các mô hình năng lượng tối
1. Mô hình hằng số vũ trụ
Λ
Mô hình đơn giản nhất để giải thích cho sự tồn tại của năng lượng tối là hằng số vũ
trụ.Thuyết tương đối rộng của Einstein đã chỉ ra rằng, vũ trụ sẽ phải suy sụp bởi chính sức
mạnh hấp dẫn của nó. Cũng như nhiều khoa học gia thời đó, ông đã cố chỉnh sửa các
phương trình của thuyết t
ương đối rộng bằng cách thêm vào một hằng số, gọi là hằng số
vũ trụ , để mô tả một vũ trụ tĩnh tại không thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, hằng số này
lại ám chỉ một lực đẩy cân bằng với lực hấp dẫn ở khoảng cách lớn để giữ cho vũ trụ

không giãn nở và không co lại theo thời gian (nghiệm của các phương trình Einstein là
nghiệm dừng). Lúc đó, Einstein chỉ cho đó là một hiệu chỉnh toán học chứ không hề nghĩ
rằng hằng số đó lại phản ánh một sự thực nào đó. Năm 1929, nhà thiên văn người Mỹ
Endwin Hubble khám phá ra sự giãn nở của vũ trụ thì Einstein mới nói rằng, đó là ngu
ngốc lớn nhất của đời ông. Các quan sát với kính thiên văn trong không gian cũng như
trên mặt đất đã khẳng định chắc chắn thực t
ế đó, và hơn nữa, cho thấy, vũ trụ đang tăng
tốc. Các thiên hà đang lao vút trong không gian và rời xa nhau.
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 3

Nhưng ngày nay, hằng số vũ trụ học lại hồi sinh và có vẻ như Einstein đã đúng. Nó liên
hệ chặt chẽ với một loại năng lượng của chân không lượng tử đang tràn ngập vũ trụ của
chúng ta, mà ta gọi năng lượng tối. Chúng ta đang thử xem liệu rằng hằng số vũ trụ học
đóng vai trò gì về lực đẩy bí mật củ
a năng lượng tối gia tốc sự giãn nở của vũ trụ hay
không.
Như đã đề cập ở trên, để có một vũ trụ là tĩnh Einstein đã đưa vào phương trình một số
hạng vũ trụ để thực hiện cơ chế đẩy. Chúng ta biết rằng sự phân kỳ hiệp biến của tensor
Einstein
G
μ
ν
và tensor năng-xung lượngT
μ
ν
triệt tiêu như nhau; tensor mêtric cũng có sự
phân kỳ hiệp biến zero. Vì thế ta có một số sữa đổi trong phương trình trường nhưng vẫn
phù hợp với các định luật bảo toàn:

4
18
2
G
R
gg T
c
μ
νμνμν μν
π
−+Λ=− (1.1)
Λ trong phương trình trên được gọi là hằng số vũ trụ.
Vì
4
8
c
G
π
Λ có dạng giống như tensor năng-xung lượng, nên các nhà vật lý cho rằng hằng
số vũ trụ hiện diện ngay cả khi vũ trụ là hoàn toàn không có vật chất và bức xạ, và
Λ
có
thể được dùng như là mật độ năng lượng của chân không.
4
8
V
c
e
G
π

=
Λ (1.2)
Trong mô hình vũ trụ có chứa hằng số vũ trụ
Λ
, độ cong của không gian không còn phụ
thuộc vào một mình mật độ khối lượng nữa; mật độ tới hạn
c
ρ
và tham số mật độ
0
Ω
được
cho:
22
0
3
8
c
Hc
G
ρ
π
−
Λ
=
,
0
22
0
8

3
o
G
Hc
π
ρ
Ω=
−
Λ
(1.3)
Để ước lượng
Λ
, ta dựa vào điều kiện là mật độ tới hạn 0
c
ρ
≥ , suy ra:
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 4

2
56 2
0
2
3
3.5 10
H
cm
c
−

−
Λ≤ ≈ × (1.4)
Chú ý rằng căn bậc hai của nghịch đảo của
Λ
có thứ nguyên là độ dài. Với sự hiện diện
của hằng số khác không
Λ thì tương lai của vũ trụ không thể chỉ được suy luận bằng mật
độ vật chất.
Hằng số vũ trụ cũng được xem lại trong lý thuyết trường lượng tử. Trong lý thuyết
trường lượng tử thì chân không được xác định như là một trạng thái có năng lượng thấp
nhất. Bất cứ dạng nào đóng góp vào mật độ năng lượng chân không cũng đều đóng góp
vào h
ằng số vũ trụ. Có ba đóng góp khác nhau:
tot ein quan int
Λ
=Λ +Λ +Λ (1.5)
Trong đó
ein
Λ được đưa vào bởi Einstein;
quan
Λ
là hằng số lệ thuộc vào các thăng giáng
lượng tử;
int
Λ là hằng số ( tương tự như
int
Λ
) lệ thuộc vào các hạt và tương tác như là
trường Higgs và boson Higgs.lượng tử
Chúng ta có thể bỏ qua

int
Λ và chỉ khảo sát
quan
Λ
. Các thăng giáng lượng tử được biểu thị
như là các cặp hạt ảo xuất hiện tự phát, tương tác trong thời gian ngắn và sau đó biến mất.
Mặc dù các hạt ảo không thể được phát hiện bằng sự quan sát trong không gian trống
rỗng, nhưng nó có tác dụng đo được trong vật lý, và đặc biệt nó đóng góp vào mật độ
năng lượng chân không. Sự đóng góp tạo bởi các thăng giáng chân không trong mô hình
chuẩn phụ
thuộc một cách phức tạp vào khối lượng và cường độ tương tác của tất cả các
hạt mà ta đã biết. Một ví dụ đơn giản, chúng ta xem xét một dao động điều hòa lượng tử.
Giá trị của nó được cho bởi:
1
2
n
En
ω
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
h
, n=0,1,2
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 5

Chân không (
0n = ) có một lượng năng lượng xác định. Một trường vô hướng có thể được

xem như là tổng của các dao động điều hòa theo tất cả các tần số có thể có . Năng lượng
chân không được cho bởi tổng:
0
1
2
j
j
E
ω
=
∑
h
Tổng này có thể được viết lại như tích phân bằng cách đặt hệ trong một vùng có thể tích
L
3
và cho . Nếu ta dùng điều kiện biên tuần hoàn, thì tổng trên trở thành:
()
3
3
0
3
1
2
2
k
dk
EL
ω
π
=

∫

Đặt
2
1, k
π
λ
==h và sử dụng mối quan hệ:
22 2
k
km
ω
=
+ . Ta có:
()
max
4
2
22
0max
3
32
0
41
lim
216
2
k
V
L

Ek
k
dk k m
L
π
ρ
π
π
→∞
== +=
∫
; (
max
km ) (1.6)
Tính tương đối rộng có giá trị phía trên thang đo Planck, đặt
max p
kl
=
ta được:
92 3
10 g.
V
cm
ρ
−
≈ (1.7)
Kết quả (1.7) bằng 121 lần giá trị thực nghiệm. Dĩ nhiên là không chính xác nhưng nó có
thể mô tả được một cách định tính sự tồn tại của năng lượng tối.
Mặc dù việc đưa vào hằng số vũ trụ
Λ

như là một bằng chứng chứng tỏ sự có hiện
diện của năng lượng tối nhưng mà kịch bản dựa trên nó lại vấp phải sự khó khăn trong
vấn đề điều chỉnh. Để hiểu rỏ điều này chúng ta hãy xem xét tỉ lệ bên dưới:
()
()
2
2
3
8
o
H
Ht
Ht
G
ρ
π
Λ
Λ
⎛⎞
=Ω
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(1.8)
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 6

Với
0.7

c
ρ
ρ
Λ
Λ
Ω= ≈ nếu giả sử là ngày nay bức xạ chiếm ưu thế. Ta có:
()
2
2
0.7
3
8
o
T
T
Ht
G
ρ
π
Λ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(1.9)
Tại thời đại Planck thì
31
0
10
T

T
−
 tỉ lệ
()
2
3
8
Ht
G
ρ
π
Λ
là cỡ 10
-123
. Trên lý thuyết sự tinh chỉnh
liên quan đến mô hình hằng số vũ trụ đối với năng lượng tối như thế này là không thể
chấp nhận được. Điều này dẫn đến sự khảo sát các mô hình trường vô hướng cho năng
lượng tối theo hướng rộng hơn. Các mô hình mà sau đây ta sẽ đề cập đến.

2. Các mô hình trường vô hướng cho năng lượng tối
2.1 Mô hình nguyên tố thứ năm (Quintessence)
Thay vì cố
đưa hằng số vũ trụ vào để giải thích sự tồn tại của năng lượng tối, ta cũng có
đi đến các mô hình trường vô hướng tổng quát hơn để giải thích sự tồn tại của dạng năng
lượng mới này. Một trong các mô hình trường vô hướng tiêu biểu là mô hình nguyên tố
hạt thứ năm (Quintessence).
Quintessence là một trường vô hướng
φ
đồng nhất trong không gian là liên kết với
trường hấp dẫn thông qua một thế đặc biệt V(

φ
)
Hàm tác dụng Quintessence được cho bởi:
() ()
2
4
1
2
Sdx-g V
φ
φ
⎡
⎤
=−Δ−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(2.1)
Với
()
2
g
μν
μ
ν
φ
φφ
Δ=∂∂

, và detgg
μ
ν
=
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 7

Lấy biến phân hàm tác dụng (2.1) theo những số hạng của
g
μ
ν
ta được:
()
4
11
22
Sdx -gg g g V
μν αβ
μν μν α β
δδφφφφφ
⎡
⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞
=− ∂∂− ∂∂+
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎣

⎦
∫

Đại lượng:
()
1
2
TggV
αβ
μν μ ν μν α β
φ
φφφφ
⎛⎞
=∂ ∂ − ∂ ∂ +
⎜⎟
⎝⎠
(2.2)
là tenxơ năng-xung lượng của trường Quintessence. Từ tensor năng-xung lượng ta có thể
tìm được mật độ và áp suất của Quintessence
Trong mêtric FRW
()
2
222 2222
2
() sin
1
dr
ds dt a t r d d
Kr
θθφ

⎡
⎤
=− + + +
⎢
⎥
−
⎣
⎦
Ta có:
- Mật độ năng lượng:
()
000 00
0000000
11
22
00ii
ii
Tg g g V
ρ
φφδ φφδ φφ φ
⎡
⎤
=− =− ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +
⎢
⎥
⎣
⎦

Với
00

1g
=
− , 0
i
φ
∂
= ,
(
)
1, 2, 3i =
Ta được:
()
2
2
V
φ
ρ
φ
=+
&
(2.3)
- Mật độ áp suất được tính:
()
00
000
11
22
iii i 0 ii
iiii ii
pTg g g V

φ
φδ φφδ φφ φ
⎡
⎤
=− = ∂∂− ∂∂ + ∂∂+
⎢
⎥
⎣
⎦

Nên
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 8

()
2
2
pV
φ
φ
=−
&
(2.4)

Thế (2.3) và (2.4) phương trình liên tục
(
)
30Hp
ρρ

+
+=
&
ta được phương trình chuyển
động của trường
φ
là:
30
dV
H
d
φφ
φ
+
+=
&& &
(2.5)
Phương trình (2.5) cho thấy mối quan hệ giữa sự thay đổi giá trị của trường
φ
với thế
(
)
V
φ
và hệ số giản nở Hubble.
Tiếp theo, ta biểu diễn phương trình Friedmann và phương trình gia tốc trong mô hình
Quintessence.
- Phương trình Friedmann
2
2

2
8
3
aGK
H
aa
πρ
⎛⎞
=
=−
⎜⎟
⎝⎠
&
đối với vũ trụ phẳng thì
0K
=

nên
2
8
3
G
H
π
ρ
= sử dụng (2.3) ta thu được phương trình Friedmann trong mô hình
Quintessence cho vũ trụ phẳng
()
2
2

8
32
G
HV
πφ
φ
⎡
⎤
=+
⎢
⎥
⎣
⎦
&
(2.6)
- Phương trình gia tốc
()
4
3
3
aG
p
a
π
ρ
=− +
&
, sử dụng (2.3) và (2.4) ta được:

()

2
8
3
aG
V
a
π
φ
φ
⎡
⎤
=− −
⎣
⎦
&&
&
(2.7)
Phương trình (2.7) cho thấy vũ trụ giản nở tăng tốc khi
(
)
0at >
&&
tức là
()
2
V
φ
φ
<
&

, như vậy
thế của trường vô hướng phải thỏa muốn gây sự giản nở tăng tốc phải thỏa điều kiện:
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 9


(
)
2
V
φ
φ
<
&
(2.8)
Phương trình trạng thái của trường
φ

(
)
()
2
2
2
2
V
p
V
φ

φ
φ
ω
ρ
φφ
−
==
+
&
&
(2.9)

Phương trình trạng thái của Quitessence nằm trong miền
11
φ
ω
−
≤≤.
Mật độ năng lượng
ρ
trong mô hình Quitessence được biểu diển theo
φ
ω
và a(t) bằng
cách lấy tích phân phương trình liên tục:
()
0
exp 3 1
da
a

φ
ρρ ω
⎡
⎤
=−+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(2.10)
Phương trình (2.10) cho thấy nếu xác định cụ thể phương trình trạng thái của trường
Quintessence, ta có thể xác định được sự tiến triển của mật độ năng lượng
ρ
của trường
theo hệ số kích thước vũ trụ a(t).
• Trường hợp
()
2
V
φ
φ
&

khi đó
(
)
()
2
2

2
1
2
V
V
φ
φφ
ω
φφ
−
=
→−
+
&
&
kết hợp với (2.10) ta được
0
co nst
ρ
ρ
== , tức là mật độ năng lượng không phụ thuộc vào hệ số kích thước
a(t) cũa vũ trụ.
• Trường hợp
()
2
V
φφ
&

khi đó

(
)
()
2
2
2
1
2
V
V
φ
φφ
ω
φφ
−
=
→
+
&
&
kết hợp với (2.10) ta được
6
0
a
ρρ
−
=
• Trong các trường hợp khác khi
11
φ

ω
−
<<
thì mật độ năng lượng
m
a
ρ
−
∝ , 06m
<
<
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 10

Ta đã biết sự giản nở tăng tốc xảy ra khi
1
3
φ
ω
<
−
ứng với 2m
=
kết hợp những trường
hợp trên ta suy ra khi
1
1
3
φ

ω
−≤ ≤− thì vũ trụ xuất hiện sự giản nở tăng tốc và mật độ
năng lượng lúc đó
m
a
ρ
−
∝ với 02m
≤
≤ .

2.2 Trường Tachyon
Trường Tachyon tác động như một nguồn của năng lượng tối phụ thuộc vào một dạng thế
thích hợp. Hàm tác dụng cho trường Tachyon được đề nghị bởi Sen có dạng:

()
()
2
4
det
2
p
M
Sdx-g RV g
μν μ ν
φ
φφ
⎧
⎫
⎪

⎪
=−+∂∂
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭
∫
(2.11)
Với
()
V
φ
là thế Tachyon,
φ
là trường Taychyon liên kết với trườnng hấp dẫn, M
p
là khối
lượng Plank và R là độ cong vô hướng. Tenxơ năng xung lượng của trường có dạng:
(
)
()
1
1
V
T-gVg
g
μν
αβ
μν μν α β

αβ
αβ
φφφ
φ
φφ
φφ
∂∂
=+∂∂
+∂∂
(2.12)
Trong mêtric FRW
()
2
222 2222
2
() sin
1
dr
ds dt a t r d d
Kr
θθφ
⎡
⎤
=− + + +
⎢
⎥
−
⎣
⎦
với

00
1g =− , 0
i
φ
∂
= ,
()
1, 2, 3i = ta thu được:
- Mật độ năng lượng trường Tachyon:
(
)
2
1
V
φ
ρ
φ
=
−
&
(2.13)

Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 11

- Mật độ áp suất:
()
2
1pV

φ
φ
=
−
&
(2.14)

- Phương trình chuyển động trường Tachyon có được bằng cách thế (2.13) và (2.14)
vào phương trình liên tục
(
)
30Hp
ρρ
+
+=
&

()
1
30
1
dV
H
Vd
φ
φ
φφφ
+
+=
−

&&
&
&
(2.15)

Ta cũng thu được phương trình Friedmann cho vũ trụ phẳng và phương trình gia tốc trong
mô hình Tachyon như sau:
- Phương trình Friedmann cho vũ trụ phẳng:
(
)
2
2
8
31
GV
H
π
φ
φ
=
−
&
(2.16)
- Phương trình gia tốc:
(
)
2
2
8
3

1
2
31
GV
a
a
πφ
φ
φ
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
−
&&
&
&
(2.17)
Điều kiện để giản nỡ tăng tốc là khi
() 0at >
&&
từ đây suy ra
2
2
3
φ
<
&
(2.18)

Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 12

- Phương trình trạng thái:
()
()
()
2
22
2
1
11
1
V
V
φ
φφ
ωφφ
φ
φ
−−
=
=− − = −
−
&
&&
&
(2.19)
Phương trình trạng thái của trường Tachyon biến đổi giữa 0 và -1. Từ phương trình (2.10)

ta suy ra mật độ năng lượng của trường Tachyon là
m
a
ρ
−
∝ với 03m
<
< .

2.3 Mô hình K-essence
Mô hình K-essence được đặc trưng bởi hàm tác dụng:
(
)
4
,Sdx-gpX
φ
=
∫
(2.20)
Trong đó
()
,
p
X
φ
là hàm mật độ Lagrangian tương đương với mật độ áp suất,
φ
là
trường vô hướng,
()

2
1
2
X
φ
=− ∇ là số hạng động năng.
Thông thường trong mô hình K-essence, mật độ Lagrangian được giới hạn ở dạng:
(
)
(
)
(
)
,
p
Xf pX
φφ
=
&
(2.21)
Mô hình tiêu biểu của mật độ Lagrangian K-essence là
(
)
(
)
(
)
2
,
p

Xf XX
φφ
=−+ (2.22)
- Mật độ năng lượng của trường:
()
()
2
23
p
X
pf X X
X
ρφ
∂
=−=−+
∂
(2.23)
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 13




- Phương trình trạng thái của trường:
(
)
(
)
()

()
()
()
2
2
1
31
3
fXX
X
X
fXX
φ
φ
ω
φ
−+
−
==
−
−+
(2.24)
Phương trình trên chứng tỏ rằng động năng X giữ một vai trò quan trọng trong việc
xác định hương trình trạng thái
φ
ω
của trường K-essence
φ
. Nếu
12

23
X
<
<
thì
1
1
3
φ
ω
−< <− khi đó trường
φ
biểu diễn năng lượng tối gây ra sự giản nở gia tốc
của vũ trụ.

2.4 Trường Plantom
Những mô hình trường vô hướng mà ta đã đề cập đến đều có phương trình trạng thái
1
ω
≥−
. Mô hình trường vô hướng dựa trên những dữ liệu quan sát gần đây chứng tỏ
rằng phương trình trạng thái có thể nhỏ hơn -1. Trường Plantom cho năng lượng tối là
một trường vô hướng có động năng âm.
Hàm tác dụng của trường Phantom liên kết với trường hấp dẫn cho bởi:
() ()
2
4
1
2
Sdx-g V

φ
φ
⎡
⎤
=Δ−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(2.25)
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 14

Với dấu của số hạng động năng trái dấu với số hạng động năng trong mô hình
Quintessence. Từ mật năng lượng và áp suất trong mô hình Quintessence, ta có mật độ
năng lượng và mật độ áp suất trong trường Phantom là

()
2
2
V
φ
ρ
φ
=− +
&
(2.26)
()

2
2
pV
φ
φ
=− −
&
(2.27)
Phương trình trạng thái:
(
)
()
2
2
2
2
V
p
V
φ
φ
φ
ω
ρ
φφ
+
==
−
&
&

(2.28)
Khi đó để
1
ω
<−
thì
()
2
2
V
φ
φ
<
&
.
Thế của trường Phantom gây ra sự giản nở gia tốc là:
()
1
0
cosh
p
VV
M
αφ
φ
−
⎡
⎤
⎛⎞
=

⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
(2.29)
Với M
p
khối lượng Planck,
α
là hằng số




Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 15


3. Mô hình Brans- Dicke cho năng lượng tối
Lý thuyết Brans-Dicke (BD) là sự mở rộng của lý thuyết tương đối tổng quát với hàm tác
dụng :
4
M
Sdxg R g L

μν
μν
ω
ϕϕϕ
ϕ
⎡
⎤
=−+∂∂+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(3.1)
Đưa vào trường vô hướng mới
φ
với :
2
8
φ
ϕ
ω
= (3.2)

Hàm tác dụng theo trường vô hướng mới:
42
11
82
M
Sdxg Rg L

μν
μν
φφφ
ω
⎛⎞
=−−∂∂+
⎜⎟
⎝⎠
∫
(3.3)
Với R là độ cong vô hướng và
φ
là trường vô hướng Brans-Dicke. Số hạng kết hợp
không cực tiểu ( non-coupling term )
2
R
φ
thay thế cho số hạng Einstein-Hilbert theo
2
1
2
eff
G
π
φ
ω
= , với
eff
G
là hằng số hấp dẫn hiệu dụng dọc theo trường vô hướng động lực học

biến đổi chậm. Dấu của số hạng kết hợp không cực tiểu và dấu của số hạng động năng tùy
thuộc vào dấu của mêtric
()
+−−− . Năng lượng tối theo biểu đồ tuổi (agegraphic dark
energy ) nhận được trong mô hình vũ trụ Friedmann-Robertson-Walker ( FRW) đươc diễn
tả bởi yếu tố:
2
22 22
2
()
1
dr
ds dt a t r d
kr
⎛⎞
=
−+Ω
⎜⎟
−
⎝⎠
(3.4)
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 16

Với a(t) là hệ số kích thướt,
1, 0, 1k
=
− là thông số độ cong tương ứng với các vũ trụ mỡ,
phẳngvà đóng. Biến đổi hàm hàm tác dụng (3.3) đối với metric (3.4) cho vũ trụ được

chiếm đầy bởi bụi và trường năng lượng tối theo agegraphic:
22 2
2
313
422
mD
k
HH
a
φ
φφφρρ
ωω
⎛⎞
+
−+ =+
⎜⎟
⎝⎠
&&
(3.5)
22 2
2
11111
21
422
D
ak
HH
aa
φ
φφ φφ φ ρ

ωωωω
−
⎛⎞ ⎛⎞
+
+− − −+ =
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
&&
&&& &
(3.6)


2
2
3
30
2
ak
HH
aa
φφ φ
ω
⎛⎞
+− ++ =
⎜⎟
⎝⎠
&&
&& &
(3.7)
Với

a
H
a
=
&
gọi là thông số Hubble, ,
D
D
p
ρ
và
m
ρ
tương ứng với mật độ năng lượng tối, áp
suất năng lượng tối và mật độ năng lượng bụi. Giả sử trường Brans-Dicke được miểu ta
theo một hàm của hệ số kích thước
a
α
φ
∝ . Lấy đạo hàm đối với thời gian mối quan hệ
a
α
φ
∝ ta có:
H
φ
αφ
=
&
(3.8)

22
HH
φ
αφαφ
=+
&&
&
(3.9)
Trong thuyết tương đối rộng, ta có thể đo không thời gian mà không có bất kỳ một giới
hạn nào về độ chính xác. Tuy nhiên , trong cơ học lượng tử nguyên lý bất định
Heisenberg có những giới hạn về độ chính xác của các phép đo. Đối với sự thăng giáng
lượng tử của thời gian, nhóm Karolyhazy nói rằng khoảng thời gian t trong không thời
gian Minkowski không thể có độ chính xác hơn
2/3 1/3
p
ttt
δβ
= với
β
là một hằng số không
có thứ nguyên bậc 1. Dựa trên mối quan hệ Krolyhazy, Maziashvili chứng tỏ rằng mật độ
năng lượng của sự thăng giáng không-thời gian là:
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 17

2
22 2
1
p

D
p
m
tt t
ρ

(3.10)
Với
p
t
là thời gian Planck rút gọn. Ta sử dụng hệ đơn vị 1
b
uk
=
==h . Vì thế ta có
1
pb
p
lt
m
==
với
p
l và 1/ 8
p
mG
π
= tương ứng với chiều dài Planck rút gọn và khối lượng.
Trên cơ sở đó , Cai đã ghi lại mật độ năng lượng tối của các thăng giáng lượng tử trong
vũ trụ là:

22
2
3
p
D
nm
T
ρ
= (3.11)
Yếu tố
2
3n là một thông số bất định có thể đặc trưng cho trường lượng tử của vũ trụ, hiệu
ứng không–thời gian cong ( vì mật độ năng lượng được rút ra cho không-thời gian
Minkowski),…Ở đây T là thang thời gian cho tuổi của vũ trụ

0
a
da
Tdt
Ha
==
∫
∫
(3.12)
Theo Cai ta giả sử mật độ năng lượng agegraphic trong khuôn khổ của vũ trụ Brans-Dicke
cho dưới dạng:
22
2
3

4
D
n
T
φ
ρ
ω
= (3.13)
Với
2
/2
eff
G
φωπ
=
. Đối với hấp dẫn Einstein
eff
GG→ , biểu thức (13) tìm lại được mật độ
năng lượng chuẩn trong hấp dẩn Einstein ( biểu thức (11)). Ta xác định mật độ năng
lượng tới hạn
cr
ρ
và mật độ năng lượng của độ cong
k
ρ
như sau:
22
3
4
cr

H
φ
ρ
ω
= ,
2
2
3
4
k
k
a
φ
ρ
ω
= (3.14)
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 18

Các tỉ số theo mật độ năng lượng là:
-Đối với vật chất:
22
4
3
mm
m
cr
H
ρ

ωρ
ρφ
Ω= = (3.15)

-Đối với thành phần do độ cong:
2
k
k
cr
k
Ha
ρ
ρ
Ω= = (3.16)
-Đối với năng lượng tối:
2
22
D
D
cr
n
HT
ρ
ρ
Ω= = (3.17)


4. Mô hình các chiều ngoại phụ (extra dimension)
Lý thuyết này cho rằng năng lượng tối mà chúng ta nghiên cứu là do tính không đồng
nhất và không đẳng hướng của vũ trụ. Vũ trụ trong mô hình này bao gồm này bao gồm

vũ trụ 4 chiều (4D) Einstein ( 3 chiều không gian với 1 chiều thời gian) và các chiều
ngoại phụ (extra dimensions) được thêm vào do tính không đồng nhất, không đẳng
hướng của vũ trụ.
Mô hình dựa trên không-thời gian
13n
+
+ chiều với n là số chiều ngoại phụ. Với giả
thuyết rằng khi thêm vào số các chiều ngoại phụ thì vũ trụ sẽ trở thành đồng nhất và đẳng
hướng, lúc đó mêtric mỡ rộng Robertson- Walker diễn tả bởi không thời gian có dạng:
22
222 222 22
22
() ()
11
ab
aa bb
aa bb
dr dr
ds dt a t r d b t r d
kr kr
⎛⎞⎛⎞
=− +Ω− +Ω
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠
(4.1)
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 19

Với
,, ,
ab a b
rrΩΩ lần lượt là bán kính và tọa độ góc của các chiều củ và các chiều ngoại
phụ
() ()
,,,
ab
at bt k k
lần lượt là yếu tố kích thước và độ cong của không gian ba chiều củ
và các chiều ngoại phụ. Thành phần vật chất của vũ trụ được giả thuyết là một chất lõng
lý tưởng tương ứng với tensơ ứng suất -xung lượng (stress-energy tensor):
(
)
,, , ,
M
Naaabb
Tdiag PPPPP
ρ
=−−−−− (4.2)
Với
ρ
là mật độ năng lượng chiều lớn ( high dimensional energy density) và ,
ab
PP là áp
suất trong các chiều cũ và các chiều ngoại phụ. Sau đó, từ phương trình Einstein ta dẫn
đến phương trình Friedmann-Robertson-Walker (FRW) theo 1+3+n chiều:
2
2
38

a
eff
k
a
G
aa
ρ
ρ
⎡⎤
⎛⎞
+= +
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
&
%
(4.3)

2
,
2
28
a
aaeff
k
aa
GP P
aaa

π
⎡⎤
⎛⎞
++=−−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
&& &
%
(4.4)
2
,
2
33 8
a
bbeff
k
aa
GP P
aaa
π
⎡⎤
⎛⎞
++=−−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥

⎣⎦
&& &
%
(4.5)
Với G là hằng số hấp dẫn chiều lớn hơn (higher dimension gravitational constant):
Trong đó:
()
2
2
1
3
2
b
eff
nn
k
bab
n
bb ab
ρ
⎡⎤
−
⎛⎞
⎢⎥
≡− + −
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
&&

&
%
(4.6)
()
2
,
2
1
2
2
b
aeff
nn
k
bb ab
Pn n
bbbab
⎡⎤
−
⎛⎞
⎢⎥
≡+ + +
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
&& & &
&
%
(4.7)

Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 20

()
()( )
()
2
,
2
12
131
2
b
beff
nn
k
bb ab
Pn n
bbbab
⎡⎤
−−
⎛⎞
⎢⎥
≡− + + + −
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
&& & &

&
%
(4.8)
Nhớ lại rằng trong lý thuyết liên quan đến chiều ngoại phụ, mật độ năng lượng 1+3D và
hằng số hấp dẫn Newton lần lượt là
,
N
G
ρ
liên hệ với
,
N
G
ρ
bởi
n
V
ρ
ρ
= và
/
n
N
GGV=
,
với
n
V là thể tích của chiều ngoại phụ, ta có thể thay thế G
ρ
trong phương trình (4.3) bởi

N
G
ρ
.
Hiển nhiên, vế trái của phương trình (4.3) và (4.4) có dạng giống như trong phương trình
FRW 1+3D. Hiệu ứng cho chiều ngoại ngoại phụ được tóm lượt trong
eff
ρ
%
và
,aeff
P
%
có thể
được giải thích như là mật độ năng lượng và áp suất do hình học- vật chất gây ra. Trong
ý nghĩa này phương trình FRW 1+3D được tái lập như là một phần của một cái có chiều
lớn hơn và một cách tự nhiên chúng ta cho rằng năng lượng tối có thể được giải thích bởi
hiệu ứng của chiều ngoại phụ. Đây là mô hình còn nhiều vấn vấn đề hiện nay thế giới
đ
ang nghiên cứu nên ta sẽ không đi vào chi tiết mô hình này giải thích vấn đề năng lượng
tối như thế nào. Chỉ biết rằng nó cũng là một lý thuyết giải quyết vấn đề năng lượng tối
hiện nay.







Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 21



Tài liệu tham khảo
:
[
]
1
. L. Papantonopoulos, The Invisible Universe:Dark Matter and Dark Energy, Lect.
Notes Physics.720 ( Springer, Berlin Heidelberg 2007)
[
]
2 Tai L. Chow, Gravity, Black Holes and TheVery Early Universe,(Springer; 1
st

Edition,2007)
[
]
3 Nguyễn Ngọc Giao, Lý thuyết trường hấp dẫn,NXB ĐHQG TPCM-2003
[
]
4 Ahmad Sheykhi, Agegraphic dark energy in Brans- Dicke cosmoloy,[arXiv:gr-
qc/0908.0606v2] , 9 Aug 2009.
[
]
5 B.Li, M-C. Chu, K.C Cheung, and A.Tang, Dark Energy as a Signature of Extra
Dimensions ,[arXiv:astro-ph/0501367v2] , 19 Jan 2005.