Chương I: Hàm phức và biến đổi Laplace

1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Hàm phức và biến đổi Laplace
Chương 1: Biến đổi Laplace
•
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
2
Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về hàm phức và biến đổi
Laplace. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến
thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản:
Mục tiêu của môn học
1. Các phép biến đổi Laplace, giải phương trình, hệ phương trình vi
phân bằng các phép biến đổi Laplace, ứng dụng vào giải tích mạch
điện.
2. Giải tích phức: các phép đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi
Taylor, chuỗi Laurent, thặng dư và cách tính, ánh xạ bảo giác.
3
Biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace ngược
Ứng dụng biến đổi Laplace
Hàm biến phức: đạo hàm
tích phân hàm biến phức
Ánh xạ bảo giác
Chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent
4
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đi học đầy đủ (vắng 20% trên tổng số buổi học bị cấm thi!).
Làm tất cả các bài tập cho về nhà.
Đọc bài mới trước khi đến lớp.

Đánh giá, kiểm tra.
Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%)
Thi cuối kỳ: hình thức trắc nghiệm (80%)
5
Tài liệu tham khảo
1. Dennis G. Zill. A first course in complex analysis with applications.
Jones and Bartlett Publishers, 2003.
2. Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace. NXB ĐHQG tp.HCM, 2003.
3. Nguyễn Kim Đính. Hàm phức và ứng dụng. NXBĐHQG tp.HCM, 2002
4.
6
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Định nghĩa phép biến đổi Laplace.
0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace.
7
0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa biến đổi Laplace
Cho là một hàm trên . Biến đổi Laplace của
( )f t
[0,+ )
∞
f
là một hàm F được định nghĩa bởi tích phân suy rộng
0
( )
st
f t e dt
+∞

−
∫
( )F s =
{ ( )}L f t =
8
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace.
-----------------------------------------------------------------
Nhắc lại:
Tích phân suy rộng (1) được định nghĩa
0 0
( ) lim ( )
N
st st
N
f t e dt f t e dt
+∞
− −
→+∞
=
∫ ∫
9
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace
-----------------------------------------------------------------
1
lim
sN
N
e
s s
−

→+∞
 
= −
 
 
 
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng
( ) 1, 0.f t t= ∀ >
Giải
0
( ) 1
st
F s e dt
+∞
−
= ⋅
∫
0
lim
N
st
N
e dt
−
→+∞
=
∫
0
lim

N
st
N
e
s
−
→+∞
−
=
1
s
=
10
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
( )
1
lim
s a N
N
e
s a s a
− −
→+∞
 
= −
 
− −
 
 

Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
( ) , .
at
f t e s a= >
Giải
0
( )
at st
F s e e dt
+∞
−
= ⋅
∫
( )
0
lim
N
a s t
N
e dt
−
→+∞
=
∫
( )
0
lim
N
a s t

N
e
a s
−
→+∞
=
−
1
s a
=
−
11
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
( ) sin , 0.f t bt b= ≠
Giải
0
( ) sin
st
F s bt e dt
+∞
−
= ⋅
∫
0
lim sin
N
st

N
bte dt
−
→+∞
=
∫
2 2
( ) =
+
b
F s
s b
sử dụng tích phân từng phần ta tính được
12
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
( ) os , 0.f t c bt b= ≠
Giải
0
( ) os
st
F s c bt e dt
+∞
−
= ⋅
∫
0
lim os

N
st
N
c bte dt
−
→+∞
=
∫
2 2
( ) =
+
s
F s
s b
sử dụng tích phân từng phần ta tính được
13
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
( ) .
n
f t t=
Giải
0
( )
n st
F s t e dt
+∞
−

= ⋅
∫
0
lim
N
n st
N
t e dt
−
→+∞
=
∫
1
!
( )
n
n
F s
s
+
=
sử dụng tích phân từng phần ta tính được
14
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm hyperbolic
( ) cosh
2
at at

e e
f t at
−
+
= =
Giải
0
( )
2
at at
st
e e
F s e dt
−
+∞
−
+
= ⋅
∫
1 1 1
2 s a s a
 
= +
 
− +
 
2 2
{cosh }
s
L at

s a
=
−
15
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm hyperbolic
( ) sinh
2
at at
e e
f t at
−
−
= =
Giải
0
( )
2
at at
st
e e
F s e dt
−
+∞
−
−
= ⋅
∫

1 1 1
2 s a s a
 
= −
 
− +
 
2 2
{sinh }
a
L at
s a
=
−
16
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho và là hai hàm có biến đổi Laplace trên
2
f
1.Tính tuyến tính
1
f
[ ,+ )
α
∞
và c là một hằng số. Khi đó:
1 2 1 2
1. { ( ) ( )} { ( )}+ { ( )}L f t f t L f t L f t
+ =

1 1
2. { ( )} { ( )}L cf t cL f t=
Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa.
17
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
4
( ) 11 5 6sin 2 .
t
f t e t= + −
Giải
4
0
( ) (11 5 6sin 2 )
t st
F s e t e dt
+∞
−
= + − ⋅
∫
2
11 5 12
( )
4
4
F s
s s
s

= + −
−
+
4
0 0 0
11 5 6 sin 2
st t st st
e dt e e dt t e dt
+∞ +∞ +∞
− − −
= ⋅ + ⋅ − ⋅
∫ ∫ ∫
18
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
3 2
( ) 6 2 8
t
f t e t t
−
= − + −
Giải
3 2
0
( ) (6 2 8)
t st
F s e t t e dt
+∞

− −
= − + − ⋅
∫
3 2
6 2! 2 8
( )
3
F s
s s
s s
= − + −
+
3 2
0 0 0 0
6 2 8
t st st st st
e e dt t e dt t e dt e dt
+∞ +∞ +∞ +∞
− − − − −
= ⋅ − ⋅ + ⋅ −
∫ ∫ ∫ ∫
19
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
2 2
( ) 5 6
t
f t e t= − +

Giải
2 2
0
( ) (5 6 )
t st
F s e t e dt
+∞
−
= − + ⋅
∫
3
5 1 6 2!
( )
2
F s
s s
s
⋅
= − +
−
2 2
0 0 0
5 6
st t st st
e dt e e dt t e dt
+∞ +∞ +∞
− − −
= − ⋅ + ⋅
∫ ∫ ∫
20

0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Tính chất dời theo s.
Giả sử . Khi đó
{ ( )} ( )L f t F s=
{ ( )} ( ).
at
L e f t F s a
−
= +
Chứng minh.
0
{ ( )} ( )
at at st
L e f t e f t e dt
+∞
− − −
=
∫
( ).F s a= +
( )
0
( )
a s t
f t e dt
+∞
− +
=
∫
21

0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
4 3 2
( ) sin 2
t t
f t e t e t
−
= +
Giải
2 3 2
0
( ) ( sin 2 )
t t st
F s e t e t e dt
+∞
− −
= + ⋅
∫
3 2
0
4
0
sin 2
t st t st
e te dt e t e dt
+∞ +∞
− −−
= + ⋅

∫ ∫
2 2 3
2 2!
( )
( )4 32 ( )
F s
s s
= +
++ −
22
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
7 2
( ) 2 sin
t
f t e t=
Giải
7
0
( ) (1 os2t)
t st
F s e c e dt
+∞
−
= − ⋅
∫
77
0 0

os2t
t st t st
e e dt e c e dt
+∞ +∞
− −
= − ⋅
∫ ∫
2 2
1 7
( )
7
) 27(
−
= +
−
− +
s
F s
s
s
23
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Tính chất dời theo t.
Giả sử . Khi đó
{ ( )} ( )L f t F s=
{ ( ) ( )} ( ).
as
L f t a u t a e F s
−

− − =
trong đó
1,
( )
0,
t a
u t a
t a
>

− =

<

Trong thực tế ta thường gặp dạng sau đây
{ ( ) ( )} { ( )}.
as
L g t u t a e L g t a
−
− = +
24
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
os( - ),
6 6
( )
0,
6

c t t
g t
t
π π
π

>

=


<

Giải
( ) cos ( ) ( ) ( )
6 6
f t t g t f t u t
π π
= ⇒ = − −
2
{ ( )}
1
s
L f t
s
=
+
6
2
{ ( )}

1
s
s
L g t e
s
π
−
⇒ =
+
25
0.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace
-------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace của hàm
3
( - 5) , 5
( )
0, 5
t t
g t
t

>
=

<

Giải
3
( ) ( ) ( 5) ( 5)f t t g t f t u t= ⇒ = − −

4
3!
{ ( )}L f t
s
=
5
4
3!
{ ( )}
s
L g t e
s
−
⇒ =