Chương 3 BIẾN ĐỔI Z

Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 32 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Chương 3
BIẾN ĐỔI Z
1. Biến đổi z
1.1. Biến đổi z trực tiếp
Định nghĩa: Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) định nghĩa như sau:
X(z) =
∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(x (3.1)
Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau:
X(z) = Z[x(n)] (3.2)
Hay:
)z(X)n(x
z
⎯→← (3.3)
Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của z để X(z) hội tụ.
Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) ROC (Region
Of Convergence).
VD
: Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc hữu hạn sau:
c
x(n) = {1,2,5,7,0,1}

↑

X(z) = 1 + 2z
-1
+ 5z
-2
+ 7z
-3
+ z
-5
hữu hạn khi z
≠
0
Æ
ROC =
C
\{0}
d
x(n) = {1,2,5,7,0,1}

↑

X(z) = z
2
+ 2z + 5z + 7z
-1
+ z
-3
hữu hạn khi z
≠

0 và z
≠

∞Æ
ROC =
C
\{0,
∞
}
e
x(n) =
δ
(n)
X(z) = 1
Æ
ROC =
C

f
x(n) =
δ
(n - k), k > 0
X(z) = z
-k
, k > 0
Æ
ROC =
C
\{0}
g

x(n) =
δ
(n + k), k > 0
X(z) = z
k
, k > 0
Æ
ROC =
C
\{
∞
}
Như vậy, đối với tín hiệu hữu hạn thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z và có thể trừ
các giá trị z = 0 và z =
∞
.
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu
x(n) =
)n(u
2
1
n
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

x(n) = {1,
2
1
,
2
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, …}
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 33 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

X(z) =
∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(x
=
∑
∞
−∞=

−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
n
n
z)n(u
2
1
=
∑
∞
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0n
n
1
z
2
1

X(z) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
∞→
1
1N
1
N
z
2
1
1
z
2

1
1
lim
hội tụ về
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−1
z
2
1
1
1
khi
1z
2
1
1
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

Æ
ROC: |z| > ½
Do z là biến phức nên ta biểu diễn như sau:
z = re
jθ
(3.4)
X(z) =
∑
∞
−∞=
θ−−
n
njn
er)n(x
|X(z)| =
∑
∞
−∞=
θ−−
n
njn
er)n(x
≤
∑
∞
−∞=
θ−−
n
njn

er)n(x
=
∑
∞
−∞=
−
n
n
r)n(x
(3.5)
|X(z)| ≤
∑∑
∞
=
−
−
−∞=
−
+
0n
n
1
n
n
r)n(xr)n(x =
∑∑
∞
=
∞
=

+−
0n
n
1n
n
r
)n(x
r)n(x
(3.6)
ROC của X(z) là các giá trị của r để 2 chuỗi ở vế phải của (3.6) hội tụ. Số hạng
đầu tiên hội tụ khi r đủ nhỏ (r < r
1
) và số hạng thứ hai hội tụ khi r đủ lớn (r > r
1
).

Hình 3.1 – ROC của X(z)
ROC của
∑
∞
=
−
1n
n
r)n(x

r
1
r
2
ROC của
∑
∞
=0n
n
r
)n(x

Re(z)

Re(z)

Im(z)

Im(z)

ROC với r
1
> r
2


r
1
Không tồn tại ROC với r
1
< r
2


r
2
r
2
r
1
Re(z)

Im(z)

Re(z)

Im(z)

Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 34 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = a
n
u(n)
X(z) =
∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(x
=
∑
∞
=
−
0n
n1
)az(

Æ

1
az1
1

−
−
nếu |az
-1
| < 1 hay |z| > |a|







Hình 3.2 – ROC của Z{a
n
u(n)}
x(n) = a
n
u(n)
⎯→←
z
X(z) =
1
az1
1
−
−
, ROC: |z| > |a| (3.7)
Nếu a = 1, ta được biến đổi z của hàm bước đơn vị:
x(n) = u(n)
⎯→←

z
X(z) =
1
z1
1
−
−
, ROC: |z| > 1 (3.8)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = -a
n
u(-n-1)
X(z) =
∑
∞
−∞=
−
n
n
z)n(x
=
∑
−
−∞=
−−
−
1
n
n1
)za(

=
∑
∞
=
−
−
1n
n1
)za(

X(z) =
( )
N12111
N
)za(...)za()za(1)za(lim
−−−−
∞→
++++−

X(z) =
)za(1
)za(1
)za(lim
1
1N1
1
N
−
+−
−

∞→
−
−
−

Æ

)za(1
za
1
1
−
−
−
−
=
1
az1
1
−
−
khi |a
-1
z| < 1
hay |z| < |a|
x(n) = -a
n
u(-n-1)
⎯→←
z

X(z) =
1
az1
1
−
−
, ROC: |z| < |a| (3.9)







Hình 3.3 – ROC của Z{-a
n
u(-n-1)}
|a|

Re(z)

Im(z)

ROC
|a|

Re(z)

Im(z)

ROC
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 35 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Từ (3.7) và (3.9): hai tín hiệu khác nhau có cùng biến đổi X(z) nhưng ROC
khác nhau. Do đó,
tín hiệu rời rạc x(n) xác định duy nhất bằng biến đổi X(z) và ROC
của X(z)
.
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = a
n
u(n) + b
n
u(-n-1)
X(z) =
∑
∞
=
−
0n
n1
)az(
+
∑
∞
=
−
1n

n1
)zb(

Chuỗi thứ nhất hội tụ khi |z| > |a|, chuỗi thứ hai hội tụ khi |z| < |b|
Æ
nếu |b| ≤ |a|
thì X(z) không tồn tại. Ngược lại:
X(z) =
1
az1
1
−
−
-
1
bz1
1
−
−
=
1
abzzba
ab
−
−−+
−

Như vậy:
x(n) = a
n

u(n) + b
n
u(-n-1)
⎯→←
z
X(z) =
1
abzzba
ab
−
−−+
−

ROC: |a| < |z| < |b| (3.10)
1.2. Biến đổi z ngược
Từ (3.1):
X(z) =
∑
∞
−∞=
−
k
k
z)k(x (3.11)
Hay: X(z)z
n-1
=
∑
∞
−∞=

−−
k
k1n
z)k(x


∫
∑
∫
∞
−∞=
−−−
=
ROC
k
k1n
ROC
1n
dzz)k(xdzz)z(X
=
∑
∫
∞
−∞=
−−
k
ROC
k1n
dzz)k(x
(3.12)

Theo định lý tích phân Cauchy:

⎩
⎨
⎧
≠
=
=
π
∫
−−
nk0
nk1
dzz
j2
1
C
k1n
(3.13)
với C là đường cong đóng bất kỳ. Từ đó:
x(n) =
∫
−
π
ROC
1n
dzz)z(X
j2
1
(3.14)

Ký hiệu: x(n) = Z
-1
{X(z)}
2. Tính chất của biến đổi z
 Tuyến tính
Nếu:
x
1
(n)
⎯→←
z
X
1
(z)
và: x
2
(n)
⎯→←
z
X
2
(z)
thì: a
1
x
1
(n) + a
2
x
2

(n)
⎯→←
z
X(z) = a
1
X
1
(z) + a
2
X
2
(z) (3.15)
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 36 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

với a
1
, a
2
là các hằng số tuỳ ý
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = [3(2
n
) – 4(3
n
)]u(n)
Đặt x
1
(n) = 2

n
u(n) và x
2
(n) = 3
n
u(n).
Theo (3.7):
x
1
(n)
⎯→←
z
X
1
(z) =
1
z21
1
−
−
, ROC: |z| > 2
x
2
(n)
⎯→←
z
X
2
(z) =
1

z31
1
−
−
, ROC: |z| > 3
Theo (3.15):
x(n) = 3x
1
(n) – 4x
2
(n)
⎯→←
z
X(z) = 3X
1
(z) – 4X
2
(z) =
1
z21
3
−
−
-
1
z31
4
−
−

ROC: |z| > 3
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = (cosω
0
n)u(n)
Ta có:
x(n) =
)n(ue
2
1
)n(ue
2
1
njnj
00
ω−ω
+
=
() ()
)n(ue
2
1
)n(ue
2
1
n
j
n
j

00
ω−ω
+

Theo (3.7) và (3.15):
X(z) =
1
j
1
j
ze1
1
2
1
ze1
1
2
1
00
−
ω−
−
ω
−
+
−
, ROC: |z| >
0
j
e

ω
= 1
(cosω
0
n)u(n)
⎯→←
z

2
0
1
0
1
zcosz21
cosz1
−−
−
+ω−
ω−
, ROC: |z| > 1 (3.16)
Tương tự:
(sinω
0
n)u(n)
⎯→←
z

2
0
1

0
1
zcosz21
sinz
−−
−
+ω−
ω
, ROC: |z| > 1 (3.17)
 Dịch thời gian
Nếu:
x(n)
⎯→←
z
X(z)
thì: x(n - k)
⎯→←
z
z
-k
X(z) (3.18)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) =
⎩
⎨
⎧
−≤≤
khác0
1Nn01

Ta có: x(n) = u(n) – u(n – N)
Theo (3.8):
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 37 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

u(n)
⎯→←
z
X(z) =
1
z1
1
−
−
, ROC: |z| > 1
Theo (3.18):
u(n – N)
⎯→←
z
X(z) = z
-N
1
z1
1
−
−
, ROC: |z| > 1
Æ

X(z) =
1
z1
1
−
−
- z
-N
1
z1
1
−
−
=
z1
z1
N
−
−
−
, ROC: |z| > 1 (3.19)
 Co trên miền z
Nếu:
x(n)
⎯→←
z
X(z), ROC: r
1
< |z| < r
2

thì: a
n
x(n)
⎯→←
z
X(a
-1
z), ROC: |a|r
1
< |z| < |a|r
2
(3.20)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = a
n
(cosω
0
n)u(n)
Theo (3.16) và (3.20):
a
n
(cosω
0
n)u(n)
⎯→←
z

22

0
1
0
1
zacosaz21
cosaz1
−−
−
+ω−
ω−
, ROC: |z| > |a| (3.21)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = a
n
(sinω
0
n)u(n)
Theo (3.17) và (3.20):
a
n
(sinω
0
n)u(n) ⎯→←
z

22
0
1
0

1
zacosaz21
cosaz
−−
−
+ω−
ω
, ROC: |z| > |a| (3.22)
 Đảo thời gian
Nếu:
x(n)
⎯→←
z
X(z), ROC: r
1
< |z| < r
2

thì: x(-n)
⎯→←
z
X(z
-1
), ROC:
1
r
1
< |z| <
2
r

1
(3.23)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = u(-n)
Theo (3.8):
u(n)
⎯→←
z

1
z1
1
−
−
, ROC: |z| > 1
Theo (3.23):
x(n)
⎯→←
z
X(z) =
z1
1
−
, ROC: |z| < 1 (3.24)
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 38 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

 Vi phân trên miền z

Nếu:
x(n)
⎯→←
z
X(z)
thì: nx(n)
⎯→←
z

dz
)z(dX
z
−
(3.25)
VD
: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = na
n
u(n)
Theo (3.7):
a
n
u(n)
⎯→←
z

1
az1
1
−
−

, ROC: |z| > |a|
Theo (3.25):
X(z) = -z
dz
az1
1
d
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
()
2
1
1
az1
az
−
−
−

na
n
u(n)

⎯→←
z

()
2
1
1
az1
az
−
−
−
, ROC: |z| > |a| (3.26)
Cho a = 1:
nu(n)
⎯→←
z

()
2
1
1
z1
z
−
−
−
, ROC: |z| > 1 (3.27)
 Tích chập
Nếu:

x
1
(n)
⎯→←
z
X
1
(z)
và: x
2
(n)
⎯→←
z
X
2
(z)
thì: x
1
(n) * x
2
(n)
⎯→←
z
X
1
(z)X
2
(z) (3.28)
VD
: Tính tích chập của 2 tín hiệu sau:

x
1
(n) = {1,-2,1}

↑

x
2
(n) =
⎩
⎨
⎧
≤≤
khác0
5n01

Ta có: X
1
(z) = 1 -2z
-1
+ z
-2
= (1 – z
-1
)
2

Theo (3.19): X
2
(z) =

1
6
z1
z1
−
−
−
−

Æ
X(z) = X
1
(z)X
2
(z) = (1 – z
-6
)(1 – z
-1
)
X(z) = 1 – z
-1
– z
-6
+ z
-7

Æ
x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1}

↑

Mà X(z) = X
1
(z)X
2
(z) nên x(n) = x
1
(n) * x
2
(n)
Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z

Trang 39 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Từ ví dụ này, ta có thế thực hiện tích chập của hai tín hiệu x
1
(n) và x
2
(n) như
sau:
c
Tính biến đổi z của x
1
(n) và x
2
(n) (tương ứng là X
1
(z) và X
2
(z))

d
Tính X(z) = X
1
(z)X
2
(z)
e
Thực hiện biến đổi z ngược x(n) = Z
-1
{X(z)}, x(n) là tích chập của x
1
(n) và
x
2
(n).
 Tương quan
Nếu:
x
1
(n)
⎯→←
z
X
1
(z)
và: x
2
(n)
⎯→←
z

X
2
(z)
thì:
∑
∞
−∞=
−=
l
21xx
)ln(x)n(x)l(r
21
⎯→←
z

)z(X)z(X)z(R
1
21xx
21
−
=
(3.29)
VD
: Tính chuỗi tự tương quan của x(n) = a
n
u(n), -1 < a < 1
Theo (3.7):
X(z) =
1
az1

1
−
−
, ROC: |z| > |a|
X(z) =
az1
1
−
, ROC: |z| < 1/|a|
R
xx
(z) = X(z)X(z
-1
) =
az1
1
az1
1
1
−−
−
=
21
a)zz(a1
1
++−
−
,

ROC: 1/|a| >|z| > |a|

Theo (3.10):
a
n
u(n) + b
n
u(-n-1)
⎯→←
z

1
abzzba
ab
−
−−+
−
, ROC: |a| < |z| < |b|
Thay thế b = 1/a:
a
n
u(n) +
n
a
1
u(-n-1)
⎯→←
z

1
z
a

1
az
a
1
a
a
a
1
−
−−+
−

a
n
u(n) +
n
a
1
u(-n-1)
⎯→←
z

)zz(a1a
a1
12
2
−
−−+
−
= (1-a

2
)R
xx
(z)
ROC: |a| < |z| < 1/|a|
Hay:

2
a1
1
−
a
n
u(n) +
2
a1
1
−
n
a
1
u(-n-1)
⎯→←
z
R
xx
(z)