Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 2 ppsx

Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc
nếu tập các giá trị có thể có của X là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
Giả sử X nhận các giá trị x
1
, x
2
, …, x
n
,… Đặt A
k
= [w: X = x
k
] và ký hiệu
xác suất để nhận giá trị x
k
là
p
k
=P( X = x
k
) =P(A
k
) ; k = 1, 2,….
Khi đó,
P(W) = 1.
Định nghĩa 3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X được xác định
bởi
P( X = x
k
) = , k = 1, 2, 3, ;
Hàm p

X
(.) được gọi là hàm (mật độ) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
Trong một số trường hợp, ta có thể viết phân phối xác suất của X dưới dạng bảng
như sau
X x
1
x
2
… x
n
…
P(X =
x
i
)
p
1
p
2
… p
n
…
trong đó, 1.

Ø Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X có dạng:
F
X
(x) = ; x Î R.
Nếu ta sắp xếp các giá trị x
1

, x
2
, ,x
n
, theo thứ tự tăng dần, tức là x
1
< x
2
< <
x
n
< thì hàm phân phối của X được viết dưới dạng:

* Nhận xét: F
X
(.) là hàm gián đoạn kiểu bậc thang, tại x
i
có bước nhảy là p(x
i
).

Ví dụ 3.3. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau
X -1,9 - 0,1 20p 3 4
P p 0,1 0,3 p 4p
a- Tìm p và tính
b- Xác định hàm phân phối F
X
(x).
Giải. a- Ta có p + 0,1 + 0,3 + p + 4p = 1 => p = 0,1.
= 0, 1+ 0,3 + 0,1 = 0,5

b- Hàm phân phối

Ví dụ 3.4. Một túi chứa 8 tấm thẻ đỏ; 4 tấm thẻ vàng và 2 thẻ xanh. Chọn ngẫu
nhiên ra 2 tấm thẻ. Giả sử mỗi thẻ vàng chọn ra được 2 điểm; mỗi thẻ đỏ bị trừ đi
1 điểm và thẻ xanh không có điểm. Gọi Y là số điểm tổng cộng trong số 3 thẻ được
rút ra. Tìm phân phối xác suất của Y.
Giải. X nhận các giá trị -2; -1; 0; 1; 2; 4. Ta có
P(chọn 2 thẻ đỏ)
P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ xanh)
P(chọn 2 thẻ xanh)
P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ vàng)
P(chọn 1 thẻ vàng+1thẻ xanh)
P(chọn 2 thẻ vàng)
Vậy bảng phân phối xác suất của X là
X - 2 - 1 0 1 2 4
P


4. Biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 4.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu
hàm phân phối của nó có dạng
F(x) = , x Î R.
Hàm dưới dấu tích phân f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X.
Tính chất 4.2.
 f(x)

 P(X = x) = 0
 tại các điểm liên tục của f(x).

=

Ví dụ 4.3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = ,
a- Tìm a và xác định hàm phân phối F(x).
b- Tính P(-1 £ X < 1).
Giải. a- Ta có <=> <=> .
* Hàm phân phối
F(x) = =
b- P[- 1 £ X < 1] = F(1) – F(-1) = =
Ví dụ 4.4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác định bởi

a- Tìm k và xác định hàm phân phối F(x).
b- Tính P( X > 0,5).
Giải. a- Ta có <=> => k = 6.
* Hàm phân phối

b- P(X > 0,5) =
Ví dụ 4.5. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác định bởi

Tìm a và xác định hàm mật độ f(x).
Giải. Do hàm F(x) liên tục tại điểm x = 0 nên 0 = F(0) = 1 – a => a = 1.Có
f(x) = F’(x) =