Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Nội dung chính:
1. Khái niệm biến ngẫu nhiên.
2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên: Bảng phân phối xác suất, hàm phân bố và
hàm mật độ xác suất.
3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng,
Phương sai, độ lệch chuẩn, trung vị, mốt,
Chương 2
Biến ngẫu nhiên và
quy luật phân phối xác suất
§1 Khái niệm
và phân loại biến ngẫu nhiên

1. Khái niệm biến ngẫu nhiên
• Một biến nhận các giá trị có thể có của nó với
xác suất tương ứng nào đấy gọi là biến
ngẫu nhiên.

• Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các
chữ X, Y, Z, Các giá trị mà biến ngẫu nhiên
nhận thường viết bằng chữ nhỏ: x, y, z,

Ví dụ1: Tung một con xúc xắc.
Gọi X = “số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc”
X là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ví dụ 2: Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ trong kho để kiểm tra.
Gọi Y = “số phế phẩm lấy được”
Y là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ví dụ 3: Một xạ thủ bắn vào bia cho đến khi trúng thì dừng.
Gọi Z = “số viên đạn phải dùng”
Z là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là: 1, 2, 3, , n,

Ví dụ 4: Một người bắn một viên đạn vào bia.
Gọi T = “khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn
đến tâm bia”
T là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là một
số thực không âm.

Ví dụ 5: Gọi U = “thời gian chờ xe buýt”
U là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là một
số thực nằm trong khoảng [0; 15] (phút).
2. Phân loại biến ngẫu nhiên
- Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có
thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm
được.
- Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị
có thể có của nó lập đầy một hay một số khoảng của trục
số, thậm chí lấp đầy cả toàn bộ trục số.
Ví dụ 6: +) Các biến ngẫu nhiên X, Y, Z ở trên là các biến
ngẫu nhiên rời rạc.
+) Các biến ngẫu nhiên T, U ở trên là các biến ngẫu
nhiên liên tục.

§2 Quy luật phân phối xác suất
của biến ngẫu nhiên
1. Định nghĩa




Có ba phương pháp để mô tả quy luật phân phối xác
suất xủa biến ngẫu nhiên gồm: Bảng phân phối xác

suất, hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất.



Quy luật phân phối xác suất là một cách biễu
diễn
quan
hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với
các
xác
suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó.

2. Bảng phân phối xác suất
Giả sử biễn ngẫu nhiên rời rạc  nhận các giá trị






 và 




Bảng phân phối xác suất của biễn ngẫu nhiên  có dạng sau


Nhận xét:










 







 



 




 



 



Ví dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp để kiểm
tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Tìm quy luật
phân phối xác suất của X. Tính .

Ví dụ 2: Một người bắn súng vào bia với xác suất
bắn trúng là 0,7. Xạ thủ này bắn cho đến khi trúng
thì dừng. Lập bảng phân phối xác suất của số viên
đạn phải dùng.
3. Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa







Khi đó:  





Hàm 
được gọi là hàm mật độ xác suất của
biễn ngẫu nhiên X nếu thoả mãn các điều kiện
sau:

i)   
ii)







Ví dụ 3: Cho hàm số
 

nếu




nếu





Tìm  để  trở thành một hàm mật độ xác suất.
Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên liên tục  có hàm mật độ
xác suất như sau:
 









Hãy xác định hằng số  và tính 
Nhận xét: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì
 




 
và do đó
 






4. Hàm phân phối xác suất
a) Định nghĩa
Ta gọi hàm


là hàm phân phối xác suất của biễn ngẫu nhiên .


Nhận xét:

Nếu  là biến ngẫu nhiên rời rạc có







 thì
 







 
Ví dụ 3: Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên  có bảng phân phối xác suất như sau:






Đ/s:
 

 

 
 
 








 1 3 4
 0,3 0,5 0,2
b) Tính chất của hàm phân phối xác suất
i) Hàm phân phối xác định với 
 
iii) Hàm phân phối là hàm không giảm.
Tức là, nếu 



thì 




iv)    
v) 




 
vi) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục  có hàm mật độ
xác suất  thì
 





vii) 

 
viii) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì  là
hàm số liên tục.

Ví dụ 4: Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục  có dạng

 








a) Tìm hệ số .
b)Tìm hàm mật độ xác suất .

c) Tìm .










§3 Các tham số đặc trưng
của biến ngẫu nhiên



Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên , kí hiệu là ,
được xác định như sau:








1.Kỳ vọng
a)Định nghĩa

 


















Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên  có bảng phân phối
xác suất như sau



Tìm ?

Ví dụ 2: Cho biến ngẫu nhiên  có hàm mật độ xác
suất như sau
 






 với
với


Tìm ?
 -1 0 1 2
 0,2 0,2 0,5 0,1
b) Tính chất của kỳ vọng
+)   là hằng số);
+)   là hằng số);
+)      
+) Nếu  độc lập thì  
+)  






, nếu 




 





, nếu  có hàm mật độ 




c) Ý nghĩa của kì vọng
Có thể nói rằng kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác
suất của biến ngẫu nhiên.
Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, nếu xem các giá trị mà
biến ngẫu nhiên nhận như là các chất điểm của một hệ cơ
học, mỗi chất điểm có một khối lượng bằng xác suất mà
biến ngẫu nhiên nhận giá trị đó, thì kỳ vọng của biến
ngẫu nhiên là trọng tâm của hệ. Với biến ngẫu nhiên liên
tục ta cũng có ý nghĩa tương tự.
2. Phương sai
a)Định nghĩa
Phương sai của biến ngẫu nhiên , kí hiệu là ,
được xác định như sau:

  








 




 

nếu







  

nếucó hàm mật độ xác suất



Nhận xét: Có thể tính phương sai của biến ngẫu nhiên X
theo công thức sau


trong đó:











nếu











nếucó hàm mật độ xác suất

Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là 

, được gọi là độ
lệch chuẩn của 

 

 





 
Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên  có bảng phân phối xác
suất như sau


Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của .
Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên liên tục  có hàm mật
độ xác suất như sau
 

 với 
 với 

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của .

-1 0 1 2

0,2 0,1 0,4 0,3
b) Tính chất của phương sai
+)   là hằng số);
+)  

 là hằng số);
+) Nếu  và  độc lập thì
     .


c) Ý nghĩa và ứng dụng của phương sai
- Ý nghĩa: Phương sai của một biến ngẫu nhiên phản
ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu

nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó là kì
vọng.
- Ứng dụng thực tế: Trong kĩ thuật phương sai đặc
trưng cho mức độ phân tán của các chi tiết gia công
hay sai số của thiết bị, trong quản lí và kinh doanh
nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định.