Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1 pot

Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
1. Kỳ vọng toán
Định nghĩa 1.1. Kỳ vọng toán hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X là một
số thực, ký hiệu E(X) được xác định bởi
 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có phân phối xác suất P(X = x
k
) = p
k
thì

 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ thì

Số E(X) cho ta biết giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên X nhận. E(X) tồn tại hữu
hạn nếu hoặc . Trong trường hợp E(X) nhận giá trị vô
hạn, ta nói biến ngẫu nhiên X không tồn tại kỳ vọng. Lưu ý rằng, thực chất E(X)
chính là tích phân Lebesgue của biến ngẫu nhiên (hàm đo được) X theo độ đo xác
suất P trên không gian mẫu , nghĩa là
E(X )=
Việc xây dựng định nghĩa E(X) như trên có thể tìm đọc chẳng hạn trong [1].
Ví dụ 1.2. Cho không gian xác suất và . Xét biến ngẫu nhiên hàm
chỉ tiêu I
A
trên tập A, nghĩa là

Ta có P(I
A
= 1) = P(A) và P(I
A
= 0) = P( ) = 1 - P(A). Vậy
E(I
A

) = 1.P(A) + 0.[1 – P(A)] = P(A)
Ví dụ 1.3. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

Biết . Tìm EX.
Giải. Có .
Mặt khác,
Từ đó suy ra Vậy

Tính chất 1.4.
 Nếu a, b là các hằng số thì E(aX + b) = aE(X) + b.
 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = x
i
) = p
i
thì
với mọi hàm thực g ta có

 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ và g là hàm Borel
thì


2. Phương sai
Định nghĩa 2.1. Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số thực không âm, ký
hiệu D(X) được xác định bởi
DX = E(X - E(X))
2

Khai triển vế phải công thức trên ta có
D(X) = .
Phương sai của một biến ngẫu nhiên dùng để đặc trưng cho mức độ phân tán các

giá trị của biến ngẫu nhiên đó xung quanh giá trị trung bình của nó. Đại
lượng được gọi là độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X.
Tính chất 2.2.
 Nếu C là hằng số thì D(C) = 0
 Nếu a, b là các hằng số thì D(aX + b) = a
2
D(X).
 Nếu D[g(X)] = 0 thì g(X) là hằng số.

Ví dụ 2.3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

Xác định kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X
2
.
Giải. Ta có


Từ đó
3. Các số đặc trưng khác
a. Mômen gốc và mômen trung tâm
Định nghĩa 3.1.
i) Mômen gốc bậc k ( của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu m
k
được xác định
bởi
m
k
= E(X
k
) .

ii) Mômen trung tâm bậc k ( của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu được xác
định bởi
= E(X - E(X))
k

Các định nghĩa này là sự khái quát trực tiếp của của các khái niệm E(X) và D(X).
Ta thấy E(X) = m
1
còn D(X) = . Lưu ý rằng, một số biến ngẫu nhiên có thể có