Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2 pptx

mômen tất cả các bậc nhưng cũng có biến ngẫu nhiên không có mômen đối với
mọi k, bắt đầu từ một số k nào đó.
Ví dụ 3.2. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

Ta có

Như vậy

Điều này có nghĩa X chỉ có các momen gốc bậc 1, 2, 3 hữu hạn .
b. Hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn
Định nghĩa 3.3.
i) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn . Khi đó, hệ số bất đối xứng của
X, ký hiệu được xác định bởi
ii) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn . Khi đó, hệ số nhọn của X, ký
hiệu được xác định bởi .
Ví dụ 3.4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối

a- Tìm momen gốc bậc k của X, k
b- Xác định hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn.
Giải. Hàm mật độ của X là

a- Dễ thấy
m
k
= , k
b- Ta có




Vậy hệ số bất đối xứng là

và hệ số nhọn là
.
c. Mod và Med
Định nghĩa 3.5. Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu x
mod
là giá trị của biến ngẫu
nhiên mà tại đó phân phối đạt giá trị lớn nhất.
Như vậy nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Mod là gía trị mà tại đó xác suất
tương ứng lớn nhất. Còn nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì Mod là gía trị làm
cho hàm mật độ f(x) đạt cực đại.
Định nghĩa 3.6. Med (số trung vị ) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu x
med
là giá trị
của biến ngẫu nhiên mà tại đó giá trị của hàm phân phối bằng , nghĩa là F(x
med
)
= . Nói cách khác, x
med
là số trung vị nếu P[X < x
med
] > < P[X > x
med
].
Như vậy, Med là điểm phân đôi khối lượng xác suất thành 2 phần bằng nhau. Với
một biến ngẫu nhiên X có thể có một điểm Med hoặc có thể một khoảng Med.
Ví dụ 3.7. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

Xác định EX, x
mod

và x
med
.
Giải. Ta có

Do nên f(x) đạt cực đại tại x =1. Vậy x
mod
= 1.
Hàm phân phối của X là

Dễ thấy phương trình có nghiệm x = 1. Vậy x
med
= 1.
Nhận xét: trong ví dụ trên ta thấy E(X) = x
mod
= x
med
= 1. Điều này xảy ra là do
biến ngẫu nhiên X có phân phối đối xứng.