Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê potx

Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện
1. Phân phối điều kiện
Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất
đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y
= y được xác định bởi

Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .
Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng
xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện. Xác định ; p(x,y) và p
Y
(y).
Giải. Giả sử X = x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(x; . Vậy

Từ đó
p(x,y) =P(X = x, Y = y) = .p
X
(x) =
và phân phối của Y là

Ví dụ 1.3. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số
lần lượt là Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n.
Giải. Ta có


Theo Ví dụ 2.5 (bài học tuần 9), X +Y cũng có phân phối Poisson tham số
. Từ đó,


hay phân phối của X với điều kiện X + Y = n là phân phối nhị thức tham số n và
.
Định nghĩa 1.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời f

X,Y
(x,
y). Khi đó, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi

Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .
Từ định nghĩa trên ta có
 Hàm mật độ của X

 Với tập D bất kỳ

 Hàm phân phối của X

Ví dụ 1.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời

Tính
Giải. Với y > 0, hàm mật độ của Y là

Vậy với x, y > 0, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là

Từ đó,

2. Kì vọng điều kiện
Định nghĩa 2.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y. Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi
Y = y, ký hiệu được xác định bởi
 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối điều kiện của X cho
bởi Y = y là thì

với mọi giá trị y sao cho P(Y = y) >0.
 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ điều kiện của X
cho bởi Y = y là thì

với mọi giá trị y sao cho f
Y
(y) >0.
Ví dụ 2.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị thức
tham số n, p. Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n.
Giải. Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Ta có


Vậy phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n là phân phối siêu bội. Từ đó
.
Ví dụ 2.3. Cho hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên (X,Y) là

Xác định E(X ) và E(Y
Giải. Ta có hàm mật độ của X là
=
và hàm mật độ của Y là
=
Từ đó, hàm mật độ điều kiện của Y cho bởi X = x là
= =
và hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là
= =
Vậy
E(Y và E(X
Tính chất 2.4.
 Cho g là hàm Borel thì

 nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.
 . Đặc biệt, nếu C là hằng số.
 với a, b là hằng số

 . Đặc biệt
 Nếu Y là biến ngẫu nhiên rời rạc thì

Nừu Y là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f
Y
(y) thì

Ví dụ 2.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời

Tính EX; EY và
Giải. Từ

Ta nhận được E(Y) = 1. Vì

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng y nên

Ta có

Vậy Cov(X,Y) = EXY – EX.EY = 1