Hình học giải tích: Đường tròn

CHUYÊN ĐỀ 4
ĐƯỜNG TRÒN
1. Để tìm phương trình của một đường tròn ta cần lưu ý:
. Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là :

()
+
(
= R
2

2
xa
−
)
2
yb
−
. Phương trình của (C) ở dạng khai triển :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 ( hay x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0)
với c = a
2

+ b
2
– R
2
R
2
= ⇔
22
abc+ −

Do đó ta phải có điều kiện a
2
+ b
2
– c 0 ≥
. Phương trình tham số của đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:
(t
xaRcost
y b R sin t
=+
⎧
⎨
=+
⎩
∈
R)
2. Để viết phương trình tiếp tuyến với một đường tròn ta cần phân biệt :
a) Trường hợp biết tiếp điểm : ta dùng công thức phân đôi tọa độ :
Tiếp tuyến
(

tại tiếp điểm M
0
(x
0
, y
0
) với :
)
Δ
- đường tròn (C) :
()
+ = R
2
là
2
xa
−
(
2
yb
−
)
)
(x
0
– a) (x – a) + (y
0
– b) (y – b) = R
2

- đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 là
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0
b) Trường hợp không biết tiếp điểm, ta áp dụng tính chất :
Đường thẳng
(
tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R
)
Δ
⇔ = R. Δd(I, )
c) đường tròn (C) :
()
+ = R
2
có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là x =
a R. Ngoài 2 tiếp tuyến x = a
2
xa−
(

2
yb−
±
± R, mọi tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) đều có
dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x
0
) + y
0
nếu tiếp tuyến đi qua ( x
0
, y
0
) là
điểm nằm ngoài đường tròn.
Ví dụ

1
Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).
a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B.
c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)
Giải
a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :

0
44 0
16 8 0
c
ac
bc
=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
−+=
⎩
⇔
0
1
2
c
a
b
=
⎧
⎪
= −
⎨
⎪
=
⎩

Vậy (C) : x
2
+ y
2
+ 2x – 4y = 0.
Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là
AB nên pt dường tròn (C) là:

222
11
12 416
44
++− = = + =(x ) (y ) AB ( )
5

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với
(, ) ( )M xy C∈
ta có
0=AM.BM
JJJJG JJJJG
. Vậy pt đường tròn ( C ) là 0− −+− −=
AB A B
(x x )(x x ) (y y )(y y ) .
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại :
. Tiếp điểm A(–2, 0) là : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

⇔ x + 2y + 2 = 0
. Tiếp điểm B(0, 4) là : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0
⇔ x + 2y – 8 = 0
c) Đường tròn (C) : x

2
+ y
2
+ 2x – 4y = 0 có tâm I(–1, 2) và bán kính R =
2
12 0+−
=
5 .Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là
1=± =−±xa R 5
. Hai tiếp tuyến
này không qua M(4, 7)
Vậy phương trình tiếp tuyến qua M(4, 7) có dạng:
()
Δ
: y – 7 = k(x – 4)
⇔ kx – y + 7 – 4k = 0
()
Δ
tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ Δd(I, ) = R

2
⇔
2
274
1
kk
k
−−+−
+
= 5 ⇔

55k−
= 5 .
2
1k +

⇔ 4k
2
– 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hay k =
1
2

Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là :
k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒
k =
1
2
⇒
1
2
x – y + 5 = 0.
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
n
0
90BAC = .
Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G(
2
3
; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các
đỉnh A , B, C.

G là trọng tâm ΔABC ⇔
=
JJJG JJJJG
AG 2GM
⇔
⎧
−=−=
⎪
⎨
⎪
−=−−=−
⎩
A
A
222
3
=
x2(1)
33
y2(10)2
⇔
⎧
⎨
=
⎩
A
A
x0
2
⇔ A (0, 2)

y
PT: BC qua M (1, −1) ⊥ = (1, −3): x – 3y – 4 = 0
JJJJG
AM
PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM=
+=19 10

(x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 10
Tọa độ B, C thỏa :
−−=
⎧
⎨
−++=
⎩
22
x3y40
(x 1) (y 1) 10
⇔ ⇔
=+
⎧
⎨
+++=⇔+=
⎩
22 2
x3y4
(3y3) (y1) 10 (y1) 1

=
⎧
⎨
=
⎩
x4
y0
∨
= −
⎧
⎨
= −
⎩
x2
y2

Vậy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)
Ví dụ
(ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường
tròn (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn
(C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C’)
Giải
(C
1
) có tâm I (1, 2), R = 2.
Gọi I’ là đối xứng I qua (d)

Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d)
(Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1)
H là trung điểm của II’
Giả sử I’ (x, y) thì ⇒
+
⎧
=
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩
x1
2
2
y2
1
2
⇒
=
⎧
⎨
=
⎩
x3
y0

⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2. (C’) : (x – 3)
2
+ y
2
= 4

3
Giải hệ
⎧
⇔
−+− =
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩
22
22
(x 1) (y 2) 4
(x 3) y 4
⎧
− +=
⎨
−−=
⎩
22
(x 3) y 4
xy10

⇔ ⇔ ∨

=+
⎧
⎨
−=
⎩
2
xy1
2y 4y 0
=
⎧
⎨
=
⎩
x1
y0
=
⎧
⎨
=
⎩
x3
y2

Vậy giao điểm của (C) và (C’) là A (1, 0) và B (3, 2).
Ví dụ (ĐH KHỐI A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
d
1
: x – y = 0 và d
2
: 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A

thuộc d
1
, đỉnh C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Giải
A ∈ d
1
⇔ A (m; m). C ∈ d
2
⇔ C (n; 1 – 2n)
Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông nên :
A và C đối xứng nhau qua Ox ⇔
mn
m2n1
=
⎧
⎨
= −
⎩
⇔
m1
n1
=
⎧
⎨
=
⎩

Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Gọi (C) là đường tròn đường kính AC

⇒ Phương trình (C) : (x–1)
2
+y
2
=1. B và D là giao điểm (C) và Ox nên tọa độ của B, D
là nghiệm của hệ :
22
(x 1) y 1
y0
⎧
⎪
−+=
⎨
=
⎪
⎩
⇔ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0)
=∨=
⎧
⎨
=
⎩
x0x2
y0
Vậy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0)
hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0).
Ví dụ (ĐH KHỐI B-2005)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4).
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm
của (C) đến điểm B bằng 5.
Giải

Gọi I (x; y) là tâm của (C). Ta có : (C) tiếp xúc Ox tại A ⇒
IA i⊥
JJG JG
= (1; 0) ⇔ x – 2 = 0
⇔ x = 2
IB = 5 ⇔ (x – 6)
2
+ (y – 4)
2
= 25
⇔ (2 – 6)
2
+ (y – 4)
2
= 25 ⇔ (y – 4)
2
= 9
⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1
Trường hợp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7
Suy ra pt (C) : (x – 2)
2
+ (y – 7)
2
= 49
Trường hợp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1
⇒ pt (C) : (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 1.

Ví dụ
(ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A -2002)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn:
(C
1
) : x
2
+
y
2
– 10x = 0; (C
2
) : x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 20 = 0

4
1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C
1
), (C
2
) và có tâm nằm trên
đường thẳng x + 6y – 6 = 0.
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C
1
) và (C
2
).

Giải
1) Phương trình chùm đường tròn qua các giao điểm của (C
1
), (C
2
) là :
m(x
2
+ y
2
– 10x) + n(x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 20) = 0 với m
2
+ n
2
> 0
⇔ (m + n)x
2
+ (m + n)y
2
+ (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0
⇔ x
2
+ y
2
+
4n 10m 2n 20n

xy
mn mn mn
−
⎛⎞
−−
⎜⎟
+++
⎝⎠
0=

Có tâm I
5m 2n n
;
mn mn
−
⎛⎞
⎜⎟

++
⎝⎠
Vì tâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒
5m 2n 6n 6m 6n
0
mn
− +− −
=
+

⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2
Vậy phương trình đường tròn là :x

2
+ y
2
– 24x + 2y + 20 = 0.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C
1
), (C
2
).
(C
1
) có tâm I
1
(5; 0), bán kính R
1
= 5
⇒ I
1
I
2
< R
1
+ R
2
(C
2
) có tâm I
2
(−2; 1), bán kính R
2

= 5
Vì (C
1
), (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm nên có 2 tiếp tuyến chung.
Vì x = x
o
không thể là tiếp tuyến chung nên pt tt chung Δ có dạng :
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0
Δ tiếp xúc với (C
1
) ⇔ d(I
1
, Δ) = R
1
⇔
2
5a b
5
a1
⏐+⏐
=
+

⇔⏐5a + b⏐ =
2
5a 1+
(1)
Δ tiếp xúc với (C

2
) ⇔ d(I
2
, Δ) = R
2
⇔
2
2a 1 b
a1
⏐−−+⏐
+
= 5
⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ =
2
5a
(2)
1+
(1) và (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐
⇔ ⇔
5a b 2a 1 b
5a b 2a 1 b
+=− −+
⎡
⎢
+=+ +−
⎣
1
a
7
3a 1

b
2
⎡
=−
⎢
⎢
− +
⎢
=
⎢
⎣

Thế a =
1
7
−
vào (1) ta có : b
1
=
5252
7
+
; b
2
=
5252
7
−

Vậy ta có 2 tiếp tuyến là : x + 7y – 5 +

25 2
= 0
x + 7y – 5 −
25 2
= 0.
Cách khác: Vì R = R
2
và 2 đường tròn cắt nhau nên 2 tiếp tuyến chung là 2 đường
thẳng song song với Vậy phương trình 2 tiếp tuyến có dạng :
1
12
II ( 7;1)=−
JJJJG
x + 7y+m = 0 (Δ)
d(I
1
, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ =
+
2
57 1
⇔ m = – 5
±
25 2
Vậy
phương trình 2 tiếp tuyến là x + 7y – 5
±

25 2
= 0.

5