Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
1
PHẦN ÔN TẬP: LƢỢNG GIÁC LỚP 10
CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC THƢỜNG DÙNG

 Hệ thức cơ bản
22
sin cos 1aa

22
sin 1 cosaa

22
cos 1 sinaa

tan .cot 1aa

1
tan
cot
a
a
;
1
cot
tan
a
a

sin
tan

cos
a
a
a
;
cos
cot
sin
a
a
a


2
2
1
1 cot
sin
a
a
;
2
2
1
1 tan
cos
a
a

 Công thức cộng
sin( ) sin cos cos sina b a b a b

cos( ) cos cos sin sina b a b a b


tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab

2
tan cot
sin2
xx
x


 Công thức góc nhân đôi và hệ quả
sin 2 2sin cosa a a

1
sin cos sin2
2
a a a

2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a

2
1 cos2 2cosaa

2
1 cos2 2sinaa


 Công thức nhân ba
3
cos3 4cos 3cosa a a

3
sin3 3sin 4sina a a


 Công thức hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
a
a

2
1 cos2
cos
2
a
a

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
2


 Công thức biến đổi
Tổng thành tích
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab

Tích thành tổng
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )

2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
cos .sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b


BÀI TẬP
Bài 1. Thu gọn biểu thức lượng giác:
1/
cot cos
cos tan
xx
A
xx

2/
22
sin (1 cot ) cos (1 tan )B x x x x

3/
1
tan 1
cos2

Cx
x

4/
1 cos cos2
sin2 sin
xx
D
xx

Bài 2. Chứng minh đẳng thức lượng giác
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a

2
1 cos2
cot
1 cos2
a
a
a

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
3
1/

2sin2 sin4
tan2 .cos
2.(cos3 cos )
aa
aa
aa

2/
sin5 sin
2sin
cos4 cos2
xx
x
xx

3/
sin5 2sin (cos2 cos4 ) sinx x x x x

4/
sin sin 2
tan
1 cos cos2
xx
x
xx

5/
2
1 cos cos2 cos3
2cos

2cos cos 1
x x x
x
xx

6/
3
(tan cot ) cos cos sinx x x x x



Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
4
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VÀ
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
DẠNG 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Phương pháp.
tanyu
TXĐ:
cos 0u


cotyu
TXĐ:
sin 0u


()

()
Ax
y
Bx
TXĐ:
( ) 0Bx


()y A x
TXĐ:
( ) 0Ax

Bài tập. Tìm tập xác định của hàm số sau
a)
tan
4
yx

b)
tan coty x x

c)
3 sin3
tan
x
y
x

d)
cos( 2)

sin2 1
x
y
x

DẠNG 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Phƣơng pháp:
1 sin 1u


1 cos 1u

Bài tập. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
4sin 5yx

b)
7 3cosyx

c)
7cos3 1yx

d)
2 3sin
6
yx

VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
DẠNG 1: Giải phƣơng trình
sin ( 1 1)u a a

Phƣơng pháp
+) Nếu
a
là giá trị đặc biệt, đưa
sinav

2
sin sin ( )
2
u v k
u v k
u v k

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
5
+) Nếu
a
không phải là giá trị đặc biệt
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
u a k
u a k
u a k

+)
sin 0 ;u u k k
.
+)

sin 1 2 ;
2
u u k k
.
+)
sin 1 2 ;
2
u u k k
.
Bài tập. Giải phương trình
a)
sin2 sin 3
2
xx

b)
3
sin
2
x

c)
3
sin 2
4
x

d)
1
sin( 60 )

2
x

DẠNG 2: Giải phƣơng trình
cos ( 1 1)u a a

Phƣơng pháp
+) Nếu
a
là giá trị đặc biệt, đưa
cosav

2
cos cos ( ).
2
u v k
u v k
u v k

+) Nếu
a
không phải là giá trị đặc biệt


+)
cos 0 ;
2
u u k k
.
+)

cos 1 2 ;u u k k
.
+)
cos 1 2 ;u u k k
.
Bài tập. Giải phương trình
a)
cos 3 cos
64
x

arccos 2
cos ( )
arccos 2
u a k
u a k
u a k
Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
6
b)
cos cos2 0
2
xx

c)
1
cos( 2)
3
x

d)
2
1
cos 2
4
x

DẠNG 3: Giải phƣơng trình
tanua

Phƣơng pháp:
TXĐ:
\,
2
D k k

+) Nếu
a
là giá trị đặc biệt, đưa
tanav

tan tan ;u v u v k k

+) Nếu
a
không phải là giá trị đặc biệt
tan arctan ; ( )u a u a k k

Bài tập. Giải phương trình
a)

tan 1x

b)
tan(2 45 ) 1 0x

c)
tan 5 1 0
6
x

d)
3.tan 3 6 0
6
x

DẠNG 4: Giải phƣơng trình
cotua

TXĐ:
\,D k k

+) Nếu
a
là giá trị đặc biệt, đưa
cotav

cot cot ;u v u v k k

+) Nếu
a

không phải là giá trị đặc biệt
cot arccot ; ( )u a u a k k

Bài tập. Giải phƣơng trình
a)
3 cot2 0x

b)
cot( 60 ) 1x

c)
3.cot 2 3
4
x

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
7
d)
2
3.cot 1 0
3
x

DẠNG 5: Giải phƣơng trình lƣợng giác gần cơ bản
Phƣơng pháp:

cos cos cos cos( )u v u v

sin sin sin sin( )u v u v

tan tan tan tan( )u v u v

cot cot cot cot( )u v u v

sin cos sin sin
2
u v u v

tan cot tan tan
2
u v u v

cos sin cos cos
2
u v u v

sin cos sin sin
2
u v u v

Nhắc lại:
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
Ax
A x B x
Bx

Bài tập. Giải phương trình
a)

(2 cos )(3cos3 1) 0xx

b)
cos2 .tan 0xx

c)
cos3 sin2xx

d)
cos3 sin 2 0xx

e)
sin3 sin5 0xx

f)
2
cot3 tan
5
x

BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Giải phương trình
a)
tan 3 tan2 0
4
xx

b)
tan 2 .tan 2 1
34

xx

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
8
c)
22
tan 4 tan 2
4
xx

d)
tan 3 cot 2 0
54
xx

Bài 2. Giải phương trình
a)
sin sin2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x

b)
1 2sin .cos2 sin 2cos2x x x x

c)
cos7 sin8 cos3 sin 2x x x x

d)
cos (cos2 sin3 ) sin .cos3 sin2 .sinx x x x x x x

VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
THEO MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

DẠNG 1: Phƣơng trình bậc hai đối với hàm số sin
2
sin sin 0a u b u c

Phƣơng pháp
Đặt
sintu

( 1 1)t
. Khi đó ta có:
2
0at bt c

Bài tập. Giải phương trình
a)
2
3
3.sin sin 0
2
xx

b)
2
sin 5sin 6 0xx

c)
2
sin 2sin 3 0
22
xx

DẠNG 2: Phƣơng trình bậc hai đối với hàm số cos
2
cos cos 0a u b u c

Phƣơng pháp
Đặt
costu

( 1 1)t
. Khi đó ta có:
2
0at bt c

Bài tập. Giải phương trình
a)
2
2cos 3cos 1 0xx

b)
2
2cos 2 3cos2 2 0xx

c)
2
22
7cos 2cos 1 0
33
xx

DẠNG 3: Phƣơng trình bậc hai đối với hàm tan và cot
2
tan tan 0a u b u c
(hoặc
2
cot cot 0a u b u c
)
Phƣơng pháp
Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
9
Đặt
tantu
(hoặc
cottu
) . Khi đó ta có:
2
0at bt c

Bài tập. Giải phương trình
a)
2
2tan 7tan 6 0xx

b)
2
3.tan 2 4tan2 3 0xx

c)
2
cot 4cot 3 0xx

d)
2
cot 2 cot2 6 0xx

BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1. Giải phương trình
a)
cos2 3sin 2xx

b)
32
tan 3tan 2tan 4 0x x x

c)
1 cos cos2 0xx

d)
cos2 5sin 3 0xx

Bài 2. Giải phương trình
a)
tan tan 2
4
xx

b)
2
3
tan 9

cos
x
x

c)
22
3
sin 2 2cos 2
4
xx

d)
2
cos2 3cos 4cos
2
x
xx

VẤN ĐỀ 4: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
ĐỐI VỚI SIN VÀ COS
DẠNG: Phƣơng trình bậc nhất
sin cosa u b u c

Phƣơng pháp: Điều kiện phương trình có nghiệm:
2 2 2
a b c

Chia 2 vế của phương trình cho
22
ab

, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
sin cos
a b c
uu
a b a b a b

Công thức:
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b

hoặc
Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
10
2 2 2 2 2 2
cos sin
sin cos
a b c
uu
a b a b a b

Công thức:
sin( ) sin .cos cos .sina b a b a b

Bài tập
Bài 1. Giải phương trình
a)
sin cos 2xx

b)

sin cos 1xx

c)
sin2 3.cos2 1xx

d)
cos3 3.sin3 2xx

e)
3sin 4cos 5
22
xx

f)
3.sin2 cos2 2xx

Bài 2. Giải phương trình
a)
6
sin cos
2
xx

b)
sin( ) 1 cosxx

c)
cos 3sin 2cos3x x x

d)

sin9 3.cos7 sin7 3.cos9x x x x

VẤN ĐỀ 5: PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI
DẠNG. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai
2
sin sin .cos cosa u b u u c u d
(*)
Phƣơng pháp
TH1.
2
cos 0 sin 1uu
. Thay vào phương trình (*)
+) (*) đúng thì
2
uk
là nghiệm phương trình.
+) (*) sai thì
2
uk
không là nghiệm phương trình.
TH2.
cos 0u
. Chia 2 vế phương trình (*) cho
2
cos u

Ta được phương trình:
22
tan tan (1 tan )a u b u c d u

Bài tập
Bài 1. Giải phương trình
Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
11
a)
22
cos 3sin 2 3.sin .cos 1x x x x

b)
22
2sin sin .cos 3cos 0x x x x

c)
2
3sin sin .cos 3x x x

d)
22
3.sin sin2 cos 0x x x

e)
22
3sin sin .cos 4cos 2x x x x

Bài 2. Giải phương trình
a)
3 2 2 3
sin 4cos .sin cos .sin 2cos 0x x x x x x

b)

32
2sin sin 3sin .cos 0x x x x

c)
1
4sin 6cos
cos
xx
x

d)
22
3sin 2 4sin2 .cos2 5cos 2 2x x x x

VẤN ĐỀ 6: PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG
DẠNG. Phƣơng trình đối xứng – phản đối xứng
(sin cos ) .sin cos 0a u u b u u c

Phƣơng pháp
Đặt
sin cos 2.sin
4
t u u u
,
22t


2
1
sin cos

2
t
uu

Thay vào phương trình ta được phương trình bậc hai theo
t
.
Bài tập
Bài 1. Giải phương trình
a)
sin cos 4sin .cos 1 0x x x x

b)
2(sin cos ) sin2 1 0x x x

c)
sin cos 1 sin2x x x

d)
3(sin cos ) 2sin2 3 0x x x

e)
cos sin 3sin 2 1 0x x x

Bài 2. Giải phương trình
a)
33
2
sin cos
2

xx

b)
1 2 1 sin cos sin2x x x

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
12
c)
2sin 3sin .cos 1 0
4
x x x

d)
11
22
sin cosxx

e)
2
sin cos 3cos 2
22
xx
x

VẤN ĐỀ 7: CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÁC
Phƣơng pháp. Biến đổi phương trình về các dạng đã học ở trên hoặc
đưa về dạng phương trình tích
Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
a)

cos7 .sin6 cos5 .sin8x x x x

b)
sin sin2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x

c)
sin 2sin5 cosx x x

d)
sin 2 cos 1 2sinx x x

Bài 2. Giải các phương trình sau
a)
2 2 2 2
sin 4 sin 3 sin 2 sinx x x x

b)
46
cos2 4sin 8cosx x x

c)
1 cos cos2 cos3 0x x x

d)
3 2sin .sin3 3cos2x x x

e)
2
sin sin cos 1 cos cosx x x x x

f)
2
(2sin 1)(2sin2 1) 3 4cosx x x

Bài 3. Giải các phương trình sau
a)
1
2tan cot 2sin 2
sin2
x x x
x

b)
1
4sin 3cos 4(1 tan )
cos
x x x
x

c)
cos .cos2 1 sin .sin2x x x x

d)
sin 2sin3 sin5x x x

Bài 4. Giải các phương trình sau
a)
2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cosx x x x

b)

3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
13
c)
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
xx
xx

d)
(sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0x x x x x

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
14
TỔ HỢP – XÁC SUẤT

VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM
Phƣơng pháp. Sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân để giải
Quy tắc cộng. Nếu hành động H gồm có các hành động A hoặc B hoặc
C hoặc… và trong đó có
a
cách thực hiện A,
b
cách thực hiện B,
c

cách thực hiện C,… thì ta có:

abc
cách thực hiện hành động
H.
Quy tắc nhân. Nếu hành động H gồm có các hành động con A, B, C,…
và nếu có
a
cách thực hiện A,
b
cách thực hiện B,
c
cách thực hiện
C,… thì ta có:
. . abc
cách chọn để thực hiện hành động H.
Bài tập
Bài 1. Từ các chữ số 1, 2, 4, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên
a) Gồm ba chữ số?
b) Gồm ba chữ số đôi một khác nhau?
c) Gồm ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
c) Số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số?
d) Số tự nhiên lẻ gồm ba chữ số đôi một khác nhau?
e) Gồm ba chữ số mà chữ số nào cũng chẵn?
f) Gồm ba chữ số, trong đó có đúng một chữ số 3?
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên
a) Gồm bốn chữ số?
b) Gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một?
c) Số tự nhiên lẻ gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một?
d) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một?
e) Gồm bốn chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai đều là số
chẵn?
Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
15
Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số trong đó các chữ số
cách đều chữ số đứng giữa phải giống nhau?
Bài 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số đôi một khác
nhau?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 400 và có ba chữ số đôi
một khác nhau?
Bài 6. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau đôi một
1 2 3 4 5 6
n a a a a a a
sao cho
1 6 2 5 3 4
10a a a a a a

Bài 7. Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và
C. Hỏi có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B?
Bài 8. Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn
chọn ra một đoàn đại biểu 5 người gồm trưởng đoàn, thư kí và ba thành
viên đi dự trại hè. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu nói
trên?
Bài 9. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý
nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả
nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?

VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP
DẠNG 1. Rút gon biểu thức

Phƣơng pháp
Bước 1. Sử dụng công thức, tính chất về giai thừa, hoán vị
! 1.2.3
n
P n n

Bước 2. Khai triển và rút gọn
Bài tập
Bài 1. Rút gọn biểu thức
a)
( 1)!(2 3)!
,
( 2)!(2 1)!
nn
An
nn

b)
( 2)!(2 2)!
,
( 1)!(2 1)!
nn
Bn
nn

c)
32
32
( 4)!( 3 2 )( 2)!
,

!( 5 2 24)( 2)!
n n n n n
Cn
n n n n n

d)
2 7!4! 8! 9!
3 101 3!5! 2!7!
D

Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
16
e)
1 2 3
,
2! 3! 4! ( 1)!
n
En
n

Bài 2. Rút gọn biểu thức

DẠNG 2. Giải phƣơng trình
Phương pháp chung
Bước 1. Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Bước 2. Khai triển biểu thức, sau đó đưa về dạng phương trình
cơ bản.
Bài tập
Bài 1. Giải phương trình
a)

! 1 !
1
1 ! 6
xx
x

b)
2
23
8P x P x

c)
1
1
1
6
nn
n
PP
P

d)
12
4
n n n
P P P

Bài 2. Giải phương trình
a)
3

20
n
An

b)
21
3
nn
AA

c)
22
2
2 50 0
nn
AA

d)
22
2
3 42 0
nn
AA

e)
22
2
2 50
nn
AA

f)
2
4
13
210
.
n
n
n
P
AP
.
DẠNG 3. Bài toán
Bài tập
Bài 1. Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập nên từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong đó có bao nhiêu số tự nhiên
a) Bắt đầu bởi chữ số 2?
Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
17
b) Không bắt đầu bởi chữ số 2?
c) Bắt đầu bởi 13?
d) Không bắt đàu bởi 13
e) Là số lẻ?
f) Là số chẵn?
Bài 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên
a) Là số lẻ gồm bảy chữ số khác nhau từng đôi một?
b) Là số chẵn gồm saú chữ số khác nhau từng đôi một?
c) Có bốn chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5.

Bài 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm năm chữ số khác nhau và
a) nhỏ hơn 40000
b) nhỏ hơn 45000
Bài 4. Hỏi có thể sắp xếp 30 tập sách theo bao nhiêu cách khác nhau để
có
a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
b) Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
Bài 5. Có bao nhiêu cách chọn 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ từ
lớp có 40 học sinh?
Bài 6. Từ các chữ số 0, 1, 3, 6, 9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên
a) Gồm bốn chữ số khác nhau?
b) Là số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau?
c) Gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
Bài 7. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác
nhau sao cho
a) Bắt đầu bởi chữ số 7?
b) Tận cùng bởi số 45?
c) Luôn có mặt chữ số 9?
d) Có tổng bốn chữ số là 12?
Bài 8. Cho tập hợp
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7X
. Có bao nhiêu số tự nhiên
được thành lập từ các phần tử của
X
nếu số đó
a) Là số gồm năm chữ số đôi một khác nhau?
b) Là số lẻ gồm ba chữ số khác nhau?
c) Là số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ
số 7?

d) Là số gồm năm chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ
số 1 và 2?
Trường THPT Bà Điểm GV: Lê Thị Ngọc Bích
18
e) Là số có ba chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 300 và nhỏ hơn
600?
Bài 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, trong đó chữ số 1 và 3 luôn đúng
cạnh nhau?
Bài 10. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có
ba chữ số khác nhau và không chia hết cho 3?

VẤN ĐỀ 4. TỔ HỢP
Bài 1. Rút gọn biểu thức
a)
2
4!.( 1) ( 1)!
.
( 2)!
( 1)( )
n n n
A
n
n n n

b)
32
32
( 4)!.( 3 2 ).( 2)!
!.( 5 2 24).( 2)!

n n n n n
B
n n n n n

c)
0 1 2
1. 2. 3. ( 1) ,
n
n n n n
C C C C n C n

Bài 2. Giảỉ phương trình
a)
( 2)!
7 14
!
n
n
n

b)
10( 1)! 2
4,
( 1)! 1
n
n
nn

c)
32

2
20
nn
CC

d)
1 2 3 2
6. 6. 9 14
n n n
C C C x x

Bài 3. Cho
r n
. Chứng minh rằng
a)
1
1
.
rr
nn
n
CC
r

b)
1 2 1
1 2 1

r r r r
n n n r

C C C C

Bài 4. Cho
k
và
n
là hai số tự nhiên sao cho
4 kn
. Chứng minh
rằng:
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

Bài 5. Chứng minh đẳng thức
1 2 3 2 3
23
2. 5 4
k k k k k k
n n n n
nn
C C C C C C

Bài 6.