Chuyên đề Hàm số và đồ thị

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

1

Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ.
1. Hàm số dạng y =
( )
( )
f x
g x
. (1)
TXĐ: D =




g g g
x D g(x) 0 D \ x D g(x) = 0
   
2. Hàm số dạng y =
( )
f x
. (2)
TXĐ: D =


f
x D f(x) 0

 
3. Hàm số có dạng y = lnf(x).
TXĐ: D =


f
x D f(x) > 0

Do vậy ta chuyển các bài toán tìm tập xác định của hàm số vào chủ đề phương trình và hệ
phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình.
II. TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ.
1. Tìm tập giá trị bằng định nghĩa.
ĐN. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. y là một giá trị thuộc tập giá trị của f(x) khi và chỉ
khi phương trình f(x) = y có nghiệm thuộc D.
PP. Tìm điều kện y để phương trình f(x) = y có nghiệm. Phương pháp này thường dùng cho
các hàm số có tập xác định R.
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y =
2 1
1
x
x


.
Giải: TXĐ. R \


1
.
Phương trình y =

2 1
1
x
x





2 1
1
yx y x
x
  






( 2) 1
1
y x y
x
  






y

2
Vậy tập giá trị của hàm số là R \


2
.
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị của hàm số y =
2
2 1
2 1
x x
x
 

.
Giải: TXĐ. R \
1
2
 

 
 
.
Phương trình y =
2
2 1
2 1

x x
x
 




2
2yx + y = 2x - x - 1
1
x
2



 




2
2 (2 1) 1 0
1
2
x y x y
x

    



 




4y
2
+ 4y + 1 + 8y + 8

0

4y
2
+ 12y + 9

0: Bất phương trình này thoả với mọi y.
Vậy tập giá trị của hàm số là R.
Ví dụ 3. Tìm tập giá trị của hàm số y =
2
1
x
x

.
Giải: TXĐ. R \


1
.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

2

y =
2
1
x
x




2
yx - y = x
x 1






2
0
1
x yx y
x

  






y
2
- 4y

0

y

0 hoặc y

4.
Vậy tập giá trị của hàm số là
( ;0) (4; )
  

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = 0 có nghiệm

Giải:
Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1)
Do sinx + cosx


2
nên sinx + cosx - 2 < 0. Suy ra sinx + cosx - 2

0

(1)


sin
sin cos 2
x
x x
 
= m (2)
Đặt y =
sin
sin cos 2
x
x x
 

TXĐ: R
Gọi y là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số.
Khi đó phương trình y =
sin
sin cos 2
x
x x
 
có nghiệm.
y =
sin
sin cos 2
x
x x

 


(y - 1)sinx + ycosx - 2y = 0
Phương trình này có nghiệm khi chỉ khi (y - 1)
2
+ y
2


(- 2y)
2



2y
2
+ 2y - 1

0

- 1 - 3 - 1 + 3
y
2 2
  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
- 1 - 3 - 1 + 3
m
2 2
 

BTII.1.
1) Tìm tập giá trị của hàm số
a)
2
2
1
1
x
y
x




b)
2
2
1
x
y
x



2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm :

sinx - 2cosx + 1
= 1 - 2m
sinx + 2

HD. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Phương trình f(x) = k có nghiệm trên D khi và chỉ
khi k thuộc tập giá trị của f(x).
3) Chứng minh - 1
2
2
cos 2 cos
1
2 cos 1
x x
x x
 

 
 
 
, với
(0; )
 


HD. Tìm tập giá trị của hàm số
2
2
cos 2 cos
2 cos 1
x x
y
x x
 


 

 

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

3

4)* Tìm a để tập giá trị của hàm số
2
1
x
y
x a



chứa đoạn [0; 1]
5)* Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3
4
2
12 ( )
36
x x a
y
x

 


 

 

HD. Tìm tập giá trị của hàm số
3
4
2
12 ( )
36
x x a
y
x

 

 

 
.
2. Tìm tập giá trị bằng phương pháp bất đẳng thức.

PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D.
Nếu m

f(x)

M,
x D

 
thì tập xác định của f(x) là [m; M]
Nếu m

f(x),
x D
 
thì tập xác định của f(x) là [m; +

)
Nếu f(x)

M thì tập xác định của f(x) là ( -

; M]
Chú ý nếu không có dấu bằng trong các bất đẵng thức trên thì phải thêm điều kiện về giới hạn.
Ví dụ: f(x) > m,
x D
 
thì không thể kết luận ngay tập giá trị của f(x) là (m; +

)
mà phải có thêm điều kiện
0
lim
x x

f(x) = m.
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y =
2

2
1
x
x

.
Giải: Ta có
2
2
1 1
1
x
x
  

,
x R
 
, y =
2
2
1
x
x

liên tục trên R. Vậy tập giá trị của hàm số y =
2
2
1
x

x

là [-1; 1].
Ví dụ 2. y =
2 2
1 1
x x x x
    

Giải: Ta có:
y
=
2 2
2
1 1
x
x x x x
    
=
2 2
2
1 3 1 3
( ) ( )
2 4 2 4
x
x x
    




2 2
2
1 1
( ) ( )
2 2
x
x x  
=
2
1 1
2 2
x
x x
  


2
1 1
2 2
x
x x
  
=
2
2
x
x
= 1

Dấu bằng không xảy ra vì hệ sau vô nghiệm:

0
1 1
0 ( )( ) 0
2) 2
0
x
x x x
x




    






Mặt khác ta có
2 2
lim ( 2 1 2 1)
x
x x x x

    
=
2 2
2
lim

1 1
x
x
x x x x

    
= - 1

2 2
lim ( 2 1 2 1)
x
x x x x

    
=
2 2
2
lim
1 1
x
x
x x x x

    
= 1
Hàm số đã cho liên tục trên R
Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1)
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

4

BTII.2. Tìm tập giá trị các hàm số sau
1) y =
2 2
2 3 2 3
x x x x
    

2) y =
2
4
x


3) y =
( 2)(3 2 )
x x
 
4) y = 3 6
x x
  


3. Tìm tập giá trị bằng phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số.

PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Khảo sát và lập bảng biến thiên, ta sẽ thấy
ngay tập giá trị của hàm số.
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y =
2

2
1
x
x

.
Giải: TXĐ: R
Ta có y' =
2 2
2 2
2(1 ) 4
(1 )
x x
x
 

=
2
2 2
2(1 )
(1 )
x
x



Bảng biến thiên:
Thấy ngay tập giá trị [ -1; 1]
Ví dụ 2. y =
2 2

1 1
x x x x
    

Giải: TXĐ: R
Ta có: y' =
2
2 1
2 1
x
x x

 
-
2
2 1
2 1
x
x x

 

* Nếu
1
2
 
x
1
2


thì y'

0
* Nếu x
1
2

thì y'

0

(x
2
- x + 1)(2x + 1)
2


(x
2
+ x + 1)(2x - 1)
2



-2x
2
+ 2x + x
2
- x + 1


2x
2
+ 2x - x
2
- x - 1


x
2

1


- 1
1
x
 

hay
1
2
1
x
 
thì y'

0
* Nếu x < -
1
2

thì y'

0

(x
2
- x + 1)(2x + 1)
2


(x
2
+ x + 1)(2x - 1)
2


-2x
2
+ 2x + x
2
- x + 1

2x
2
+ 2x - x
2
- x - 1

x
2

1


x
1
 
hoặc x

1.
hay với x < -
1
2
thì y'

0
Bảng biến thiên:

Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1)
BTII.3. Tìm tập giá trị các hàm số sau
1) y =
2 2
2 3 2 3
x x x x
    

x -

- 1 1 +


y' - 0 + 0 -

y
0 1

-1 0


x -

+


y' +

y

1

- 1

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

5

2) y = x +
2
4

x


3) y = x +
2
4
x


4) y = 4 4
x x
  


III. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ.
1. Điểm cố định.
ĐN. Điểm M(x
0
; y
0
) được gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là
tham số, nếu M(x
0
; y
0
) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x).
PP. M(x
0
; y
0

) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y
0
= f(m, x
0
),
m

.
hay phương trình y
0
= f(m, x
0
), thoả
m

.
Vậy M(x
0
; y
0
) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x) khi chỉ khi phương trình y
0
= f(m,
x
0
), thoả
m

. Từ đây suy ra x
0

, y
0
.
Ví dụ 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - 1
Giải: M(x
0
; y
0
) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - 1 khi chỉ khi phương trình
y
0
= m( x
0
- 1) + m - 1, thoả
m

.




mx
0
- 1 - y
0
= 0 thoả
m


x

0
= 0, y
0
= 1.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1)
1) Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ lớn hơn 1.
Giải:
1) M(x
0
; y
0
) là điểm cố định của đồ thị hàm số
y = x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x - 4m(m +1 )
khi chỉ khi phương trình : y
0
= x

3
0
- 3(m + 1)x
2
0
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x
0
- 4m(m +1 ) thoả
m

.


(2x
0
- 4)m
2
- (3 x
2
0
- 8 x
0
+ 4)m + x
3
0
- 3 x
2
0

+ 2 x
0
- y
0
= 0 thoả
m

.


0
2
0 0
3 2
0 0 0 0
2 4 0
3 8 4 0
3 2 0
x
x x
x x x y
 


  


   



x
0
= 2, y
0
= 0.
2) Từ 1) cho ta thấy khi y = 0 phương trình:
x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = 0 có 1 nghiệm x = 2
Vì thế phương trình tương đương với ( x - 2)[x
2
- (3m + 1)x + 2m(m +1)] = 0
Thấy ngay 3 nghiệm x = 2, x = 2m, x = m + 1.
Ta phải có:
2 2
1 2
2 1
2 1
1 1
m
m
m m
m
m




 


 




 




m >
1
2

m
1


Bài tập III.1.1
Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ (m
2

- 3m)x - m
2
+ 2m - 1 (1)
1) Tìm các điểm mà đồ thị (1) luôn luôn đi qua với mọi m.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

6

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Bài tập III.1.2. Tìm điểm cố định của đồ thị các hàm số sau đây
1) y = x
4
+ mx
2
- m - 5
2) y =
2
2
x x n
x n
  


3) y =
2
2 (1 ) 1
x m x m
x m
   



4) y = x
3
- (m + 1)x
2
- (2m
2
- 3m + 2)x + 2m( 2m - 1)
2. Điểm không có đồ thị nào đi qua.
ĐN. Điểm M(x
0
; y
0
) được gọi là điểm không có đồ thị nào của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong
đó m là tham số, đi qua nếu M(x
0
; y
0
) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x).
PP. M(x
0
; y
0
) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y
0
= f(m, x
0
),
không thoả

m

hay phương trình y
0
= f(m, x
0
), vô nghiệm m.
Từ đây suy ra x
0
, y
0
.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ đường thẳng:
y = m(x - 2) + m
2
- 1 đi qua
Giải: Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm như thế

y
0
= m(x
0
- 2) + m
2
- 1, vô nghiệm m


m
2
+ (x
0
- 2)m - 1 - y
0
= 0, vô nghiệm m


(x
0
- 2)
2
- 4(1 + y
0
) < 0


y
0
>
1
4
(
2
0 0
4
x x
 )

Đó là phần trong của parabol y =
1
4
(
2
4
x x
 )
(phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1)
Ví dụ 2. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 1 sao cho không có đồ thị nào của họ y =
2 2
m x + 1
x
đi qua.
Giải: Gọi M(x
0
; 1) là điểm như thế

1 =
2 2
0
0
m x + 1
x
, vô nghiệm m
Phương trình

2 2
0 0
0

x m = x - 1
x 0






(1)
Thấy ngay hệ (1) vô nghiệm m chỉ khi x
0
= 0 hoặc x
0
< 1.
Đó là tập hợp những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có hoành độ x < 1.
Bài tập III.2.1.
1) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua:
2
x + mx - 8
y =
x - m
.
2) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua:
2
(m - 2)x - (m - 2m + 4)
y =
x - m
.

3. Điểm chỉ có một số đồ thị đi qua.

f(x)=(x^2-4 x)/4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

7

ĐN. Điểm M(x
0
; y
0
) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) đi qua nếu M(x
0
; y
0
) thuộc
vào đúng k đồ thị của họ.
PP. Điểm M(x
0
; y
0

) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi phương trình
y
0
= f(m, x
0
) có đúng k nghiệm m.
Ví dụ. Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng bên phải trục tung có đúng hai đồ thị
của họ đồ thị hàm số
2 2
(m + 1)x - m
y =
x - m
đi qua.
Giải: Gọi A(x
0
; y
0
) , trong đó x
0
> 0. Xét phương trình
2 2
0
0
0
(m + 1)x - m
y =
x - m
(1)
(1)


2 2 2 2 2 2
2 2 2 4 2 2 2
2 2 4 2
2 2 4 2 3
yx - ym = mx + x - m m - (x + y)m - x + x
y = 0
(1)
x - m 0 x - m 0
Δ = (x + y) + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy =
= y + 2(x - 2x)y + x + 4x
δ' = (x - 2x) x - 4x = - 4x
 

 
 
 
 < 0, x > 0.
Δ > 0, x > 0, y.

  

Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập III.3.1.
1) Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng và không thuộc trục tung có đúng hai đồ thị
của họ đồ thị hàm số
2 2
x - mx - m
y =
x + m

đi qua.
2) Những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có bao nhiêu đồ thị của họ đồ thị hàm số sau đi qua:
y = x
4
- 2mx
2
+ m
2
+ 1 đi qua.
3) Cho hàm số
2 2
- x + mx - m
y =
x - m
, (C
m
)
a) Khảo sát hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
c) Tìm trên mặt phẳng các điểm có đúng hai đồ thị của họ (C
m
) đi qua.
IV. VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG.
1. Trục đối xứng.
Ta chỉ xét trục đối xứng là đường thẳng vuông góc trục hoành.
ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng là đường thẳng x = x
0
khi và chỉ khi qua phép biến
đổi

0
x = x + X
y = Y



hàm số đã cho trở thành Y = f(x
0
+ X) là một hàm số chẵn.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x
4
- 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1 có trục đối xứng. Từ đó suy ra
hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Giải:
Giả sử đường thẳng x = x
0
là trục đối xứng của đồ thị hàm số.
Khi đó qua phép biến đổi:
0
x x X
y Y
 





hàm số đã cho trở thành:
Y = (x
0
+ X)
4
- 4(x
0
+ X)
3
- 2(x
0
+ X)
2
+ 12(x
0
+ X) - 1
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

8

=
4 3 2 2 3 4
0 0
4 6 4
o o
x x X x X x X X
    -
-
3 2 2 3

0 0 0
4 12 12 4
x x X x X X
   -
-
2 2
0 0
2 4 2
x x X X
  +

0
12 12
1
x X
  


Y là hàm số chẵn của X
0
3 2
0 0 0
4 4 0
4 12 4 12 0
x
x x x
 





   



Suy ra: x
0
= 1.
Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
*Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Theo trên, khi x
0
= 1 thì Y = X
4
- 8X
2
+ 6
Hoành độ giao điểm của đồ thi với trục hoành là nghiệm phương trình:
y = 0

Y = 0

X
4
- 8X
2
+ 6 = 0


X

2
= 4
10



X =
4 10
  , X =
4 10
 
Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1
4 10
  , x = 1
4 10
 
Hoành độ 4 giao điểm với trục hoành là : x = 1
4 10
  , x = 1
4 10
 
***Từ ví dụ 1 trên đây ta suy ra một phương pháp giải phương trình bậc bốn nếu vế trái của
phương trình là một hàm mà đồ thị cuả nó có trục đối xứng.
Ví dụ 2: Giải phương trình x
4
+ 8x
3
+ 12x
2
- 16x + 3 = 0

Đặt y = x
4
+ 8x
3
+ 12x
2
- 16x + 3.
Giả sử đường thẳng x = x
0
là trục đối xứng của đồ thị hàm số.
Khi đó qua phép biến đổi:
0
x x X
y Y
 




hàm số đã cho trở thành:
Y = (x
0
+ X)
4
+ 8(x
0
+ X)
3
+ 12(x
0

+ X)
2
- 16(x
0
+ X) + 3 =
=
4 3 2 2 3 4
0 0
4 6 4
o o
x x X x X x X X
    -

3 2 2 3
0 0 0
8 24 24 8x x X x X X
    


2 2
0 0
12 24 12x x X X
   


0
16 16
3
x X
  



Y là hàm số chẵn, suy ra: x
0
= - 2
Y = X
4
- 12X
2
+ 35
Y = 0

X
2
= 5, X
2
= 7

X =
5

, X =
7

Suy ra bốn nghiệm X = - 2
5

, X = - 2
7


Bài tập tương tự:
BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2x
4
- 16x
3
+ 43x
2
- 44x + 14 có trục đối xứng. Từ đó
suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

9

ĐSố: x = 2
1
2

, x = 2
2

.
BT2. Giải phương trình 6x
4
+ 24x
3
+ 23x
2
- 2x - 1 = 0

ĐSố: x = - 1
2
3
 , x = - 1
3
2
 .
BT3. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x
4
+ 8x
3
+ 12x
2
- 16x + 3 có trục đối xứng. Từ đó suy
ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.
BT4. Tìm tất cả các giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng:
y = ax
4
+ 4x
3
- 2ax
2
+ 1
2. Tâm đối xứng.
ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có tâm đối xứng là M
0
(x
0
, y
0

) khi và chỉ khi qua phép biến đổi
0
0
x = x + X
y = y + Y



hàm số đã cho trở thành Y = f(x
0
+ X) - y
0
là một hàm số lẻ.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1 có một tâm đối xứng.

Giải:
Với M
0
(x
0
, y
0
) : Qua phép biến đổi
0
0
x = x + X

y = y + Y



hàm số đã cho trở thành
3 2
0 0 0
Y = 4(x + X) - 2(x + X) + 12(x + X) + 1
- y
0
=
= 4
3 2 2 3
0 0
12 12 4
o
x x X x X X
   -

2 2
0 0
2 4 2
x x X X
   +
+ 1 - y
0

Y là một hàm số lẻ

0

3 2
0 0 0
12x - 2 = 0
4x - 2x + 1 - y = 0







0
0
1
x =
6
97
y =
98








Vậy, đồ thị hàm số có đúng một tâm đối xứng là
0
1 97

M ;
6 98
 
 
 

**Chú ý: Bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng hay chứng minh đồ thị có tâm đối xứng ta đều đi
tìm tâm đối xứng.
Đối với hàm số bậc ba, bạn có thể chỉ ra tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị, nhưng như thế
không chứng minh được " có đúng một tâm đối xứng".
Ví dụ 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
2
x - 2x
y =
x - 1
.
Giải:
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

10

Giả sử M
0
(x
0
, y
0
) là tâm đối xứng. Qua phép biến đổi
0

0
x = x + X
y = y + Y



hàm số đã cho trở thành
2 2 2
0 0 0 0 0
0
0 0
2 2
0 0 0 0 0 0 0
0
( ) 2( ) 2( 1) 2
( ) 1 1
(2 2) 2
1
x X x X X x X x x
y Y
x X x X
X x y X x x x y y
Y
x X
      
  
   
      
 
 

Y phải là một hàm số lẻ, trong khi mẫu thức chỉ có thể là một hàm số lẻ, do đó tử thức phải là
một hàm số chẵn. Suy ra:
0 0
0 0 0
1 0 1
2 2 0 0
x x
x y y
  
 

 
   
 

Vậy tâm đối xứng duy nhất của đồ thị là M
0
(1, 0).
**Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng để thấy M
0
(1, 0),
rồi cho dù bạn dùng định lý trên để chứng minh M
0
(1, 0) là tâm đối xứng của đồ thị, vì qua phép
biến đổi
x = 1 + X
y = 0 + Y




hàm số đã cho trở thành
2 2
(1 ) 2(1 ) 1
X X X
Y
X X
   
  là một hàm số lẻ
thì lời giải vẫn chưa trọn vẹn bởi bạn chưa trả lời được câu hỏi: còn nữa không ?
Ví dụ : Chứng minh rằng M(- 1; - 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
2
x
y =
x + 1
.
Giải:
Qua phép biến đổi
x = -1 + X
y = 2 + Y



hàm số đã cho trở thành
2 2 2
( 1 ) 2 1 1
2
( 1 ) 1
X X X X
Y Y

X X X
    
     
  

Y là một hàm số lẻ. Suy ra đpcm.
Bài tập tương tự:
BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị các hàm số sau đều có một tâm đối xứng:
1) y =
2 - 3x
2x - 3
2) y =
2
2x + x - 1
x - 1

3) y = 2x
3
- 3x
2
+ 1
BT2. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số:
1) y =
2 + 3x
2x - 3
2) y =
2
2x - x - 1
x + 2

3) y = x
3
- x
2
+ x - 1

**Chú ý: Cần và đủ để điểm M'(x'; y') là điểm đối xứng của M(x: y) qua
i) M
0
(x
0
; y
0
) là
0
0
x + x' = 2x
y + y' = 2y



Đặc biệt qua O(0; 0) là
x + x' = 0
y + y' = 0




ii) Đường thẳng y = m là
x = x'

y + y' = 2m



Đặc biệt qua trục hoành là
x = x'
y = - y'




Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

11

3i) Đường thẳng x = m là
x + x' = 2m
y = y'



Đặc biệt qua trục tung là
x = - x'
y = y'




4i) Phân giác y = x là

x' = y
y' = x



, phân giác y = - x là
x' = - y
y' = - x




5i) Đường thẳng Ax + By + C = 0 : Xem Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.

Ví dụ1 : Tìm tất cả các cặp điểm M,N trên đồ thị hàm số
2
2
1
x x
y
x
 


đối xứng qua I (0; 5/2)
Giải: Gọi M(x
1
. y
1
), N(x

2
. y
2
). Ta có
2
1 1
1
1
2
1
x x
y
x
 


,
2
2 2
2
2
2
1
x x
y
x
 


, x

1
+ x
2
= 0, y
1
+ y
2
= 5
Suy ra: x
1
= - x
2
, y
1
= 5 - y
2
,
2
1 1
1
1
2
1
x x
y
x
 


, 5 -

2
1 1
1
1
2
1
x x
y
x
 

 

Suy ra: 5
2
1 1
1
2
1
x x
x
 


+
2
1 1
1
2
1

x x
x
 
 

Ví dụ2 : Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong
2
2
2
x x
y
x
 


qua đường
thẳng y = 2.
Giải: Gọi đồ thị hàm số
2
2
2
x x
y
x
 


là (C), đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = 2 là ( D)
M'(x'; y')


( D)



M(x; y) đối xứng M'(x'; y') và M(x; y)

(C)

2
2
1
'
4 '
x x
y
x
x x
y y

 








 





Suy ra
2 2 2
' ' 2 ' ' 2 ' 3 ' 2
4 ' ' 4
' 1 ' 1 ' 1
x x x x x x
y y
x x x
      
     
  
hay
2
3 2
2
x x
y
x
  


là hàm số
có đồ thị ( D).
Bài tập tương tự:
BT1. Với giá trị nào của m thì trên đồ thị hàm số y = x
3
- (m + 3)x

2
+ mx + m + 5 có cặp điểm
đối xứng nhau qua O. Tìm cặp điểm đó khi m = 1.
BT2. Cho hàm số y = x
3
+ 2x
2
- 4x - 3.
Chứng tỏ đồ thị cắt trục hoành tại A(-3; 0). Tìm B đối xứng A qua tâm đối xứng của đồ thị.
BT2. Viết phương trình đường cong đối xứng đường cong y = x
3
+ 3x
2
- 4 qua đường thẳng x =
1

V. VẤN ĐỀ TIẾP XÚC.
1. Tiếp tuyến của đồ thị .
1.1. Tiếp tuyến tại M
0
(x
0;
y
0
).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0;
y

0
)

(C) là:
y = f '(x
0
)( x - x
0
) + f(x
0
)
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

12


1.2. Tiếp tuyến đi qua M
0
(x
0;
y
0
).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Gọi d đường thẳng đi qua M
0
(x
0;
y
0

). Khi đó phương trình của
d là y = k( x - x
0
) + y
0
. d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

0 0
( ) ( ) ( )
'( )
f x k x x f x
f x k
  





(nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm).
VD1. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x


, (C) :
1) Tại M(3; 9/2).
2) Đi qua N(2; 0)

Giải: Ta có y ' =
2
2
2
( 1)
x x
x


.
1) y'(3) = 3/2. Suy ra phương trình tiếp tuyến là
3 9
( 3)
2 4
y x
  
hay
3 9
2 4
y x
 

2) Gọi d đường thẳng đi qua N(2; 0). Khi đó phương trình d là y = k(x - 2).
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2
2
2
( 2) (1)
1

2
(2)
( 1)
x
k x
x
x x
k
x

 











Thay k ở (2) vào (1) ta có:
2 2
2
2
0
0
2
( 2)

4
1 ( 1)
( 1) ( 2)
3
x
x
x x x
x
x x
x
x x x






   


 

  



i) x = 0 suy ra k = 0. Ta có tiếp tuyến y = 0.
ii) x =
4
3

suy ra k =
8
9

. Ta có tiếp tuyến y =
8
9

(x - 2).
VD2. Tìm trên đường thẳng y = 4 những điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
2
1
x
y
x


và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Giải. Vì y' =
2
2
2
( 1)
x x
x


nên x = 2 là một điểm cực trị và dô đó M(2; 4) là một điểm cực trị của
đồ thị hàm số. Suy ra đường thẳng y = 4 là một tiếp tuyến của đồ thị.
Gọi A(a; 4) là điểm thuộc đường thẳng y = 4. đường thẳng đi qua A tạo với đường thẳng y = 4

góc 45
0
nghĩa là tạo với trục hoành góc 45
0
thì có hệ số góc bằng 1 hoặc -1.
i) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1: y = x - a + 4
Xét hệ phương trình
2
2
2
4
1
2
1
( 1)
x
x a
x
x x
x

  











vô nghiệm.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

13

Suy ra không có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 tạo với đường thẳng y = 4 góc 45
0
.
ii) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng - 1: y = - x + a + 4
Xét hệ phương trình
2
2
2
4 (1)
1
2
1 (2)
( 1)
x
x a
x
x x
x

   







 




Từ (2) suy ra 2x
2
- 4x + 1 = 0

x = 1


1
2

Từ (1) suy ra
2 2 2
2 5 4 (2 4 1) 3
4
1 1 1
x x x x x x
a x
x x x
     
    
  

Do đó:
i) Khi x = 1 +
1
2
. Suy ra a =
2 2 1

. Ta có A(
2 2 1

; 4).
ii) Khi x = 1 -
1
2
. Suy ra a =
2 2 1
 
. Ta có A(
2 2 1
 
; 4).
VD3. Cho y = 2x
3
- 3(m + 3)x
2
+ 18mx - 8
1) Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành.
2) Chứng minh rằng trên parabol y = x
2

có hai điểm không thuộc đồ thị (1) dù m lấy bất
kỳ giá trị nào
Giải: Đồ thị tiếp xúc với trục hoành khi chỉ khi hệ sau có nghiệm
3 2
2
2 3( 3) 18 8 0 (1)
( 3) 3 0 (2)
x m x mx
x m x m

    


   



Từ (2) suy ra x = 3, x = m. Thay vào (1):
i) x = 3: 54 - 27(m +3) + 54m - 8 = 0

27m = 35

m =
35
27

ii) x = m: 2m
3
- 3(m + 3)m
2

+ 18m
2
- 8 = 0

m
3
- 9m
2
+ 8 = 0

m = 1, m = 8.
2. Hai đồ thị tiếp xúc.
ĐN. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D).
(C) và (D) được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm chung M
0
(x
0;
y
0
) nếu các tiếp tuyến của (C) và
(D) tại M
0
(x
0;
y
0
) trùng nhau.
Đlý: Cần và đủ để (C) và (D) tiếp xúc là hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )

f x g x
f x g x






(nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm)
VD1. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
 


(C)
1) Tìm trên trục tung những điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2) Tìm tất cả các giá trị a để (C) tiếp xúc parabol y = x
2
+ a.
Giải:
1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a). đường thẳng d qua A: y = kx + a
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

14

d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2
2
1
(1)
1
2
(2)
( 1)
x x
kx a
x
x x
k
x

 
 











Thay k ở (2) vào (1):
2 2
2 2 2
2
1 2
( 1)( 1) ( 2 ) ( 1)
1 ( 1)
x x x x
x a x x x x x x a x
x x
  
         
 


ax
2
- 2(a + 1)x + a - 1 = 0.
i) a = 0: Phương trình có nghiệm
ii) a

0: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

'

0

3a + 1


0

a

-
1
3
.
2) (C) tiếp xúc parabol khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2
2
2
2
1
(1)
1
2
2 (2)
( 1)
x x
x a
x
x x
x
x

 
 












Từ (2) suy ra x = 0 hoặc
2
2
2
( 1)
x
x




x = 0 hoặc 2x
2
- 5x + 4 = 0

x = 0.
Thay vào (1) ta có a = - 1.
VD2. Cho hàm số y = (x -1)
2
(x + 1)

2
, (C)
1) Tìm trên trục tung những điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
2) Tìm tất cả các giá trị b để (C) tiếp xúc parabol y = 2x
2
+ b.
Giải:
1) Gọi điểm thuộc trục tung A(0; a). đường thẳng d qua A: y = kx + a
d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
4 2
3
2 1 (1)
4 4 (2)
x x kx a
x x k

   


 



Thay a ở (2) vàp (1): 3x
4
- 2x
2
= 1 - a (3)
Đặt f(x) = 3x
4

- 2x
2
, Suy ra f '(x) = 12x
3
- 4x
Hàm số đạt cực tiwr tại x =
1
3

. Suy ra minf(x) = -
1
3

Hệ phương rình có nghiệm khi chỉ khi phương trình (3) có nghiệm

1 - a

-
1
3


a
4
3

.
2) (C) tiếp xúc parabol y = 2x
2
+ b


hệ phương trình sau có nghiệm

4 2 2
3
2 1 2 + b (1)
4 4 4 (2)
x x x
x x x

  


 



Từ (2) suy ra x = 0 , x =
2


i) x = 0: b = 1
ii) x =
2

: b = - 3
Bài tập tương tự:
BT1. Cho hàm số y = x
4
+ mx

2
- (m + 1) có đồ thị (C
m
)
1) Tìm điểm cố định của đồ thị.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

15

2) Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của (C
m
). Tìm m để tiếp tuyến tại A của
(C
m
) song song với đường thẳng y = 2x.
BT2. Cho hàm số y =
1
3
x
3
- mx
2
+ (2m - 1)x - m + 2 có đồ thị (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số khi m = 2.
2) Qua A(4/9; 4/3) kẻ được mấy tiếp tuyến đến (C). Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
3) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) nghịch biến trên (- 2; 0)
BT3. Cho các hàm số y = mx

2
- mx - 2 và
2
1
mx
y
x




1) Chứng minh rằng hai đồ thị của hai hàm số trên có cùng một điểm cố định.
2) Tìm m để điểm cố định trên trở thành tiếp điểm. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại
tiếp điểm.
BT4. Cho hàm số y = 2x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 18mx - 8 (1)
1) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành.
2) Chứng minh rằng trên parabol y = x
2
có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số (1) dù m lấy
bất kỳ giá trị nào.
HD.
1) Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

3 2
2
2 3( 3) 18 8 0 (1)

( 3) 3 0 (2)
x m x mx
x m x m

    


   



Để ý rằng (2) có 2 nghiệm x = 3, x = m.
2) Gọi điểm như thế là M
0
(x
0
; y
0
)

hệ phương trình sau vô nghiệm m:

3 2
0 0 0 0
2
0 0
2 3( 3) 18 8 (1)

(2)
y x m x mx

y x

    






Suy ra phương trình
2 3 2
0 0 0 0
2 3( 3) 18 8
x x m x mx
    
vô nghiệm m


3 2
0 0 0
2 (3 10) 18 8 0
x m x mx
    
vô nghiệm m


2 3 2
0 0 0 0
(18 3 ) 2 10 8 0
x x m x x

    
vô nghiệm m
BT5. Cho hàm số y = - x
4
+ 2mx
2
- 2m + 1 có đồ thị (C
m
)
1) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B.
2) Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại A và B vuông góc với nhau.
BT6. Tìm m để hai đường cong y = x
3
- 1 và y = - mx
2
tiếp xúc với nhau. Từ đó suy ra m > 0 để
phương trình x
3
+ mx
2
- 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
BT7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các cặp đường cong sau:
1) y = x
2
- 2x + 3 và y = x
2
- 4x + 5
2) y = x

2
- 5x + 6 và y = - x
2
- x - 14
***Chú ý: Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của parabol y = ax
2
+ bx + c khi và chỉ khi
phương trình ax
2
+ bx + c = px + q hay ax
2
+ (b - p)x + c - q = 0 có nghiệm kép, tức là


= (b - p)
2
- 4a(c - q) = 0
VD. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 2) và tiếp xúc parabol y = 2x
2
+ x + 1.
Giải: Đường thẳng d đi qua A: y = k(x - 1) + 2
d là tiếp tuyến của parabol khi chỉ khi phương trình 2x
2
+ x + 1 = k(x - 1) + 2 có nghiệm kép.

2x
2
+ (1 - k)x + k - 1 = 0 có nghiệm kép

(1 - k)

2
- 2(k - 1) = 0

k = 1, k = 3.
Hai tiếp tuyến : y = x + 1, y = 3x - 1.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

16


3. Họ đường thẳng tiếp xúc một đường cong cố định.
Bài toán. Chứng minh rằng họ đường thẳng (d
m
) luôn luôn tiếp xúc một đường cong cố
định.
Phương pháp. Tìm những điểm trong mặt phẳng mà họ đường thẳng (d
m
) không đi qua
với mọi m. Biên của tập hợp cần tìm là đường cong cố định cần tìm.
VD1. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y =
2 2
( 1)
m x m
x m
 

luôn luôn tiếp xúc một parabol
cố định.
Giải: Họ tiệm cận xiên (d

m
) : y = (m + 1)x + m
2
+ m
M(x: y) là điểm thuộc mặt phẳng sao cho không có đường thẳng của (d
m
) đi qua khi và chỉ khi
phương trình y = (m + 1)x + m
2
+ m vô nghiệm m

m
2
+ (x + 1)m + x - y = 0 vô nghiệm m


= (x + 1)
2
- 4(x - y) < 0

y < -
1
4
(x - 1)
2
.
Ta chứng minh (d
m
) tiếp xúc với parabol y = -
1

4
(x - 1)
2
.
Thật vậy, xét phương trình: (m + 1)x + m
2
+ m = -
1
4
(x - 1)
2



4(m + 1)x + 4m
2
+ 4 m = - (x - 1)
2



x
2
+ 2(2m + 1)x 4m
2
+ 4 m + 1 = 0
Phương trình này có nghiệm kép với mọi m. Suy ra điều phải chứng minh.
VD2. Chứng minh rằng họ đường thẳng phụ thuộc thâm số

:

( 1)cos ( 1)sin 4 0
x y
 
    
(d)
luôn luôn tiếp xúc một đường tròn cố định.
Giải: M(x; y) là điểm thuộc mặt phẳng sao cho không có đường thẳng nào của họ đi qua

phương trình
( 1)cos ( 1)sin 4 0
x y
 
    
vô nghiệm

.

(x - 1)
2
+ (y - 1)
2
< 16
Xét đường tròn:

(x - 1)
2
+ (y - 1)
2
= 16 có tâm I(1; 1), R = 4.

Ta có d(I, d) =
2 2
4
4
cos sin
 



= R. Suy ra họ đường thẳng d tiếp xúc đường tròn cố định:
(x - 1)
2
+ (y - 1)
2
= 16
Bài tập tương tự:
BT1. Chứng minh họ đường thẳng 4x - 2my + m
2
= 0 luôn luôn tiếp xúc một parabol cố định.
BT2. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ: y =
2
mx x m
x m
 

luôn luôn tiếp xúc một parabol cố
định.
BT3. Chứng minh họ đường thẳng
cos sin cos sin 2 0
x y

   
    
luôn luôn tiếp xúc một
đường tròn cố định.

VI. VẤN ĐỀ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ.


ĐLý. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D).
Xét hệ phương trình
( )
( )
y f x
y g x





(hệ cho biết toạ độ điểm chung (nếu có) của (C) và (D) (nếu có))
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

17

Từ hệ phương trình suy ra phương trình: f(x) = g(x) ( phương trình cho biết hoành độ điểm
chung (nếu có) của (C) và (D)).
(C) và (D) có bao nhiêu điểm chung khi và chỉ khi hệ
( )
( )

y f x
y g x





hay phương trình f(x) = g(x)
có bấy nhiêu nghiệm.
Từ đây có hai bài toán:
i) Biện luận số điểm chung của hai đồ thị (C) và (D) dựa vào hệ phương trình
( )
( )
y f x
y g x





hay phương trình f(x) = g(x).
ii) Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) hay hệ phương trình
( )
( )
y f x
y g x






dựa
vào số điểm chung của hai đồ thị (C) và (D) .
VD1. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx +1, (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3.
2) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (C
m
) luôn luôn cắt đồ thị hàm số y = x
3
+ 2x
2
+ 7
tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.
3) Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm C(0; 1), D, E sao cho các tiếp
tuyến của (C
m
) tại D, E vuông góc với nhau.
Giải. 2) Xét phương trình x
3
+ 3x
2
+ mx +1 = x

3
+ 2x
2
+ 7

x
2
+ mx - 6 = 0 (*)
Thấy ngay phương trình này luôn luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra đpcm.
Gọi A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) là các điểm chung. Khi đó x
1
, x
2
là nghiệm của (*)
x
1
+ x
2
= - m, x
1
x
2

= - 6 và:

3 2
1 1 1
2 7
y x x
  
,
3 2
2 2 2
2 7
y x x
  

Gọi I(x; y) là trung điểm của AB thì : x =
1 2
1
( )
2 2
m
x x
  


m = - 2x, x
1
+ x
2
= 2x
   

3 3 2 2
1 2
1 2 1 2
1
2 2
y y
y x x x x

     + 7 =
   
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3 ( ) 2 7
2
x x x x x x x x x x
 
      
 
 

=
 
2
3
1
8 3( 6)(2 ) 2 2( 6) 7
2
x x x
 

     
 
= 4x
3
+ 4x
2
+ 18x + 19.
Suy ra quỷ tích y = 4x
3
+ 4x
2
+ 18x + 19.
3) Xét phương trình x
3
+ 3x
2
+ mx +1 = 1

x
3
+ 3x
2
+ mx = 0


2
0 (1)
3 0 (2)
x
x x m




  


Với (1), ta có C(0; 1)
(2) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi 9 - 4m > 0

m < 4/9
Gọi A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) là các điểm chung khác C. Khi đó x
1
, x
2
là nghiệm của (2)
x
1
+ x
2
= - 3 x
1
x

2
= - m và:

2
1 1 1
' 3 6
y x x m
  
,
2
2 2 2
' 3 6
y x x m
  

Theo giả thiết :




' ' 2 2
1 2 1 1 2 2
1 3 6 3 6
y y x x m x x m
      
. Khai triển dạng tổng và tích của x
1
,
x
2

. Áp dụng Viet. Ta có các giá trị cần tìm của m.
VD2. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

18

2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x
3
- 3x
2
+ 1 - m = 0
Giải: 1) Bạn hãy tự giải.
2) pt

x
3
- 3x
2
+ 2 - 1 - m = 0

x
3
- 3x
2

+ 2 = 1 + m
Đặt y = x
3
- 3x
2
+ 2 có đồ thị (C)
y = 1 + m là họ đường thẳng
vuông góc trục tung và cắt trục
tung tại 1+m.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
i) 1 + m < - 2 hoặc 1 + m > 2

m < - 3 hoặc m > 1: 1 nghiệm.
ii) 1 + m = - 2 hoặc 1 + m = 2

m = - 3 hoặc m = 1: 2 nghiệm.
3i) - 2 < 1 + m < 2

- 3 < m < 1: 3 nghiệm.
VD3. Cho hàm số
2
1
x
y
x



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình:

2
1
x
x a
x
  


Giải: 1) Bạn hãy tự giải.
2) Đặt
2
1
x
y
x


có đồ thị (C)
y = - x + a là họ đường thẳng có hệ số
góc bằng - 1 không đổi, cắt trục trung tại a.
Chú ý hai vị trí tiếp tuyến:
Đường thẳng y = - x + a là tiếp
tuyến khi chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
2
2
2
1
2
1
( 1)

x
x a
x
x x
x

  






 



3 2 2

3 2 2


Suy ra: 2x
2
- 4x + 1 = 0


1
1
2

x  

Suy ra
2 2 2
2 (2 4 1) 3 1
1 1 1
x x x x x x
a x
x x x
    
   
  

1
1
2
x  


a =
2 2 3


1
1
2
x  

a =
3 2 2



Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
i) a <
3 2 2

hoặc a >
3 2 2

: Hai nghiệm phân biệt.
ii)
3 2 2

< a <
3 2 2

: Vô nghiệm.
f(x)=x^3-3x^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)

y =
1+
m

1+m

f(x)=(x^2)/(x-1)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)

3 2 2


2 2 3


Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

19

3i) a =
3 2 2

:
1
1
2
x  
; a =
2 2 3

:
1
1
2
x  
.
VD4. Cho hàm số y =
3
1
3
x
, (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2) Tuỳ theo m, biện luận số nghiệm phương trình
x
3
- 3mx - 3m = 0
Giải: 1) Bạn hãy tự giải.
2) Phương trình


3
1
3
x
= mx + m
Đặt y =
3
1
3
x
có đồ thị (C).
y = mx + m là họ đường thẳng quay xung quanh I( - 1; 0) cố định và có hệ số góc m.
Để ý rằng khi đường thẳng y = mx + m là tiếp tuyến thì hệ số góc m = 9/4.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả:
i) m < 9/4 : 1 nghiệm
ii) m = 9/4 : x = - 3/2
3i) m > 9/4: 3 nghiệm phân biệt
Bài tập tương tự:
BT1. Cho hàm số
2
4 3
2
x x
y
x
 



1) Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các giá tri k để đường thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
3) Tìm quỷ tích trung điểm I của đoạn AB.
BT2. Cho hàm số
3 4
1
x
y
x




1) Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các giá tri a để đường thẳng y = ax + 3 không có điểm chung nào với (C).
3) Từ một điểm A thuộc trục tung có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C).
BT3. Cho hàm số
2
( 0)
x x a
y a
x a
  
 

(1)
1) Xác định a để tiệm cận xiên đi qua (2; 0). Khi đó hãy khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ
thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các giá tri a để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = x - 1 tại hai điểm
phân biệt. Gọi y

1
, y
2
là tung độ các giao điểm , tìm hệ thức liên hệ y
1
, y
2
không phụ thuộc a.
BT4. Cho hàm số y = x
2
+ (2m + 1)x + m
2
- 1
1) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn luôn cắt đường thẳng y = x tại hai
điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi.
2) Chứng minh rằng với mọi m đồ thị luôn luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định. Xác
định phương trình đường thẳng đó.
HD. 2) Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến cố định khi chỉ khi :
Phương trình x
2
+ (2m + 1)x + m
2
- 1 = ax + b có nghiệm kép với mọi m.



Phương trình x
2
+ (2m - a + 1)x + m
2

- 1 - b = 0 có nghiệm kép với mọi m.
f(x)=x^3/3
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
f(x)

m=9/4

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

20





= (2m - a + 1)
2
- 4(m
2
- 1 - b) = 0 , mọi m.


4(1 - a)m + (1 - a)
2
+ 4(1 + b) = 0 , mọi m.


a = 1, b = - 1.
BT5. Cho hàm số y = x
4
+ 2x
2
- 3.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình: cos
4
t + 2cos
2
t + a - 1 = 0
3) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm t > 0 của phương trình: e
4t
+ 2e
2t
+ 2a - 3 = 0
BT6. Cho hàm số y =
2
x x


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:
2
x x

= mx
BT7. Cho hàm số
2
2
1
x x
y
x
 



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thi (D) của hàm số
2
2
1
x x
y
x
 



3) Dựa vào (C), biện luận theo a số nghiệm phương trình
2

2
1
x x
x
 

= ax - a + 1.
VII. VẤN ĐỀ QUỶ TÍCH ĐẠI SỐ.


Bài toán: Tìm quỷ tich những điểm M(x; y) :
( )
( )
x m
y m







, m tham số.


Phương pháp giải: Khử m trong hệ trên để được liên hệ y = f(x).


Chú ý:
1) Quỷ tich những điểm M(x; y) :

0
( )
x x
y m






, m tham số, là đường thẳng x = x
0
.
2) Quỷ tich những điểm M(x; y) :
0
( )
x m
y y






, m tham số, là đường thẳng y = y
0
.
3) Nếu tham số m có điều kiện thì phải suy ra điều kiện của x hoặc y để hạn chế quỷ tích.
VD1. Tìm quỷ tích đỉnh parabol y = x
2

- (m - 1)x - m
2
- 4
Giải: Đỉnh parabol I(x; y):
2 2
1
( 1)
2
( 1) 4
x m
y x m x m

 



    


Suy ra: y = x
2
- (2x+1 - 1)x - (2x + 1)
2
- 4 = - 5x
2
- 4x - 4.
Quỷ tích là y = - 5x
2
- 4x - 4.
VD2. Cho hàm số

2
2 ( 2)
1
x m x
y
x
 



1) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu.
2) Tìm quỷ tích các điểm cực đại và các điểm cực tiểu.
Giải:
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

21

1)
2
2
2 4 2
y'=
( 1)
x x m
x
  

. Hàm số có cực trị


2
2 4 2 0
1 0
x x m
x

   

 

có hai nghiệm phân
biệt


= 2m > 0

m > 0.
2) Với m > 0. Các điểm cực trị x
1
, x
2
là nghiệm phương trình: 2x
2
- 4x + 2 - m = 0 (1)
i) Quỷ tích cực đại.
Gọi M(x; y) là điểm cực đại của đồ thị. Ta có:

2 2
2

2
1
2
( 2 ) (2 2 )
2 2 2 2 2 2 2 2(2 2 ) 2
2 2
m
x
m x
y m m m x x

 





          



Ta có y = 2x
2
và x < 1.
ii) Quỷ tích cực tiểu.
Gọi N(x; y) là điểm cực đại của đồ thị. Ta có:

2 2
2
2

1
2
( 2 ) (2 2)
2 2 2 2 2 2 2 2(2 2) 2
2 2
m
x
m x
y m m m x x

 





          



Ta có y = 2x
2
và x > 1.
Bài tập tương tự:
BT1. Tìm quỷ tích đỉnh các parabol y = 2x
2
- 2(m + 1)x + (m - 1)
2
.
BT2. Cho hàm số

2
2 1
2 1
x mx
y
x
 


.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
BT3. Cho hàm số
2
4
2
x x m
y
x
 


. Chứng minh rằng, với mọi m làm cho hàm số có cực trị thì
các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định.
BT4. Cho hàm số
2
2 1
1
m
y x

x
  

.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
BT5. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
  


, (1)
1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Tìm quỹ tích các điểm cực trị của
đồ thị hàm số.
2) Tìm những điểm mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m.

VIII. VẤN ĐỀ SUY ĐỒ THỊ.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).
Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số:
1) y = - f(x) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị (C).
2) y = f(- x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung đồ thị (C).
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

22

3) y =
( )
f x
bằng cách:

Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía trên trục hoành (cả những điểm thuộc trục hoành)

Lấy đối xứng qua trục hoành phần của (C) nằm phía dưới trục hoành.
4) y = f(
x
) bằng cách:

Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía bên phải trục tung (cả những điểm thuộc trục tung)

Lấy đối xứng qua trục tung phần của (C) vừa giữ nguyên đó.
5)
y
= f(x)

Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía trên trục hoành (cả những điểm thuộc trục hoành)

Lấy đối xứng qua trục hoành phần của (C) vừa giữ nguyên đó.
VD. Từ đồ thị (C) của hàm số
2
1
x
y
x



, hãy suy ra đồ thị các hàm số dưới đây:
1)
2
1
x
y
x


, 2)
2
1
x
y
x
 

, 3)
2
1
x
y
x


, 4)
2
1
x

y
x


, 5)
2
1
x
y
x



Giải: Đặt
2
( )
1
x
f x
x


. Khi đó:
1)
2
1
x
y
x



= - f(x) 3)
2
1
x
y
x


=
( )
f x

2)
2
1
x
y
x
 

= f(- x) 4)
2
1
x
y
x


= f(

x
)
5)
y
= f(x)
Ta có các đồ thị.

IX. CÁC CÂU HỎI KHÁC.

1. Về cặp điểm thuộc hai nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ nhất.
VD1. Tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x



cặp điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
Giải: Gọi cặp điểm cần tìm là M(x
1
; y
1
), N(x
2
; y
2
). Gọi I(1; 2) là giao điểm hai tiệm cận.
Qua phép chuyển hệ trục theo

OI

:
1
2
x X
y Y
 


 

hàm số đã cho trở thành
1 2
2
X
Y
X

 

1 2 1
2
X
Y
X X

  



1
Y
X

.
Trong hệ trục mới IXY: M(X
1
; Y
1
), N(X
2
; Y
2
), trong đó
1 2
1 2
1 1
,Y Y
X X
  . Ta có thể xem
X
1
< 0 và X
2
> 0. Khi đó:

2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2

1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
( )
1 1
4 1 4 4 2
( )
MN X X Y Y X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
   
          
 
 
   
   
      
 
 
   

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

23

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 
1 2
1 2
1 2
2
4
1 2
2
1 2
1 2
1
1
1
X X
X X
X X
X X
X
X X
X X
 

 

 

 
 
  










Suy ra X
2
=1, X
1
= - 1, Y
2
= 1, Y
1
= - 1. Do đó x
2
= 2, x
1
= 0, y
2
= 3, y
1
= 1.
Như thế M( 0; 1), N(2; 3)
VD2. Tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số
1
1

y x
x
 

cặp điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
Giải: Gọi cặp điểm cần tìm là M(x
1
; y
1
), N(x
2
; y
2
). Gọi I(1; 1) là giao điểm hai tiệm cận.
Qua phép chuyển hệ trục theo
OI

:
1
1
x X
y Y
 


 

hàm số đã cho trở thành
1
1 1Y X

X
   



1
Y X
X
 
.
Trong hệ trục mới IXY: M(X
1
; Y
1
), N(X
2
; Y
2
), trong đó
1 1 2 2
1 2
1 1
,Y X Y X
X X
    . Ta
có thể xem X
1
< 0 và X
2
> 0. Khi đó:

2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1MN X X Y Y X X X X X X
X X X X
 
   
 
             
   
 
   
 

2 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
( ) 2 4 2X X X X
X X X X X X X X
   
   
   
       
   
   

   
   

1 2
1 2
1
4 2 2X X
X X
 
  
 
 


4 2 2 2
 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 
1 2
1 2 1 2
2
4
1 2
1 2 2
1 2
1
1 1
2
2 2

X X
X X X X
X X
X X X
X X
 

   
 
  
 
  

 
  
 


1 2
2
4
1
2
X X
X
 










4 4
2 1 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1
, , 2, 2
2 2 2 2
X X Y Y       



4 4
2 1 2 1
4 4 4 4
1 1 1 1
1 , 1 , 1 2, 1 2
2 2 2 2
x x y y         



4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 , 1 ;1 2
2 2 2 2

M N
   
     
   
   

Bài tập tương tự:
BT1. Tìm trên hai nhánh đồ thị
1 2
2 4
x
y
x



cặp điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
BT2. Tìm trên hai nhánh đồ thị
2
2
1
x x
y
x



cặp điểm có khoảng cách nhỏ nhất.
Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

24


2. Về phương trình đường đi qua các điểm cực trị.
2.1. Cho hàm số
2
ax + bx + c
y =
mx + n
(am

0, tử không chia hết mẫu) có cực trị
Khi đó đường thẳng
1
y = (2ax + b)
m
đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số của
hàm số đã cho.
Thật vậy: Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x
0
. Hiển nhiên là y'(x
0
) = 0.

2
2
2
0 0 0 0
0

2
0
2
0 0 0 0
(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c)
y' =
(mx + n)
(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c)
0 '( )
(mx + n)
(2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c) = 0
y x  



2
0 0
0
0
0 0
ax + bx + c 1
(2ax + b)
mx + n m
1
y(x ) (2ax + b)
m
 
 

Đẳng thức cuối cho ta suy ra đpcm.

2.2. Cho hàm đa thức y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a

0) có cực trị. Nếu bằng phép
chia đa thức: ax
3
+ bx
2
+ cx + d cho đạo hàm của nó là 3ax
2
+ 2bx + c được dư mx + n
thì đường thẳng y = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của
hàm số đã cho.
Thật vậy, giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x
0
. Hiển nhiên là y'(x
0
) = 0.
Khi đó từ : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (3ax
2
+ 2bx + c)Q(x) + mx + n
suy ra:

3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
y(x ) = ax + bx + cx + d = y'(x )Q(x ) + mx
+ n = mx + n


2.3 Tổng quát: Cho hàm đa thức y = P(x) có cực trị.
Nếu bằng phép chia đa thức P(x) = P'(x).Q(x) + r(x) thì đồ thị hàm số y = r(x) đi
qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = P(x) đã cho.

VD1. Cho hàm số
2
x - 2x + m + 2
y =
x + m - 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = - 1.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(6; 4).
3) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi
qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
Giải: 3)
2 2
2 2
(2x-2)(x+m-1)- (x -2x+m+2) 2( 1) 3
'
(x + m-1) (x + m-1)
x m x m
y
  
 

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình
Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình

25


2
2( 1) 3 0 (1)
' 0
x + m - 1 0 (2)
x m x m
y

   
 




Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thoả (2)

2
2
2
' ( 1) 3 0
1 0
(1- m) +2(m-1)(1-m) - 3m 0
m m
m m


    

    




: Thoả mọi m.
Giả sử M(x; y) là điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.


0 =
2
2
(2x -2 )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2)
'
(x + m - 1)
y 

2
2
(2x - 2 )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2) =
0
x - 2x + m + 2
2x - 2 y = 2x - 2
x + m - 1

  

Suy ra, đường thẳng y = 2x -2 là đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

VD2. Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm k để phương trình - x
3
+ 3x
2
+ k
3
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
(ĐH&CĐ - A2002)
Giải: 3) Cách 1. y' = - 3x
2
+ 6mx + 3(1 - m
2
) = -3(x - m)
2
+ 3
y' = 0


x = m - 1, x = m + 1.
Hai điểm cực trị là M(m - 1; - m
2
+ 3m - 2), N(m + 1; - m
2
+ 3m +2)
Đường thẳng MN có phương trình y = 2x - m
2
+ m
Cách 2. Giả sử M(x; y) là điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra 0 = y' = - 3x
2
+ 6mx + 3(1 - m
2
)
Ta có y = - x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2
= (x/3 - m/3)(- 3x
2
+ 6mx + 3 - 3m
2
) + 2x - m

2
+ m
= 2x - m
2
+ m
Suy ra, đường thẳng y = 2x - m
2
+ m là đường thẳng đi qua các điểm cực trị.

Bài tập tương tự:

BT1. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 3mx + 5.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.
BT2. Cho hàm số
2
x - x + m + 1
y =
x - m
(1)
1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị.
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số (1).
3) Tìm qỷ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
BT3. Trong các bài tập mục VII từ BT2 đến BT5 hãy viết phương trình đường thẳng đi qua
các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
3. Về các điểm cực trị phải thoả mãn một số điều kiện nào đó.

VD1. Cho hàm số
2
x - mx + m
y =
x - m
, (m

0) (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = - 1.