Chương 4NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG pot

101 102

X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J)

END DO

END DO

RETURN

END

Chương 4
NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM
NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận
dạng cụ thể nào đó không biết trước được.
Dạng cụ thể mà hàm ngẫu nhiên nhận trong kết quả thí nghiệm gọi
là hiện của hàm ngẫu nhiên. Nếu thực hiện một nhóm thí nghiệm với hàm
ngẫu nhiên, thì ta nhận được một nhóm hay một họ hiện của hàm đó. Rõ
ràng mỗi hiện là một hàm bình thường (không ng
ẫu nhiên). Nếu ta cố
định một giá trị nào đó của biến
t của hàm ngẫu nhiên
)(tX
, thì hàm
)(tX lúc này trở thành đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên này
được quy ước gọi là mặt cắt của hàm ngẫu nhiên tương ứng với
t đã cho.
4.1. Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên
Kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên
)(tX là một hàm không

ngẫu nhiên
)(tm
x
mà tại từng giá trị của đối số t bằng kỳ vọng toán học
của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]([)( tXMtm
x
=
. (4.1)
Về ý nghĩa, kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình
nào đó mà các hiện cụ thể biến thiên xung quanh nó (hình 4.1).
103 104

0
X(t)
t
t
m
x
(t)

Hình 4.1. Mô tả các hiện và kỳ vọng toán học
của hàm ngẫu nhiên
Phương sai của hàm ngẫu nhiên
)(tX là hàm không ngẫu nhiên
)(tD
x
, giá trị của nó tại từng giá trị t bằng phương sai của mặt cắt
tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]([)( tXDtD

x
= . (4.2)
Độ lệch bình phương trung bình:
)()( tDt
xx
=
σ
. (4.3)
Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên
)(tX là hàm không ngẫu
nhiên hai đối số
),( ttK
x
′
mà ứng với từng cặp giá trị tt
′
, bằng mô men
tương quan của các mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên:
)]()([),( tXtXMttK
oo
x
′
=
′
, (4.4)
trong đó
)()()();()()( tmtXtXtmtXtX
x
o
x

o
′
−
′
=
′
−=
.
Hàm tương quan chuẩn hóa:
)()(
),(
),(
tt
ttK
ttr
xx
x
x
′
′
=
′
σσ
. (4.5)
4.2. Khái niệm về hàm ngẫu nhiên dừng
Trong thực tế rất hay gặp những quá trình ngẫu nhiên diễn ra trong
thời gian gần như đồng nhất và có dạng những dao động ngẫu nhiên liên
tục xung quanh một giá trị trung bình nào đó; cả biên độ, cả đặc điểm của
những dao động ấy không có những biến đổi đáng kể với thời gian.
Những quá trình ngẫu nhiên này gọi là các quá trình ngẫu nhiên dừng.

Điều kiện của quá trình ngẫu nhiên dừng:
const)(
=
=
xx
mtm , (4.6)
const)(
=
=
xx
DtD
, (4.7)
)(),(),(
τ
τ
xxx
KttKttK
=
+
=
′
. (4.8)
Nhận thấy rằng từ hàm ngẫu nhiên
)(tX luôn luôn có thể chuyển
thành hàm ngẫu nhiên quy tâm
)(tX
o
có kỳ vọng toán học bằng không,
do đó, thỏa mãn (4.6). Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng chỉ
do kỳ vọng toán học biến đổi, thì điều kiện đó vẫn không cản trở chúng ta

nghiên cứu nó như quá trình ngẫu nhiên dừng. Điều kiện (4.7) là trường
hợp bộ phận của điều kiện (4.8): khi cho
tt
=
+
τ
, tức 0
=
τ
, ta có
const)(),()(
=
=
= 0
xxx
kttKtD , vậy điều kiện (6.8) là điều kiện đáng
kể duy nhất để hàm ngẫu nhiên là dừng.
Trong thực tế, thay cho hàm tương quan
)(
τ
x
K thường dùng hàm
tương quan chuẩn hóa:
x
x
x
D
K )(
)(
τ

τρ
=
, (4.9)
ở đây
−
=
)0(
xx
KD phương sai không đổi của quá trình ngẫu nhiên
dừng. Hàm
)(
τ
ρ
x
chính là hệ số tương quan giữa các mặt cắt của hàm
ngẫu nhiên cách nhau bởi khoảng
τ
theo thời gian. Rõ ràng 10 =)(
x
ρ
.
105 106
4.3. Tính chất egođic của những hàm ngẫu nhiên dừng
Xét hàm ngẫu nhiên
)(tX
1
(hình 4.2) đặc trưng bằng tính chất sau:
mỗi hiện của nó có cùng một dấu hiệu: giá trị trung bình mà xung quanh
đó xảy ra dao động và quy mô trung bình của những dao động. Ta chọn
tùy ý một trong số các hiện ấy và tiếp tục kéo dài ra một đoạn thời gian

T
. Khi
T
khá lớn, một hiện này có thể cho ta khái niệm khá rõ về tính
chất của hàm ngẫu nhiên về toàn cục. Cụ thể, nếu lấy trung bình các giá
trị của hiện này dọc theo trục hoành - theo thời gian, ta phải nhận được
giá trị gần đúng của kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên; nếu lấy trung
bình các bình phương của độ lệch so với trung bình này, ta phải nhận
được giá trị gần đúng của phương sai, v.v



Hình 4.2. Hàm ngẫu nhiên
có tính chất egođic

t
0
X
1
(t)



Hình 4.3. Hàm ngẫu nhiên
không có tính chất egođic

t
0
X
2

(t)


Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm ngẫu nhiên
)(tX
1
có tính
chất egođic. Tính chất egođic biểu hiện ở chỗ mỗi hiện riêng lẻ của hàm
ngẫu nhiên như là “đại biểu toàn quyền” của tập hợp tất cả các hiện có
thể có; một hiện đủ độ dài có thể thay thế tập hợp các hiện cùng độ dài
tổng cộng trong khi xử lý.
Hàm ngẫu nhiên
)(tX
2
(hình 4.3) không có tính chất egođic.
Dấu hiệu để xác định hàm ngẫu nhiên có tính chất egođic hay
không: Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên dừng khi tăng
τ
không
giảm mà bắt đầu từ
τ
nào đó giữ nguyên gần như không đổi, thì điều đó
là dấu hiệu rằng trong thành phần của hàm ngẫu nhiên có số hạng dưới
dạng đại lượng ngẫu nhiên thông thường và quá trình là không egođic. Sự
tiến dần của hàm tương quan tới không khi
∞
→
τ
nói lên tính chất
egođic của quá trình.

4.4. Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên dừng egođic
theo một hiện
Giả sử có một hiện của hàm ngẫu nhiên
)(tX
trên khoảng thời gian
đủ dài
T
:
∫
≈
T
x
dttx
T
m
0
1
)( ; (4.10)
∫
−
+
−
≈
τ
τ
τ
T
oo
x
dttxtx

T
k
0
1
)()( , (4.11)
trong đó
x
o
mtxtx −= )()( . (4.12)
Trong thực tế, thường các tích phân (4.10) và (4.12) được thay thế
bằng các tổng hữu hạn. Người ta làm như sau. Chia khoảng ghi hàm ngẫu
nhiên ra
n phần bằng nhau dài t
Δ
và ký hiệu các điểm giữa ,
1
t
n
tt ,,
2
(hình 4.4):
107 108

t
x
(
t
)
m
x

t
1

Δ
t
t
2
t
3
t
4

t
n-1
t
n

Hình 4.4. Biểu diễn quan trắc về hàm ngẫu nhiên

∑∑
==
==
n
i
i
n
i
ix
tx
n

tx
n
T
T
m
11
1
)(
1
)(
. (4.13)
Tính hàm tương quan đối với các giá trị
τ
tuần tự bằng
,,, tt ΔΔ 20 Cho
τ
bằng
n
mT
tm =Δ=
τ
,
chia khoảng tích phân
T
n
mn
n
mT
TT
−

=−=−
τ

thành
mn −
đoạn bằng nhau dài tΔ
∑
−
=
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
mn
i
mi
o
i
o
x
txtx
mnn
mT
k
1

1
)()( . (4.14)
Tính
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
mT
k
x
cho các ,,, 210=m cho tới khi hàm tương quan
trở nên thực tế bằng không hoặc dao động ít nhiều xung quanh không.
Chọn
tΔ theo đặc điểm của sự biến đổi hàm ngẫu nhiên: nếu
)(tX

biến đổi khá đều thì
t
Δ
chọn lớn, khi nó biến đổi đột ngột thì chọn tΔ
nhỏ hơn. Số lượng điểm chia
n khá lớn (hàng trăm hoặc vài trăm). Nếu
dao động có thành phần cao tần càng lớn thì số điểm chia càng mau. Nên
chọn
tΔ sao cho trong một chu kỳ của thành phần điều hòa cao tần nhất
trong hàm ngẫu nhiên phải có khoảng từ 5 đến 10 điểm chia.
Nhiều khi việc chọn các điểm chia không phụ thuộc vào người tính,

mà do máy ghi quyết định. Trong trường hợp này phải xử lý trực tiếp số
liệu quan trắc, không nên nội suy thêm những giá trị giữa các quan trắc,
vì điều đó không làm tăng độ chính xác của kết quả mà chỉ
gây phức tạp
vô ích.
4.5. Khai triển phổ hàm ngẫu nhiên dừng trên khoảng thời
gian hữu hạn
Tồn tại mối liên hệ giữa đặc điểm của hàm tương quan và cấu trúc
bên trong của quá trình ngẫu nhiên tương ứng. Tùy thuộc vào những tần
số nào và tỷ lệ ra sao giữa các tần số ấy trong thành phần của hàm ngẫu
nhiên, mà hàm tương quan của nó có dạng này hoặc dạng khác.
Nếu quá trình dao động biểu thị dưới dạng tổng của các dao động
tần số khác nhau (các thành phần điều hòa), thì
phổ của quá trình dao
động là hàm mô tả phân bố của biên độ theo các tần số khác nhau.
Đối với quá trình ngẫu nhiên cũng có thể mô tả bằng phổ. Chỉ có
khác là đối với quá trình ngẫu nhiên các biên độ dao động sẽ là các đại
lượng ngẫu nhiên. Phổ của hàm ngẫu nhiên dừng sẽ mô tả sự phân bố của
phương sai theo các tần số khác nhau.
Xét hàm ngẫu nhiên dừng
)(tX
o
quan trắc được trên khoảng ),( T0 .
Cho hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên
)(tX
o
:
109 110
)(),(
τ

τ
xx
KttK =+ .
Hàm
)(
τ
x
K là hàm chẵn:
)()(
τ
τ
−
=
xx
kk
và trên đồ thị được biểu diễn bằng đường cong đối xứng (hình 4.6). Khi
thay đổi
t từ 0 đến
T
đối số
tt −
′
=
τ
biến đổi từ
T
−
đến
T
+

.


Hình 4.6. Hình dạng của một hàm tương quan điển hình

Ta biết rằng hàm chẵn trên khoảng
),( TT
−
có thể khai triển thành
chuỗi Fourier, dùng các thành phần điều hòa chẵn (các hàm cosin):
∑
∞
=
=
0
cos)(
k
kkx
Dk
τωτ
, (4.15)
trong đó
TT
k
k
π
π
ωωω
===
2

2
,
11
,
còn các hệ số
k
D xác định theo công thức
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
≠=
=
∫
∫
−
−
T
T
kxk
T
T
x
kdk
T
D
dk

T
D
0khicos)(
1
)(
2
1
0
ττωτ
ττ
(4.16)
Hoặc, vì
)(
τ
x
k và
τ
ω
k
cos là các hàm chẵn, có thể biến đổi thành dạng
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
≠=
=
∫

∫
T
kxk
T
x
kdk
T
D
dk
T
D
0
0
0
0khicos)(
2
)(
1
ττωτ
ττ
(4.17)
Nếu trong biểu thức (4.15) ta chuyển đổi từ đối số
τ
thành hai đối số t
và
t
′
:
tttttt
kkkkkk

ω
ω
ω
ω
ω
τ
ω
sinsincoscos)(coscos
′
+
′
=
′
−
=

(4.18)
và đặt (4.18) vào công thức (4.15):
)sinsincoscos(),(
0
∑
∞
=
′
+
′
=
′
k
kkkkkkx

ttDttDttK
ωωωω
.
(4.19)
Biểu thức (4.19) chính là khai triển chuẩn hàm tương quan
),( ttK
x
′
. Các hàm tọa độ là cosin và sin của tần số là bội của
1
ω
:
),1,0(sin,cos
=
ktt
kk
ω
ω
.
Do đó, hàm ngẫu nhiên
)(tX
&
có thể biểu thị dưới dạng khai triển
chuẩn:
111 112
∑
∞
=
+=
0

)sincos()(
k
kkkk
tVtUtX
ωω
&
, (4.20)
trong đó
−
kk
VU , các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan có kỳ
vọng toán học bằng không và các phương sai như nhau đối với mỗi cặp
đại lượng ngẫu nhiên với cùng một chỉ số
k
:
kkk
DVU
=
= ][D][D . (4.21)
Các phương sai
k
D ứng với
k
khác nhau được xác định bằng các
công thức (4.17).
Như vậy, ta nhận được trên khoảng
),0( T
khai triển chuẩn của
hàm ngẫu nhiên
)(tX

&
mà các hàm tọa độ là tt
kk
ω
ω
sin,cos ứng với
các
k
ω
khác nhau. Khai triển kiểu như vậy gọi là khai triển phổ hàm
ngẫu nhiên dừng.
Khai triển phổ biểu diễn hàm ngẫu nhiên dừng thành chuỗi những
dao động điều hòa tần số khác nhau:
,, ,,,
21 k
ω
ω
ω

và các biên độ của những dao động này là các đại lượng ngẫu nhiên.
Ta xác định phương sai của hàm ngẫu nhiên
)(tX
&
cho bởi khai
triển phổ (4.20). Theo định lý về phương sai của hàm tuyến tính của các
đại lượng ngẫu nhiên không tương quan:
∑∑
∞
=
∞

=
=+==
00
22
)sin(cos)]([D
k
k
k
kkkx
DDtttXD
ωω
&
. (4.22)
Như vậy, phương sai của hàm ngẫu nhiên dừng bằng tổng phương
sai của tất cả các hàm điều hòa của khai triển phổ của nó. Công thức
(4.22) cho thấy rằng phương sai của hàm
)(tX
&
phân bố theo các tần số.
Sự phân bố của các phương sai theo các tần số có thể thể hiện bằng đồ thị
dưới dạng phổ (phổ phương sai) (hình 4.7). Rõ ràng, tổng của tất cả các
tung độ của phổ được dựng như vậy sẽ bằng phương sai của hàm ngẫu
nhiên
)(tX
&
.
Công thức khai triển phổ trên khoảng thời gian vô tận. Hàm mật độ
phổ
∫
∞

=
0
cos)()(
ωωτωτ
dSk
xx
, (4.23)
∫
∞
=
0
cos)(
2
)(
τωττ
π
ω
dkS
xx
, (4.24)
trong đó
−
)(
ω
x
S mật độ phổ của hàm ngẫu nhiên dừng.
Mật độ phổ chuẩn hóa:
x
x
x

D
S
s
)(
)(
ω
ω
= . (4.25)

Hình 4.7. Đồ thị phổ phương sai của hàm ngẫu nhiên
Các hàm tương quan và mật độ phổ chuẩn hóa liên hệ với nhau cũng
bằng cặp công thức biến đổi Fourier:
113 114
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
∫
∫
∞
∞
.cos)(
2
)(
,cos)()(

0
0
τωττρ
π
ω
ωωτωτρ
ds
ds
xx
xx
(4.26)
Cho
0
=
τ
, ta có 1)0( =
x
ρ
, vậy
1)(
0
=
∫
∞
ωω
ds
x
. (4.27)
Thí dụ 4.1:
⎪

⎩
⎪
⎨
⎧
>
<<−
=
.0
,01
)(
0
0
0
khi
khi
ττ
ττ
τ
τ
τρ
x

.
)cos1(
2
cos1
2
cos)(
2
)(

0
2
0
0
0
0
0
ωτωπτ
τωτ
τ
τ
π
τωττρ
π
ω
τ
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−==
∫∫
∞
ddS

xx

Hình dạng của các hàm được biểu diễn trên hình 4.8.

Hình 4.8. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.1

Hình 4.9. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.2
Thí dụ 4.2:
12
1
)(
ωω
ω
−
=
x
s ,
,
2
sin
2
cos
)(
2
cos
1
cos)()(
1212
12
12

2
1
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
==
∫∫
τ
ωω
τ
ωω
ωωτ
ωωτ
ωω

ωωτωτρ
ω
ω
ω
ω
dds
xx

(hình 4.9).
Trong toán học, hàm thời gian
)(tf
có thể biểu diễn bằng tích phân
Fourier theo công thức:
∫
∞
∞−
=
σσ
σπ
deFtf
ti2
)()( , (4.28)
trong đó
∫
∞
∞−
−
= dtetfF
ti
σπ

σ
2
)()( . (4.29)
Hàm
)(
σ
F biểu diễn trong miền tần số
σ
gọi là hàm phổ, hay mật
115 116
độ phổ, nó mô tả sự phân bố của biên độ dao động theo các tần số trong
hàm
)(tf .
Cặp công thức (4.28)−(4.29) gọi là những công thức biến đổi
Fourier. Khi cho trước hàm
)(tf
, công thức (4.29) gọi là biến đổi
Fourier thuận. Công thức (4.28) cho phép khôi phục lại hàm thời gian
)(tf theo hàm phổ của nó gọi là biến đổi Fourier ngược. Đại lượng
2
|)(|
σ
F gọi là phổ công suất.
Khi hàm
)(tf được cho tại những điểm rời rạc trên khoảng hữu hạn
NtN ≤≤− , người ta có thể khai triển Fourier theo công thức:
∑
∞
=
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
1
0
coscos
2
)(
k
kk
dt
N
kt
Bdt
N
kt
A
A
tf
ππ
, (4.30)
trong đó
∫
−
==
N
N

k
kdt
N
kt
tf
N
A ),2,1,0(cos)(
1
π
, (4.31)
∫
−
==
N
N
k
kdt
N
kt
tf
N
B ),2,1(sin)(
1
π
. (4.32)
hoặc dưới dạng phức:
∑
∞
−∞=
=

k
N
kti
k
eCtf
π
)(
với
dtetf
N
C
N
N
N
kti
k
∫
−
−
=
π
)(
2
1
.
Tương tự như trong công thức (4.29), đại lượng
)(
22
kk
BA + được

gọi là công suất của dao động tần số
k và được biểu diễn dưới dạng phổ
không liên tục.
Khi hàm
)(tf được cho tại n2 điểm cách đều nhau trên trục thời
gian, các hệ số Fourier được tính theo công thức:
)0(cos
2212
fUU
N
k
nA
nnk
+−=
−−
π
,
12
sin
−
=
nk
U
N
k
nB
π
,
0
0

=
U ,
)12(
1
−
=
nfU ,
)12 ,,3,2()2(cos2
21
−=−+−=
−−
nmmnfUU
n
k
U
mmm
π
.
Trong hải dương học thịnh hành tập quán tính hàm phổ của chuỗi
thời gian thông qua biến đổi Fourier đối với hàm tự tương quan. Quan hệ
giữa hàm tự tương quan và hàm mật độ phổ cũng là cặp công thức biến
đổi Fourier:
∫
∞
∞−
−
=
ττ
π
ω

ωτ
deRS
i
)(
2
1
)(
, (4.33)
∫
∞
∞−
=
ωωτ
ωτ
deSR
i
)()(
. (4.34)
Nếu hàm thời gian là hàm thực, thì hàm tự tương quan và hàm phổ
của nó cũng là các hàm thực và do tính chẵn của các hàm tự tương quan
và phổ, cặp công thức biến đổi Fourier tương ứng có dạng đơn giản:
∫
∞
=
0
cos)(2)(
ωωτωτ
dSR , (4.35)
117 118
∫

∞
=
0
cos)(
1
)(
τωττ
π
ω
dRS
. (4.36)
Khi xác định mật độ phổ theo số liệu quan trắc gián đoạn trên
khoảng thời gian hạn chế
T
(độ dài quan trắc), chúng ta có ước lượng
thống kê của hàm tương quan
)(
*
τ
x
R của chuỗi thực đo )(tX trên đoạn
m
T như sau:
∫
−
−+−
−
=
τ
τ

τ
τ
T
x
dtXtXXtX
T
R
0
00
*
])([])([
1
)(
, (4.37)
∫
=
T
dttX
T
X
0
0
)(
1
. (4.38)
Vì không tính tới các trị số của hàm tự tương quan khi
m
T>
τ
và

ước lượng
)(
*
τ
x
R
khác với hàm tự tương quan thực sự )(
τ
x
R , nên trong
thực tế phải ước lượng hàm phổ theo công thức:
∫
=
m
T
xx
dRS
0
**
cos)()(
1
)(
τωτττλ
π
ω
, (4.39)
trong đó hàm
)(
τ
λ

gọi là hàm là trơn tỷ trọng và
m
T gọi là điểm cắt của
hàm tự tương quan.
Thí dụ về những hàm là trơn của các tác giả khác nhau được dùng
trong phân tích các chuỗi thời gian những yếu tố hải dương học (xem
[1]):
- hàm Bartlett:
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
m
m
T
T
τ
τ
τλ
khi0
khi1
)(

- hàm Bartlett cải biên:
⎩
⎨
⎧
>

≤
=
m
m
T
T
τ
τ
τλ
khi0
khi1
)(

- hàm Tukey:
⎩
⎨
⎧
>
≤=+−
=
m
mm
T
TaTaa
τ
τπτ
τλ
khi0
khi25,0)/cos(221
)(

- hàm Hanning:
⎩
⎨
⎧
>
≤−
=
m
mm
T
TT
τ
τπτ
τλ
khi0
khi)]/cos(1[5,0
)(

- hàm Parsen:
⎩
⎨
⎧
>
≤−
=
m
mm
T
TT

τ
ττ
τλ
khi0
khi)/(1
)(
2

- hàm Hamming:
⎩
⎨
⎧
>
≤+
=
m
mm
T
TT
τ
τπτ
τλ
khi0
khi)/cos(46,054,0
)(

Kinh nghiệm xử lý chuỗi thời gian trong hải dương học cho thấy
hàm tự tương quan trong nhiều trường hợp giảm rất chậm theo thời gian
và có tính chu kỳ rõ rệt. Khi sử dụng công thức (4.39), do không tính đến
những trị số khác không đáng kể ở đoạn

m
T>
τ
, nên ước lượng phổ sẽ
bao hàm sai số hệ thống và có tính chất chệch, nhưng nếu tăng
m
T thì sai
số ước lượng
)(
*
τ
x
R sẽ lớn tại những
m
T lớn và sẽ làm tăng độ tản mạn
của ước lượng
)(
*
ω
S . Biểu hiện của hiệu ứng này thể hiện ở chỗ khi lấy
m
T nhỏ, thì các đỉnh phổ trên đồ thị sẽ bị là trơn, còn khi tăng dần
m
T ,
thì các đỉnh phổ dần dần thể hiện rõ hơn, nhưng khi tăng
m
T tiếp nữa, thì
119 120
đồ thị phổ không còn phản ánh được đặc điểm của hàm phổ nữa mà tiến
tới đồ thị của chính hàm thời gian

)(tX mà từ đó hàm tương quan được
xác định.
Như vậy, để có được ước lượng phổ khả dĩ hiện thực trong trường
hợp này thực sự là một quá trình khó khăn. Trong thực tế, việc tính toán
phổ là cả một quá trình thử nghiệm và đòi hỏi kinh nghiệm của người
phân tích. Theo [5] trong thực hành có thể lấy
m
T bằng khoảng T
5
1
đến
T
10
1
.
Các công thức tính hàm tương quan và hàm phổ áp dụng với chuỗi
thời gian
)(tX được quan trắc tại n điểm thời gian với độ gián đoạn t
Δ

không đổi:
mi
xxxx
in
t
R
in
j
ijj
i

,,1,0,
))((
2
1
=
−−
−
Δ
=
∑
−
=
+
σ
, (4.40)
trong đó
∑
=
=
n
j
j
x
n
x
1
1
,
∑
=

−=
n
j
j
xx
n
1
2
)(
1
σ
,
−
m bước trễ cực đại của
hàm tương quan.
∑
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
m
j
ji
mij
m

i
R
mm
R
S
1
0
,,1,0,cos
2
π
. (4.41)
Công thức là trơn phổ:
00
5,0 SS = ,
mm
SS 5,0
=
,
1,1),(25,05,0
11
−
=
++
=
+−
mkSSSS
kkkk
.
Ghi chú: Khi tính ra hàm tương quan và hàm phổ, người ta vẽ đồ thị
các hàm này với trục hoành biểu diễn ở thang logarit, do đó tương ứng

với giá trị của hàm tương quan
i
R bước trễ i được biểu diễn thành
ilog . Ứng với giá trị hàm phổ
i
S chu kỳ sẽ là
i
tm
Δ
2
log
.
Thí dụ 4.3: Tính hàm tương quan và hàm phổ thực nghiệm dựa trên
số liệu quan trắc về một quá trình ngẫu nhiên. Cho chuỗi số liệu quan trắc
độ cao sóng biển ngày 6/12/1988 tại vùng biển mỏ dầu Bạch Hổ.
Trên hình 4.10 thể hiện kết quả tính các ước lượng hàm tương quan
và hàm phổ theo các công thức (4.40) và (4.41). Trục ngang của đồ thị
hàm phổ biểu diễn thành chu kỳ.
Trên hình 4.10 trục ngang của đồ thị hàm phổ bi
ểu diễn thành chu
kỳ dao động (giây). Nhận thấy rõ đỉnh phổ ứng với chu kỳ sóng gió bằng
khoảng 4,5 giây, các chu kỳ sóng lừng bằng khoảng 9,1 và 10,8 giây.
Trong phụ lục chương 4 có mã chương trình tính hàm tương quan và
phổ cho trường hợp chuỗi quan trắc với độ gián đoạn
t
Δ
không đổi theo
các công thức (4.40) và (4.41).

121 122

Hình 4.10. Hàm tương quan và hàm phổ độ cao sóng
quan trắc ngày 6/12/1988 tại vùng mỏ Bạch Hổ
Phụ lục chương 4
A. Mã Fortran của thủ tục tính các hàm tương quan theo công thức
(4.40)
SUBROUTINE TinhHTQ (miss, n, x, lag, r)
C biến
−
x
lưu chuỗi số liệu với độ dài quan trắc n giá trị
C biến
−
miss giá trị khuyết thường quy ước bằng -99999
C biến
−
lag bước trễ cực đại của hàm tương quan
C biến
−
r
lưu các giá trị của hàm tương quan
PARAMETER (n0 = 1000000, m0 = n0/8)
REAL x(n0), r(0:m0)
INTEGER n
DO i = 0, lag
n1 = n - i
t1 = 0.0
t2 = 0.0
s1 = 0.0

s2 = 0.0
r(i) = 0.0
s = 0.0
DO j = 1, n1
k = j + i
IF (x(j).NE.miss.AND.x(k).NE.miss) THEN
s = s + 1
t1 = t1 + x(j)
123 124
t2 = t2 + x(k)
s1 = s1 + x(j)*x(j)
s2 = s2 + x(k)*x(k)
r(i) = r(i) + x(j)*x(k)
ENDIF
ENDDO
t1 = t1/s
t2 = t2/s
s1 = s1/s - t1*t1
s2 = s2/s - t2*t2
r(i) = r(i)/s - t1*t2
r(i) = r(i)/sqrt(s1*s2)
ENDDO
RETURN
END

B. Mã Fortran của thủ tục tính các hàm phổ theo công thức (4.41)
SUBROUTINE TinhHP (r, lag, disp, s)
C biến −
r
lưu giá trị của hàm tương quan

C biến −lag bước trễ cực đại của hàm tương quan
C biến
−
disp lưu giá trị phương sai của chuỗi quan trắc
C biến
s
lưu chuỗi giá trị của hàm phổ
PARAMETER (pi=3.141593,n0=1000000,m0=n0/8)
REAL r(0:m0), s(0:m0), hp(0:m0), picm
INTEGER lag
a = pi/lag
DO i = 0, lag
hp(i) = 0.0
d = a*i
DO j = 1, lag-1
hp(i) = hp(i) + r(j)*COS(d*j)
ENDDO
hp(i) = r(0)/lag + 2*hp(i)/lag
IF (MOD(i, 2).EQ.0) THEN
hp(i) = hp(i) + r(lag)/lag
ELSE
hp(i) = hp(i) - r(lag)/lag
ENDIF
ENDDO
hp(0) = 0.5*hp(0)
hp(lag) = 0.5*hp(lag)
s(0) = hp(0)
s(lag) = hp(lag)
DO i = 1, lag - 1 ! Là trơn phổ theo Turkey
s(i) = 0.5*hp(i) + 0.25*(hp(i-1) + hp(i+1))

ENDDO
RETURN
END