LY THUYET PHUONG TRINH VA HE PHUONG TRINH.doc

A. Dạng 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và một phương trình
bậc 2, hai ẩn.
Đònh nghóa: là hệ phương trình có dạng:
(1)
(2)
ax by c
2 2
Ax By Cxy Dx Ey F





+ =
+ + + + =

Phương pháp giải. Nếu a ≠ 0, từ (1) rút ra :
c by
x
a
−
=
(hoặc
c ax
y
b
−
=
, b ≠ 0) .
Thay vào (2) ta được một phương trình bậc hai một ẩn x (hoặc y)
Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng hai ẩn x và y.

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I.
Hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì các phương trình trong hệ không thay đổi thì
ta có thể giải :
• Phương pháp giải : Biến đổi hệ theo x + y và xy. Đặt S = x + y , P = xy. Khi đó ta được một
hệ mới theo S, P . Giải hệ này ta tìm S, P (lưu ý kiểm tra điều kiện S
2
− 4P ≥ 0 ) Từ S, P ⇒
x ; y là nghiệm của phương trình X
2

– SX + P = 0 (*)
Chú ý : * Điều kiện để hệ có nghiệm là S
2

≥
4P.
* x
2
+ y
2
= (x + y)
2
– 2xy = S
2
– 2P, x
3
+ y
3
= S
3

– 3P
* x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
– 2x
2
y
2
= (S
2
– 2P)
2
– 2P
2
= S
4
– 4S
2
P + 2P
2
.
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II.
Đònh nghóa: Là hệ phương trình khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này trở

thành phương trình kia nhưng hệ không đổi.
Phương pháp giải:
−
Trừ vế cho vế của hai phương trình cho nhau.
−
Đưa phương trình kết quả về dạng tích, trong đó có một thừa số là x
−
y và một phương
trinh theo hai biến x, y khác. Khi đó ta xét từng trường hợp :
+ Trường hợp 1: x = y thay vào phương trình một trong hai phương trình ban đầu
suy ra nghiệm x, y.
+ Trường hợp 2: rút y theo x (hoặc x theo y ) thay vào phương trình một trong hai
phương trình ban đầu suy ra nghiệm x, y.
+ Cứ như thế cho đến khi xét hết các trường hợp
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI x VÀ y .
Là hệ có dạng :
/ / / /
2 2
2 2
ax bxy cy d
a x b xy c y d

+ + =


+ + =


Phương pháp giải:
• Xét x = 0 thay vào hệ tìm y.

• Khi x
≠
0 đặt y = kx thế vào hệ để giải tìm k , rồi thế k vào hệ tìm x, y
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
a)





=+
=+
20xyyx
65yx
22
33
b)



=+++
=++
28)yx(3yx
11xyyx
22
c)



=+

=++
30xyyx
11yxxy
22
Chủ đề Tự Chọn : Phương trình và hệ phương trình Trang: 1
d)





=++
=++
21yxyx
7xyyx
2244
22
e)





=+++++++
=+++
61y1x1xy1yx
31y1x
f)






=+
=+
35yx
30xyyx
33
22

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
Phương pháp giải:
•
2
f(x) a 0 f(x) a= ≥ ⇔ =
( với a là hằng số )
[ ]
2
g(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
≥


= ⇔

=


•

f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
≥

= ⇔

=


a.f(x) b f(x) c 0+ + =
+ Đặt
f(x) t=
≥ 0 ⇒ f(x) = t
2
.
+ Thế vào phương trình trên ta có : at
2
+ bt + c = 0 .
•
n
n
x b a . ax b+ = −
+ Đặt
n
u ax b= −
ta có :
n n
u ax b u b ax= − ⇔ + = (1) và
n

x b au+ =
(2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ:
n
n
u b ax
x b au

+ =


+ =


là hệ phương trình đối xứng loại II .
CHÚ Ý:
( )
3 3 3
A B C A B 3AB A B C+ = ⇔ + + + =
3 3 3
A B 3ABC C⇔ + + =
CHÚ Ý: Phương trình dạng:
. ( ) ( )a f x b f x c 0+ + =
• Đặt
( ), ( )
2
t f x t 0 f x t= ≥ ⇒ =

• Thế vào phương trình trên ta có : at
2

+ bt + c = 0 .
CHÚ Ý: Đặt
2 2 2
t A B
t A B AB
2
− −
= + ⇒ =
. Đặt
2
B
t A AB t
A
= ⇒ =
CHÚ Ý. Phương trình dạng:

n
n
x b a ax b+ = −
• Đặt
n
n
t ax b t ax b= − ⇒ = −

• Ta có hệ :
n
n
x b at
t b ax






+ =
+ =
trừ vế theo vế, rút thừa số x – t.
Bài tập tương tự
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a)
2x 3 x 3− = −
b)
5x 10 8 x+ = −
c)
2 2
x 6x 9 4 x 6x 6− + = − +
d)
x 2x 5 4− − =
Bài 2: Giải các phương trình sau :
Chủ đề Tự Chọn : Phương trình và hệ phương trình Trang: 2
a)
2
x 7x 9 1− + =
b)
2
x 5x 6 x 3− + = −
c)
2 2
x 5x 4 x 2x 1− + = − + −

Bài 3: Giải các phương trình sau :
a)
2 2
x 6x 9 4 x 6x 6− + = − +
b)
2 2
x 5x 3 x 5x 7 9 0− − − + + =
c)
186x3x4x3x
22
=−+++
d)
1824xxxx
22
=+−+−
Chủ đề Tự Chọn : Phương trình và hệ phương trình Trang: 3