Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 2 ppt

14
{}
{}
.)(
)(
0 cth cth
cth cth
2
2
=

+





+

hhkkh
gk
hhkkh
gk

Hãy khảo sát hai hi tơng ứng với hai nghiệm
2
1
v
2
2

đối với cùng một giá trị
k .
Chẳng hạn, khi

~h hãy chứng minh rằng
gk=
2
1
v
2
1
2
2
cth
<
+

=
kh
gk

v tỉ số biên
độ tại mặt phân cách so với mặt tự do l
kh
e

v
kh
e





tuần tự đối với hi thứ
nhất v hi thứ hai. Vẽ tốc độ nhóm nh
l hm của
k cho mỗi hi.
Bi tập 5.2:
Các sóng mao dẫn
Sức căng bề mặt tại mặt tự do sinh ra một hiệu áp suất
giữa áp suất khí quyển
a
P ở phía trên v áp suất nớc

P
ở dới.
Hiệu ny đợc xác định theo công thức Laplace (xem Landau v
Lifshitz, 1959, tr. 237):
)(
yyxxa
TPP

+

tại
0z
,
ở đây vế phải tỉ lệ với độ cong bề mặt v
T
l hệ số sức căng bề
mặt. Đối với mặt phân cách nớc
không khí ở 20
o
C, 74=T
dyn/cm trong hệ CGS. Hãy thiết lập các điều kiện biên tại mặt
tự do v nghiên cứu một sóng tiến phẳng trên nền nớc sâu:
)( tkxikz
ee

.
Chứng minh rằng

+=
3

2
Tk
gk

v chứng t
ỏ rằng tốc độ pha có một cực trị
m
C thoả mãn biểu thức








+=










+

=
m
mm
mm
k
k
k
k
C
C
2
1
2
1
2
2
,
trong đó
21
2
2
/

=

=
g
T
k
m
m
.
Các giá trị số của
m

v
m
C
đối với nớc v không khí
bằng bao nhiêu?
Nhận xét về sự biến thiên C
,

v
g
C theo k hoặc .



Chơng 2 - Sự truyền của các sóng ngắn trong
biển mở độ sâu không đổi

Những nhiễu động gây bởi các xung động hữu hạn về thời
gian nh động đất, trợt đất, cá
c vụ nổ , sinh ra các sóng xung.
Do quá trình phân tán, các sóng ny truyền trong nớc phức
tạp hơn nhiều so với các loại sóng khác trong tự nhiên. Để dễ
hiểu về các hệ quả vật lý của quá trình phân tán sóng, trong
chơng ny, ta sẽ xem xét các mô hình đơn giản về cơ chế
nguồn phát sinh, độ sâu đại dơng sao cho có thể phân tích đợc
chi tiết. Trong các mục 2.1 v 2.2, ta sẽ nghiên cứu bi toán gọi
l bi toán Cauchy
Poisson về các sóng do một số loại nguồn
có tính chất xung gây ra v đặc biệt tập trung phân tích diễn
biến sóng ở miền xa nguồn. Trong các mục 2.3 v 2.4 sẽ xem xét
về vai trò của sự phân tán đối với quá trình điều biến yếu các
nhóm sóng.

15
2.1 Các bi toá
n xung hai chiều
Xét đại dơng độ sâu không đổi, không có các biên cứng.
Giả sử các xung động trên mặt tự do v tại đáy không phụ
thuộc
y . Bi toán đợc thnh lập trong mặt phẳng
z
x

. Vậy,
thế vận tốc
),,( tzx phải thoả mãn phơng trình:
0

2
2
2
2
2
=


+


=
z
x
. (1.1)
Trên mặt tự do sẽ có các điều kiện sau:
0=


=



z
zt
,
, (1.2a)
0 , =

=+

z
txP
g
t
a
),(
, (1.2b)
ở đây ),( txP
a
l hm đợc cho trớc. Giả sử nền đáy đợc xác
định theo phơng trình
),( txHhz += . Nếu chuyển động của
nền đáy đợc xác định, từ tính liên tục của thnh phần vận tốc
vuông góc, ta có:
),( txHhz
x
H
x
t
H
z
+=




+

=


,
. (1.3)
Trong khuôn khổ bi toán tuyến tính, ta giả thiết rằng các
biên độ của
H
, tH / v xH / l nhỏ để có thể bỏ qua các
thnh phần bậc hai, do đó:
hztxW
t
H
z



=


),,( . (1.4)
Tiếp sau phải đa ra các điều kiện ban đầu. Để xem những
dữ liệu ban đầu gì l cần thiết ở đây, ta vận dụng phơng pháp
biến đổi Laplace:



=
0

)()( dttfesf
st
, (1.5a)


= dssfe
i
tf
st
)(
2
1
)(



, (1.5b)
ở đây

l một đờng thẳng đứng nằm phía phải của các kỳ dị
của
)(sf trong mặt phẳng phức
s
. Các biến đổi của phơng
trình (1.1) v (1.4) cho:
0 , 0
2
<<= zhszx ),,(
, (1.6)
hzsxW

z
==


),,( . (1.7)
Từ các biến đổi Laplace của các điều kiện (1.2a, b), ta có
z
sx
sxsx


=+
),,(
),(),(
0
0 , (1.8)

=++
),(
),(),,(),,(
sxP
sxgsxsx
a
000
, (1.9)
v có thể kế
t hợp thnh
0 0 0 0
2
=+

=+


zx
g
s
x
g
Ps
g
s
z
a
),,,(),( . (1.10)
Từ phơng trình trên, rõ rng chúng ta chỉ cần biết trớc
các dữ liệu ban đầu
),,( 00x v ),( 0x

tại mặt tự do m không
cần ở bất kỳ chỗ no khác, bởi vì các đạo hm thời gian chỉ xuất
hiện trong các điều kiện mặt tự do. Finkelstein (1953) đã xét kỹ
hơn về mặt toán học đối với vấn đề duy nhất giá trị ban đầu của
bi toán loại ny.
ý nghĩa vật lý của
)0,0,(x l gì? Giả thiết rằng, trớc thời
điểm
0=t , tất cả l yên tĩnh, nhng tại 0=t một xung áp suất
)(),( tItxP
a

= tác động lên mặt tự do. Tích phân phơng trình
Bernoulli từ
= 0t đến += 0t , ta đợc

=

=++

+

+

1

1
0000
0
0
0
0
dttdtgxx )(),,(),,( .

16
Vì 0)0 ,0 ,( = x v

phải hữu hạn, ta có

/)0 ,0 ,( Ix =+ .
Vậy, giá trị ban đầu của
diễn tả về mặt vật lý một áp suất

xung tác động lên mặt tự do ở thời điểm hơi sớm hơn
+= 0t .
Các phơng trình (1.6), (1.7), v (1.10) bây giờ xác một bi
toán giá trị biên, về hình thức tơng tự nh l bi toán trờng
hợp sóng đơn điều ho. Với
t hữu hạn bất kỳ, ta chắc rằng sẽ
không có chuyển động tại khoảng cách rất xa kể từ nguồn nhiễu
động ban đầu, tức
0),( tx khi x , điều ny có nghĩa
0 khi x . Do vùng xét không liên quan đến một vật
thể hữu hạn no, nên bi toán có thể đợc giải bằng cách áp
dụng phép biến đổi Fourier hm mũ theo
x
nh sau:
dkkfexfdxxfekf
ikxikx







==
)(
~
)(,)()(
~
2
1

. (1.11)
Phép biến đổi Fourier
Laplace đối với thoả mãn:
0 0
2
2
2
<<=

zhk
dz
d
,
~
~
, (1.12)
0
2
==+

zskF
g
s
dz
d
),,(
~
~
, (1.13)
hzW

dz
d
==

,
~
~
, (1.14)
trong đó
),,(
~
),(
~
),(
~
),( 0 0 0 k
g
s
k
g
skPs
skF
a
+

. (1.15)
Nghiệm tổng quát của phơng trình (1.12) l
)()(
~
hzkBhzkA +++= sh ch

.
Các hệ số A v
B
đợc xác định từ các điều kiện biên (1.13)
v (1.14) với kết quả nh sau:








++
+
= )(
~
)(
~
kzgkkzs
k
W
hzkgF
khgks
kh
ch sh ch
th
ch
1
2

2
. (1.16)
Rõ rng các phần thêm thứ nhất v thứ hai trong dấu
ngoặc vuông tuần tự biểu biễn các nhiễu động trên mặt v trên
đáy. Nếu thực hiện các phép biến đổi ngợc Fourier v Laplace,
ta có
),,(
~
),,( szkeds
i
dketzx
stikx


=




2
1
2
1
(1.17)
Để thu đợc độ cao mặt tự do, ta sử dụng phơng trình
(1.2b)
=

= ),,(),( tx
tgg
P
tx
a
0
1

),,(
~
sk
g
s
e
i
ds
edk
g
P
stikx
a
0
22
1



+

=




, (1.18)
trong đó

~
đợc cho bằng phơng trình (1.16). Nhiệm vụ bây
giờ l tách lấy thông tin từ các phơng trình (1.17) v (1.18).
Hai trờng hợp đặc biệt sẽ đợc xét trong các mục dới đây.
2.1.1 Nhiễu động ngắn do một li độ ban đầu ở mặt tự do
Giả sử
000 === ),,(),(),( xtxWtxP
a
v 00
0




)(),( xx , (1.19)
do đó
)(
~
,
~

kFW
0
0 == . (1.20)
Phơng trình (1.18) cho độ cao của mặt tự do




+


=
khgks
dsse
kedk
i
ts
xki
th

4
1
2

0

)(
~
. (1.21)
Tích phân

s
có thể đợc xác định dễ dng. Biểu thức dới

17
dấu tích phân có hai cận thực tại

= i
s
với
21
th
/
)( khgk=
. (1.22)
Đối với
0<t
ta đa ra một đờng viền bán nguyệt khép kín
nằm ở nửa phía phải của mặt phẳng
s
nh trên hình 1.1. Vì
nhân tố nhân
ts
e

trong hm dới dấu tích phân đồng nhất triệt
tiêu khi
s
, tích phân đờng dọc theo nửa đờng bán nguyệt
lớn bằng không theo bổ đề Jordan. Theo lý thuyết thặng d của
Cauchy, tích phân

s
bằng 0, tức không có những điểm kì dị
trong nửa đờng tròn đó. Vậy, hiển nhiên
0 0 <=

t, . (1.23)
Đối với 0>
t , ta chọn nửa đờng tròn phía trái. Cũng theo
bổ đề Jordan, tích phân đờng dọc theo nửa đờng tròn triệt
tiêu, chỉ để lại phần d cho hai cực tại

i .
0


2
1
2
1
22
>=
+
=
+


tt
isis
dsse
is

dsse
i
stst
,cos
)()(
.
Thế vo phơng trình (1.21), ta đợc
)(
~
cos),( ktedktx
ikx
0

2
1


=



. (1.24)
Rõ rng rằ
ng, t

cos l hm chẵn theo k. Nói chung, ta có
thể tách )(
x
0

thnh phần chẵn v phần lẻ theo
x
:
e
0

v
o
0

.
Theo định nghĩa của phép biến đổi Fourier thì
)(
~
)(
~
)(sin)(cos)(
~
kkxkxdxixkxdxk
oeoe
000
0
0
0
0
22 +=



trong đó

e
o

~
l thực v chẵn theo k ,
o
0

~
l ảo v lẻ theo k .
Để đơn giản, đặt
0

l chẵn theo
x
. Phơng trình (1.24) có
thể đợc viết lại
=

=


tkxdktx
e
coscos
~
),(
0
0
1

[]
)()(
~
Re
tkxitkxie
eedk
+

+

=

0
0
2
1
. (1.25)
Số hạng th
ứ nhất v thứ hai trong dấu ngoặc vuông tuần tự
biểu diễn các sóng truyền về phía phải v phía trái.

Hình 1.1 Các đờng lấy tích phân dùng cho phép biến đổi đảo Laplace
Để hiểu rõ hơn về bản chất vật lý, ta cần thực hiện những
phép xấp xỉ. Tại thời gian
t lớn, ta có thể sử dụng phơng pháp
pha ổn định (
method of stationary phase) của Kelvin. ý tởng
của phơng pháp ny nh sau:
Xét tích phân

=
b
a
itg
dkeftI )( , (1.26)
trong đó
f v
g
l các hm liên tục theo k . Khi t lớn, pha
tg

của phần có dạng hình sin dao động nhanh khi
k
biến thiên.
Nếu vẽ đồ thị hm dới dấu tích phân theo
k
, thì có rất ít vùng
thực phía dới đờng cong bị loại bỏ, ngoại trừ một điểm tại đó

18
pha dừng, điểm đó l

0
0 kkkg ==

,)(
. (1.27)
Tại lân cận của điểm dừng ny, nhân tử dao
động của hm

dới dấu tích phân của phơng trình (1.26) có thể đợc viết
thnh
[]
{}
)()(exp
)(
0


0
kgkgtie
kgti

Phần thực của
[]
{}

0
)()(exp kgkgti biến thiên chậm, nh
trên hình 1.2, trong khi đó phần ảo từ từ cắt ngang trục
k tại
0
kk = . Vì vậy ta có thể thấy, vùng lân cận ny sẽ đóng góp đáng
kể vo tích phân.

Hình 1.2 Phần thực của
{}

0
)]()([exp kgkgti

Nếu ta xấp xỉ )(kg bằng hai số hạng đầu của khai triển
Taylor
)()()()(
0
2
00
2
1
kgkkkgkg

+
,
thì tích phân có thể đợc viết thnh












)()(exp)(
)(
000

2
1

0
kgtkkidkkfeI
kitg
,
trong đó, các giới hạn ),(
ba đã đợc xấp xỉ bằng ),( . Sử
dụng biểu thức
4/
2/1
2


iitk
e
t
dke










=

,
cuối cùng ta có
4/
2/1
0
0
)(
)(
2
)(
0


i
kitg
e
kgt
kfeI

, (1.28)
trong đó dấu
đợc lấy nếu 0 0
00
<

>

)(,)( kgkg . Nếu phân
tích công phu hơn, ta có thể thấy rằng sai số có bậc
)(
1
tO .
Ngoi ra, nếu không có điểm dừng trong khoảng
),( ba , tích
phân sẽ có bậc lớn nhất bằng
)(
1
tO
. Điều ny v các thông tin
khác có thể thấy trong Stoker (1957) hay Carrier, Krook, v
Pearson (1966).
Trở lại phơng trình (
1.25), chúng ta cần một số tính chất
nhất định của đờng cong phân tán, nh đợc vẽ trên hình 1.3.
Xét
0>x . Với tích phân thứ nhất
=
t
x

kkg )( ,
từ hình 1.3b có thể thấy có một điểm dừng tại
)()(
00
kCk
t
x
g
=

= nếu
21/
)(gh
t
x
<
. (1.29)
Trong cùng khoảng
),0( của
k
, không có điểm dừng đối
với tích phân thứ hai. Từ phơng trình (1.28) suy ra
)()(cos
)(
)(
~
/
1
00
21

0
00
4


2
2
1

+







+

tOtkxk
kt
k
e
,
tghx
21

/
)(<
, (1.30)
trong đó
0<


)(k (xem hình 1.3c) v
tghxtO
211

/
)(),( >

.
Bây giờ ta phân tích những tính chất vật lý m phơn
g

19
trình (1.30) diễn tả. Một ngời quan sát di chuyển với tốc độ xác

định
tx / chậm hơn
2/1
)(gh , nhìn thấy một chuỗi sóng hình sin
với số sóng
0
k [v tần số )(
0
k

], vận tốc nhóm của các sóng ny
bằng
tx / . Biên độ của chuỗi sóng giảm với bậc )(
/ 21
tO . Với tx /
lớn, từ hình 1.3a ta thấy
0
k nhỏ, do đó, một ngời quan sát di
chuyển nhanh hơn sẽ nhìn thấy các sóng di hơn v với biên độ
lớn hơn, vì
21
0

/
)
)(( k

nhỏ hơn. Hình dạng chính xác của )(x
0

có ảnh hởng tới )(
~
k
0
v biên độ của các sóng phân tán. Thí
dụ, nếu
)(
)(
22
0


bx
bS
x
+
= ,
đây l một
mô nớc đối xứng, diện tích
S
v độ rộng đặc trng
b
, ta tìm đợc:
bk
e
Sekk

== )(
~

)(
~
00

.





Hình 1.3 Các thay đổi của



, v


theo k
Nếu độ rộng b lớn, thì
e
0

~
sẽ không đáng kể, ngoại trừ với
0
k nhỏ hoặc với trờng hợp các sóng dẫn đầu di. Khi
b
tăng,
biên độ của một giá trị xác định
0

k giảm đi.
Nếu kết hợp các quan sát của nhiều quan sát viên trong
cùng một thời gian
t , ta thu đợc ảnh chụp của mặt tự do (xem
hình 1.4). Thấy rằng, tại
t không đổi, các sóng di sẽ dẫn đầu,
còn các sóng ngắn theo sau. Bây giờ ta xét quang cảnh tại một
thời điểm muộn hơn,
12
tt > . Bây giờ cả hai quan sát viên cùng
di chuyển về phía phải. Nhng khoảng cách không gian đã tăng
lên. Chẳng hạn, giả sử
21



sao cho giữa họ const

,k . Độ
rộng tổng cộng của chuỗi sóng đơn với

,k bây giờ giãn ra cùng
với sự tăng
t , điều ny có nghĩa rằng các đỉnh sóng đợc tạo
thnh trong quá trình lan truyền.


Hình 1.4 Biểu diễn không
gian - thời gian của các
sóng phân tán giữa hai

quan sát viên di chuyển
Để đi theo một đỉnh sóng cụ thể tại tốc độ pha của nó, một
ngời quan sát phải di chuyển với một tốc độ biến đổi, vì
0
k v
)(
0
kC không giữ nguyên l hằng số khi đỉnh sóng di chuyển vo
một khu vực mới. Tuy nhiên, nếu một ngời di chuyển với tốc độ
bằng tốc độ nhóm của các sóng với bớc bằng
0
2 k/ , thì anh ta
chỉ nhìn thấy các sóng hình sin có cùng bớc sóng, chúng đuổi
kịp anh ta từ phía sau v vợt lên trớc, vì vận tốc pha của
chúng lớn hơn vận tốc nhóm.
Một cảnh tợng tơng tự cũng diễn ra với
những nhiễu
động lan truyền sang phía trái.

20
2.1.2 Sự truyền năng lợng, vận tốc nhóm
Xét một nhiễu động di chuyển sang phải duy nhất. Phơng
trình (1.30) đúng cho thời gian
t lớn v biểu diễn một sóng tiến
với biên độ
21
0
00

2

2
/
)(
)(
~













=
kt
k
A
e
, (1.32)
giảm chậm theo
21 /
t .
Mật độ năng lợng của sóng tiến ny xấp xỉ bằ
ng
=

==
2
21
0
00
2
2

2
2

2

2
1
2

/
)(
)(
~
kt
kg
g
Ag
E
e

4

0
2
00
)(
)(
~
kt
kg
e




=
(1.33)
Tại t cho t
rớc bất kỳ, các sóng nằm giữa hai quan sát viên di

chuyển với với tốc độ )(
11
kCC
gg
v )(
22
kCC
gg
= , tức giữa hai
tia sóng
1
1
g
C
t
x
= v
2
2
g
C
t
x
=
trong biểu đồ không t
hời gian. Năng lợng sóng tổng cộng
giữa chúng sẽ l

2
1
2
1

4


0
2
00
x
x
e
x
x
dx
kt
kg
Edx
)(
)(
~
. (1.34)
Vì
tkx
0

)(


=
đối với t cố định v
0
0
<


)(k
, ta có
0000
dkkdkk
t
dx
)()(

=

=
. (1.35)
Bây giờ, với
1212
kkxx <> ,
(xem các hình 1.3a, b), phơng
trình (1.34) trở thnh
const
4

0
2
00
2
1
2
1
=




dk
k
Edx
k
k
e
x
x
)(
~
(1.36)
l hằng số
theo thời gian. Do đó, năng lợng tổng cộng của các
sóng giữa hai ngời quan sát di chuyển với các vận tốc nhóm địa
phơng, đợc bảo ton. Cách lý giải ny, theo Jeffreys v
Jeffreys (1953), tiếp tục lm tăng thêm ý nghĩa của vận tốc
nhóm nh đã bn luận trong chơng 1.
Whitham (1965) đã chỉ ra rằng kết quả tiệm cận do pha

dừng đối vớ
i
x
v t lớn phù hợp với một lý thuyết đợc gọi l lý
thuyết quang hình học. Từ phơng trình (1.29), nếu lấy vi phân
theo
x
v theo t , ta đợc
tkk
x
)(


=
1
v


+


= tkk
t
)(0
,
do đó
)(
,
)( kt
k

kt
k
tx




=


=
1
. (1.37)
Từ đó suy ra
0=




+


x
k
t
k
,
có thể đợc viết lại dới
dạng
0=

+


x
t
k
(1.38)
Vì
dx
x
k
dt
t
k
dk


+


=

từ phơng trình (1.37) ta thấy rằng dọc theo đờng co
ng
0 =

== dkCdtdx
g
,/ ; do đó k giữ không đổi. Ngoi ra, nếu
nhân phơng trình (1.33) với
1
v lấy vi phân theo t v
x
, ta

21
có ngay
0=








+







E
C

x
E
t
g
. (1.39)
Cả hai phơng trình (1.38) v (1.39) l kết q
uả cơ bản của
phép xấp xỉ quang hình v đợc coi l hợp lệ phổ biến cho các
chuỗi sóng tựa điều ho biến thiên chậm nh sẽ đợc trình by
kỹ trong chơng 3.
2.1.3 Các sóng dẫn đầu trong một xung nhiễu động
Các sóng nhanh nhất ứng với 0k v di chuyển với tốc độ
gần bằng (
gh)
1/2
. Tại lân cận front sóng,
21/
)(/)( ghtxkg

nhỏ
v pha thì gần nh l dừng. Hơn nữa, khghk
221/
)()(

cũng
rất nhỏ v phép xấp xỉ của phơng trình (1.30) không hợp lý.
Cần có một xấp xỉ tốt hơn (Kajiura, 1963).
Do
0k
, ta khai triển hm pha đối với

k
nh sau:
=








+






= )()()(
/
2
3
21
6

hk
kgh
t
x
kk

t
x
kkg

)(
)(
/
/
++






=
32
21
21
6
kh
gh
gh
t
x
k
(1.40)
Gần với sóng dẫn đầu,
2/1
)(/ ghtx có thể bằng không;

chúng ta phải giữ số hạng tỉ lệ với
3
k . Một lần nữa, chỉ có tích
phân thứ nhất trong phơng trình (1.25) có giá trị, vì thế
[]
















+

+

=
0
3
221
21
0
0
0

6
0
2
1
1

2
1
dkk
thgh
tghxk
t
Otkxkdk
e
e
/
/
)(

)(cos)(
~
)(cos)(
~

ở đây ta đã lợi dụng tính chất
e
0
~

l số thực. Nếu tiến hnh
thay các biến
[]
thgh
tghx
Z
221
3
21
3
2
/
/
)(
)(

=
v
[
]

= Ztghxk
21/
)(
,
thì tích phân trên trở thnh









+





3

2
02
3
0
31221
0
31
Zd

thgh
e
cos
))((
)(
~
)(
~
//
/
,
v có thể đợc biểu diễn
theo hm Airy của
Z
:









+




3

1
3
0
ZdZAi cos)( . (1.41)
Vậy, ta có
[]

tghx
thgh
Ai
thgh
e 21
31
221
0
31
221
2
0
2
12
/
/
/
/
/
)(
)(
)(
~
)(
~ . (1.42)
)(ZAi l một hm dao động với 0<
Z
v suy giảm theo hm mũ
với
0>Z . Sự dao động của nó đợc thể hiện trên hình 1.5.

Bức tranh vật lý l nh sau: Với một giá trị
t
cố định, thì
Z

tỉ lệ thuận với giá trị tghx
21/
)( khoảng cách tính từ front
sóng
tghx
21/
)(=
. Tại một thời điểm xác định, biên độ sẽ nhỏ ở
phía trớc front v điểm cao nhất ở một khoảng cách no phía
sau front. Về phía sau, thì biên độ v độ di sóng suy giảm. Vì
Z
tỉ lệ với
31 /
t , các ảnh sóng tại những thời điểm khác nhau có
cùng dạng, ngoại trừ việc tỉ lệ không gian tỉ lệ với nhân tử
31 /
t ,
có nghĩa rằng cùng một dạng sóng kéo giãn ra theo thời gian.
Trong quá trình tiến triển, biên độ giảm theo
31 /
t , trong khi các
sóng còn lại trong chuỗi sóng giảm theo
21 /
t . Nh vậy, phần
đầu sống lâu hơn phần còn lại của chuỗi sóng. Chú ý rằng biên

độ của các sóng dẫn đầu tỉ lệ với
)(
~
0
0
e
, đại lợng ny bằng tổng
diện tích li độ ban đầu
).(
~
x
e
0


22

Hình 1.5 Sóng dẫn đầu do một mô nớc hoặc rãnh nớc đối xứng trên mặt gây
ra. Tung độ l
[]
1
0
31221
02

)(
~
)/)((
// e
thgh , xem phơng trình (1.42)

2.1.4 Sóng thần gây bởi dao động nền đáy
Sóng thần (tsunami) l các sóng nớc sinh ra do động đất.
Nếu biết li độ của đáy biển trong vùng động đất, thì vấn đề sóng
trên mặt nớc trở thnh một bi toán động lực học thuần tuý.
Đáng tiếc, rất khó đo đạc trực tiếp gần trấn tâm động đất, v
ngời ta thờng hớng tới sử dụng các số liệu ghi sóng biển
trong một vùng rộng xung quanh trấn tâm để phán đoán thô về
bản chất của chuyển động kiến tạo. Vì vậy, có rất nhiều công
trình nghiên cứu lý thuyết về sóng nớc do các chuyển động nền
đáy khác nhau gây ra.
Trong số rất nhiều đặc tính của sóng thần ghi nhận đợc ở
vùng gần bờ, có ha
i đặc tính thờng hay đợc nhận thấy nhất,
nhng không phải bao giờ cũng vậy (Shepard, 1963). Đặc điểm
thứ nhất l: sóng thần thờng đi kèm sau một hiện tợng rút
nớc ở bãi biển. Đặc điểm thứ hai: sóng đầu tiên của sóng thần
có thể không phải l sóng lớn nhất. Trong mục ny, ta sẽ xét
một mô hình lý tởng có thể phản ánh đợc những đặc điểm
ny một cách định tính.
Ta sẽ giả thiết rằng không có nhiễu động trên mặt tự do
0000 ===

),,(),(),( txPxx
a
. (1.43)
Trên đáy biển hz = , li độ của nền đất
),( txH cho trớc.
Vậy l,
tHW = / đợc biết v nghiệm chuyển đổi rút ra từ
theo phơng trình (1.16)

khgks
kzgkkzs
khk
W
th
ch sh
ch
2
2
+

=
~
~
. (1.44)
Li độ của mặt tự do l
22

2
1
ch

2
1
+
=

s
eWs
ds
ikh
e
dk
stikx
~
, (1.45)
trong đó
21
th
/
)( khgk= . Ta giới hạn thêm rằng chuyển động
của nền đất l đột ngột v kết thúc ngay sau một khoảng thời
gian vô cùng nhỏ:
00 =
),(xH nhng )(),( xHxH
0
0 =+ .
Vận tốc của chuyển động của đất có thể đợc diễn tả bằ
ng
một hm


)()(),( txHtxW
z
==

0
,
vì thế
)(
~
~
kHW
0
= . Tích phân theo
s
có thể ngay lập tức cho
[]
)()(
)(
~
tkxitkxi
ee
kh
kH
dk
+
+

=


2
1

ch

2
1
0
. (1.46)
Hm
)(xH
0
có thể đợc coi l tổng của hai hm lẻ v chẵn
theo
x
, tuần tự l
)(xH
o
0
,
)(xH
e
0
. Một cách tuyến tính, hai phần
ny có thể đợc xét tách biệt v sau đó, các kết quả của chúng

23
đợc cộng lại. Dễ dng chỉ ra rằng, phần chẵn
)(xH
e
o
có các tác
động rất giống với thí dụ ta đã xét trớc đây về sự dịch chuyển

đối xứng ban đầu của mặt tự do, nét khác duy nhất l nhân tử
1
ch

)( kh , nó lm triệt tiêu sự ảnh hởng của các sóng ngắn. Do
đó, sau đây ta chỉ quan tâm đến thnh phần lẻ.
Ta đa ra đại lợng
dx
dB
xH
o
=)(
0
(1.47)
sao cho
)(
~
)(
~
kBikkH
o

0
= . Do )(
~
kH
o
0
lẻ, nên
B

~
phải l số thực v
chẵn theo
k ; do đó
=+

=




)()(
~
titi
ikx
eekBik
kh
e
dk
2
1

ch

2
1

=+

=

)()(
~
titi
ikx
eekB
kh
e
dk
dx
d

2
1

ch2
1

)()(
~
Re
titi
ikx
eekB
kh
e
dk

dx
d



+

=


2
1

ch

2
1
. (1.48)
Với
t lớn v xa các sóng dẫn đầu, các tích phân có thể xử lý
bằng phơng pháp pha dừng nh trớc đây, v có thể nhận
đợc nhiều đặc điểm định tính tơng tự nh trớc đây, một
điểm khác quan trọng l


32 /
t khi const=tx / . Giả sử ta chỉ
xét vùng lân cận các sóng dẫn đầu truyền về phía
0>x
. Một

lần nữa, tích phân thứ hai lại thống trị v phần đóng góp quan
trọng l từ lân cận
0k
. Do đó






tiikx
tkxi
eedkBkB
kh
e
dk
00
0
ch
)(
~
Re)(
~
Re
)(

[]

+

tkhghtghxkidkB
322121
6
1
0
//
)()(exp)(
~
Re

[]

= tghx
thgh
Ai
thgh
B
21
31
221
31
221
22
0

/
/
/
/
/
)(
)()(
)(
~

nh đã bn luận trớc đây. Lấy
vi phân theo
x
, ta có
[]
=

tghx
thgh
Ai
dx
d
thgh
B
21
31
221
31
221
22
2
0
/
/
/
/
/
)(

)()(
)(
~

[]
























= tghx

thgh
iA
thgh
B
21
31
221
32
221
22
2
0
/
/
/
/
/
)(
)()(
)(
~
, (1.49)
trong đó
)(Ai)( Z
dZ
d
ZiA


Các sóng dẫn đầu suy yếu theo thời gian

32 /
t nhanh hơn
nhiều so với trờng hợp tăng hay giảm thuần tuý khi
31 /
~

t .
Kết quả ny l do chuyển động của đất l một nửa dơng, một
nửa âm đã lm giảm ảnh hởng hiệu dụng. Hm
)(iA Z

diễn
biến nh trên hình 1.6. Chú ý rằng







=

== dxxxHxdxHdxdxxBB
o
x
o
0
00
)()()()(
~

.
Vậy, nếu mặt đất sụt xuống ở phía phải v nâ
ng lên ở phía
trái, thì 00 >)(
~
B v front sóng truyền về phía phải đợc dẫn
đầu bằng sự hạ thấp mặt nớc (đó l nguyên nhân rút nớc ở
bãi biển). Các đỉnh sóng tiếp sau đó sẽ có biên độ tăng.
ở phía
trái,
0<x , front sóng có pha ngợc lại về hớng v đợc dẫn đầu
bằng một đỉnh sóng. Nhng nếu nền đất sụt theo hớng ngợc
lại, tức hạ thấp ở bên trái v nâng lên ở bên phải, thì front sóng
truyền về phía phải sẽ đợc dẫn đầu bằng sự dâng nớc.
Kajiura đã chỉ ra rằng, nếu giữ lại số hạng
23
hgk
trong biểu
thức của )(k

sẽ duy trì sự phân tán ở bậc thấp nhất, v có thể

24
nhận đợc cùng các kết quả tơng tự các phơng trình (1.42)
v (1.49), bằng cách vận dụng phép xấp xỉ sóng di ngay từ đầu
đầu, điều ny hiển nhiên l hợp lý cho miền xa nguồn. Trong
chơng 11 sẽ cho thấy rằng phép xấp xỉ nh vậy sẽ đợc thực
hiện bằng các phơng trình Boussinesq tuyến tính hoá, ở dạng
một chiều, nó tơng đơng với

+


=


4
42
2
2
2
2
3

x
h
x
gh
t
. (1.50)
Các nh kh

oa học nh Kajiura (1963) v Momoi (1964a, b;
1965a, b) đã khảo sát miềm lân cận nguồn sóng thần.

Hình 1.6 Sóng dẫn đầu do nền dất chao nghiêng bất đối xứng

[]
32221
1
20
//
)/)(()(
~
thghB

, xem phơng trình (1.49)
Bi tập 2.1:
Hãy chỉ ra rằng nếu giải chính xác phơng trình (1.50) với
các điều kiện ban đầu:
00 00
0
== ),(),()(
~
),( xxx
t
,
thì kết quả cho ra l phơng trình (1.42).
Bi tập 2.2: Bi toán Cauchy-Poisson với sóng trọng lực
mao dẫn
Xét mặt tự do với tính chất mao dẫn (xem bi tập 5.2, mục
5.1). Hãy giải bi toán về sự phản ứng của mặt tự do hai chiều

trong trờng hợp xảy ra dâng nớc cục bộ ban đầu:
122
0

+= ))(/(),( bxbx . Rút ra kết quả tiệm cận cho trờng hợp
t lớn v
tx / cố định v mô tả bức tranh vật lý. Hãy khảo sát
trờng hợp riêng khi điểm dừng l điểm 0 của
)(k


.
Bi tập 2.3: Sóng trên dòng chảy
Xét sông đáy không đổi h v tốc độ dòng chảy đồng nhất U .
Hãy phát biểu bi toán giá trị biên v giá trị ban đầu tuyến
tính hoá đối với thế vị của dòng nhiều xác định bởi tốc độ
ton phần
),,(, tzxU =+= i , trong đó
t
z
x
,,
quy chiếu theo
những toạ độ cố định trong không gian. Khảo sát ảnh hởng của
U lên tơng quan tản mát );( Uk

=

đối với sóng tiến.
Nếu tại 0=t , một áp suấ

t xung cục bộ )()( txPP =
0
tác
động từ bên ngoi lên mặt tự do, hãy tìm dạng tiệm cận của
),( tx

với t lớn v
x
bao gồm cả front sóng. Nêu ý nghĩa vật lý
v các hiệu ứng của U .
2.2 Sự phản hồi ba chiều ngắn hạn đối với các
xung từ đáy
Nếu nguồn nhiễu động đợc giới hạn trong một vùng ngang
hữu hạn, các sóng sẽ truyền đi trong tất cả các hớng v chuyển
động chất lỏng sẽ l chuyển động ba chiều. Chúng ta sẽ chỉ
minh hoạ trờng hợp sóng thần gây bởi chuyển động đột ngột
của nền đáy biển (Kajiura, 1963).

25
Phơng trình mô tả đối với thế vận tốc ),,,( tzyx l
phơng trình Laplace ba chiều. Không có xung lực tác động trên
mặt biển tại mọi thời gian. Trên đáy, chuyển động của nền đất
l chuyển động hai chiều:
hztyxW
z
==


),,,( , (2.1)
trong đó W chỉ có giá trị khác không trong một vùng hữu hạn.

Ngoi ra
0, khi +=
2122 /
)( yxr (2.2)
Bi toán gi
á trị biên v giá trị ban đầu có thể giải bằng biến
đổi Laplace theo
t v phép biến đổi Fourier hai chiều theo x v
theo
y. ở đây, phơng pháp cộng nguồn tỏ ra hon ton hợp lý.
Xét một nhiễu động xung tập trung tại gốc 0== yx , hz = tại
thời gian
+= 0t
. Ký hiệu phản hồi thế bằng ),,,( tzyxG , khi đó
thay vì phơng trình (2.1) ta có phơng trình:
hztyx
z
G
=+=


0 ),()()( . (2.3)
Nói cách khác, hm G cũng thoả mãn những điều kiện nh
hm thế
, đó l:
0
2
= G , (2.4)
0 0 ==+ zgGG
ztt

, , (2.5)
0 0 0 ==== ztGG
t
,, , (2.6)
trGG 0 ,,, hữu hạn. (2.7)
Nếu tìm đợc hm ),,,( tzyxG
, thì hm có thể đợc biểu diễn
ngay bằng
),,,(),,(),,,(





=





tzyyxxGyxWydxddtzyx
t
0
. (2.8)
Về mặt vật lý, phơn
g trình (2.8) diễn tả tổng của các
nguồn xung thnh phần có cờng độ tại
xx

=

, yy

= ,
hz =
,

=t l



dydxdyxW ),,( . ở đây ta đa ra một nhận xét để có
thể sử dụng sau ny, rằng các hm biến đổi Laplace , W , v
G quan hệ với nhau theo lý thuyết xếp cuộn nh sau:
),,,(),,(),,,( szyyxxGsyxWydxdszyx





=



. (2.9)
Hm ),,,( tzyxG đợc xem l dễ xây dựng,
vì nguồn điểm có
tính chất đối xng qua trục. Ta định nghĩa )(r bằng


=

r
r
yx
2

)(
)()(
với ý rằng các tích phân mặt của cả hai phía l bằng nhau, tức
l




==


)()(
)(
yxdxdy
r
rrdr
d 1
2
0
2
0
.
Phơng trìn
h (2.3) có thể đợc viết lại thnh
)()( +

=


0
2
1
tr
r
z
G
; (2.10)
v bây giờ bi toán
G không chứa .
Do sự đối xứng trục, có thể vận dụng phép biến đổi Hankel,
dùng hm Bessel )( rkJ
0
với t cách l hm trọng lợng. Định
nghĩa phép biến đổi Hankel (xem Sneddon, 1951) nh sau:


=
0
0
drrfkrJrkf )()()(

, (2.11a)
khi đó, thì phép biến đổi ngợc sẽ
l

=
0
0
dkkfkrJkrf )(

)()( . (2.11b)
Ta đi định nghĩa phép biến đổi hỗn hợp LaplaceH
ankel
của G bởi
G



26



=
00
0
drGkrJrdteG
st
)(

.
Trong hệ trục toạ độ cực
<<<=

+










rzh
z
G
r
G
r
rr
000
1
2
2



,,
. (2.12)
Nếu áp dụng phép biến đổi Hankel cho thnh phần th
ứ nhất,
lấy tích phân từng phần, sử dụng các điều kiện biên tại 0=

r
v
, v lm cho phơng trình vi phân thoả mãn
0
J
, ta có thể chỉ
ra rằng


=










0
2
0


1
Gk
r
G
r

rr
rkrJdr

)( .
Nh vậ
y, dạng biến đổi LaplaceHankel của phơng trình
(2.12) l
0

2
2
2
= GkG
zd
d

. (2.13)
Dạng biến đổi của điều kiện mặt tự do l
0
2
=+ G
g
s
G
z

, (2.14)
v biến đổi
của điều kiện biên đáy l

=
2
1
z
G

. (2.15)
Nghiệm của phơng trình (2.13) với các đi
ều kiện biên
(2.14) v (2.15) l
kh
k
kzgkkzs
s
G
ch
ch sh 1
2
1
2
22


+
=

(2.16)
với
khgk th
2

= . Đảo ngợc phép biến đổi Hankel, ta có
21
0
22
0

/
)(,),,(

)(),,(


+== yxrdkszkGkrJkszrG . (2.17)
Nếu điểm nhiễu động không nằm tại gốc m tại điểm
r

,
thì chúng ta phải thay thế
r bằng rr

do đó
dkszkGrrkJkszrrG
0
0
),,(

)(),,(

=

, (2.18)
trong đó
== sin,cos ryrx ,


=



=

sin,cos ryrx , (2.19)
[][ ]
21
22
21
22
2
/
rrrryyxxrr )(cos)()(
/

+=

+




.
Khi phơng trình (2.18) đợc thay thế vo phơng trình

(2.9) thì
dkszkGrrkkJsrWdrdrszr ),,(

)(),,(),,,(
0
0
0
2
0







= .
(
2.20)
Tiếp theo, có thể nhận đợc thế

bằng biến đổi ngợc
Laplace.
Phép biến đổi Laplace đối với li độ mặt tự do l
ì




==


=

2
1

00
0
),,( srWdrdr
g
s
z

dk
s
s
kh
rrkJk

ch
1

22
0
0
+

ì


)( . (2.21)
Bây giờ ta sẽ một số trờng hợp đặc biệt.
2.2.1 Sóng thần hai chiều do dịch chuyển xung nền đáy
Trong trờng hợp đặc biệt, đáy dịch chuyển dạng xung
)(),(),,( += 0trtrW (2.22)
biến đổi Laplace l
),( = rW . Biến đổi ngợc của phép biến
đổi Laplace đối với phơng trình (2.21) có ngay l

27

=
0
0
2
00

ch


2
1
kdt
kh
rrkkJ
rdrdr cos
)(
),( (2.23)
Tiến trình tiếp theo có thể đợc thực hiện bằng cách biểu

diễn
)(
0
rrkJ

thnh một chuỗi với theo định lý cộng đã biết
(Watson, 1958, pp. 358359)
[]
(
)

=





+
21
22
0
2
/
)(cosrrrrkJ
)(cos)()(



=


=

0
nrkJkrJ
nn
n
n
(2.24)
trong đó
n

l ký hiệu Jacobi (
, ,,,, 3 2 1 2 1
0
=== n
n
). Thế
phơng trình (2.24) vo phơng trình (2.23) v ký hiệu:








=

)(
)(
sin
cos
)(),(
kW
kW
n
n
rkJrdrdr
s
n
c
n
n
2
00

2
1
(2.25)
ta có

=
ì

=
0
0
ch


kh
t
rkkJtr
n
n
n
cos
)(),,(

kdnWnW
s
n
c
n
)sincos( +ì
. (2.26)
Về nguyên tắc, nếu cho trớc hm
),( r , ta có thể lấy tích
phân trong phơng trình (2.25) v nhận đợc

)(kW
s
n
v )(kW
c
n
,
v nghiệm cuối cùng có thể thu đợc bằng cách thực phân số v
lấy tổng.
Để có một số ý niệm về phơng diện vật lý,
ta xét hai thí
dụ đơn giản sau đây:
1) Dịch chuyển nền đối xứng qua trục:
)(),( rWr
0
= (2.27)
Do tính trực giao của
{}
ncos v
{}
nsin , suy ra
0
0
0
000
==

=

nkWdrrkJrrWW
c
,)(

)()(
00,0 == nWW
s
n
c
n

Do đó, ta có
()
dkkW
kh
t
krkJtr
ch


0
0
0
)(

cos
)(,,

=

=
0
0
0
00

ch


dk
kh
t
krkJrdrWrkJr
cos
)()()( , (2.28)
biểu thức ny có
thể suy ra trực tiếp từ phép biến đổi Hankel
với
)(
0
krJ , không có nguồn đối với hm nguồn G .
2) Dịch chuyển bất đối xứng theo trục
y :
= cos)(),( rWr

1
(2.29)
Dễ dng chỉ
ra rằng
,,)( 1 cả tất 0
2
1
0
111
=

=


nWrdrkJWrW
c
n
c

nW
s
n
cả tất 0 =
.
Tích phân ny chính l phép biến
đổi Hankel của
1
W với
1
J nh

l hm trọng lợng. Vì 2
1
= , ta có
rdrkJrWrdk
kh
t
krkJtr


=



ch


1
00
11
)()(
cos
)(cos),,( (2.30)
Kết quả trên cũng có thể thu đợc trực tiếp bằng biến
đổi
Hankel với hm trọng lợng
1
J .
Nói chung, ngời ta c
ó thể cần rất nhiều số hạng trong
chuỗi của phơng trình (2.26) để mô phỏng một nhiễu động tổng

quát hơn.
Bây giờ, ta sẽ chỉ khảo sát sự diễn biến tiệm cận trờng hợp
nền đáy dịch chuyển xung bất đối xứng với
r
v t lớn, còn
trờng hợp đối xứng ginh lm bi tập. Nếu viết

28
kh
W
kkF
ch
1

)(
= v


=
0
111
drrWkrJrkW )()()(


v sử dụng
đồng nhất thức
[]
=

=

2
0
1

2
1
)sin(exp)( kridkrJ




=
0
1
)sincos( krd (2.31)
đồng nhất thức ny có thể chứn
g minh bằng phép khai triển
sóng từng phần, phụ lục 4.A, phơng trình (A.5), ta có thể viết
lại phơng trình (2.30) thnh
=

=




00
1
ti

ekrkdkFdtr )sincos()(Recos),,(
ì

=
2
1
Recos








+ì






000
tiikritiikri
ekdkFeekdkFed
sinsin
)()(
. (2.32)
Bây giờ ta xét tích phân kép thứ nhất ở trên
[]

=
00
1
)(sin)/(
)(
ktrkiti
ekdkFedI (2.33)
Hm pha phụ thuộc vo hai
biến, k v

, v một điểm pha
dừng có thể đợc tìm thấy trong khoảng


00,k bằng
cách đồng thời cho bằng không các đạo hm riêng theo
k v

.
Trong các công trình của Papoulis (1968) đã tổng quan đầy đủ
về các phơng pháp pha dừng trờng hợp nhiều chiều hơn. Bây
giờ ta chọn một cách khá dễ hiểu: trớc hết giữ cố định

, v
tìm phân bố của pha dừng dọc theo

k , sau đó lặp lại quá trình
cho

. Nh vậy, với t lớn, tr / v

sin cố định, ta có thể áp
dụng phơng pháp pha dừng
)(sin)( k
t
r
kkg =
, (2.34a)
)(sin)( k
t
r
kg

=

, (2.34b)
0
>


=

)(kg , (2.34c)
Có một điểm dừng tại đó
0=

)(kg
vì 0>

sin trong khoảng
<

<0 . Giá trị gần đúng cho tích phân theo
k
l







+

4
2
21
ik
t
r
kitkF
kt
)(sinexp)(
)(
/
,
trong đó điểm dừng
k
phụ thuộc vo

thông qua phơng trình
(2.34b).
Bằng cách phân tích tơng tự, ta
thấy tích phân còn lại
trong phơng trình (2.32) không có điểm dừng v có bậc
O(1/t).
Tích phân
1
I

trở thnh
[]






+











=


+

t
OekF
kt
edI

ktrkiti
1


2

21
0
4
1
)(sin)/(
/
)/(
)(
)(
. (2.35)
Tích phân

có thể đợc xấp xỉ một lần nữa bằng phơng
pháp pha dừng đối với
t lớn v
tr /
cố định. Hm pha v hai
đạo hm đầu tiên của nó bằng
)(sin)( k
t
r
kf = , (2.36a)

+=

)(sincos k
t
r
d
dk
t
r
k
d
df
, (2.36b)

+

+=

)(sincossin k
t
r
d
kd
d
dk
t
r
t
r
k
d
fd
2
2
2
2
. (2.36c)
Bằng việc sử dụng phơng trình (2.34b), điểm pha dừn
g rõ
rng l tại điểm 2
/=

. Kết hợp kết quả ny vo các phơng

29
trình (2.36b) v (2.36c), ta đợc
0
0
=

)(k
t
r
, (2.37)
đối với điểm dừng đợc
ký hiệu l
0
k
, v
0
0
2
2
2
<=

=
t
r
k
d
fd
/

, (2.38)
Phơng trình (1.28) có thể đợc á
p dụng vo phơng trình
(2.35), kết quả l
[]






+

=

t
Oe
rk
kF
kt
iI
tkrki
1

2

2

00
21
0
0
21
0
1
)(
/
/
)(
)(
.

Tích phân kép thứ hai trong phơng trình (2.32) không có
điểm dừng trong k
hoảng
],0[ =k , vì vậy nó có bậc )/( t1 .
Cuối cùng, li độ tổng cộng l
ì











=
21
0

2
2
/
)(
Recos),,(
kt
i
tr

[]
=






+









ì

t
e
rk
kF
tkrki
12


00
21

0
0
O
)(
/
)(

ì











=
21
0

2

2
1
/
)(
cos

kt

[]






+









ì
t
Otkrk
rk
kF
1

2

00
21

0
0
)(sin)(
/
. (2.39)
Kết quả trên đây cũng có thể thu đợc bằng
cách áp dụng
công thức tiệm cận của
)(krJ
1
với kr lớn,
















4
3

2
21
1
rk
rk
krJ cos)(
/
,
v sau đó á
p dụng phơng pháp pha dừng một lần. Tuy nhiên,
tính hợp lý của giả thiết
kr lớn khi k biến thiên trong khoảng
từ 0 đến
cần đợc khẳng định, còn ở đây ta đã chọn con đờng
đi thận trọng hơn.
Các đặc điểm vật lý về sự phân tán gần nh hon ton
tơng tự nh trong trờng hợp một chiều v ta k
hông cần phải
khảo sát kỹ hơn. Có điều phải nhận thấy rằng tốc độ suy giảm
biên độ sẽ khác, vì với
const=tr / thì
)(sin
)/()(
)(cos
/
/
trk
trkk
kF

t
00
21
0
21
0
0

2

2

1
2
1

, (2.40)
trong đó,
0
k phụ thuộc vo tr / theo phơng trình (2.38). Nh
vậy, các sóng cá thể ở gần với
const=tr /
suy giảm với tốc độ
bậc
)/( t1
do phân bố toả tròn của các sóng hai chiều. Bản
chất bất đối xứng của nguồn đợc truyền một cách chính xác
cho các sóng lan truyền bởi nhân tử
cos ; sóng sẽ lớn nhất dọc
theo hớng
x
, 0= v không đáng kể dọc theo trục bất đối
xứng 23 2
/,/ = .
Để thu đợc
kết quả rõ rng hơn, cần thiết phải mô tả hm
)(rW
1
. Thí dụ, ngời ta có thể giả thiết rằng

>
<
=
a.r 0
a,r
2122
1
,
,)(
)(
/
ra
a
A
rW
(2.41)
Từ công thức của Erdelyi (1954, II, tr.24, No. 25) ta có thể
suy ra rằng:

==


22
2
1
2
21
2122
0
11
ka
J
k
a
a
A
drrakrrJ
a
A
kW
/
/
))(()(

.
Do đó

30













==
2

ch2

ch
2
1
21
1
ka
J
kh

Aa
W
kh
k
kF
/

)( , (2.42)
điều ny cho thấy ảnh hởng k
ích thớc A của vùng chứa
nguồn. Thông qua hm Bessel, )(kF dao động theo
ka, điều ny
biểu thị sự giao thoa của các sóng từ các phần khác nhau của
nguồn.
2.2.2 Các sóng dẫn đầu trong sóng thần hai chiều
Ta tiếp tục xem xét thí dụ không đối xứng với hm
1
W cụ
thể cho bởi phơng trình (2.41). Trong vùng của các sóng dẫn
đầu 1<<kh , nhng với
r
đủ lớn, thì sóng dẫn đầu phải có bớc
sóng hữu hạn no đó sao cho
1>>kr .
Chúng ta có thể hoặc biểu diễn hm )(krJ
1
nh l một tích
phân, phơng trình (2.31), v thực hiện xấp xỉ pha dừng đối với

trong tích phân, hoặc lấy xấp xỉ tiệm cận cho )(krJ

1
với kr
lớn. Cả hai cách đều cho kết quả l
[]
4343
21
0
2
12

//
/
)(Recos
+

+









itiikritiikr
ee
kr
kFdk (2.43)
Đối với các sóng dẫn đầu 1<<kr , chỉ hm thứ nh

ất dới
dấu tích phân có ý nghĩa, ta khai triển









6
23
21
hk
kgh
/
)( ,
2
3
221
21642
k
Aaka
aAkF

=














/
)( .
Suy ra rằng
ì





23
0
43
21

3


1
16

2

//
/
Re
cos
kkde
r
aA
i

[]

+ì
6

3221
21
tkhgh
tghrki
/
/
)(
)(exp . (2.44)
Tích phân ny k
hông thể đợc biểu diễn theo các hm đã
biết. Trớc hết ta viết lại nó nh sau

+














=

0
21
3
21
2325
0
6
t
h
gkh
t
h
g
h
r
khikhkhdh
//
//
)(
exp))((
(2.45)
v lập các b
iến mới (Kajiura, 1963, p. 549):
6
21
3
ut
h
g
g

kh
=






/
)(
hay
31
21
2
6
/
/

=
t
h
g
ukh
Tích phân của phơng trình (2.45) trở thnh
)(
/
/
/
62
4
0
65
21
25
2
6
upui
eudu
t
h
g
h
+

(2.46)
với
[]
31
21
6
/
/
/)/(
)/(/
thg
thghr
p

= . (2.47)

Phơng trình (2.46) có thể viết lại t
hnh
)(
/
/
/
62
0
2
2
65
21
25
6
2
upui
edu
dp
dt
h
g
h
+

.
Nhờ đó, phơng trình (2.44) trở thnh
ì

65
21
25
21
3
21
6 162
/
/
/
//
cos t
h
g
h
r
Aa

)(
)Re(
62
0
2
2
1
upui
edui
dp

d
+


+ì (2.48)

31

Hình 2.1
p
TT
1
v
pp
T nh l các hm của p . (theo Kajiura, 1963)
Với 0=p , nếu ngời quan sát ở tại tghr
21/
)(= , thì tích
phân trong phơng trình (2.46) có thể đợc xác định bằng cách
đặt =
6
u
12561
0
4
0
6
5

6

//







==

iiiu
eedeudu
Đối với
p
tổng quát, ta thực hiện theo Kajiura v định
nghĩa


+
+=
0
62
1
)(
)(Re)(
upui
eduipT , (2.49)
khi đó
()
65

2125
21
3
6
216
/
//
/
/)/(
)(
cos
thgh
T
r
Aa
pp
= . (2.50)
Các biến đổi của
T
,
p
T , v
pp
T đợc vẽ trên hình 2.1. Vì
hệ số của
pp
T trong phơng trình (2.48) tỉ lệ với
34
65
34

21
6521 /
/
/
/
//
~















= r
t
r
t
t
r
tr ,
nên ta có thể kết luận rằng ở gần front sóng

21/
)(/ ghtr biên độ
sóng giảm theo
3/4
t
hoặc
3/4
r
. Nếu
0<a
, mặt đất thụt xuống ở
phía phải,
22 // <<
, v nâng lên ở phía trái. Đối với
ngời quan sát ở phía phải, thì thấy các sóng dẫn đầu sẽ l một
bụng sóng thấp v tiếp sau l một đỉnh sóng cao, tơng tự nh
trờng hợp hai chiều.
2.3 Sự lan truyền của một chùm sóng phân tán
Bây giờ, chúng ta nghiên cứu sự tiến triển của một nhóm
sóng điều biến chậm để hiểu thêm về sự phân tán sóng. Xét một
nhiễu động di chuyển về phía phải. Nhiễu động ny có thể mô
tả bằng tổng các sóng hình sin với bớc sóng liên tục:




= dkektx
tkkxi ))((
)(Re),(

. (3.1)
Sóng ny c
ó thể do một máy tạo sóng đặt tại
x
trong
một máng di, tại thời gian t

. Phổ biên độ
)(k
đợc xác
định theo nhiễu động ban đầu (xem mục 2.1). Ta xét trờng
hợp )(k

tổng quát, còn sóng trên nớc chỉ l một trờng hợp
cụ thể. Ta xét một chùm sóng trong trờng hợp đặc biệt có

32
đờng bao dạng Gauss:
22
0
4

0
0

=
/
Re),(
x
xki

eeAx . (3.2)
Phổ biên độ có thể thu đợc bằng biến đổi ngợc Fourier:




=

= dxexk
xki
0
2
1
),()(
=

=




dxe
A
xxkki
22
0
4
0
2
/)(

[]



+

= dxe
A
kkkkix
22
0
2
0
2
0
2
)()(/
. (3.3)
Đặt += 2
0
)(/ kkixu , ta thu đợc






= duee
A

u
kk
2
22
0
2
2
0
)(
,
trong đó, đờng viền

l một đờng thẳng từ + )(
0
kki đến
+
0
)( kki trong mặt phẳng phức u . Vì
2
u
e

l hm giải tích
trong dải nằm giữa

v trục
u
thực, theo định lý Cauchy, đờng
viền có thể đợc thay thế bằng trục thực. Sử dụng kết quả có sẵn
21

2
/
=




due
u
, (3.4)
ta có,
22
0
)(
2/1
0
)(



kk
e
A
k

= . (3.5)
Vậy, hình dạng sóng tại thời điểm t
bất kỳ sẽ l

+
= dke
A
tkxikk )()(
2/1
0
22
0
Re




. (3.6)
Ta xét diễn biến của tích phân trên đây khi
0
k

rất lớn, tức
đờng bao gốc l rất phẳng, hay phổ biên độ rất nhọn ở gần
điểm
0
kk = . Hm dới dấu tích phân suy giảm nhanh ngay sau
điểm
0
kk = , vì thế ta có thể xấp xỉ )(k

bằng một ít số hạng
khai triển Taylor:

,)(
2
1
)()(
0
2
0000
+

+

+=

kkkkk
ở đây )(
00
k


, )(
00
k





Đặt
0
kku = , ta có

+

+
duee
A
utxiutitxki )()2/()(
2/1
0
0
2
0
2
00
Re




. (3.7)
Hon thnh các phép bình phơng v sử dụng phơng trình
(3.4) ta thu đợc:

+









+

2
14
)(
exp
2
1
Re
0
2
2
0
2/1
0
)(
0
00
ti
tx
ti
e
A
txki
(3.8)

Rõ rng đờng bao dịch chuyển với tốc độ nhóm
0


=
g
C ;
giá trị cực đại của nó đạt tại điểm
tCx
g
= v giảm theo
2/1
t đối
với
t lớn. Độ di của đờng bao đợc xác định bằng
2/1
0
2
12







+

t
i

tăng theo
2/1
t
đối với t lớn. Do đó ton bộ nhóm sóng sẽ phẳng
đi trong quá trình lan truyền.
So với phơng trình (5.
4) trong chơng 1, thì phơng trình
(3.8) l một xấp xỉ khá hơn. Ta coi phơng trình (3.8) nh l các
sóng dạng sin điều biến chậm, năng lợng chứa đựng trong ton
bộ nhóm sóng đợc xấp xỉ bằng:

33
()
=







+

+





2
2/1
0
0
2
2
0
2
0
2
1
2
14/exp
4
1

ti
ti
tx
dxgA

=















+

+


=



2/1

2
0
2
0
22
0
2
0
2
1
2
12/)(exp
4






t
t
tx
dx
gA





22

2
4
2
0
2
0
2
gA
due
gA
u
==




. (3.9)

Năng lợng tổng trong sóng ban đầu theo
phơng trình
(3.2) l


=





212

0
22
0
22
4
22
//
A
g
dxeA
g
x
. (3.10)
Nh vậy, n
ăng lợng sóng đợc bảo ton.
Có thể nhận thấy rằng trong khi
1
xác định tốc độ chậm
của quá trình điều biến đờng bao, thì độ cong của đờng cong
phân tán


lại liên quan đến
2
. Để chứng minh rằng điều
ny không phải l ngẫu nhiên, ta khảo sát thí dụ cơ bản hai
chuỗi sóng lan truyền trên nớc có các bớc sóng hơi khác nhau
dkkk +=
+
v dkkk =

với 1/ <<kdk :
[][]
{}
)(exp)(exp
0
txkitxkiA
++
+=



, (3.11)
trong đó
()


=

k , 2 1,= . Khai triển

đến
2
)(dkO , ta có:
k
dkdk

+

+

=

)(
2
2
1
, (3.12)
do đó
[]

+ tdkkxitCxdkA
g
2
0
2
1
2
)(exp)(cos . (3.13)
Trên qui mô không gian v thời
gian
1


)(dkO
, đờng bao
đợc điều biến v di chuyển với tốc độ
g
C ; tuy nhiên, trên qui
mô thời gian
2
)(dkO , thì pha, cụ thể l tần số, thay đổi. Trong
thí dụ ny đã giả định rằng các qui mô thời gian
,,),( 1

21 -
(dk)(dk)

có tính chất bậc thang.
Cuối cùng, với một phổ biên độ bất kỳ có đỉnh tại
0
k (phổ
Gauss (3.5) l một trờng hợp đặc biệt), phơng trình (3.1) có
thể đợc xấp xỉ bằng
{}
)(
),(Re),(
txki
etxAtx
00


(3.14)
trong đó
[][]
{}





+

= tkkkkxkkikdktxA
0

2
0
2
1
000
)()()(exp)(),( (3.15)
Rõ rng rằn
g A thoả mãn phơng trình vi phân sau:
2
2
00
2
x
Ai
x
A
t
A




=




+

(3.16)
Một phơng trình đơn
giản nh trên hiển nhiên sẽ rất dễ
phân tích (xem mục tiếp sau). Để chuẩn bị cơ sở cho việc mở
rộng sang các bi toán phi tuyến thờng khó xác định nghiệm
chính xác, ta sẽ xây dựng lại phơng trình (3.16) bằng một
phơng pháp khác, trực tiếp xuất phát từ các phơng trình mô
tả, chứ không từ nghiệm tích phân.
2.4 Chuỗi sóng biến đổi chậm. phép phân tích đa
quy mô
Ta hãy kết hợp các quy mô khác nhau nh đã đề xuất ở cuối

34
mục 2.3. bằng cách đa ra các biến biến đổi chậm:


2
21
2
21
,,
,,
tttt
xxxx
==
==
(4.1)
trong đó
1<<

xác định tỉ số giữa hai qui mô thời gian, v sau
đó xử lý các biến ny trong phân tích nhiễu với t cách l những
biến độc lập. Thủ tục ny có thể tỏ ra l cái gì đó nhân tạo đối
với một ngời cha quen, nhng đã chứng minh đợc rằng nó
phù hợp với các phơng pháp khác trong các bi toán trớc đây
v l một công cụ mạnh đối với loại bi toán phi tuyến yếu. Để
tìm hiểu một cách hệ thống, hãy tham khảo Cole (1968) v
Nayfeh (1973).
Giả thiết rằng
).,,,, ;,,(),(
),,,,;, ;,,(),,(


2121
2121
tttxxxtx
tttzxxxtzx
=
=
(4.2)
Các đạo hm theo
x
v t phải đợc thay bằng
,+


+


+

2
2
1
xxxx
(4.3)
do đó
+










+


+


+

2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
22
xxxxxxx
(4.4)
Thay thế tơng tự đối
với các đạo hm thời gian, còn các
đạo hm theo
z giữ nguyên. Bây giờ ta giới hạn xét các sóng
dạng sin biến thiên chậm v giả sử một chuỗi nhiễu nh sau:
()
)(

tkxi
e

+++=
2
2
10
(4.5)
trong đó
,,,, ),,;, ;,( 2 1 0
2121
=

=


ttzxx (4.6)
Thế phơng trình (4.4
) đến (4.6) vo phơng trình Laplace
v tách theo các luỹ thừa của

, ta đợc:
0
2
0
2
0
2
=


+

z
kO :)( (4.7a)
1
0
2
1
2
1
21
2
x

ik
z

k):O(


=


+
(4.7b)

+


+


=


+
2
0
2
1
0
2
1
1
2
2
2
22
2
22
x
ik
xx

ik
z
kO :)( . (4.7c)
Một cách tơng tự, điều kiện biên
mặt tự do sẽ cho:
0
0
2
0
0
=




z
gO
:)( (4.8a)
1
0
1
2
1
2
t
i
z
gO

=



:)(
(4.8b)
















=



2
0
2

1
0
2
1
1
2
2
2
2
22
t
i
tt
i
z
gO :)(
(4.8c)
Tại đáy, ta có
hz
zzz
==



=



=

,
0
210
. (4.9a,b,c)
Rõ rng rằ
ng, nghiệm cho
0

xác định bởi phơng trình
(4.7a), (4.8a) v (4.9a) rất đơn giản:
, ),, ;,(,
)(
21210

ch
ch
ttxxAA
kh
hzkigA
=
+

= (4.10)
với
khgk th
2
= . Biên độ A nh vậy l cha đợc xác định. Còn
1

đợc xác định bởi bi toán giá trị biên bất đồng nhất (4.7b),
(4.8b) v (4.9b). Vì bi toán giá trị biên đồng nhất có
0

nh l
một nghiệm không tầm thờng, nên bi toán bất đồng nhất
phải thoả mãn một điều kiện khả giải theo định lý Green áp
dụng cho
0

v
1

:

35
=

0
2
2
0
2
11
2
2
1
2

0
0
k
z
k
z
dz
h

0
0
1
1
0
h
zz












=
. (4.11)

Nếu các phơng trìn
h (4.7a,b) đợc đa vo vế trái v các
phơng trình (4.8a, b) v (4.9a, b) đợc đa vo vế phải, thì theo
định lý trên, ta có:
1
0
2
2
1
ch
ch
1
t
A
dzhzk
kh
gk
x
A
h


=






+

)( .
Từ phơng trình (5.12), chơng 1, suy ra rằng
0
11
=


+


x
A
C
t
A
g
. (4.12)
Dễ dng
thấy rằng nghiệm sẽ l )(
11
tCxA
g
, có nghĩa rằng
đờng bao truyền với tốc độ nhóm, không thay đổi hình dạng.
Kết quả chung ny bao quát cả phơng trình (5.5), chơng 1,

nh một trờng hợp cụ thể. Ngoi ra, nó cũng áp dụng đối với
front của chuỗi sóng biến đổi dần đến ổn định, nh ta đã biết
trong mục 1.5.2.
Ta hãy dừng lại một chút, xét một ứng dụng trực tiếp của kết
q
uả trên đây. Khi các nhiễu dạng sin phát sinh trong một vùng
cục bộ, ta thấy điều kiện biên tại vô cùng trong bi toán về trạng
thái ổn định tỏ ra không rõ về phơng diện toán học. Thí dụ, yêu
cầu rằng nhiễu phải hữu hạn (trờng hợp một chiều), hoặc triệt
tiêu (trờng hợp hai, hoặc ba chiều) tại vô cùng sẽ không bảo
đảm sự duy nhất nghiệm; cần sử dụng một điều kiện biên tốt.
Trong khuôn khổ nghiêm ngặt của bi toán trạng thái ổn định,
điều kiện ny thờng phát biểu nh sau: Một nhiễu hình sin
phát sinh cục bộ phải lan ra đến vô cùng. Phát biểu quan trọng
ny đợc gọi l điều kiện phát xạ (
radiation condition). Còn hiệu
chỉnh nh thế no đó, thậm chí cho một trờng hợp cụ thể, thì
đơng nhiên l cần thiết.

Hình 4.1 Biến thiên của )(tA
Ta hãy xét trạng thái ổn định nh l giới hạn của bi toán
giá trị ban đầu khi
t . Cụ thể, xét các sóng một chiều trong
miền
0>x do một máy sóng hình sin tạo ra tại vị trí 0=x . Giả
sử biên độ của sóng hình sin gần
0=x biến thiên chậm từ 0 tại

~
t đến

0
A không đổi tại +
~
t theo một quy luật no đó
)()(
1
tAtA = (xem hình 4.1). Ta sẽ tìm nghiệm tại mọi 0
1
>x
bằng phơng trình (4.10) với
)/(),(
g
CxtAtxA
11
=
. Thực tế,
biên độ sóng sẽ triệt tiêu tại
1
x đủ lớn với mọi t hữu hạn; do đó
0
1
)/(),(
g
CxAtxA khi +
1
x . Từ hình (4.1), điều ny chỉ
thoả mãn khi 0
>
g
C . Vì

g
C v
k
cùng dấu, ta phải có
0>k
, từ
phơng trình (4.5) suy ra rằng
)( tkxi
e


0
truyền sang phải, tức
lan ra phía ngoi.
Về nguyên tắc, điều kiện phát xạ có thể suy ra từ bi toán
giá trị ban
đầu, không cần giả định về một sự bắt đầu chậm.
Song nh vậy phải phân tích khá di (xem Stoker, 1948, 1957).
Sự duy trì của dạng trong phơng
trình (4.12) chỉ đúng với
qui mô
)(
1


O , tức l, theo
1
x v
1
t . Ta sẽ xét bậc tiếp theo để

theo dõi sự biến thiên trên khoảng không gian hoặc thời gian
)(
2


O di hơn, tức theo
2
x v
2
t .

36
Trớc hết, chúng tôi ginh cho độc giả chứng minh rằng
nghiệm bất đồng nhất của
1

l
,
1
1
ch
sh
x
A
khk
QgQ



=

với ),( hzkQ + (4.13)
nghiệm ny thoả mãn các điều k
iện biên theo phơng trình
(4.12). Nghiệm đồng nhất bị loại bỏ, vì nó đợc xem nh đã bao
hm trong
0

. Thế phơng trình (4.10) v (4.13) vo vế phải
của các phơng trình (4.7c) v (4.8c), ta đợc
kh
Q
x
A
ik
x
Aig
kh
QQ
x
Aig
k
z
ch
ch
2
ch
sh 2
2
2
1

2
2
1
2
2
2
2
2
2










+



+



=

(4.14a)
02
ch
sh 2
2
2
1
2
2
2
2
2
=


+











+=

z
t
A
x
A
C
C
kh
khh
i
gz
g
g
, (4.14b)
hz
z
==



0
2
, . (4.14c)
Để nhận đợc phơng trình (4.14
b) ta đã sử dụng phơng
trình (4.12). Bây giờ, vấn đề chứng minh tính khả giải có thể
đợc lặp lại: sau những biến đổi đại số khá di những dễ thực
hiện, ta có một kết quả đơn giản bất ngờ nh sau:

2
1
2
22
2 x
Ai
x
A
C
t
A
g




=


+


(4.15)
trong đó
{}
,)()()()()(
)()(
22222222
2
2

2
1411 2
4
12 cth 2
2
th 21
TTkhTkhTTkhT
k
g
khkh
k
C
C
khkh
k
C
dk
d
gg
++


=
=+

=

=

trong đó , để ngắn gọn đã dùng ký hiệu khT th= .
Hai quy mô (4.12) v
(4.15) có thể kết hợp lại v tham số
nhỏ

có thể bỏ qua để có:
2
2
2
x
Ai
x
A
C
t
A
g




=


+


(4.16)
Phơng trình ny qu
y định sự điều biến chậm của đờng

bao v giống hệt nh phơng trình (3.16).
Nếu xét trong hệ toạ độ di chuyển với tốc độ
g
C , tức dịch
chuyển với nhóm
tCx
g
=

,
thì phơng trình (4.1
6) trở thnh phơng trình Schrửdinger
trong cơ học lợng tử,
2
2
2


=

Ai
t
A
(4.17)
Phơng trì
nh ny chỉ chứa một toạ độ không gian v, do đó,
dễ xử lý hơn so với bi toán giá trị biên chứa cả
x
v z . Ta sẽ
áp dụng nó cho một thí dụ mới dới đây.

Tiến triển của front chuỗi sóng dạng sin
Xem xét một nhiễu dạng sin sinh ra từ một máy tạo sóng đã
đợc bật ở một thời gian trớc v sau đó giữ ổn định. Kết cục l
tại một vị trí xác định sẽ hình thnh chuyển động dạng sin ổn
định. Bây giờ ta sẽ khảo sát sự phát triển của front sóng. Vấn
đề ny lần đầu tiên đợc Wu (1957) nghiên cứu cho trờng hợp
áp suất tại một điểm đột ngột bắt đầu dao động vo thời điểm
0=t
trên mặt nớc độ sâu vô hạn v có tính tới sức căng bề
mặt. Vấn đề tơng tự, nhng không tính sức căng bề mặt, sau
đó đã đợc Miles (1962) nghiên cứu. Front sóng ngắn gây bởi
một tấm phẳng thẳng đứng lăn trên mặt thoáng cũng đã đợc
Mei (1966a) khảo sát. Cách tiếp cận của tất cả các tác giả ny l
xuất phát từ nghiệm chính xác v sau đó tìm xấp xỉ tiệm cận
của hm tích phân với
x
v t lớn.
Ta hãy sử dụng phơng trìn
h (4.17) áp dụng cho front

37
sóng khi nó đủ cách xa nguồn nhiễu. Chọn nghiệm thoả mãn
các điều kiện biên
0A
khi

, (4.18a)
0
AA khi

, (4.18b)
có nghĩa rằng: đờng bao thay đổi
từ hằng số bằng A
0
phía sau
front sóng đến bằng 0 phía đầu của front sóng. Không có hạn
chế no đối với
kh .
Bi toán gi
á trị biên định nghĩa bằng các phơng trình
(4.17) v (4.18a, b) có thể đợc giải bằng phơng pháp tơng tự
giống nh trong lý thuyết lớp biên hay truyền nhiệt. Vì phơng
trình (4.17) giống phơng trình truyền nhiệt, chúng ta chấp
nhận một nghiệm tơng tự dạng
21
0

/
),(
t
fAA

==
. (4.19)
Từ phơng trình (4.17) rút ra:
0

=

f
i
f , (4.20)
với các điều kiện biên
~,1

f (4.21a)
~,0

f (4.21b)
Phơng trìn
h (4.20) có thể đợc tích phân để cho
du
iu
Cf
2
2

=
exp
,
biểu thức ny thoả
mãn phơng trình (4.12b). Để thoả mãn
phơng trình (4.21a), ta cần
du
iu
C
2
1
2













= exp

.
Vì




=
0
4
21
2
2
/
/
ii
ede , (4.22)
nên ta có
()
21
4
2
/
/




=
i
eC

,
v nghiệm l
()

















=
2
2
2
21
4
0
iu
due
A

A
i
exp
/
/
. (4.23)
Kết quả trên có thể đợc biểu diễn
dới một dạng khác
()
=
















+

=

2
2
2
0
0
21
4
0
iu
due
A
A
i
exp
/
/

()

+=




2
2
2
1
2
0
21
4
iu
due
i
exp
/
/
(4.24)
sau khi đã sử dụng phơng trình (4.22). Đa ra
22
vu =

/ , ta
sẽ nhận đợc:

=+=




dve
e
A
A
vi
i
0
2
21
4
0
2
22
1
/
/
/

+

+
+
=



0
22
21
4
222
1
2
v
i
v
dv
ie
i
sincos

/
/
, (4.25)
trong đó
()
21

/


= t . (4.26)
Vì



=
0
2
2
dv
v
C cos)( (4.27a)
v

38
dv
v
S

=
0
2
2
sin)( (4.27b)
l các tích phân côsin v sin của Fr
esnel, phơng trình (4.25) có
thể viết thnh












++






+=

)()(
/
/
SiC
e
A
A
i
2
1
2
1
2
21
4
0
. (4.28)

Hình 4.2 So sánh giữa lý thuyết (Miles 1962) v thực
nghiệm. Biên độ đợc đo tại vị trí cách máy tạo sóng
160 foot. Tần số l 5,25 rad/s (Longuet-Higgins,1964)

Độ lớn
0
AA / đợc xác định bằng
21
22
21
0
2

1
2
1
2
1
/
/
)()(
















++

+= SC
A
A
(4.29)


Hình 4.3 ảnh hởng của tốc độ nhóm lên tốc độ pha trong
vùng nớc sâu 2/CC
g
= ; khoảng thời gian giữa hai lần
liên tiếp các đỉnh sóng trùng với đỉnh đờng bao bằng
T
2

v đợc vẽ
trên hình (4.2). Rất thú vị l phơng trình (4.29)
cũng mô tả sự biến đổi ở phía bên kia của biên khuất trong bi
toán nhiễu xạ m sau ny ta sẽ khảo. Để đi tới vị trí của ngời
quan sát tại
x
cố định cách máy tạo sóng, thì đờng bao trớc
hết lớn đơn điệu đến
2/
0
A khi
g
Cxt /= , sau đó đạt đến giới hạn
ổn định
0

A theo cách thức dao động. Vùng trung chuyển trải di
ra với thời gian theo
21 /
t . LonguetHiggins (1974) đã thực hiện
một số thí nghiệm khẳng định lý thuyết ny về mặt định tính.
Có một số bất phù hợp về định lợng, chắc l do các hiệu ứng
phi tuyến. Chẳng hạn, với trờng hợp biên độ đủ lớn, thì các
đỉnh sóng đổ tại đỉnh cao nhất của đờng bao. Vì tốc độ đờng