Chuyên đề Căn bậc 2 Mới Hay

chủ đề I: căn bậc hai. Thầy Giáo: Vũ Hoàng Sơn
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.

A
có nghĩa khi A 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
a.
2
A A=
b.
. ( 0; 0)AB A B A B=
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B
= >
d.
2
( 0)A B A B B=
e.
2
( 0; 0)A B A B A B=


2
( 0; 0)A B A B A B= <
f.
1

( 0; 0)
A
AB AB B
B B
=
i.
( 0)
A A B
B
B
B
= >
k.
2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A B
=


m
m.
2
( )
( 0; 0; )
C C A B

A B A B
A B
A B
=


m
B.Kĩ năng cần đạt:
Tìm căn bậc hai của một số hoặc biểu thức.
Tìm điều kiện của biến để biểu thức xác định.
Thực hiện các phép tính về căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản =>Rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa căn
bậc hai.
Giải phơng trình chứa căn bậc hai.
C.Các dạng bài tập cơ bản:
1.Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định:
2.Rút gọn biểu thức và một số dạng bài tập kèm theo.
*Các biểu thức chứa căn đơn giản trong sách bài tập để học sinh củng cố các công thức.
Bài 1 Tính
a)
6058012552 +
b)
51
8
25
10210

+
+
+
c)

6123321615 +
d)
16230
275
4818
1282
+
+



e)
75
4
6
27
1
3
3
16
2
g)
32
32
32
32

+
+
+

h)
210
)53(53
+
+
i)
75
5
3
3
4
6272 +
k)
19241225238 +

l)
)25(32 +
m)
5353 ++
n)
+++ 52104
52104 +
p)
( )
452
5825
2

+

Bài 2 Chứng minh
( )( )
2113962562049625 =+
*Các biểu thức phức tạp hơn.
-Các dạng bài tập kèm theo có thể là:
Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến.
Giải phơng trình: Tìm x để giá trị của biểu thức bằng a.
Giải bất phơng trình: Tìm x để giá trị của biểu thức không âm, So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác, chứng minh
giá trị của biểu thức
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Tìm x nguyên, x hữu tỉ để giá trị của biểu thức nguyên.
Bài 1:
Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +
ữ
ữ
ữ
+


với x>0 ,x

1
a)Rút gọn A b)Tính A với a =
(
)
( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+
Chơng 1-lop 9 Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn
HD: a) A= 4a b) Xong
Bài 2: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
+ +
với x

0 , x

1.
a . Rút gọn A. b. Tìm GTLN của A .
HD: a)A =
1
x
x x
+ +

b)Nếu x = 0 thì A = 0
x 1 1 1
Nếu x 0 thì A = . A max x 1 min x
1
x 1 x x
x 1
x
1 1 1
Theo bất đẳng thức Co si có: x min 2 x 1.Khi đó Amax =
3
x x
x
x

= + + +
ữ ữ
+ +

+ +

+ = = =
ữ

Bài 3:
Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x

x x
x x x

+ +
+
ữ ữ
ữ ữ

+

với x > 0 , x

4.
a)Rút gọn A. b)So sánh A với
1
A

HD: a) A =
9
6
x
x
+

( )
( )
2
9
1 1
)Xét hiệu: A - 0 A

A A
6 9
x
b
x x

= =
+

Bài 4:
Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +


a)Tìm x để biểu thức A xác định. b)Rút gọn A. c)x= ? Thì A < 1. d)Tìm
x Z
để

A Z
a) x

0 , x

9, x

4 b)A=
3
2x
c)Xong d)Xong
Bài 5: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
+
+
+ +
với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A. b)Tìm GTLN của A. c)Tìm x để A =
1
2
d)CMR : A
2
3

.
HD: a)A =
2 5
3
x
x

+

( )
( )
17 5 3
2 5 17 17 17 17
) 5 . max max. Vì 0 nên max 3 min x=0
3 3 3 3 3 3
x
x
b A A x
x x x x x x
+


= = = + > +
ữ ữ
+ + + + + +

c)Xong d)Xét hiệu A 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dơng.
Các bài tập luyện:
Bài 6: Cho A =

( )
2
:
+



+
ữ
ữ

+

x y xy
x x y y
x y
y x
x y x y
với x

0 , y

0,
x y
a)Rút gọn A. b)CMR : A

0
HD:
) =
+

xy
a A
x xy y

2
) 0
3
2 4
Với x,y 0= =
+

+
ữ
ữ

xy xy
b A
x xy y
y
y
x

Bài 7: Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x

+ +

+ +
ữ
ữ
ữ
+ +


Với x > 0 , x

1.
a) Rút gọn A. b)Tìm x để A = 6 HD:a) A =
( )
2 1x x
x
+ +
b)
Bài 8: Cho A =
4 3 2
:
2 2 2

+
+
ữ ữ
ữ ữ


x x x

x x x x x
với x > 0 , x

4.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5

HD:a)A =
1 x
) b)
Bài 9: Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

với x > 0 , x

1.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5
HD: A =
3
2 x
b)
Bài 10: Cho A=
2 1 1 4

: 1
1 1 1
+ +


ữ ữ
+ +

x x
x x x x x
với x

0 , x

1.
2
Chơng 1-lop 9 Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn
a)Rút gọn A. b)Tìm
x Z

để
A Z
HD:a)A =
3
x
x
) b)
Bài 11: Cho A=
1 2 2 1 2
:

1
1 1 1
x
x
x x x x x x




ữ
ữ
ữ

+ +


với x

0 , x

1
a)Rút gọn A. b)Tìm x để
A Z
c)Tìm x để A đạt GTNN .
HD:a)A =
1
1
x
x

+
{ } { } { }
1 2 2 2 2
1 0 0 2 1 2 1 0 1 0
1 1 1 1
) . A nguyên nguyên nên đặt: ; ; ;

= = = = <
+ + + +
x n
b A n Z x n n x x
n
x x x x
c)Xong: x = 0, Amin = -1.
Bài 12: Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

9
a)Rút gọn A. b)Tìm x để A < -
1
2
HD: a)A =
3
3a

+
b)
Bài 13: Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x

+

ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A b)Tính A với x =
6 2 5

c)CMR : A
1
HD: a)A =
4
4
x
x
+
b) c)Xét hiệu A 1.
Bài 14: Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+

+
ữ
+

với x > 0 , x

1.
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1 HD:a)A =
1x
x

b).
Bài 15: Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

Với
1
0,
9
x x
a)Rút gọn A. b)Tìm x để A =
6

5
c)Tìm x để A < 1. HD: a)A =
3 1
x x
x
+

b,c)
Bài 16: Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x

+ +

ữ
ữ

+ +

với x

0 , x

1.

a)Rút gọn A. b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c)Tính A khi x =3+2
2
d)Tìm GTLN của A
HD:a) A =
(1 )x x
b,c,d(Quá cơ bản)
Bài 17: Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A. b)CMR nếu x

0 , x

1 thì A > 0 HD:a) A =

2
1x x+ +
b)
Bài 18: Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x


+
ữ

+

với x > 0 , x

1, x

4.
a)Rút gọn A. b)Tìm x để A =
1
2
Bài 19
Cho A =
1 2 3 3 2
:

1 1
1 1
x x x x
x x
x x

+ +

+
ữ
ữ
ữ

+


với x

0 , x

1.
a)Rút gọn A. b.)Tính A khi x= 0,36 c)Tìm
x Z
để
A Z
Bài 6:Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
+
+ + +

với x

0 ,
x

1. a . Rút gọn A. b. CMR :
0 1A

HD: a) A =
1
x
x x
+
b)
Bài 20:Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

với x

0 , x

9; x

2
a. Rút gọn A. b)Tìm x sao cho A nguyên
HD:a)A =
5
3x +
3
Chơng 1-lop 9 Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn
b)
5 5 3 5
Vì A nguyên nên đặt A = 0 0 1 4
3
3

= = < = =
+
n
n Z x n n x
n
x
Bài 21:Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a

+ +

+
với a

0 , a

9 , a

4.
a. Rút gọn A. b. Tìm a để A < 1 c. Tìm
a Z
để
A Z

HD: a) A =
1
3
a
a
+

b)Xong c)Xong

Bài 22: Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x

+ + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

với x

0 , x

9 , x

4.
a)Rút gọn A. b)Tìm x để
A Z
c)Tìm x để A < 0 HD:a) A =
2
1
x
x

+
b,c(Dạng cơ bản)
Một số bài tập khác để tham khảo: (Ch a có h ớng dẫn)
Bài 23 :Cho biểu thức:A =
12
221

x
xx
( x

2; x

3) a) Rút gọn A. b) Tính A khi x=6
Bài 24 :Cho biểu thức: B=









+

++
+
+

+
1
1
1
1
1
2

x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn B b) CMR 3B < 1 với điều kiện thích hợp của x
Bài 25: Cho biểu thức: C=






++
+










+
1
4
1:

1
1
1
12
xx
x
xxx
x
a) Rút gọn C. b) Tìm x

Z sao cho C

Z.
Bài 26 Cho biểu thức: D=

+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
( x

0; x

9)

a) Rút gọn D. b) Tìm x sao cho D<
3
1
. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D.
Bài 27 Cho biểu thức: E=











+
+

+
+
x
x
x
x
xx
xx
1
2
2

1
2
393
( x

0; x

1) a) Rút gọn E b) Tìm x

Z sao cho E

Z.
Bài 28 Cho biểu thức: F=








+







+

+
1
1
3
:1
1
3
2
x
x
x
(-1< x < 1) a) Rút gọn F b) Tính giá trị của F khi x=
524
Bài 29 Cho biểu thức: G=








+

+

+
1
1
3
:1
131
155
2
x
x
xx
xx
( x > 1; x

10) a) Rút gọn F b) CMR: F < 3
Bài 30 Cho biểu thức: H=

++
+

+
2
1
:
1
1
11
2 x
xxx
x
xx
x
( x

0; x

9)
a) Rút gọn H. b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H.

Bài 31 Cho biểu thức: K =
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

x
x
x
x
xx
x
( x

0; x

9)
a) Rút gọn K. b) Tìm x để K = 0,5 c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 32 Cho biểu thức: L =
4
12

+

x
xx
( x

2; x

3) a) Tìm x để L đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x sao cho L = 2x
Bài 33 Cho biểu thức: M=










++
+

+
1
1
11
2
xxx
x

xx
x

a) Rút gọn M. b) Tính giá trị của M khi x= 28-
36
c) CMR : M<
3
1
Bài 34 Cho biểu thức: N =








+

+

+
+

+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
xy
xxy
xy
x
xy
xxy
xy
x

4
Chơng 1-lop 9 Thầy giáo: Vũ Hoàng Sơn
a) Rút gọn N. b) Tính giá trị của N khi x=
324 +
; y=
324
c) Biết x+ y =4. Tìm giá trị nhỏ nhất của N.
*Bi 35: Cho biu thc:

( ) ( )( )
yx
xy
xyx
y
yyx
x
P
+

++

+
=
111))1)((
a). Tỡm iu kin ca x v y P xỏc nh . Rỳt gn P. b). Tỡm x,y nguyờn tha món phng trỡnh P = 2.
HD:
a). iu kin P xỏc nh l :;
0;1;0;0
+
yxyyx
(*).
( )
( ) ( ) ( )
(1 ) (1 )
1 1
x x y y xy x y
P
x y x y
+ +

=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1
x y x x y y xy x y
x y x y
+ + +
=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
+ + +
=
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1
x x y x y x x
x y
+ + + +
=
+
( )
1

x y y y x
y
+
=

( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1
x y y y y
y
+
=

.x xy y
= +
b). P = 2

.yxyx
+
= 2
( ) ( )
1 1 1
+ + =
x y y
( ) ( )
1 1 1 + =x y
Ta cú: 1 +
1y

1 1x


0 4x

x = 0; 1; 2; 3 ; 4. Thay vo ta cúcỏc cp giỏ tr (4; 0) v (2 ; 2) tho món
*Bi 36: Cho hm s f(x) =
44
2
+
xx
a) Tớnh f(-1); f(5) b) Tỡm x f(x) = 10 c) Rỳt gn A =
4
)(
2
x
xf
khi x
2
HD:a)f(x) =
2)2(44
22
==+ xxxx
=> f(-1) = 3; f(5) = 3 b)



=
=

=
=
=
8
12
102
102
10)(
x
x
x
x
xf
c)
)2)(2(
2
4
)(
2
+

=

=
xx
x

x
xf
A
+)Vi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
; +)Vi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
Bi 37 Cho P =
2
1
x
x x
+

+
1
1
x
x x
+

+ +
-
1
1
x
x
+

a/. Rỳt gn P. b/. Chng minh: P <
1
3
vi x

0 v x

1.
HD:a) iu kin: x

0 v x

1.
P =
2
1
x
x x
+

+
1

1
x
x x
+
+ +
-
1
( 1)( 1)
x
x x
+
+
=
3
2
( ) 1
x
x
+

+
1
1
x
x x
+
+ +
-
1
1x

=
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
+ + + + +
+ +

=
( 1)( 1)
x x
x x x

+ +
=
1
x
x x+ +
b/. Vi x

0 v x

1 .Ta cú: P <
1
3


1
x
x x+ +

<
1
3

3
x
< x +
x
+ 1 ; ( vỡ x +
x
+ 1 > 0 )

x - 2
x
+ 1 > 0

(
x
- 1)
2
> 0. ( ỳng vỡ x

0 v x

1)
*Bi 38 : Tớnh giỏ tr ca biu thc:
A =
53
1
+

+
75
1
+
+
97
1
+
+ +
9997
1
+
HD: A =
53
1
+
+
75
1
+
+
97
1
+
+ +
9997
1
+
=
2

1
(
35

+
57

+
79

+ +
9799

)
=
2
1
(
399

)
*Bi 39: Cho biu thc D =






+
+

+

+
ab
ba
ab
ba
11
:







++
+
ab
abba
1
2
1
a) Tỡm iu kin xỏc nh ca D v rỳt gn D b) Tớnh giỏ tr ca D vi a =
32
2

c) Tỡm giỏ tr ln nht ca D
HD: a) - iu kin xỏc nh ca D l
0 0 1; ;a b ab

D =







+
ab
aba
1
22
:







++
ab
abba
1
=
1
2
+

a
a
b)
( )
2
2 2 3
2
3 1 3 1
1
2 3
( )a a

= = = =
+
. Vy
2 3 2
4 3
D

=

c) p dng bt ng thc cauchy ta cú :
112
+
Daa
. Vy giỏ tr ca D l 1
5