Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân potx

Chuyên đề VI:
Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân .
1. Tích phân
Lý huyết
-


F x
là một nguyên hàm của hàm số


y f x
 liên tục trên đoạn


;
a b
. Khi đó
       
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
  

.
- Ghi nhớ các tính chất cộng, trừ tích phân và công thức tính các nguyên hàm của
hàm số thường gặp.






.
k f x dx k f x dx

 
, (k là hằng số)

dx x C
 

;
2
1dx
C
x
x
  

;
2
dx
x C
x
 


- Cách tính vi phân của hàm số



y g x
 là:






d g x g x dx


Ví dụ 1: Với
3 5
u x
 
, ta có
   
3 5 3 5 .
du d x x dx

   
3
dx


Với
2
1
t x

 
, ta có
2 2
1
t x
 
.
Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng), ta được




2 2
1
d t d x
 

   
2 2
1
t dt x dx
 
  
2 . 2 .
t dt x dx
 
tdt xdx
 

Ví dụ 2:

a)
 
2
2
1
3 2
I x x dx
  

2 2 2
2
1 1 1
3 2
x dx xdx dx
  
  

2 2 2
2
1 1 1
3 2
x dx xdx dx
  
  
2 2
3 2
2
1
1 1
3. 2

3 2
x x
x
  

2
2
2
2
3
1
1
1
2
2
x
x x
  
 
 
2 2
3 3
2 1
2 1 2.2 2.1
2 2
 
     
 
 
15

2


Có thể tính gộp:
 
2
2
1
3 2
I x x dx
  

3
2
3
1
2
2
x
x x
 
  
 
 

2 2
3 3
2 1
2 2.2 1 2.1
2 2

   
     
   
   
5
10
2
 
15
2


b)
4
0
2 1
J x dx
 

 
4
1
2
0
2 1
x dx
 

   
4

1
2
0
1
2 1 2 1
2
x d x
  


 
4
1
1
2
0
2 1
1
1
2
1
2
x

 
 


 
 


 
 
4
3
2
0
1
2 1
3
x 
 
4
3
0
1
2 1
3
x 
   
3 3
1
2.4 1 2.0 1
3
 
   
 
 
 
1 26

27 1
3 3
  
Nhận xét: Với đa số học sinh trung bình thì nên tính tích phân trên bằng phương
pháp đổi biến
2 1
t x
 
2
2 1
t x
  

Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta được




2
2 1 2 2
d t d x tdt dx
   
tdt dx
 

Đổi cận: Với
1
x

ta có

2.0 1 1
t
  
; với
4
x

ta có
3
t


Vậy
3
3 3
3
2
1 1
1
.
3
t
J t tdt t dt
   
 
3 3
3 1 26
3 3 3
 
Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tính
1
0
3 1
I x dx
 

.
Câu 2 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):
Tính tích phân
 
2
2
1
6 4 1
I x x dx
  


Đáp số: Câu 1:
14
9
I 
; Câu 2:
9
I



2. PP đổi biến số.

Lý huyết
Một số dạng thường gặp:

 
1
sin cos
b
a
I f x xdx


. Đặt
sin
t x

, ta có cos
dt xdx


 
1
cos sin
b
a
I f x xdx


. Đặt
cos
t x


, ta có sin
dt xdx
 

Khi đó
 
sin
1
sin
b
a
I f t dt


hoặc
 
cos
1
cos
b
a
I f t dt
 



 
2
2

tan .
cos
b
a
dx
I f x
x


. Đặt
tan
t x

, ta có
2
1
cos
dt dx
x


Khi đó
 
tan
2
tan
b
a
I f t dt





 
3
b
x x
a
I f e e dx


. Đặt
x
t e

, ta có
x
dt e dx


Khi đó
 
3
b
a
e
e
I f t dt



 Tổng quát:
   
3
.
b
a
I f u x u x dx

  
 

. Đặt


t u x
 ,


dt u x dx


Ví dụ 1: Tính
 
6
3
cos 1 sin
I x xdx



 


 Đặt
cos
t x

, ta có


cos sin
dt d x xdx
   .
 Đổi cận: Với
6
x


, ta có
3
cos
6 2
t

 
Với
3
x



, ta có
1
cos
3 2
t

 
.
 Khi đó
    
3
1
2 2
1
3
2
2
1 1
I t dt t dt
    
 
3
2
2
1
2
2
t
t
 

 
 
 

 
2
2
3
1
2
3 1
2
2 2 2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
3 3 1 1 3 1
8 2 8 2 2 4

 
     
 
 

Ghi chú: các em cũng có thể đặt
cos 1
t x
 

Ví dụ 2: Tính
2
0
cos
3 sin
x
J dx
x





Ta viết lại
2
0
1
.cos
3 sin
J xdx

x




(có dạng
1
I
)
 Đặt
sin
t x

, ta có
   
sin sin . cos
dt d x x dx xdx

  
 Đổi cận: Với
0
x

, ta có
sin0 0
t
 
.
Với
2

x


ta có
sin 1
2
t

 
.
 Vậy


1 1
0 0
3
1
3 3
d t
J dt
t t

 
 
 
 
1
0
ln 3t
  





ln 1 3 ln 0 3
    
4
ln4 ln3 ln
3
 
Ghi chú: Với bài này có thể đặt
3 sin
t x
 
.
Ta có
   
3 sin 3 sin cos
dt d x x dx xdx

    
 Đổi cận:
0 3 sin0 3
x t
    

3 sin 3 1 4
2 2
x t

 
      

 Khi đó
4
3
dt
J
t


4
3
4
ln ln4 ln3 ln
3
t   
Cách đặt này giúp lời giải gọn và phép tính tích phân dễ thực hiện hơn rất
nhiều so với cách 1. Các em lưu ý nhé !
Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng
ln
b
b
a
a
du
u
u



cần vận dụng vi
phân để tính nhanh.
Chẳng hạn


dx d x m
  với mọi m là hằng số.
 
1
dx d mx n
m
 
với mọi m, n là hằng số.
Ví như, trong
1
dx
x


mẫu có dạng
1
u x
 
, nhưng tử chưa phải du do đó cần
biến đổi để tử thành du: thay


1
dx d x
 

.
Vậy


1
ln 1
1 1
d x
dx
x C
x x

   
 
 

Ví dụ 3: Tính
ln3
0
1
x
x
e
L dx
e




Giải:

 Đặt
1
x
t e
 
 
1
x x
dt e dx e dx

   
 Đổi cận:
0
0 1 1
x t e
    

ln3
ln3 1 3 1 4
x t e
      

 Khi đó
4
4
1
1
2
dt
L t

t
 

2 4 2 1 2
  

Chú ý: Ở đây đã sử dụng công thức
2
dt
t C
t
 


Cách khác: Đặt
1
x
t e
 

2
1
x
t e
  

2
x
tdt e dx
 

Đổi cận:
0
0 1 1
x t e
    
;
ln3
ln3 1 3 1 2
x t e
      

Khi đó
2 2
2
1
1 1
2
2 2
tdt
L dt t
t
  
 


2 2 1 2
  
.
Bài tập:

Câu 1 (Đề TN BTTH 2006):
Tính tích phân
 
2
0
2sin 3 cos
I x xdx

 

.
Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN):
Tính tích phân


ln5
ln2
1
1
x x
x
e e
I dx
e




.
Gợi ý: Đặt

1
x
t e
 
2
1
x
t e
  

Suy ra
2
1
x
e t
 
và
2
x
tdt e dx


Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính
2
2
0
sin 2
4 cos
x
I dx

x




.
Câu 4 (Đề TN 2007, Bổ túc): Tính
2
0
cos
1 sin
x
I dx
x




.
Câu 5 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN):
Tính tích phân
 
1
4
2 3
1
1
I x x dx

 



Đáp số: Câu 1:
4
I

; Câu 2:
26
3
I  ; Câu 3:
4
ln
3
I 
Câu 4:
ln2
I

; Câu 5:
32
15
I 
3. PP tích phân từng phần
Lý huyết
b b
b
a
a a
udv uv vdu
 

 

Dấu hiệu: Tích phân có dạng
 
1
.sin
b
a
I f x xdx


;
 
2
.cos
b
a
I f x xdx


;
 
3
.
b
x
a
I f x e dx



Cách giải: Đặt




u f x du f x dx

  
Còn sin
dv xdx

, ta có
cos
v x
 

cos
dv xdx

, ta có
sin
v x



x
dv e dx

, ta có

x
v e


Ví dụ 1: Tính
 
4
1
0
2 3 sin
I x xdx

 


Giải:
 Đặt
 
2 3 2 3 2
u x du x dx dx

     
Với sin
dv xdx

, ta có
cos
v x
 
.

 Khi đó:
     
4
4
1
0
0
2 3 cos cos 2
I x x x xdx


    


  
1
2 3 cos 2.0 3 cos0
4 4
I
 
  
     
  
  
4
0
2 cos
xdx





 
4
1
0
2
3 3 1 2sin
2 2
I x


 
 
     
 
 
 
 

2
3 3 2 sin sin0
2 2 4
 
   
    
   
   

2 2

3 3 2 0
2 2 2

 
 
    
 
 
 
 
2 2
3
2 4

  
Nhận xét: Các em có thể tách
4 4
0 0
2 sin 3sin
I x xdx xdx
 
 
 

Sau đó tính
4 4
0 0
2 sin 2 sin
x xdx x xdx
 


 
bằng PP tích phân từng phần với cách
đặt
u x

.
Và tính
4 4
4
0
0 0
3sin 3 sin 3cos
xdx xdx x
 

  
 
.
Tính xong, cộng hai kết quả trên lại.
Ví dụ 2: Tính
 
2
2
0
5 2
x
I x e dx
 


Giải:
 Đặt
 
5 2 5 2 2
u x du x dx dx

      
Với
x
dv e dx

, ta có
x
v e


 Khi đó
   
2
2
2
0
0
5 2 2
x x
I x e e dx
   


   
2
2 0
2
0
5 4 5 0 2
x
I e e e dx
    


2
2
0
1. 5.1 2
x
e e
  


2 2 0
5 2
e e e
   


2 2
5 2 1
e e
   

 Vậy
2
2
3 7
I e
 

Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến nhưng chúng ta
không đổi cận.

Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính
 
1
0
2 1
x
I x e dx
 

.
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):
Tính tích phân
 
2
0
2 1 cos
I x xdx


 

.
Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tính
 
1
0
4 1
x
I x e dx
 

.
Đáp số: Câu 1:
1
I e
 
; Câu 2:
3
I

 
; Câu 3:
3
I e
 

4. Tính diện tích hình phẳng
Lý huyết
Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số



y f x
 , trục
hoành và hai đường thẳng ;
x a x b
 



a b

.
 
b
a
S f x dx



Cách tính
 
b
a
S f x dx


:
 Giải ph/trình :



0
f x

tìm các nghiệm
1 2
; ; ;
n
x x x
thuộc đoạn


;
a b
.
(Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ)
 Phân tích
 
b
a
S f x dx


     
1 2
1

n
x x
b

a x x
f x dx f x dx f x dx
   
  

Trên mỗi khoảng






1 1 2
; , ; , , ;
n
a x x x x b
thì


f x
có dấu xác định không thay
đổi.
Nên
     
1 2
1

n
x x
b

a x x
S f x dx f x dx f x dx
   
  

{Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân}
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
y x x
 
, trục hoành
và các đường thẳng
0; 2
x x
 


Lời giải:
 Diện tích hình phẳng cần tìm bằng
2
3
0
S x x dx
 


 Ta có


3 2

0 1 0
x x x x
    
0; 1
x x
   

Trên đoạn


0;2
, ta loại bỏ
1
x
 

 Suy ra
1 2
3 3
0 1
S x x dx x x dx
   
 

   
1 2
3 3
0 1
x x dx x x dx
   

 
1 2
4 2 4 2
0 1
4 2 4 2
x x x x
   
   
   
   

1 1 16 4 1 1
4 2 4 2 4 2
   
     
   
   
1 1 5
2
4 4 2
   

Nhận xét: Các em nên dùng máy tính cầm tay để tính và kiểm tra đáp án nhé !
Nếu em nào có kỹ năng xét dấu, có thể lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị
tuyết đối của
3
x x

trên đoạn



0;2
.
Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số


y f x
 và


y g x
 .
Cách giải:
 Giải ph/trình




f x g x
 tìm được các nghiệm
1 2
; ; ,
n
x x x

(Giả sử
1 2

n
x x x

  
)
 Diện tích hình phẳng cần tìm
   
1
n
x
x
S f x g x dx
 


Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng


1 2
;
x x
,


2 3
;
x x
,…,


1
;
n n

x x

để
tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân.
       
2
1 1

n
n
xx
x x
S f x g x dx f x g x dx

    
 

       
2
1 1

n
n
xx
x x
S f x g x dx f x g x dx

        
   
 

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x x
 
và
0
y


Giải:
 Ph/trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho :
3 2
0
x x
 



2
1 0 0; 1
x x x x
     

 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm
 
1
3 2
0
0

S x x dx
  


 
1
1
4 3
3 2
0
0
4 3
x x
S x x dx
 
   
 
 

1 1
4 3
 
1
12

Bài tập:
Câu 1 (Đề TN BTTH 2006):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3 2
3

y x x
  , trục hoành và
các đường thẳng
2, 1
x x
   
.
Câu 2 (Đề TN 2006, KPB):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
x
y e

,
2
y

và đường
thẳng
1
x

.
Gợi ý: Đề đã cho một cận là
1
x

.
Để tìm cận còn lại ta giải ph/trình
2
x

e

log 2 ln2
e
x
  

Chú ý:
ln 2 1


Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng
1
ln 2
2
x
S e dx
 

.
Các em tự tính tiếp nhé !
Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường
2
6
y x x
  
,
0
y


.

5.Tính thể tích khối tròn xoay (khi quay quanh trục Ox)
Lý huyết
Dạng 1: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng


H
giới hạn
bởi đồ thị hàm số


y f x
 , trục hoành và hai đường thẳng ;
x a x b
 



a b


quay quanh trục hoành.
 
2
b
a
V f x dx


  
 


Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng


H
giới hạn
bởi đồ thị hàm số
cos
y x

, trục hoành và hai đường thẳng ;
6 2
x x
 
 
quay
quanh trục hoành.
Giải:
 Thể tích cần tìm bằng
 
2
2
6
cos
V x dx







 
2 2
2
6 6
1
cos 1 cos2
2
V xdx x dx
 
 
 
  
 

2
6
1
sin2
2 2
x x



 
 
 

 
1 1 2
sin sin
2 2 2 6 2 3
   

 
 
   
 
 
 
 

1 1 3
.0 .
2 2 2 6 2 2
  
 
 
   
 
 
 
 
 


Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các

đường
sin
y x

,
0
y

, 0,
2
x x

 
.
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục
hoành.