ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC pdf

Chơng 6
ứng dụng của Tích phân và vi phân
trong tính toán hình học
6.1 ứng dụng của tích phân xác định.
1. Diện tích hình phẳng
a. Hình phẳng giới hạn bởi đờng cho trong toạ độ Đềcác
Nh đã nêu ra ở phần trớc, miền phẳng là hình thang cong giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x)
với f(x) là hàm liên tục, đơn trị trên [a,b] và
0)( xf

],[ bax
có diện tích tính bởi công thức:

=
b
a
dxxfS )(
Do đó dễ dàng thấy, miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên
tục, đơn trị trên [a,b] và
0)( xf

],[ bax
có diện tích là:

=
b
a
dxxfS )(
Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên tục, đơn trị trên [a,b]
có diện tích là:

=
b
a
dxxfS |)(|
(1)
Miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, y=f
1
(x), y=f
2
(x) trong đó các hàm y=f
1
(x), y=f
2
(x)
liên tục, đơn trị trên [a,b]
],[ bax
có diện tích là:


=
b
a
dxxfxfS )()(
12
(2)
Hình 18
Tơng tự, miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và x=g(y), trong đó hàm g(y) liên tục, đơn
trị trên [c,d] có diện tích là:

=

d
c
dyygS )(
(3)
Diện tích của miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, x=g
1
(y), x=g
2
(y) trong đó các hàm
x=g
1
(y), x=g
2
(y) liên tục, đơn trị trên [c,d]
],[ dcy
là:

=
d
c
dyygygS )()(
12
(4)
Ví dụ 6.1: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đờng cong:
a. { y=2-x
2
, y=x}
Trang -1
Ta có:

= xx
2
2




=
=
=+
2
1
02
2
x
x
xx
Vậy
Hình 19


==
1
2
1
2
22
)2(|2| dxxxdxxxS

2
9
23
2
1
2
23
=








=

xx
x
b. {y=(x+1)
2
, x=siny, y=0}
Từ y=(x+1)
2
có x=
1y
, x1
nên y[0,1] . ta có:
S=

[ ]







+=+
1
0
3
12
1sin


dyyy
Hình 20
Ví dụ 6.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x

Do hình Elip đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính diện tích theo một phần t của hình nằm trong
góc phần t thứ nhất. Trong góc phần t thứ nhất, phần hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và cung elip
có phơng trình
22
xa
a
b
y =
. Vậy
dxxa
a
b
dxxa
a
b
S
aa

==
0
22
0
22
44


ab
a
xa
xa

x
a
b
a

=+=
|
0
2
22
]arcsin
22
[
4
b. Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho dới dạng tham số
Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, và đờng cong cho bởi phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx
với a=x(t
1
), b=x(t
2
), t

1
<t
2
Do ydx=y(t)x(t)dt nên miền phẳng có diện tích là:
S=

2
1
)(').(
t
t
dttxty
(5)
Miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và đờng cong cho cho bởi phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx
với c=y(t
1
), d=y(t
2
), t
1
<t

2
có diện tích là:
S=

2
1
)(').(
t
t
dttytx
(6)
Ví dụ 6.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một nhịp đờng xycloit:




=
=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
với
]2,0[

t
và trục Ox.
Trang -2
Hình 21
Ta có

]2,0[

ax
và do y=a(1-cos t), dx=a(1-cos t)dt nên:
dttt
a
dttaS )2coscos43(
2
)cos1(
2
0
2
2
0
22
+==





2
2
0
2
3)2sinsin86(
4
|
attt
a

=+=
Ví dụ 6.4: Tính diện tích giới hạn bởi đờng Axtroit
3
2
3
2
3
2
ayx =+
Phơng trình tham số của đờng Axtroit là:



=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
với
]2,0[

t
Do hình đã cho đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta chỉ cần tính theo
một phần t diện tích của hình nằm trong góc phần t thứ nhất:
Hình 22

==

2
0
2
0
242
cossin12|)(').(|4

tdttadttxtyS

+=
2
0
2
)6cos4cos22cos2(
8
3

dtttt
a

8
3
6
6sin
2
4sin
2
2sin
2
8

3
2
2
0
2
|


attt
t
a
=






+=
b. Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong toạ độ cực
Xét miền phẳng là hình quạt cong cho trong toạ độ cực, giới hạn bởi các tia OA, OB có phơng trình

=
,

=
và đờng cong có phơng trình
)(

rr =

trong đó hàm
)(

rr =
là hàm số liên tục trên
đoạn
],[

. Chia đoạn
],[

thành n phần bởi các điểm chia:

=<<<<=
n

210

Khi đó góc
AOB
đợc chia thành n góc nhỏ có số đo
,
1
=
iii


ni , ,1=
và hình quạt đã cho
đợc chia thành n hình quạt con. Goi tên và diện tích của hình quạt con thứ i là

i
S
,
ni , ,1=
. Chọn
],[
1 iii



tuỳ ý, Khi đó xấp xỉ
i
S
là diện tích của quạt tròn vẽ trên góc
i


với bán kính là
)(
i
rr

=
, ta có:
iii
rS

)(
2
1

2
Trang -3
Hình 23
Nh vậy diện tích hình quạt cong xấp xỉ là:


=

n
i
ii
rS
1
2
)(
2
1


Do hàm
)(

rr =
liên tục trên đoạn
],[

nên hàm
)(
2

rr =
cũng liên tục trên đoạn
],[

do đó
khả tích trên đoạn
],[

. Vế phải của công thức xấp xỉ trên là tổng tích phân của hàm
)(
2

rr =
ứng
với phân hoạch của đoạn
],[

. Nh vậy, khi cho
n
sao cho
0max
i

ta có:


=

drS )(
2
1
2
(7)
Ví dụ 6.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng hình tim
)cos1(

+= ar
( Hình Cacđiôit)
Do hình phẳng đối xứng qua Ox nên ta có:
Hình 24

++=+=


0
22
0
22
)coscos21()cos1(
2
1
.2 dadaS


++=

0
2
)
2
2cos
cos2
2
3
( da

2
0
2
2
3
)
4
2sin
sin2
2
3
(
|
aa

=++=
Ví dụ 6.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng Lemnitscat (Đờng hoa hồng hai cánh):
)()(
222222
yxayx =+
Chuyển sang toạ độ cực:




=
=


sin
cos
ay
ax
đờng cong đã cho có phơng trình là

2cos
22
ar =
.
Hình 25
Do hình phẳng đối xứng qua Oy nên ta tính theo nửa bên phải trục Oy, ứng với
44

(vì
02cos

). Nh vậy:
2
4
4
4
4
22
4
4
2
|
2
2sin
2cos
2
1
.2 aadadrS ====

2. Độ dài đờng cong phẳng
a. Đờng cong trong toạ độ Đềcác
Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Giả sử rằng đồ thị hàm y=f(x) là cung
AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia

ByxAyxAyxAyxAA
nnn
== ),(), ,,(),,(),,(
222111000
sao cho:
bxxxxa
n
=<<<<=
210
.
Trang -4
Khi đó độ dài AB xấp xỉ bằng độ dài của đờng gấp khúc
n
AAA
10
. Khi cho số cạnh của đờng gấp
khúc
n
AAA
10
tăng lên vô hạn sao cho độ dài của cạnh lớn nhất của nó dần tới 0 thì độ dài đờng gấp
khúc
n

AAA
10
dần tới độ dài s của cung AB, do đó độ dài s của cung AB là giới hạn:

=


=
n
i
ii
AAs
1
1
0
lim

trong đó
ii
ni
AA
1
1
max


=

.
với

ii
AA
1
là độ dài của đoạn thẳng
ii
AA
1
.
Hình 26
Gọi
1
=
iii
xxx
;
)()(
1
=
iii
xfxfy
là chiếu của các đoạn thẳng
ii
AA
1
xuống các trục toạ độ,
theo công thức Pitago ta có:
22
1
)()(
iiii

yxAA +=

áp dụng định lý Largange cho hàm f(x) trên đoạn
],[
1 ii
xx

ta có:

iiiii
xfxfxfy ==

)(')()(
1

,
],[
1 iii
xx



Suy ra
iiii
xfAA +=

)('1
2
1

. Do đó

=

+=
n
i
ii
xfs
1
2
0
)('1lim


Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên
)('1
2
xf+
khả tích trên [a,b], do đó độ dài đờng cong đợc cho bởi công
thức:

+=
b
a
dxxfs )('1
2
(8)
Giả sử M(x,f(x)) là điểm bất kỳ trên đờng cong, khi đó độ dài cung AM là:

+=
x
a
duufxs )('1)(
2
(9)
Lấy vi phân hai vế ta đợc:
ds=
dxxf )('1
2
+
Công thức trên gọi là công thức vi phân cung trong toạ độ Đềcác.
Nếu đờng cong cho bởi phơng trình x=(y), cyd thì độ dài đờng cong là:
s=

+
d
c
dyy)('1
2

Ví dụ 6.7: Tính độ dài cung cho bởi
a. y=a
)0(ln
22
2
abx
xa
a
<

s=


+
b
dx
xa
xa
0
222
22
)(
4
1
=


+
b
dx
xa
xa
0
22
22
=
b
ba
ba

a

+
ln
b.
2
yx =
với
]1,1[x
Ta có
yx 2' =
, và đờng cong đối xứng qua Ox nên độ dài của đờng cong là:
Trang -5

|
1
0
22
1
0
2
412ln
2
1
41412

++++=+=

yyyydyys
)52ln(
2
1
5 ++=
b. Đờng cong cho bởi phơng trình tham số
Giả sử đờng cong có phơng trình tham số



=
=
)(
)(
tyy
txx

],[

t
Do dx=x'(t)dt và
)('
)('
)('
tx
ty
dx

dy
xf ==
, ta có công thức:

+=


dttytxs )(')('
22
(10)
Công thức vi phân cung khi đó là:
ds=
dttytx )(')('
22
+
Ví dụ 6.8: Tính độ dài cung giới hạn bởi
a. Đờng Axtroit
3
2
3
2
3
2
ayx =+
(Xem hình 22)
Tham số hoá ta đợc



=

=
tay
tax
3
3
sin
cos
với
]2,0[

t
Ta có
,sincos3)('
2
ttatx =

ttty cossin3)('
2
=
. Suy ra
ttattayx
tt
24224222
cossin9sincos9'' +=+

2
2sin3
|cossin3|
ta
tta ==

(vì
]
2
,0[

t
).
Do Axtroit là đờng cong đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính theo góc phần t thứ nhất. Nh vậy:
atadt
ta
s 62cos3
2
2sin3
4
|
2
0
2
0
===



b. Một nhịp đờng Xycloit (Xem hình 21)




=
=

)cos1(
)sin(
tay
ttax
với
]2,0[

t
Ta có
)cos1(' tax
t
=
,
tay
t
sin' =
nên
dttadttatas

=+=

2
0
2
0
2222
cos22sin)cos1(

a
t

adt
t
a 8
2
cos4
2
sin2
|
2
0
2
0
===



c. Đờng cong cho trong toạ độ cực
Nếu đờng cong có phơng trình:

),(

rr =

],[


Dùng phép chuyển toạ độ:

=
=


sin)(
cos)(
ry
rx
ta đa phơng trình đờng cong về dạng tham số. Do:
Trang -6


cos)(sin)(')('
sin)(cos)(')('
rry
rrx
+=
=
Khi đó:
)(')()(')('
2222

rryx +=+

cho nên ta có công thức:

+=

drrs )(')(
22
(11)
Công thức vi phân cung khi đó là:
ds=

drr
22
'+
Ví dụ 6.9: Tính độ dài đờng Cácđiôit (Xem hình 24)

)cos1(

+= ar

Vì đờng Cácđiôit đối xứng qua trục Ox nên ta tính theo độ dài của nửa bên trên trục Ox



daadrrs

++=+=
0
2222
0
22
sin)cos1(2'2

da

+=
0
cos222
aada 8
2
sin8
2
cos4
|
0
0
===






3. Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể giới hạn bởi các mặt x=a, x=b(a<b), và một mặt cong kín. Gọi S =S(x) là diện tích
của thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
],[ bax
và vật thể đã cho. Giả thiết rằng
S(x) là hàm liên tục trên [a,b].
Hình 27
Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
bxxxxa
n

=<<<<=
210
Đặt
1
=
iii
xxx
và
i
xd = max
. Khi đó, vật thể ban đầu đợc chia thành n phần nhỏ, gọi tên và
thể tích của các phần nhỏ này là V
1
, V
2
, ,V
n
. Phần nhỏ thứ i ứng với x nằm trong đoạn
],[
1 ii
xx

. Do
S(x) liên tục nên khi
1
=
iii
xxx
đủ nhỏ, x
],[

1 ii
xx

hàm S(x) có giá trị thay đổi không đáng kể.
Lấy
],[
1 iii
xx



tuỳ ý, có thể coi
)()(
i
SxS


,
],[
1 ii
xxx


. Xấp xỉ V
i
(i=
n,1
) với hình tru đứng có
đáy là
)(

i
S

và chiều cao là
1
=
iii
xxx
:
iii
xSV )(

Khi đó hình trụ ban đầu có thể tích xấp xỉ :
ii
n
i
xSV

=
)(
1


Cho
n
sao cho
0d
, nếu nh vế phải dần tới một giới hạn hữu hạn thì ta gọi giới hạn đó là thể
tích của vật thể đã cho:

=


=
n
i
ii
d
n
xSV
1
0
)(lim

Do hàm S(x) đợc giả thiết là liên tục trên [a,b] nên cũng khả tích trên đó vì vậy ta có công thức
Trang -7

=
b
a
dxxSV )(
(12)
Ví dụ 6.10:
a.Tính thể tích của elipxoit:

1
2
2
2
2

2
2
++
c
z
b
y
a
x
.
Cắt elipxoit bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc đoạn [-a,a]. Khi đó
ta thu đợc thiết diện giới hạn bởi elip có phơng trình

2
2
2
2
2
2
1
a
x
c
z
b
y
=+

1
)1()1(
2
2
2
2
2
2
2
2
=

+

a
x
c
z
a
x
b
y
diện tích thiết diện là

=
2
2
1)(
a
x
bcxS

. Hình 28
Do đó elipxoit có thể tích:
3
4
3
1
|
2
3
2
2
abc
a
x
xbcdx
a
x
bcV
a
a

a
a


=








=








=



b. Tính thể tích vật thể là phần chung của hai hình trụ:
x
2
+z

2
=a
2
và y
2
+z
2
=a
2
Vì phần thể tích vật thể đối xứng qua gốc toạ độ, nên ta chỉ cần
xét phần vật thể trên góc phân tám thứ nhất. Chọn thiết diện là
giao của vật thể và mặt phẳng cắt vuông góc với trục Oz.
Mặt cắt là hình vuông có cạnh:
22
za
Do đó diện tích mặt cắt là: Hình 29
S(z)=a
2
- z
2
Vậy ta có thể tích vật thể là:
V=

==
a
aa
a
zzadzza
0
3

0
3
0
222
3
16
)
3
1
(8)(8
4. Thể tích vật thể tròn xoay
a. Cho hình phẳng giới hạn bởi x=a, x=b, Ox, y=f(x) với f(x)
liên tục trên [a,b]. Khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox ta đợc
một hình tròn xoay. Thiết diện tạo bởi hình tròn xoay với mặt
phẳng
vuông góc với trục
Ox tại điểm
],[ bax
là một hình Hình 30
tròn có bán kính
)(xfR =
cho nên diện tích của thiết diện là
)(.)(
2
xfxS

=
. Từ đó, ta thu đợc công
thức tính thể tích hình tròn xoay:

=
b
a
dxxfV )(
2

(13)
b. Tơng tự, khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=c, y=d, Oy, x=g(y) với g(y) liên tục trên [c,d] quanh
trục Oy ta đợc một hình tròn xoay có thể tích là

=
d
c
dyygV )(
2

Trang -8
Ví dụ 6.11: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh
trục Oy hình phẳng giới hạn bởi Ox, Oy, x+y=2.
Ta có:

yxyx ==+ 22
Hình 31
Nh vậy:
3
8
)2(
3
)2(
|

2
0
3
2
0
2


===

ydyyV
Ví dụ 6.12:
Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và
một nhịp Xyclôit



=
=
)cos1(
)sin(
tay
ttax

]2,0[

t
Do
)cos1( tay =
,

dttadx )cos1( =
. Suy ra:


=
a
dxxyV


2
0
2
)(
dtta

=


2
0
33
)cos1(

dtttta )coscos3cos31(
3
2
0
23
+=

)(sin)sin1()2cos
2
3
cos3
2
5
(
2
0
23
2
0
3
tdtadttta

+=



32
2
0
3
3
2
0
3

5)
3
sin
(sin)2sin
4
3
sin3
2
5
(
||
a
t
tattta


=+=

5. Diện tích mặt tròn xoay
Xét cung AB có phơng trình y=f(x), trong đó f(x) và đạo hàm f'(x) của nó xác định và liên tục trên
[a,b]. Khi quay cung AB quanh trục Ox ta thu đợc một mặt tròn xoay.
Hình 32
Xét trờng hợp
0)( xf
,
],[ bax
. Chia cung AB thành n phần bởi các điểm chia

ByxAyxAyxAyxAA
nnn

== ),(), ,,(),,(),,(
222111000
sao cho
bxxxxa
n
=<<<<=
210
.
Đặt
1
=
iii
xxx
và
i
xd = max
. Khi quay quanh Ox đoạn thẳng
ii
AA
1
sinh ra một mặt nón cụt
tròn xoay có diện tích là:
S
i
=
)]()([
11 iiii
xfxfAA +

trong đó
iiii
xfAA +=

)('1
2
1

. Vì vậy, khi quay quanh Ox đờng gấp khúc
n
AAA
10
sinh ra một mặt
tròn xoay có diện tích

=

=
++==
n
i
iiii
n
i
in
xxfxffSS
1
1
2
1

)]()([)('1



=
+=
n
i
iii
xff
1
2
)(.)('12

Trang -9
Do f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b] nên :


=

+=
n
i
iii
n
xffS
1
2
)(.)('12lim

dxxfxf
b
a

+= )('1)(2
2

Khi f(x) có dấu bất kỳ ta có:

dxxfxfS
b
a

+= )('1|)(|2
2

(14)
Khi quay quanh trục Oy cung AB có phơng trình
)( ygx =
,
dyc
trong đó g(y) và g'(y) liên tục
trên [c,d] ta đợc một mặt tròn xoay có diện tích tính theo công thức:

dyygygS
d
c

+= )('1|)(|2

2


Ví dụ 6.13:
a. Tính diện tích của mặt tròn xoay tạo bởi cung
2
xy =
giới hạn giữa các giao điểm của nó với đờng
thẳng y=x khi quay quanh trục Ox. Ta có diện tích cần tính là:
dxxxS

+=
1
0
22
412

Đổi biến 2x=sht ta có:
2dx=cht dt, x=0: t=0, x=1:
)52ln( +=t
,
chtx =+
2
41
Do đó:


+ +

==

)52ln(
0
)52ln(
0
2
2
14
1616
dt
tch
tdtshS



)52ln(
3216
59
2
2
4
64
)52ln(
0
+=

=
+

t
tsh
b. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Axtroit:



=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
với
]2,0[

t
quanh trục Ox.
Ta có:
ttatytx cossin3)(')('
22
=+
, do tính đối xứng nên:
S=

==+

2
0
2
0
24222
5
12
cossin12'')(2


atdttadtyxty
c. Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Lemnitscat
(x
2
+y
2
)
2
=a
2
(x
2
-y
2
), (x>0, y>0)
quay quanh trục Ox.
Chuyển sang toạ độ cực:

=
=


sin
cos
ry
rx
Ta đợc: r=

2cosa
, (0
4

)
Xem đó là phơng trình tham số của x,y theo ta có:


2cos
'''
2
2222
a
rryx =+=+
Vậy
Trang -10

+=
4
0

22
'2


drryS
=




d
a
a
2cos
sin2cos2
2
4
0

=

==
4
0
2
4
0
22
)22(cos2sin2

aada
6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng
1. Độ cong
a. Định nghĩa
Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại mọi điểm. Trên L chọn một chiều làm chiều
dơng, trên tiếp tuyến của L tại M, ta chọn một hớng ứng với hớng dơng của L và gọi là tiếp tuyến dơng.
Nếu tại mỗi điểm M
0
trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi tiếp điểm di chuyển một đoạn

= MMs
0
trên đờng cong, tiếp tuyến dơng sẽ quay một góc nào đấy. Đờng cong L trên cung

MM
0
càng cong nếu góc càng lớn.
Ngời ta gọi tỷ số
s


, là độ cong trung bình của đờng cong trên
cung

MM
0
. Trong đó là góc giữa hai tiếp tuyến dơng tại hai mút
của cung

MM
0
, s là độ dài của cung đó, ký hiệu:
C
tb
=
s


Hình 33
Hiển nhiên , s chỉ phụ thuộc đờng cong mà không phụ thuộc hệ toạ độ biểu diễn đờng cong L.
Từ khái niệm độ cong trung bình ta có định nghĩa độ cong tại một điểm.
Định nghĩa 1: Độ cong tại điểm M
0
trên đờng cong L là giới hạn, nếu có, của độ cong trung bình trên
cung

MM
0
khi M dần đến M
0
trên L. Ký hiệu độ cong tại M
0
là C(M
0
) ta có:
C(M
0
)=

ds
d
s
C
s
tb
MM

=


=
0
limlim
0
b. Công thức tính độ cong
Nếu gọi là góc của tiếp tuyến tại M
0
của đờng cong L với chiều dơng trục Ox, khi đó:
dx
dy
ytg == '

Hay =arctg y
2
'1
"
y
y
dx

d
+
=

(i) Nếu đờng cong cho bởi phơng trình y=y(x), từ biểu thức vi phân cung
dxxyds )('1
2
+=
hay
2
'1 y
dx
ds
+=
ta có:
2
3
2
)'1(
"
y
y
ds
dx
dx
d
ds
d
+
==

Trang -11
Vậy: C(M)=
2
3
2
)'1(
"
y
y
+
(1)
(ii) Nếu đờng cong có phơng trình tham số:



=
=
)(
)(
tyy
txx
Do:
t
t
x
y
dx
dy
'

'
=
nên
( )








==
+
=+
32
2
2
22
2
'
"'"'
"
'
''
)'1(
22
t
t
t

t
t
x
t
tt
x
xyyx
dx
yd
y
x
yx
y
(2)
Thay vào (1) ta đợc biểu thức phụ thuộc t:
C(M) =
2
3
22
)''(
"'"'
yx
xyyx
+

(3)
(iii) Nếu đờng cong có phơng trình trong toạ độ cực:
r=r()
Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức:

=
=


sin)(
cos)(
ry
rx
xem đó là phơng trình tham số của L theo . Ta có:

sincos')(' rrx =

cossin')(' rry +=

cossin'2cos")(" rrrx =

sincos'2sin")(" rrry +=
Do





+=
+=+
"'2"'"'
'''
22

2222
rrrrxyyx
rryx
(4)
Thay vào (3) đợc biểu thức phụ thuộc :
C(M) =
2
3
22
22
)'(
"'2
rr
rrrr
+
+
(5)
Ví dụ 6.14:
a. Tính độ cong của đờng Parabol y=ax
2
tại góc O.
Do y=2ax, y=2a nên tại x=0 ta có:
C=
2
3
2
)'1(
"
y
y

+
=2
a
Nh vậy nếu a càng lớn thì đỉnh của Parabol càng cong.
b. Tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng Xycloit



=
=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
(a>0)
Ta có: x=a(1 - cos t),y=a sint
x=a sin t, y=a cos t
Vậy
Trang -12
C=
2
3
22
)''(
"'"'
yx
xyyx
+

=

2
3
)cos1(.22
1cos
ta
t


=
2
sin4
1
t
a
c. Tính độ cong tại điểm =0 của đờng Cácđiôit: r=a(1+cos)
Ta có:
r=a(1+cos) tại =0, r=2a
r=- a sin tại =0, r=0
r=- a cos tại =0, r=-a
Do đó:
C=
2
3
22
22
)'(
"'2
rr
rrrr
+

+
=
a
a
aa
4
3
8
24
3
22
=
+
2. Đờng tròn chính khúc và khúc tâm
a. Định nghĩa
Tại mỗi điểm M của đờng cong L, về phía lõm của đờng cong, trên đ-
ờng vuông góc với tiếp tuyến tại M ( ta sẽ gọi là pháp tuyến của L tại M),
lấy điểm I sao cho: MI=
)(
1
MC
. Đờng tròn tâm I, bán kính R=
)(
1
MC
đợc
gọi là đờng tròn chính khúc của L tại M.
Tâm I của đờng tròn chính khúc Hình 34
đợc gọi là khúc tâm ứng với M, bán kính R=
)(

1
MC
của đờng tròn chính khúc gọi là khúc bán kính.
Đờng tròn chính khúc tại M của L có chung tiếp tuyến với L tại M và tại M chúng có cùng độ cong
C(M)=
R
1
. Tại lân cận của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc sẽ tốt hơn xấp xỉ bằng tiếp tuyến tại
M.
b. Toạ độ của khúc tâm
Giả sử tại M(x,y), khúc tâm I có toạ độ (X,Y). Ta cần tìm biểu thức của (X,Y) qua (x,y). Giả sử L có
phơng trình y=f(x).
Gọi (,) là toạ độ các điểm trên pháp tuyến của L tại M, phơng trình pháp tuyến của L tại M là
( )
x
y
y =

'
1
Vì khúc tâm I(X,Y) nằm trên pháp tuyến nên ta có:
( )
xX
y
yY =
'
1
(6)
Vì MI=R nên:
(X-x)

2
+(Y-y)
2
=R
2
(7)
Từ hai phơng trình trên suy ra:
"
)'1('
2
y
yy
xX
+
=
,
"
'1
2
y
y
yY
+
=
Nếu y>0 đờng L lõm nên Y>y, vậy:
"
'1
2
y
y

yY
+
+=
Nếu y<0 đờng L lồi nên Y<y, vậy:
"
'1
2
y
y
yY
+
=
=
"
'1
2
y
y
y
+
+
Thay Y vào (6) ta đợc:
Trang -13
"
)'1('
2
y
yy
xX
+

=
Vậy toạ độ (X,Y) của khúc tâm I là:







+
+=
+
=
"
'1
"
)'1('
2
2
y
y
yY
y
yy
xX
(8)
Nếu L có phơng trình tham số:

=
=
)(
)(
tyy
txx

Thay các biểu thức (2) vào (8) đợc toạ độ của khúc tâm I là:








+
+=

+
=
"'"'
)''('
"'"'
)''('
22
22
xyyx
yxx
yY

xyyx
yxy
xX
(9)
Nếu L có phơng trình trong toạ độ cực: r=r() thay (4) vào (9) đợc toạ độ của khúc tâm I là:








+
+
+=
+
+
+
=
)sincos'(
''2
'
sin
)cossin'(
''2
'
cos
22
22

22
22


rr
rrrr
rr
rY
rr
rrrr
rr
rX
(10)
Ví dụ 6.15: Xác định khúc tâm của Hypebôn xy=1 tại M(1,1) và viết phơng trình đờng tròn chính
khúc tại điểm đó.
Từ xy=1, đạo hàm hai vế ta đợc: y+xy=0 hay y=
x
y

. Do đó:
22
2"
"
x
y
x
yxy
y =

=

Tại x=1, y=1 ta có: y= - 1, y=2. Vậy:
R=
2
2
)11(
"
)'1(
2
3
2
3
2
=
+
=
+
y
y
Toạ độ khúc tâm là:







=
+
+=
=

+
=
2
2
11
1
2
2
)11(1
1
Y
X
Phơng trình của đờng tròn chính khúc là:
(x-2)
2
+(y-2)
2
=2
3. Đờng túc bế. Đờng thân khai
Định nghĩa 2: Ngời ta gọi đờng túc bế của đờng cong L là quỹ tích, nếu có, của các khúc tâm của đ-
ờng đó.
Nh vậy các phơng trình (8), (9), (10) là phơng trình tham số của đờng cong túc bế tơng ứng khi L có
phơng trình trong toạ độ Đề Các, phơng trình tham số và phơng trình trong toạ độ cực.
Ví dụ 6.16: Tìm bán kính chính khúc và đờng túc bế của Elip



=
=
tby

tax
sin
cos
(a>b>0)
Ta có: x=- a sin t, y= b cos t, x= - a cos t, y= - b sin t.
Trang -14
R=
"'"'
)''(1
2
3
22
xyyx
yx
C
+
=
=
ab
tbta
2
3
2222
)cossin( +
Phơng trình tham số của túc bế là:

=
+
==

=
+
=
t
b
ab
ab
tbta
tatbY
t
a
ba
ab
tbta
tbtaX
3
222222
3
222222
sin
cossin
sinsin

cos
cossin
coscos
Nếu đặt c
2
=a
2
b
2
ta có:








=
=
t
b
c
Y
t
a
c
X
3
2

3
2
sin
cos
Đó là phơng trình của mặt
axtroit lệch.
Định nghĩa 3: Nếu đờng cong
L nhận đờng cong làm đờng Hình 35
túc bế thì L đợc gọi là đờng thân khai của .
Từ ví dụ trên ta thấy Elip



=
=
tby
tax
sin
cos
(a>b>0)
là thân khai của axtroit lệch:







=
=

t
b
c
y
t
a
c
x
3
2
3
2
sin
cos
(c
2
=a
2
b
2
)
Ta thừa nhận các tính chất sau đây của đờng túc bế và thân khai.
Tính chất 1: Pháp tuyến tại mỗi điểm M(x,y) của đờng cong L là tiếp tuyến của đờng túc bế của L
tại khúc tâm I ứng với M.
Nh vậy túc bế của một đờng cong L là đờng tiếp xúc với họ đờng pháp tuyến của L tại các khúc
tâm.
Tính chất 2: Độ dài của một cung trên đờng bằng trị số tuyệt đối của hiệu các khúc tâm bán kính
của thân khai L của nó tại hai mút của cung ấy, nếu dọc theo cung ấy khúc bán kính biến thiên đơn
điệu.
Nói các khác, nếu gọi

là số gia của một cung trên , và R là số gia tơng ứng của khúc bán kính
trên thân khai của nó thì:
R=

6.3 Hình học vi phân trong không gian
1. Đờng cong trong không gian
Tơng tự nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không
gian đều có thể biểu diễn bằng có phơng trình tham số:





=
=
=
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
],[

t
Ví dụ 6.17: Lập phơng trình quỹ đạo của điểm M nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục Oz bán kính a,
có chuyển động vừa quay tròn đều quanh trục Oz với vận tốc , vừa tịnh tiến dọc theo Oz với vận tốc
không đổi k. Quỹ đạo này đợc gọi là đờng đinh ốc trụ xoay.

Trang -15
Hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng Oxy của mọi điểm M(x,y,z)
trên quỹ đạo đều nằm trên đờng tròn tâm O, bán kính a thuộc mặt
phẳng ấy. Gọi p là hình chiếu của M(x,y,z) trên Oxy ta có:
PMOPOMr +==

Chiếu véc tơ đó xuống các trục toạ độ ta đơc:
x=a cos, y=a sin, z=kt Hình 36
Trong đó t là thời gian chuyển động của điểm M tỷ lệ với góc quay của OP quanh O, do đó: =t
hay


=t
.
Coi t là tham số ta có phơng trình tham số của đờng xoáy đinh ốc là:





=
=
=
ktz
tay
tax


sin
cos

Còn nếu dùng góc quay làm tham số ta đợc phơng trình:







==
=
=




b
k
z
ay
ax
sin
cos
2. Độ cong
Tơng tự nh trong mặt phẳng, ta gọi độ cong của L tại M là giới hạn, nếu có:
C(M
0
)=
ds
d
s

C
s
tb
MM

=


=
0
limlim
0
Nếu L có phơng trình tham số:





=
=
=
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
Khi đó:
C(M)=
2

3
222
222
)'''(
""
''
""
''
""
''
zyx
xz
xz
zy
zy
yx
yx
++
++
Ví dụ 6.18: tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng đinh ốc.
Sử dụng phơng trình theo ta có:
x=-a sin, y=a cos, z=b
x=-a cos, y=- a sin, z=0
Do:
2
sincos
cossin
a
aa
aa

=







sin
0sin
cos
ab
a
ba
=

,



cos
cos0
sin
ab
a
ab
=


2222222222

cossin''' babaazyx +=++=++

Nên ta có:
C(M)=
22
ba
a
+
Vậy độ cong của đờng xoắn đinh ốc tại mội điểm đều bằng nhau.
Trang -16
Bài tập chơng 6
A. ứng dụng tích phân trong hình học
1. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong hệ toạ độ vuông góc
1. {y=x
2
+4, x-y+4=0}
2. {y=2x-x
2
, x+y=0}
3. {y=2
x
, y=2, x=0}
2. {y=x
3
, y=x, y=2x.}
3. { x
2
+y
2
=4x, y

2
=2x}
4. { y
2
=x
3
, y=4, x=0}
5.
1,1
2
2
2
2
2
2
2
2
=+=+
a
y
b
x
b
y
a
x
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng cho bởi phơng trình tham số
1.

=
=
3
2
3
3
tty
tx
2.
22
3
2
3
2
sin
cos
bac
t
b
c
y
t
a
c
x
=

=
=
3.





+
=
=
t
ta
y
tax
sin2
sin
cos
2
4.



=

=
)2sinsin2(
)2coscos2(
ttay
ttax
3 . Tính diện tích hình phẳng cho bởi toạ độ cực
1.
2
,
4
,
cos1





==

=
p
r
2.
1
22
=+

r
3.

+
=
+
=
2
2
1
1
2
t
t
t
at
r


4. Bằng cách chuyển qua toạ độ cực hoặc phơng trình tham số, tính diện tích miền giới hạn bởi
1. r
2
=a
2
cos2

(đờng Lemnixcat )

2. { r=a(1-cos), r=a (Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
3. {r=a(1- cos) , x
2
+y
2
=2ax(Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
4. {r=a(1+cos), x
2
+y
2
=2ay(Đờng Cácđiôt và đờng tròn)
5 5. x
4
+y
4
=a x
2
y, (Đặt y=tx)
6. (x
2
+y
2
)
2
=2a
2
xy
7. (x
2
+y

2
)
2
=a
2
x
2
+b
2
y
2
8. x
4
+y
4
=a
2
(x
2
+y
2
)
5. Tính độ dài đờng cong
1. y= lncos x ,
2
0

< ax
2. y=
axbxa

x
xaa
a <
+
0,ln
22
22
6. Tính độ dài đờng cong
Trang -17
1.



=
=
tty
ttax
2sinsin2(
)2coscos2(
2.





=
=
tay
tax
5

5
sin
cos
3.
22
3
2
3
2
sin
cos
bac
t
b
c
y
t
a
c
x
=







=
=

4.

20
)cos(sin
)sin(cos




=
+=
t
tttay
tttax
5.







+=
+=
t
tttty
ttttx
0
sin2cos)2(
cos2sin)2(

2
2
7. Tính độ dài đờng cong cho trong toạ độ cực
1. r=3+2cos
2.


<





=
+=
Tt
t
tgt
tr
0
2
cos1
3.
50, = rr

6 4. r=a,

20
(Đờng Acsimet)
7 5.

2
,
cos1




+
=
p
r
8. Tính độ dài đờng cong cho bởi phơng trình
1. 3y
2
=2(x-1)
3
, chắn bởi y
2
=
3
x
8 2. (y - arcsin x)
2
=1-x
2
9 3. 9ay
2
=x(x-3a)
2
10 4. 5y

3
=x
2
trong hình tròn x
2
+y
2
=6
9. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
1. Pa roboloit z=4-x
2
và các mặt phẳng toạ độ
2.
0,,1
2
2
2
2
===+ zx
a
c
z
b
y
a
x
10. Tính thể tích vật thể tròn xoay
1. y
2
+x-4=0 khi quay quanh Oy

2. y=sin x (

x0
) khi quay quanh Oy, và khi quay quanh Ox.
3. y=x
2
, y=4 khi quay quanh đờng x=2.
4. (x
2
+y
2
)
2
=a
2
(x
2
-y
2
) khi quay quanh Ox.
11. Tính diện tích mặt tròn xoay
1. Tạo bởi cung y=x
2
giới hạn bởi giao điểm của nó với đờng y=x khi quây quanh Ox.
2. Giới hạn bởi
1
3
2
3
2

=






+






a
y
a
x
khi quay quanh Ox.
3. Một nhịp của Xycloit x=a(t-sint), y=a(1-cos t) khi quay quanh Ox và khi quay quanh Oy.
4. r=a(1+cos) khi quay quanh trục cực.
5. r
2
=a
2
cos2 khi quay quanh trục cực.
B. ứng dụng phép tính vi phân trong hình học
12. Tính độ cong của
1. b
2

x
2
+a
2
y
2
=a
2
b
2
tại (0,b) và (a,0)
Trang -18
2. xy=12 t¹i (3,4)
3.
1
3
2
3
2
=






+







a
y
a
x
t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
4.



−=
−=
)2sinsin2(
)2coscos2(
ttay
ttax
t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
5.





=
=
tay
tax
5

5
sin
cos
t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
6.
22
3
2
3
2
sin
cos
bac
t
b
c
y
t
a
c
x
−=







=

=
t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
7. r=a(1+cosϕ) t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
8. r
2
=a
2
cos2ϕ t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
13. TÝnh b¸n kÝnh cong vµ dùng ®êng trßn chÝnh khóc
1. y
2
=x
3
t¹i (4,8)
2. x
2
=4ay t¹i (0,0)
3. y=lnx t¹i (1,0)
4.





=
=
tay
tax
5
5

sin
cos
t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
5.
22
3
2
3
2
sin
cos
bac
t
b
c
y
t
a
c
x
−=







=
=

t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
6. r=asinϕ t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
7. r=aϕ t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
8. r=a(1-cosϕ) t¹i ®iÓm bÊt kú trªn ®êng cong.
14. T×m ®iÓm trªn ®êng cong t¹i ®ã khóc b¸n kÝnh lµ bÐ nhÊt
1. y=lnx
2. y=e
x
15. LËp ph¬ng tr×nh ®êng tóc bÕ cña ®êng cong
1.
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
2.
1
3
2
3
2
=







+






a
y
a
x
3.
π
20
)cos(sin
)sin(cos
≤≤



−=
+=
t
tttay
tttax
16. TÝnh ®é cong cña c¸c ®êng
1.








=
=
=
−
−
t
t
t
ez
tey
tex
sin
cos
2.







=
=

=
0
2
3
2
z
ty
tx
Trang -19