Chuyển giao (handoff), định lại tuyến (rerouting) và quản lý định vị (location management

CHƯƠNG 4
Biến đổi Fourier


Miền tần số (Frequency Domain)



Tín hiệu được phân tích trong miền tần số.
Phương pháp phân tích: Cho một tín hiệu đi
qua một hệ thống (tuyến tính bất biến), phổ
tần số của tín hiệu đầu ra sẽ bằng tích của
phổ tần số của tín hiệu đầu vào và đáp ứng
tần số của hệ thống


Ví dụ về lăng kính


Cho ánh sáng
trắng đi qua lăng
kính sẽ thu được
các vạch phổ
tương ứng với
các thành phần
tần số của ánh
sáng: đỏ, da cam,
vàng...


Joseph Fourier







Joseph Fourier (21/3/1768 –
16/5/1830) là một nhà toán học
và vật lý người Pháp.
Ông được biết đến với việc
thiết lập chuỗi Fourier và
những ứng dụng trong nhiệt
học.
Biến đổi Fourier cũng được đặt
tên để tưởng nhớ tới những
đóng góp của ơng.


Định nghĩa biến đổi Fourirer


Biến đổi Fourirer của x(n):

X (ω ) =

∞

∑ x ( n )e

− jωn

n = −∞

X (ω ) = X re (ω ) + j X im (ω )
Phép biến đổi Fourier đã chuyển tín hiệu x(n) từ miền
thời gian sang miền tần số ω hay tần số f = ω/2π.


Ký hiệu:
x(n) ←F → X(ω)

F −1
X(ω) ← → x(n)


hay X(ω) = F{x(n)}
hay x(n) = F-1{X(ω)}


Biến đổi Fourirer
X(ω) biểu diễn dưới dạng module & argument:

X (ω ) = X (ω ) e jϕ (ω )
X (ω )

Trong đó:


- phổ biên độ của x(n)

ϕ (ω ) = arg[ X (ω )]

- phổ pha của x(n)

X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π:

X (ω + 2π ) =

∞

x ( n)e − j (ω + 2π ) n =
∑

n = −∞

∞

x ( n)e − jωn = X (ω )
∑

n = −∞

2π : k = 0
∫π e dk =  0 : k ≠ 0

−
π

Áp dụng kết quả:

jk


Biểu thức biến đổi Fourier ngược
1
x(n) =
2π

π

X (ω )e
∫

jωn

dω

−π

Đây là cơng thức cho phép chuyển tín hiệu từ
miền tần số về miền thời gian


Sự hội tụ của biến đổi Fourier


Phép biến đổi Fourier hội tụ khi và chỉ khi
x(n) thoả mãn điều kiện:
+
∞

∑ | x(n) |

<∞

n =−
∞



Từ đó suy ra
Ex =



+∞

|x ( ) <∞
n |2
∑

n =−∞

Nói cách khác phép biến đổi Fourier ln hội
tụ với các tín hiệu có năng lượng hữu hạn.


Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của các dãy:

x1 ( n) = a n u( n) : a < 1

X 1 (ω ) =

∞

∑a

n

x2 ( n) = − a n u( − n − 1) : a > 1

u( n)e

− jωn

∞

∑a

n

u( − n − 1)e

n = −∞
∞

(

− jω n

)

1
=
1 − ae − jω

− jω n

−∞

(

=−∑ a e
−1

−1

)

jω m

∞

(

= −∑ a e
m =0

1
1

= 1−
=
−1 jω
1− a e
1 − ae − jω

−1

)

)

jω − n

n = −1

= −∑ a e
m =1

(

= ∑ ae
n= 0

n = −∞

X 2 (ω ) = −

∞

jω m

+1


Điều kiện để tồn tại biến đổi Fourirer
∞

∑ x( n)e

X (ω ) =

− jω n

≤

n = −∞

∞

∑

x ( n) e

− jω n

=

∞

∑ x ( n)

n = −∞

n = −∞

∞

∑ x ( n) < ∞

Vậy, để X(ω) hội tụ thì điều kiện cần là:

n = −∞


Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng:

Ex =

∞

∑

n = −∞

x ( n) ≤  ∑ x ( n) 



∞

Nếu:

∑

n = −∞

∞

2

 n= −∞

x ( n) < ∞

2



Ex =

∞

∑ x(n)

n = −∞

2

<∞

Ví dụ: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
x1 ( n) = (0.5)n u( n) x2 ( n) = 2n u( n)

x3 ( n) = u( n) x4 ( n) = rect N ( n)
∞

∞

∞

∞

∞

1
=2
∑ x1 ( n) = ∑ (0.5) u( n) = ∑ (0.5) =
1 − 0.5
n = −∞
n = −∞
n= 0

∑

n = −∞
∞

x2 ( n) =

∑

n = −∞
∞

n

n

∞

2n u( n) = ∑ 2 n = ∞
n =0

∞

∑ x3 ( n) = ∑ u( n) = ∑ u( n) = ∞

n = −∞

n = −∞

∞

∞

N −1

n = −∞

n = −∞

n= 0

X2(ω) không tồn tại
X3(ω) không tồn tại

n =0

∑ x4 ( n) = ∑ rect N ( n) = ∑ rect N ( n) = N


Các tính chấtcủa phép biến đổi Fourier
a) Tuyến tính
Nếu:

x1 ( n) ← F X 1 (ω )
→

Thì:

a1 x1 ( n) + a2 x2 ( n) ← F a1 X 1 (ω ) + a2 X 2 (ω )
→

x2 ( n) ← F X 2 (ω )
→

b) Dịch theo thời gian
Nếu:

x ( n) ←
→ X (ω )

Thì:

x( n − n0 ) ← F e -jω n0 X (ω )
→

F


Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của dãy:

δ ( n);δ ( n − 2)

∞

x (n ) = δ (n ) ← F X (ω ) =
→

δ ( n )e − jωn = 1
∑

n = −∞

Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:

δ ( n − 2) = x ( n − 2) ←
→ e

F

− j 2ω

X (ω ) = 1e

− j 2ω


Các tính chất của phép biến đổi Fourier
(tiếp)
c) Liên hiệp phức
Nếu:

x ( n) ←
→ X (ω )

Thì:

x * ( n) ←
→ X * ( − ω )

F

F

d) Đảo biến số
Nếu:
Thì:

x (− n) ← F X ( −ω )
→
x ( n) ← F X (ω )
→


Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của dãy:
y ( n) = 2 n u( − n)
Theo ví dụ 6.1.1, có kết quả:
n

1
x ( n) =   u( n)
 2

1
←
→ X (ω ) =
1 − (1 / 2)e − jω
F

suy ra:

1
y( n) = x ( − n) = ( 2 ) u( − n) ←
→ X ( −ω ) =
1 − (1 / 2)e jω
n

F

Các tính chất của phép biến đổi Fourier
(tiếp)
e) Vi phân trong miền tần số
x ( n) ← F X (ω )
→
Nếu:

dX(ω)
Thì: n x ( n) ←
→ j
dω
F


Ví dụ: Tìm biến đổi F của: g ( n ) = na u( n ); a < 1
n

1
x(n ) = a u(n ) ←
→ X (ω ) =
; a <1
− jω
1 − ae
n

F

Suy ra:

dX (ω )
ae − jω
g (n) = nx(n) ← F G (ω ) = j
→
=
;a <1
2
dω
1 − ae − jω

(

)


Các tính chất của phép biến đổi Fourier
(tiếp)
f) Dịch theo tần số
→
Nếu: x ( n) ← F X (ω )

Thì:

e j ω0n x ( n) ← F X (ω - ω 0 )
→


y( n) = a n cos(ω 0 n)u( n); a < 1

Ví dụ: Tìm biến đổi F của:
Theo ví dụ 6.1.1:

1
x ( n) = a u( n) ←
→ X (ω ) =
;a <1
− jω
1 − ae
F

n

[

1 jω 0 n
+ e − jω 0 n
y( n) = a u( n) cos(ω 0 n) = a u( n) e
2
n

n

[

1
jω 0 n
− jω 0 n
= x ( n) e
+e

2

]

]

1
←→ Y (ω ) = [ X (ω − ω 0 ) + X (ω + ω 0 )]
2
F


1
1
1
Y (ω ) = 
+
− j ( ω −ω 0 )
− j (ω +ω 0 ) 
2  (1 − ae
) (1 − ae
)


Các tính chất của phép biến đổi Fourier
(tiếp)
g) Tích 2 dãy
Nếu: x1 ( n) ←F
→ X 1 (ω )
Thì:

1
x1 ( n). x2 ( n) ←
→
2π
F

h) Tổng chập 2 dãy

1
=
2π

Nếu: x1 ( n) ←F
→ X 1 (ω )
Thì:

x2 ( n) ←F X 2 (ω )
→
π

∫−π X 1 (ω ' ) X 2 (ω − ω ' )dω '
π

∫−π X 2 (ω ' ) X 1 (ω − ω ' )dω '
x2 ( n) ←F X 2 (ω )
→

x1 ( n) * x2 ( n) ← F X 1 (ω ) X 2 (ω )
→

Ví dụ: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=δ(n+2)+δ(n-2)

X (ω ) = H (ω ) = e j 2ω + e − j 2ω

Y (ω ) = X (ω ) H (ω ) = (e j 2ω + e − j 2ω )2 = e j 4ω + 2 + e − j 4ω
y( n) = x ( n) * h( n) = F −1[Y (ω )]
y( n) = δ ( n + 4) + 2δ ( n) + δ ( n − 4)


g) Quan hệ Parseval

x2 ( n) ←F X 2 (ω )
→

Nếu: x1 ( n) ←F
→ X 1 (ω )
Thì:

∞

1
∑ x1 ( n) x ( n) = 2π
n = −∞
*
2

π

∫−π

*
X 1 (ω ) X 2 (ω )dω

(*)

Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval
Nếu: x1 ( n) = x2 ( n ) = x ( n )
Theo quan hệ Parseval, ta có:
∞

1
∑ x( n) = 2π
n = −∞
Với:

2

π

∫−π
2

2

X (ω ) dω

S xx (ω ) = X (ω ) - gọi là phổ mật độ năng lượng

Các tính chất củaphép biến đổi Fourier
x(n)

X(ω)

a1x1(n)+a2x2(n)

a1X1(ω)+a2X2(ω)

x(n-n0)

e-jωn X(ω)

ejω n x(n)

X(ω- ω 0)

nx(n)

jdX(ω)/dω

x(-n)

X(- ω)

x*(n)

X*(- ω)

0

x1(n)x2(n)

x1(n)*x2(n)

0

(

)

1
X 1 (ω ' ) X 2 ω − ω ' dω '
2πj ∫C
∞
1 π
*
∑ x1 ( n) x2 ( n) = 2π ∫−π X 1 (ω ) X 2* (ω )dω
n = −∞

X1(ω)X2(ω)


Quan hệ giữa phép biến đổi FOURIER & Z
Z

x ( n) ←
→ X ( z ) =

∞

x ( n) z − n
∑

n = −∞

F

x (n ) ←
→ X(ω) =

∞

x ( n ) e − jωn
∑

X (ω ) = X ( z ) z = e jω
Im(z)

n = −∞

• Nếu ROC[X(z)] khơng chứa /z/=1
⇒X(ω) khơng hội tụ

/z/=1

Phép biến đổi Fourier chính là
biến đổi Z được lấy trên vòng
tròn đơn vị theo biến số ω

• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
⇒X(ω )=X(z) với z=ejω

ROC X(z)
/z/=1
ω

Re(z)


Ví dụ: Tìm biến đổi Z & Fourier của các dãy:

x1 ( n) = (0.5)n u( n) x2 ( n) = 2n u( n)

1
X1(z) =
; z > 0.5
−1
1 − 0.5 z
Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:

X 1 (ω ) = X 1 ( z ) z = e jω

1
=
1 − 0.5e − jω

1
X 2 (z) =
;z >2

−1
1 − 2z
Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(ω ) không tồn tại