Phương trình lượng giác không mẫu mực

Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A
0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 1 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=

Ta có:
()( )
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪

⎩
π
⎧
=± + π ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π
⇔=−+ π ∈


22
(*) 2 cos x 3 3tgx 1 0
3
cos x
2
1
tgx
3
xk2,k
6
1
tgx
3
xk2,k

6
=


Bài 2 Giải phương trình:

( )
2
8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *
+− +=


Ta có:
()
( )
⇔ +++−
* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0
=

()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=−
=−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

==π∈
⎩⎩

2
2
4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0
2cos4x 1 1 cos3x 0
11
cos 4x cos 4x
22
cos 3x 1 3x k2 , k
=

⎧
=−
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=∈
⎪
⎩

1
cos 4x
2
k2
x , k (có 3 đầu ngọn cung)

3

www
.
l
a
i
s
ac
.
pa
g
e.
tl

P
P
P
H
H
H
Ư
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ơ
N
N
N

G
G
G
T
T
T
R
R
R
Ì
Ì
Ì
N
N
N
H
H
H
L
L
L
Ư
Ư
Ư
Ợ
Ợ
Ợ
N
N
N

G
G
G
G
G
G
I
I
I
Á
Á
Á
C
C
C
K
K
K
H
H
H
Ơ
Ơ
Ơ
N
N
N
G
G
G

M
M
M
Ẫ
Ẫ
Ẫ
U
U
U
M
M
M
Ự
Ự
Ự
C
C
C

(
kh
ơ
ng

r
õ
tác

gi
ả)

=






= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2 hay x m2 hay x m2 , m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
=
k
1
vaứ loaùi k = 0 )

Baứi 3 Giaỷi phửụng trỡnh:

()
()
2
23
3
sin 3x
sin x cos 3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x *
3sin4x
++=
2

Ta coự:
33
cos3x.sin 3x sin 3x.cos x
+
()( )
()
= +
=
+
=

==
33 3
3
33 2
4cosx3cosxsinx 3sinx4sinxcosx

3 cos x sin x 3 sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
33
sin 2x.cos 2x sin 4x
24
2

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
24
2
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin3x sinx sin3x sin3x 0vaứsin4x 0
244
11

sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24




+=






=


= =


2
22
2
11
sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0
216
sin 4x 0
1
sin 3x sin x
2
sin3x0cos3x0

==


=

=



sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN)
sin 3x 1





=

=

3
sin 4x 0
1
sin x
2
3sinx 4sin x 1



≠
⎧
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
≠
⎧
⎪
⇔
ππ
⎨
=+ π∨ + π∈
⎪

⎩
ππ
⇔=+π∨= +π∈


sin 4x 0
1
sin x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66



Trường hợp 2

Phương pháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=

⎩
thì
A
BM= =

Bài 4 Giải phương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)


Ta có: (*)
⇔−=+
22
sin x cos x sin x cosx


⇔− = +
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
=+
⎪
⎩
≤
⎧
≤
⎧

⎪
⇔⇔
⎨⎨
= =±
−=
⎪
⎩
⎩
⇔=−
π
⇔=+π∈
2
2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos2x 1)
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có
−≤ ≤ ≤+
44 4
inx cosx sinx sinx sinx cosxs

Do đó

=
⎧
⎪
⇔⇔
⎨
=
⎪
⎩
4
cos x 0
(*)
cos x 0
sin x sin x
=
π
⇔ =+π∈xk,k
2


Bài 160:
Giải phương trình:
()
2
cos2x cos4x 6 2sin 3x (*)
−=+

Ta có: (*)

22
4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x
⇔=
+
•
Do: và
2
sin 3x 1
≤
2
sin x 1
≤

nên
22
4sin 3xsin x 4
≤

•
Do nên
62≥−sin 3x 1 sin3x 4+ ≥

Vậy
22
4sin 3x sin x 4 6 2sin 3x
≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧

⎪
=
=⇔
⎨⎨
=
−
⎩
⎪
=−
⎩
2
2
2
sin 3x 1
sin x 1
sin x 1
sin 3x 1
sin 3x 1


π
⎧
=± + π ∈
π
⎪
⇔⇔=
+
⎨
⎪
=−

⎩


xk2,k
xk2,k
2
2
sin 3x 1
π∈


Bài 5 Giải phương trình:
33
cos x sin x
2cos2x (*)
sin x cos x
−
=
+

Điều kiện:
sin

x 0 cos x 0≥∧ ≥
Ta có: (*)
()
( )
( )
( )
22

cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x
⇔− + = − +


()
()
−=
⎡
⎢
⇔
+=+ +
⎢
⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)

Ta có: (1) i
π
⇔=⇔=+π∈tgx 1 x k , k
4

i
Xét (2)
Ta có: khi thì
sin x 0
≥ ≥≥
2
sin x sin x sin x

Tương tự

≥≥
2
cos x cos x cos x

Vậy
si
và
n x cos x 1
+≥
sin x cos x 1
+ ≥

Suy ra vế phải của (2) thì
2≥
Mà vế trái của (2):
13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈
xk,k
4


Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)

−− +=


Ta có: (*)
3cosx 2 cosx1
⇔− =+ +


()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx1 4cosx1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
( )
2cosx 1 0 x−+≤∀

mà 4cosx 1 0x+≥∀
Do đó dấu = của (*) xảy ra
cos x 1⇔ =−


⇔ =π+ π ∈
xk2,k




Bài 6 Giải phương trình:

( )
22
cos 3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)
+− = +


Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:

222
2
A
XBY A B.X Y+≤ + +
nên:
( )
222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− =
Dấu = xảy ra
2
cos 3x 2 cos 3x⇔=−


22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧

⇔
⎨
=−
⎩
≥
⎧
⇔⇔
⎨
=±
⎩
=
Mặt khác:
()
2
21 sin 2x 2+≥
dấu = xảy ra
sin 2x 0
⇔=
Vậy:
(
)
22
cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ +

dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:

=∧ =
=
⎧
⎪

⇔
⎨
π
=∈
⎪
⎩
⇔= π ∈


cos 3x 1 sin 2x 0
cos 3x 1
k
x,k(có4đầungọncun
2
x2m,m
g)


Bài 164:
Giải phương trình:
22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện:
sin 2x 0
≠

•
Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2
+ ≥

dấu = xảy ra khi
tgx cotgx=

•
Mặt khác:
sin x 1
4
π
⎛⎞
+
≤
⎜⎟
⎝⎠

nên
5
2sin x 2
4
π
⎛⎞

+≤
⎜⎟
⎝⎠

dấu = xảy ra khi sin x 1
4
π
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎝⎠

Do đó:
22 5
tg x cotg x 2 2sin x
4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔

π
⎨
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩


⎧
=
⎪
⇔
⎨
π
= +π∈
⎪
⎩
π
⇔=+ π∈


2
tg x 1
xk2,k
4
xk2,k
4

Trường hợp 3:
Áp dụng: Nếu
A
MvàB M A M
thì
A
BMN BN
≤≤
⎧⎧
⎨⎨
+= + =
⎩⎩
=


=
⎧
+=⇔
⎨
=
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


=
⎧
−=⇔

⎨
= −
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1


= −
⎧
+=−⇔
⎨
= −
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1

Tương tự cho các trường hợp sau

±=± ±=±
sin u cos v 2 ; cos u cos v 2

Bài 165:
Giải phương trình:
()
3x
cos2x cos 2 0 *
4
+−=

Ta có:
()
3x
*cos2xcos
4
⇔+
2=

3x
Do cos 2x 1 và cos 1
4
≤ ≤

nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
()
=π ∈
=
⎧
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔=π
π
⎨⎨
=∈
=
⎪⎪
⎩
⎩
π

π= ⇔ =
=∈Ζ =



xk,k
cos 2x 1
x8m,m
8h
3x
x,h
cos 1
3
4
8h 8h
Do : k k
33
để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )
∈

Cách khác
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
=
π
∈
⎨⎨
π

==
⎪⎪
⎩⎩


cos 2x 1 x k , k
x8m,m
3x 3k
cos 1 cos 1
44


Bài 166: Giải phương trình:
()
cos2x cos 4x cos6x cos x.cos2x.cos 3x 2 *++= +


PHƯƠN
G

PHÁP
ĐÁNH
G
IÁ
()
2
cos2x cos4x cos6x 2cos3xcosx 2cos 3x 1
2cos3x cosx cos3x 1
4 cos 3x.cos 2x.cos x 1
++ = + −

= +−
=−

Vậy:
()
1
cos3x.cos2x.cos x cos2x 6 cos4x cos 6x 1
4
=
++
+

Do đó:
() ()
()
⇔++= +++
⇔++=
19
* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
44
39
cos2x cos4x cos6x
44


⇔ ++=
==π∈
⎧⎧
⎪⎪
⇔=⇔=

⎨⎨
⎪⎪
==
⎩⎩

cos2x cos4x cos6x 3
cos 2x 1 2x k2 , k (1)
cos 4x 1 cos 4x 1 (2)
cos 6x 1 cos 6x 1 (3)

⇔ = π∈⇔=π∈
2x k2 ,k x k ,k

( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 7
Giải phương trình:
(
)
cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+=


Ta có:
()
⎛⎞⎛
⇔=− + + +
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎜
⎝⎠⎝

13 31
*2 cos2x sin2x sinxcosx
22 22
⎞
⎟
⎟
⎠


ππ
⎛⎞⎛
⇔= − + +
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2sin2x sinx
66
⎞
⎟
⎠

⎧π
⎛⎞
ππ
⎧
−=
− =+ π∈
⎜⎟
⎪
⎪
⎪⎝ ⎠ ⎪

⇔⇔
⎨⎨
ππ
π
⎛⎞
⎪⎪
+=+ π∈
+=
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+π∈
⎪
π
⎪
⇔⇔=+π
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩






sin 2x 1
2x k2 , k
6
62
xh2,h
sin x 1
62
6
xk,k
3
xh,h
3
xh2,h
3
∈

Cách khác
⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
−=
−=
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠ ⎪

⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+ =+ π∈
⎜⎟
⎪⎪
⎩
⎝⎠
⎩

sin 2x 1
sin 2x 1
6
6
(*)
sin x 1
xh2,h
6
62

⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪

π
⎪
⎝⎠
⇔⇔=+
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩


sin 2x 1
6
xh,h
3
xh2,h
3
π∈


Bài 8 Giải phương trình:
()
4cosx2cos2xcos4x1*−−=

Ta có:
()
( ) ( )
⇔ −−−−
22

* 4cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1
=

⇔− + =
⇔= −+ =
222
2
4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x cos x 0

(
)
⇔= + −=
⇔= − =
2
cos x 0 hay 1 cos x 2sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 (* *)

()
⇔= − + =
⇔=∨ +=
1
cosx 0 hay 1 cos3x cosx 0
2
cos x 0 cos3x cos x 2

=
⎧
⇔=∨
⎨

=
⎩
cos 3x 1
cos x 0
cos x 1

=
⎧
⇔=⇔
⎨
− =
⎩
⇔=∨=
π
⇔=+π∨= π∈

3
cos x 1
cos x 0
4cos x 3cosx 1
cos x 0 cos x 1
xkxk2,k
2

Cách khác
⇔= =
( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1
−

==
⎧⎧
⇔=∨ ∨
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos x 1 cos x 1
cos x 0
cos2x 1 cos2x 1


=π∈ =π+π∈
⎧⎧
π
⇔=+π∈∨ ∨
⎨⎨
==
−
⎩⎩


xk2,k x k2,k (loại
xk,k
cos 2x 1 cos 2x 1
2
)


π

⇔=+π∨= π∈
xkxk2,k
2

Bài 169: Giải phương trình:

()
1
tg2x tg3x
0 *
sin x cos 2x cos 3x
++
=


Điều kiện:
sin 2x cos 2x cos 3x 0≠

Lúc đó:
()
⇔++
sin 2x sin 3x 1
*0
cos2x cos 3x sin x.cos2x.cos 3x
=
+=
=

()
⇔+
⇔++
sin 2xsin x cos 3x sin 3xsin x.cos2x 1 0
sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0

()
⇔=−
⇔− − =−
⇔−=
==
⎧⎧
=
⎧
⎪⎪
⇔⇔−=⇔−
⎨⎨ ⎨
=−
⎩
⎪⎪
=
−=−
⎩⎩
33
2
sin x.sin 5x 1
1
cos6x cos4x 1
2
cos 6x cos 4x 2

t cos2x t cos 2x
cos 6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1
cos 4x 1
t0
2t 1 1
=

Do đó: (*) vô nghiệm.
Cách khác

=
=−
⎧⎧
⇔=−
⇔
⎨⎨
=
−=
⎩⎩
sin x 1 sin x 1
sin x.sin 5x 1 hay
sin 5x 1 sin 5x 1

ππ
⎧⎧
=+ π∈ =−+ π∈
⎪⎪
⇔
⎨⎨

⎪⎪
=− =
⎩⎩

xk2,k x k2,k
hay
22
sin 5x 1
sin 5x 1

x⇔∈∅




Bài 9
Giải phương trình:
( )
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=


Ta có:
() () ()
⇔ +−+
11
* 1 cos 6x cos2x 1 cos2x 0
22
=

()
⇔
=
⇔
+=
⇔+=
=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
⎧
−=
⇔
⎨
=
⎩
⎧
=
⇔
⎨
=
⎩
⇔=
⇔=π∈
π
⇔= ∈



2
2
cos 6x cos 2x 1
1
cos 8x cos 4x 1
2
cos 8x cos 4x 2
cos 8x 1
cos 4x 1
2cos 4x 1 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
4x k2 ,k
k
x,k
2

Cách khác
⇔=cos 6x cos 2x 1

= =−
⎧⎧
⇔
⎨⎨
= =−
⎩⎩
cos 2x 1 cos 2x 1

hay
cos 6x 1 cos 6x 1

=π∈ =π+π∈
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==
−
⎩⎩
2x k2 , k 2x k2 , k
hay
cos 6x 1
cos 6x 1

π
=∈

k
x,k
2

Cách khác

==
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==π∈
⎩⎩


cos8x 1 cos8x 1
cos 4x 1 4x k2 , k

π
⇔= ∈

k
x,k
2


Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
y = a
x

là hàm giảm khi 0< a <1.
Do đó ta có

sin sin
, ,
cos s ,
,
mn
mn
xxnmxkk
xcoxnmx kk
π
π
π

π
<⇔>∀≠+∈
<⇔>∀≠+
2
2


∈

sin sin
,
cos s ,
mn
mn
x
xnm
x
x
co x n m x
≤⇔≥∀
≤⇔≥∀


Bài 10
Giải phương trình:
()
2
x
1cosx
2

−=
*

Ta có:
()
2
x
*1 cos
2
⇔= +
x

Xét
2
x
ycosxtrên
2
=+
R

Ta có:
y'

x sinx=−
và
y'' 1 cosx 0 x R=
−≥∀∈

Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy

() ( ) ( )
x0,:x0nêny'xy'0
∀∈ ∞ >
> =
0


() ( ) ( )
x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0

Do đó:

Vậy :
2
x
ycosx1x
2
=+ ≥∀∈
R

Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó
()
*x0⇔ =•


Bài 11 Giải phương trình

sin sin sin sin
x

xx
+=+
4681
0
x
(*)
Ta có

sin sin
sin sin
2
2
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx =0
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx =0
xx
xx
⎧
≥
⎪
⎨
≥
⎪
⎩
48
610
⇔
sin
2
x = 1
∨

sinx = 0
⇔
x =
±
,kxkk
π
ππ
+ ∨= ∈22
2


Cách khác

(*)
sin sin sin sin
x
hay x x x⇔= +=+
4246
01

sin sin
x
hay x
⇔=
2
01
=


BÀI TẬP

Giải các phương trình sau
()
−+ =
π
⎛⎞
−=+ −
⎜⎟
⎝⎠
+=
23
22 2
1. lg sin x 1 sin x 0
2. sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x
4
1
3. sin x sin 3x sin x.sin 3x
4

()
π=
+=+
−=+
sin x
2
4. cos x
5. 2cos x 2 sin10x 3 2 2 cos 28x.sin x
6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x

( )
()(

() ()
+= −
−++−
+=−
=
a2
7. sin x cos x 2 2 sin 3x
8. sin 3x cos 2x 2 sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2 cos 3x 0
9. tgx tg2x sin 3x cos 2x
10. 2log cot gx log cos x
)
=

()
π
⎡⎤
=∈
⎢⎥
⎣⎦
+=
−+ +
sin x
13 14
11. 2 cos x với x 0,
2
12. cos x sin x 1
13. cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 0
=

( )

+= −
+=−
−− ++
33 4
22
14. sin x cos x 2 2 cos 3x
15. sin x cos x 2 sin x
16. cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0
=

+=+
+− −+
sin x
2
22
17. 2 sin x sin x cos x
18. 3cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0
=


cảm
ơn
t
ác
laisac
khơng
biêt

đư
ợc

thơng
tin
ai

là
tác
giả
của
bài
viết
này,
thành
thật
cáo
lỗi
và

cảm
ơn
t
ác
giả!