Tài liệu Chương 8: Phương trình lượng giác không mẫu mực doc

CHƯƠNG VIII

PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Trườ n g hợ p 1: TỔ N G HAI SỐ KHÔ N G Â M

Á p dụn g
Bà i 156

Ta có :

⎧A ≥ 0 ∧ B ≥ 0
thì A = B = 0
⎩A + B = 0

Nế u ⎨

Giả i phương trình:
4 cos2 x + 3tg 2 x − 4 3 cos x + 2 3tgx + 4 = 0 (*)

(

(*) ⇔ 2 cos x − 3

) +(
2

3tgx + 1

)

2

=0

⎧
3
⎪cos x =
⎪
2
⇔⎨
⎪tgx = − 1
⎪
3
⎩
π
⎧
x = ± + k2π, k ∈
⎪
6
⎪
⇔⎨
⎪tgx = − 1
⎪
3
⎩
⇔x=−
Bà i 157

π
+ k2π, k ∈
6

Giả i phương trình:
8 cos 4x.cos2 2x + 1 − cos 3x + 1 = 0 ( *)

Ta coù : ( *) ⇔ 4 cos 4x (1 + cos 4x ) + 1 + 1 − cos 3x = 0
⇔ ( 4 cos2 4x + 4 cos 4x + 1) + 1 − cos 3x = 0
2

⇔ ( 2 cos 4x + 1) + 1 − cos 3x = 0
1
⎧
⎪cos 4x = −
⇔⎨
2⇔
⎪cos 3x = 1
⎩
1
⎧
⎪cos 4x = − 2
⎪
⇔⎨
⎪ x = k2π , k ∈
⎪
3
⎩

1
⎧
⎪cos 4x = −
2

⎨
⎪3x = k2π, k ∈
⎩

(có 3 đầu ngọn cung)


1
⎧
cos 4x = −
⎪
⎪
2
⇔⎨
2π
2π
⎪x = −
+m2π hay x = m2π hay x =
+ m2π , m ∈
⎪
3
3
⎩
2π
⇔x=±
+ m2π, m ∈
3
(ta nhậ n k = ±1 và loạ i k = 0 )
Bà i 158

Giả i phương trình:
sin 2 3x
sin2 x +
( cos 3x sin3 x + sin 3x cos3 x ) = sin x sin2 3x ( *)
3sin 4x
Ta coù : cos 3x.sin 3 3x + sin 3x.cos3 x
= ( 4 cos3 x − 3 cos x ) sin 3 x + ( 3 sin x − 4 sin3 x ) cos3 x

= −3 cos x sin 3 x + 3 sin x cos3 x = 3 sin x cos x ( cos2 x − sin 2 x )
3
3
sin 2x. cos 2x = sin 4x
2
4
1
Vaäy: ( *) ⇔ sin 2 x + sin2 3x = sin x sin2 3x vaø sin 4x ≠ 0
4

=

2

1
1
⎛1
⎞
⇔ ⎜ sin 2 3x − sin x ⎟ − sin4 3x + sin2 3x = 0 vaø sin 4x ≠ 0
4
4
⎝2

⎠
2

1
⎛1
⎞
⇔ ⎜ sin 2 3x − sin x ⎟ + sin 2 3x (1 − sin2 3x ) = 0 vaø sin 4x ≠ 0
4
⎝2
⎠
2

1
⎛1
⎞
⇔ ⎜ sin2 3x − sin x ⎟ +
sin2 6x = 0 vaø sin 4x ≠ 0
16
⎝2
⎠
⎧sin 4x ≠ 0
⎪1
⎪
⇔ ⎨ sin 2 3x = sin x
⎪2
⎪sin 3x = 0 ∨ cos 3x = 0
⎩

⎧sin 4x ≠ 0
⎧sin 4x ≠ 0

⎪
⎪
⎪1
⇔ ⎨sin 3x = 0
∨ ⎨ = sin x
⎪sin x = 0 (VN) ⎪ 2
⎩
⎪sin 3x = ±1
⎩
⎧sin 4x ≠ 0
⎪
1
⎪
⇔ ⎨sin x =
2
⎪
⎪3 sin x − 4 sin 3 x = ±1
⎩


⎧sin 4x ≠ 0
⎪
⇔⎨
1
⎪sin x = 2
⎩
⎧sin 4x ≠ 0
⎪
⇔⎨
π

5π
⎪ x = 6 + k2π ∨ 6 + k2π, k ∈
⎩
π
5π
⇔ x = + k2π ∨ x =
+ k2π, k ∈
6
6

Trường hợp 2

Phương pháp đối lập

⎧A ≤ M ≤ B
thì A = B = M
⎩A = B

Nếu ⎨
Bà i 159

Giả i phương trình:

sin4 x − cos4 x = sin x + cos x (*)

Ta coù : (*) ⇔ sin2 x − cos2 x = sin x + cos x
⇔ − cos 2x = sin x + cos x
⎧cos 2x ≤ 0
⎪
⇔⎨ 2

⎪cos 2x = 1 + 2 sin x cos x
⎩
⎧cos 2x ≤ 0
⎧cos 2x ≤ 0
⎪
⇔⎨
⇔⎨
2
⎪− sin 2x = 2 sin 2x
⎩sin 2x = 0 (cos 2x = ± 1 )
⎩
⇔ cos 2x = −1
⇔x=

π
+ kπ, k ∈
2

Caù c h khá c
Ta có sin 4 x − cos4 x ≤ sin4 x ≤ sin x ≤ sin x + cos x
Do đó

Bà i 160:

⎧cos x = 0
π
⎪
⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈
(*) ⇔ ⎨ 4
2

⎪sin x = sin x
⎩
2

Giả i phương trình: ( cos 2x − cos 4x ) = 6 + 2 sin 3x (*)

Ta coù : (*) ⇔ 4 sin 2 3x.sin 2 x = 6 + 2 sin 3x
• Do: sin 2 3x ≤ 1 vaø sin 2 x ≤ 1
neâ n 4 sin 2 3x sin 2 x ≤ 4
•
Do sin 3x ≥ −1 nê n 6 + 2 sin 3x ≥ 4
Vaä y 4 sin 2 3x sin 2 x ≤ 4 ≤ 6 + 2 sin 3x
Daá u = củ a phương trình (*) đú n g khi và chỉ khi


⎧sin2 3x = 1
⎧sin2 x = 1
⎪ 2
⎨sin x = 1 ⇔ ⎨
⎩sin 3x = −1
⎪sin 3x = −1
⎩
π
⎧
π
⎪ x = ± + k2π, k ∈
⇔⎨
⇔ x = + k2π, k ∈
2
2

⎪sin 3x = −1
⎩

cos3 x − sin 3 x
= 2 cos 2x (*)
sin x + cos x
Điề u kiệ n : sin x ≥ 0 ∧ cos x ≥ 0
Ta coù : (*)
⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = 2 ( cos2 x − sin 2 x ) sin x + cos x

Bà i 161

Giả i phương trình:

(

⎡cos x − sin x = 0
⇔⎢
⎢1 + sin x cos x = 2 ( cos x + sin x ) sin x + cos x
⎣
π
Ta coù :
(1) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ, k ∈
4
Xét (2)
Ta có : khi sin x ≥ 0 thì sin x ≥ sin x ≥ sin 2 x
Tương tự
cos x ≥ cos x ≥ cos2 x
sin x + cos x ≥ 1 vaø sin x + cos x ≥ 1
Vậ y

Suy ra vế phải củ a (2) thì ≥ 2
1
3
Mà vế trá i củ a (2): 1 + sin 2x ≤
2
2
Do đó (2) vô nghiệ m
π
Vaä y : (*) ⇔ x = + kπ, k ∈
4

(

Bà i 162:

Giả i phương trình:

Ta có : (*)

⇔

3 − cos x − cos x + 1 = 2 (*)

3 − cos x = 2 + cos x + 1

⇔ 3 − cos x = 5 + cos x + 4 cos x + 1
⇔ −2 ( cos x + 1) = 4 cos x + 1
Ta coù : −2 ( cos x + 1) ≤ 0 ∀x
maø
4 cos x + 1 ≥ 0 ∀x

Do đó dấ u = củ a (*) xaû y ra ⇔ cos x = −1
⇔ x = π + k2π , k ∈

)

(1)
(2)

)


Bà i 163:

Giả i phương trình:

cos 3x + 2 − cos2 3x = 2 (1 + sin2 2x ) (*)

Do bấ t đẳ n g thứ c Bunhiacố p ski:

AX + BY ≤ A 2 + B2 . X 2 + Y 2
neâ n :

1 cos 3x + 1 2 − cos2 3x ≤

2. cos2 3x + ( 2 − cos2 3x ) = 2

Dấ u = xả y ra ⇔ cos 3x = 2 − cos2 3x
⎧cos 3x ≥ 0
⇔⎨ 2
2

⎩cos 3x = 2 − cos 3x

Mặ t khá c :

⎧cos 3x ≥ 0
⇔⎨
⇔ cos 3x = 1
⎩cos 3x = ±1
2 (1 + sin 2 2x ) ≥ 2

daá u = xả y ra ⇔ sin 2x = 0
Vậ y :

cos 3x + 2 − cos2 3x ≤ 2 ≤ 2 (1 + sin2 2x )

dấ u = củ a (*) chỉ xả y ra khi:
cos 3x = 1 ∧ sin 2x = 0

⎧cos 3x = 1
⎪
⇔⎨
kπ
⎪ x = 2 , k ∈ ( có 4 đầu ngọn cung )
⎩
⇔ x = 2mπ , m ∈
Bà i 164:

Giả i phương trình:

π⎞

⎛
tg 2 x + cotg 2 x = 2 sin 5 ⎜ x + ⎟ (*)
4⎠
⎝

Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0
•
Do bấ t đẳ n g thứ c Cauchy: tg 2 x + cotg 2 x ≥ 2
dấ u = xả y ra khi tgx = cotgx
π⎞
⎛
•
Mặ t khá c : sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1
4⎠
⎝
π⎞
⎛
neâ n 2 sin5 ⎜ x + ⎟ ≤ 2
4⎠
⎝
π⎞
⎛
dấ u = xả y ra khi sin ⎜ x + ⎟ = 1
4⎠
⎝
π⎞
⎛
Do đó : tg 2 x + cotg 2 x ≥ 2 ≥ 2 sin5 ⎜ x + ⎟
4⎠
⎝

⎧tgx = cotgx
⎪
Dấ u = củ a (*) xả y ra ⇔ ⎨
π⎞
⎛
⎪sin ⎜ x + 4 ⎟ = 1
⎝
⎠
⎩


⎧tg 2 x = 1
⎪
⇔⎨
π
⎪ x = + k2π , k ∈
4
⎩
π
⇔ x = + k2π, k ∈
4

Trường hợp 3:
Áp dụn g:

⎧ A ≤ M và B ≤ M
⎧A = M
thì ⎨
⎩A + B = M + N
⎩B = N

⎧sin u = 1
sin u + sin v = 2 ⇔ ⎨
⎩sin v = 1
⎧sin u = 1
sin u − sin v = 2 ⇔ ⎨
⎩sin v = − 1
⎧sin u = − 1
sin u + sin v = − 2 ⇔ ⎨
⎩sin v = − 1

Nếu ⎨

Tương tự cho cá c trườ n g hợp sau

sin u ± cos v = ± 2 ; cos u ± cos v = ± 2

Bà i 165:
Ta có :

Giả i phương trình:

cos 2x + cos

( *) ⇔ cos 2x + cos

3x
=2
4

3x

− 2 = 0 ( *)
4

3x
≤1
4
nê n dấ u = củ a (*) chỉ xả y ra
⎧ x = kπ , k ∈
⎧cos 2x = 1
⎪
⎪
⇔⎨
⇔⎨
⇔ x = 8mπ, m ∈
8hπ
3x
⎪cos 4 = 1
⎪x = 3 , h ∈
⎩
⎩
8hπ
8h
⇔k=
Do : kπ =
3
3
để k nguyên ta chọn h = 3m ( m ∈ Ζ ) ( thì k = 8m )
Do cos 2x ≤ 1 và cos

Cá c h khá c

⎧cos 2x = 1
⎪
⇔
⎨
3x
⎪cos 4 = 1
⎩
Baø i 166:

⎧ x = kπ , k ∈
⎪
⎨
3kπ
⎪cos 4 = 1
⎩

⇔ x = 8mπ, m ∈

Giaû i phương trình:
cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x.cos 2x.cos 3x + 2 ( *)


cos 2x + cos 4x + cos 6x

= 2 cos 3x cos x + 2 cos2 3x − 1
= 2 cos 3x ( cos x + cos 3x ) − 1

= 4 cos 3x.cos 2x.cos x − 1
1
Vaä y : cos 3x.cos 2x.cos x = ( cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x + 1)

4
Do đó :
1
9
( *) ⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = ( cos2x + cos 4x + cos6x ) +
4
4
3
9
⇔ ( cos 2x + cos 4x + cos 6x ) =
4
4
⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = 3
⎧cos 2x = 1
⎧2x = k2π, k ∈ (1)
⎪
⎪
(2)
⇔ ⎨cos 4x = 1 ⇔ ⎨cos 4x = 1
⎪cos 6x = 1
⎪cos 6x = 1
(3)
⎩
⎩
⇔ 2x = k2π, k ∈ ⇔ x = kπ, k ∈
( Thế (1) và o (2) và (3) ta thấ y hiể n nhiê n thỏ a )
Bà i 167:
Giả i phương trình:
cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x − cos x + 4 = 0 ( *)
Ta coù :

⎞
⎛ 1
⎞ ⎛ 3
3
1
cos 2x +
sin 2x ⎟ + ⎜
sin x + cos x ⎟
⎟ ⎜ 2
⎟
2
2
⎝ 2
⎠ ⎝
⎠

( *) ⇔ 2 = ⎜ −
⎜

π⎞
π⎞
⎛
⎛
⇔ 2 = sin ⎜ 2x − ⎟ + sin ⎜ x + ⎟
6⎠
6⎠
⎝
⎝
⎧

π⎞
⎛
π π
⎧
⎪sin ⎜ 2x − 6 ⎟ = 1
⎪2x − 6 = 2 + k2π, k ∈
⎪
⎝
⎠
⎪
⇔⎨
⇔⎨
⎪sin ⎛ x + π ⎞ = 1
⎪ x + π = π + h2π, h ∈
⎜
⎟
⎪
⎪
6 2
⎩
6⎠
⎝
⎩

π
⎧
⎪ x = 3 + kπ, k ∈
π
⎪
⇔⎨

⇔ x = + hπ, h ∈
3
⎪ x = π + h2π, h ∈
⎪
3
⎩
Caù c h khaù c
⎧
π⎞
⎛
⎧
π⎞
⎛
⎪sin ⎜ 2x − 6 ⎟ = 1
⎪sin ⎜ 2x − 6 ⎟ = 1
⎪
⎝
⎠
⎪
⎝
⎠
( *) ⇔ ⎨
⇔⎨
⎪sin ⎛ x + π ⎞ = 1
⎪ x + π = π + h2π, h ∈
⎜
⎟
⎪
⎪
6⎠

6 2
⎩
⎝
⎩


⎧
π⎞
⎛
⎪sin ⎜ 2x − 6 ⎟ = 1
⎪
⎝
⎠
⇔⎨
⎪ x = π + h2π, h ∈
⎪
3
⎩
Bà i 168:

⇔x=

Giả i phương trình:

π
+ hπ, h ∈
3

4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1 ( *)

Ta coù : ( * ) ⇔ 4 cos x − 2 ( 2 cos2 x − 1 ) − (1 − 2 sin 2 2x ) = 1

⇔ 4cosx − 4 cos2 x + 8 sin2 x cos2 x = 0
⇔ cos x = 0 hay 1 − cos x + 2 sin 2 x cos x = 0
⇔ cos x = 0 hay 1 + cos x ( 2 sin 2 x − 1) = 0
⇔ cos x = 0 hay 1 − cos x cos 2x = 0 ( * *)
1
⇔ cos x = 0 hay 1 − ( cos 3x + cos x ) = 0
2
⇔ cos x = 0 ∨ cos 3x + cos x = 2
⎧cos 3x = 1
⇔ cos x = 0 ∨ ⎨
⎩cos x = 1

⎧cos x = 1
⇔ cos x = 0 ⇔ ⎨
3
⎩4 cos x − 3 cos x = 1
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 1

π
+ kπ ∨ x = k2π, k ∈
2
Caù c h khaù c
( * *) ⇔ cos x = 0 hay cos x cos 2x = 1
⎧cos x = 1
⎧cos x = − 1
⇔ cos x = 0 ∨ ⎨
∨⎨
⎩cos 2x = 1 ⎩cos 2x = − 1

⎧ x = k2π, k ∈
⎧ x = π + k2π, k ∈
π
⇔ x = + kπ, k ∈ ∨ ⎨
∨⎨
2
⎩cos 2x = 1
⎩cos 2x = − 1
π
⇔ x = + kπ ∨ x = k2π, k ∈
2
Bà i 169:
Giả i phương trình:
1
tg2x + tg3x +
= 0 ( *)
sin x cos 2x cos 3x
⇔x=

Điề u kiệ n : sin 2x cos 2x cos 3x ≠ 0
Lú c đó :
sin 2x sin 3x
1
+
+
=0
( *) ⇔
cos 2x cos 3x sin x.cos 2x.cos 3x
⇔ sin 2x sin x cos 3x + sin 3x sin x.cos 2x + 1 = 0

⇔ sin x ( sin 2x cos 3x + sin 3x cos 2x ) + 1 = 0

( loaïi )


⇔ sin x.sin 5x = −1
1
⇔ − ( cos 6x − cos 4x ) = −1
2
⇔ cos 6x − cos 4x = 2
⎧cos 6x = 1
⇔⎨
⇔
⎩cos 4x = −1

⎧t = cos 2x
⎪ 3
⎨4t − 3t = 1 ⇔
⎪ 2
⎩2t − 1 = −1

⎧t = cos 2x
⎪ 3
⎨4t − 3t = 1
⎪
⎩t = 0

Do đó : (*) vô nghiệ m .
Cá c h khaù c

⎧sin x = 1
⎧sin x = − 1
hay ⎨
⇔ sin x. sin 5x = −1 ⇔ ⎨
⎩sin 5x = − 1
⎩sin 5x = 1
π
π
⎧
⎧
⎪ x = + k2π, k ∈
⎪ x = − + k2π, k ∈
hay ⎨
⇔⎨
2
2
⎪sin 5x = − 1
⎪sin 5x = 1
⎩
⎩
⇔ x ∈∅

Baø i 170:

Giả i phương trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( *)
1
1
(1 + cos 6x ) cos 2x − (1 + cos 2x ) = 0
2
2

⇔ cos 6x cos 2x = 1

Ta coù : ( * ) ⇔

1
( cos 8x + cos 4x ) = 1
2
⇔ cos 8x + cos 4x = 2
⇔

⎧cos 8x = 1
⇔⎨
⎩cos 4x = 1
⎧2 cos2 4x − 1 = 1
⇔⎨
⎩cos 4x = 1
⎧cos2 4x = 1
⇔⎨
⎩cos 4x = 1
⇔ cos 4x = 1
⇔ 4x = k2π, k ∈
kπ
,k ∈
⇔x=
2
Caù c h khaù c
⇔ cos 6x cos 2x = 1
⎧cos 2x = 1
⎧cos 2x = −1
⇔⎨

hay ⎨
⎩cos 6x = 1
⎩cos 6x = −1


⎧2x = k2π, k ∈
⎧2x = π + k2π, k ∈
⇔⎨
hay ⎨
⎩cos 6x = 1
⎩cos 6x = −1
kπ
x=
,k ∈
2
Caù c h khaù c
⎧cos 8x = 1
⎧cos 8x = 1
⇔⎨
⎨
⎩cos 4x = 1
⎩4x = k2π, k ∈
kπ
⇔x=
,k ∈
2

Trường hợp 4:
DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
x

y = a là hàm giảm khi 0< a <1.

Do đó ta có
sin x

m

cos x

m

< sin x

n

< co s x

sin x

m

≤ sin x

cos x

m

≤ co s x

Baø i 171:

n

⇔ n > m, ∀x ≠
n

π
2

⇔ n > m, ∀x ≠

+ kπ , k ∈

π
2

+ kπ , k ∈

⇔ n ≥ m, ∀x
n

⇔ n ≥ m, ∀x

Giả i phương trình: 1 −

Ta coù : ( *) ⇔ 1 =

x2
= cos x ( *)
2

x2
+ cos x
2

x2
+ cos x trên R
2
Ta có : y ' = x − sin x
vaø
y '' = 1 − cos x ≥ 0 ∀x ∈ R
Do đó y’(x) là hà m đồ n g biế n trê n R
Vaä y ∀x ∈ ( 0, ∞ ) : x > 0 neân y ' ( x ) > y ' ( 0) = 0
Xeù t

y=

∀x ∈ ( −∞, 0) : x < 0 neân y ' ( x ) < y ' ( 0) = 0
Do đó :

x2
+ cos x ≥ 1 ∀x ∈ R
2
Dấ u = củ a (*) chỉ xả y ra tạ i x = 0
Do đó ( *) ⇔ x = 0 •

Vậ y : y =


Bà i 172: Giả i phương trình

sin 4 x + sin 6 x = sin 8 x + sin10 x (*)

Ta có
⎧sin 4 x ≥ sin 8 x và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin 2 x = 1hay sinx = 0
⎪
⎨ 6
10
2
⎪ sin x ≥ sin x và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0
⎩

⇔ sin 2 x = 1 ∨ sinx = 0
π
⇔ x = ± + k 2π ∨ x = k 2π , k ∈
2

Caù c h khaù c
(*) ⇔ sin 4 x = 0 hay 1+ sin 2 x = sin 4 x + sin 6 x
⇔ sin x = 0 hay sin 2 x =1

Giả i cá c phương trình sau
1.

BÀI TẬP

lg ( sin2 x ) − 1 + sin 3 x = 0

4.

π⎞

⎛
sin 4x − cos 4x = 1 + 4 2 sin ⎜ x − ⎟
4⎠
⎝
1
sin 2 x + sin 2 3x = sin x. sin 2 3x
4
sin x
π
= cos x

5.

2 cos x + 2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x. sin x

6.

( cos 4x − cos 2x )

7.

sin x + cos x = 2 ( 2 − sin 3x )

8.

sin 3x ( cos 2x − 2 sin 3x ) + cos 3x (1 + sin 2x − 2 cos 3x ) = 0

9.

tgx + tg2x = − sin 3x cos 2x

10.

2 log a ( cot gx ) = log 2 ( cos x )

2.
3.

2

= 5 + sin 3x

12.

⎡ π⎤
2sin x = cos x với x ∈ ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦
13
14
cos x + sin x = 1

13.

cos 2x − cos 6x + 4 ( sin 2x + 1) = 0

14.

sin x + cos x = 2 ( 2 − cos 3x )

15.

sin3 x + cos3 x = 2 − sin4 x

16.
17.

cos2 x − 4 cos x − 2x sin x + x 2 + 3 = 0
sin x
2
+ sin x = sin 2 x + cos x

18.

3 cot g 2 x + 4 cos2 x − 2 3 cot gx − 4 cos x + 2 = 0

11.

Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)