Tài liệu Phần 7 :Phương trình lượng giác không mẫu mực ppt

CHƯƠNG VIII

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A 0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=


Ta có:
()( )
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔

⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π
⎧
=± + π ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
π
⇔=−+ π ∈


22
(*) 2 cos x 3 3tgx 1 0
3
cos x
2
1
tgx
3
xk2,k
6

1
tgx
3
xk2,k
6
=


Bài 157
Giải phương trình:

( )
2
8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− +=


Ta có:
() ( )
⇔ +++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0=

()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=− =−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

==π∈
⎩⎩

2
2
4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0
2cos4x 1 1 cos3x 0
11
cos 4x cos 4x
22
cos 3x 1 3x k2 , k
=

⎧
=−
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=∈
⎪
⎩

1
cos 4x
2
k2
x , k (có 3 đầu ngọn cung)

3


=






= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2hay xm2hayxm2,m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
= k1
vaứ loaùi k = 0 )

Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh:

()
()
2
233
sin 3x
sin x cos 3xsin x sin 3x cos x sin x sin 3x *
3sin4x
++=
2

Ta coự:
33
cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+
()( )
()
= +
= + =
==
33 33
33 2
4cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx
3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
33
sin 2x. cos 2x sin 4x
24
2

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
242
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
244
11
sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24




+=

=


= =


2
22
2
11
sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0
216
sin 4x 0
1
sin 3x sin x
2
sin3x0cos3x0

==


=

=


sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN)
sin 3x 1





=



=

3
sin 4x 0
1

sin x
2
3sinx 4sin x 1


≠
⎧
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
≠
⎧
⎪
⇔
ππ
⎨
=+ π∨ + π∈
⎪
⎩
ππ
⇔=+π∨= +π∈


sin 4x 0
1
sin x
2

sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66


Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
Nếu
A MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A BM= =

Bài 159 Giải phương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)


Ta có: (*)
⇔−=+
22

sin x cos x sin x cos x


⇔− = +
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
=+
⎪
⎩
≤
⎧
≤
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
= =±
−=
⎪
⎩
⎩
⇔=−
π
⇔=+π∈
2
2
cos 2x sin x cos x

cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1 )
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có

−≤ ≤≤+
44 4
x cos x sin x sin x sin x cos xsin

Do đó

=
⎧
⎪
⇔⇔=
⎨
=
⎪
⎩
4
cos x 0
(*) cos x 0

sin x sin x
π
=+π∈xk,k
2

⇔

Bài 160: Giải phương trình:
()

2
cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)
−=+

Ta có: (*)
22
4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+
•
Do: và
2
sin 3x 1≤
2
sin x 1≤

nên
22
4sin 3xsin x 4≤

•
Do nên

62
≥−
sin 3x 1 sin3x4
+ ≥

Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧
⎪
=
=⇔
⎨⎨
= −
⎩
⎪
=−
⎩
2
2
2
sin 3x 1
sin x 1
sin x 1
sin 3x 1
sin 3x 1

π
⎧
=± + π ∈
π
⎪
⇔⇔=+
⎨
⎪
=−
⎩

π∈

xk2,k
xk2,k
2
2
sin 3x 1


Bài 161 Giải phương trình:
33
cos x sin x
2cos2x(*)
sin x cos x
−
=
+

Điều kiện:
si

n x 0 cos x 0
≥∧ ≥
Ta có: (*)
()( )
( )
( )
22
cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − +


()
()
−=
⎡
⎢
⇔
+=+ +
⎢
⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)

Ta có:

(1)
π
⇔=⇔=+π∈

tgx 1 x k , k
4



Xét (2)
Ta có: khi
si
thì
n x 0
≥
≥≥
2
sin x sin x sin x

Tương tự
≥≥
2
cos x cos x cos x

Vậy
si
và
n x cos x 1
+≥
sin x cos x 1+ ≥

Suy ra vế phải của (2) thì
2≥
Mà vế trái của (2):

13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈
xk,k
4


Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)−− +=


Ta có: (*)
3cosx 2 cosx1⇔− =+ +


()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx 1 4 cosx 1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
( )
2cosx 1 0 x−+≤∀

mà
4cosx 1 0x+≥∀

Do đó dấu = của (*) xảy ra
cos x 1
⇔ =−


⇔ =π+ π ∈

xk2,k




Bài 163: Giải phương trình:

( )
22
cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = +


Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:

222 2
AXBY A B.X Y+≤ + +

nên:
( )

222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2
+− ≤ +− =

Dấu = xảy ra
2
cos3x 2 cos 3x⇔=−


22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧
⇔
⎨
=−
⎩
≥
⎧
⇔⇔
⎨
=±
⎩
=
Mặt khác:
()

2
21 sin 2x 2
+≥
dấu = xảy ra
sin 2x 0
⇔=
Vậy:
( )
22
cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ +

dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:

=∧ =
=
⎧
⎪
⇔
⎨
π
=∈
⎪
⎩
⇔= π ∈


cos 3x 1 sin 2x 0
cos 3x 1
k
x,k(có4đầungọncun

2
x2m,m
g)


Bài 164: Giải phương trình:
22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠


Điều kiện:
sin 2x 0
≠

•
Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2+ ≥

dấu = xảy ra khi
tgx cotgx=

•
Mặt khác:

sin x 1
4
π
⎛⎞
+ ≤
⎜⎟
⎝⎠

nên
5
2sin x 2
4
π
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

dấu = xảy ra khi
sin x 1
4
π
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎝⎠

Do đó:
22 5
tg x cotg x 2 2sin x

4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔
π
⎨
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩