một phân loại và xây dựng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.

LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG TAM GIÁC
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Học viên: NGUYỄN THỊ THOAN
Lớp Cao học 2011-2013
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Hà Nội, 26/09/2013
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 1 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức là một đề tài hết sức trừu tượng, đặc biệt là các bất đẳng
thức trong tam giác. Mặc dù mấy năm trở lại đây, bất đẳng thức trong
tam giác không được đề cập nhiều trong chương trình toán phổ thông
nhưng nó luôn là vấn đề thu hút với những ai ham mê toán học, đặc biệt
là những học sinh chuyên toán. Bởi vì, nó là sự kết hợp của các yếu tố:
Đại số, Giải tích và Hình học nên nó mang vẻ đẹp riêng.
Đối với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức trong tam giác nói
riêng, học sinh luôn băn khoăn về việc phân loại các dạng bài và áp dụng
phương pháp chứng minh nào là hiệu quả nhất cho từng dạng bài đó. Hơn
nữa, như chúng ta đã biết, một người học sinh được đánh giá là giỏi toán
thì phải biết tự mình tìm tòi và sáng tạo ra các bài toán mới.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 2 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức là một đề tài hết sức trừu tượng, đặc biệt là các bất đẳng
thức trong tam giác. Mặc dù mấy năm trở lại đây, bất đẳng thức trong
tam giác không được đề cập nhiều trong chương trình toán phổ thông
nhưng nó luôn là vấn đề thu hút với những ai ham mê toán học, đặc biệt
là những học sinh chuyên toán. Bởi vì, nó là sự kết hợp của các yếu tố:
Đại số, Giải tích và Hình học nên nó mang vẻ đẹp riêng.

Đối với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức trong tam giác nói
riêng, học sinh luôn băn khoăn về việc phân loại các dạng bài và áp dụng
phương pháp chứng minh nào là hiệu quả nhất cho từng dạng bài đó. Hơn
nữa, như chúng ta đã biết, một người học sinh được đánh giá là giỏi toán
thì phải biết tự mình tìm tòi và sáng tạo ra các bài toán mới.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 2 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
LỜI NÓI ĐẦU
Do đó, song song với nguyện vọng giúp học sinh phân loại các phương
pháp giải bất đẳng thức trong tam giác, tác giả còn muốn kích thích sự
sáng tạo của các em bằng ý tưởng xây dựng các bất đẳng thức mới nằm
ngoài những tài liệu sẵn có. Điều đó đã thôi thúc tác giả tìm hiểu và
nghiên cứu đề tài
Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác.
Do khuôn khổ hạn chế của luận văn nên tác giả chỉ tập trung khai thác
các bất đẳng thức có liên quan đến các đại lượng góc trong tam giác.
Ngoài ra, với các dạng khác, tác giả xin dành cho những chuyên đề sau.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 3 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
LỜI NÓI ĐẦU
Do đó, song song với nguyện vọng giúp học sinh phân loại các phương
pháp giải bất đẳng thức trong tam giác, tác giả còn muốn kích thích sự
sáng tạo của các em bằng ý tưởng xây dựng các bất đẳng thức mới nằm
ngoài những tài liệu sẵn có. Điều đó đã thôi thúc tác giả tìm hiểu và
nghiên cứu đề tài
Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác.
Do khuôn khổ hạn chế của luận văn nên tác giả chỉ tập trung khai thác
các bất đẳng thức có liên quan đến các đại lượng góc trong tam giác.
Ngoài ra, với các dạng khác, tác giả xin dành cho những chuyên đề sau.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 3 / 77

LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và
xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 2. Áp dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 3. Áp dụng các bất đẳng thức đại số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 4 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và
xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 2. Áp dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 3. Áp dụng các bất đẳng thức đại số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 4 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và
xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 2. Áp dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 3. Áp dụng các bất đẳng thức đại số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 4 / 77

LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và
xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 2. Áp dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Chương 3. Áp dụng các bất đẳng thức đại số chứng minh và xây dựng
các bất đẳng thức trong tam giác.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 4 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chương 1. Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai
chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác.
1.1 Một số kiến thức cơ bản [2]
Định lý 1.1. (Định lý về dấu của tam thức bậc hai).
Cho tam thức bậc hai f (x) = ax
2
+ bx + c, (a = 0).
Đặt ∆ = b
2
− 4ac.
- Nếu ∆ < 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.
- Nếu ∆ = 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x = −
b
2a
.
- Nếu ∆ > 0 thì f (x) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x

2
, giả sử x
1
< x
2
.
Khi đó f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (−∞, x
1
) ∪(x
2
, +∞)
và trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x
1
, x
2
).
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 5 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.2 Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh
một số bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 1.2.7 (Lượng giác - cực trị và các bài toán trong tam
giác).
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2 +

cos
2
(A − B) + cos
2
(B −C) + cos
2
(C − A)
12
.
Lời giải. Đặt P = sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C. Khi đó ta có
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C − P = 0
⇔ sin
2
A + 1 − cos (B + C) cos(B − C) − P = 0
⇔ −cos
2
A + cos Acos (B −C) + 2 − P = 0.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 6 / 77

LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.2 Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh
một số bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 1.2.7 (tiếp).
Xét phương trình
−cos
2
A + cos Acos (B −C) + 2 − P = 0. (1.2.7)
Ta có
∆ = cos
2
(B −C) + 8 − 4P.
Để phương trình (1.2.7) có nghiệm thì điều kiện cần là
∆ ≥ 0 ⇔ P ≤
cos
2
(B −C) + 8
4
+ 2. (∗)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 cosA = cos (B − C)
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 7 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.2 Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh
một số bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 1.2.7 (tiếp).
Chứng minh tương tự ta cũng có
P ≤
cos
2
(A − C) + 8

4
. (∗∗)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 cosB = cos (A − C).
Và
P ≤
cos
2
(A − B) + 8
4
. (∗ ∗ ∗)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 cosC = cos (A − B).
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 8 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.2 Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh
một số bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 1.2.7 (tiếp).
Từ (∗), (∗∗) và (∗ ∗ ∗) ta được
P ≤
cos
2
(A − B) + cos
2
(B −C) + cos
2
(C − A)
4
+ 2.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi




2 cos A = cos (B − C)
2 cos B = cos(A − C)
2 cos C = cos (A − B)
⇔ A = B = C =
π
3
.
hay tam giác ABC đều.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 9 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.2 Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh
một số bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 1.2.8 (Chuyên đề chọn lọc lượng giác và áp dụng).
Cho các số thực dương x, y, z và n ∈ N. Chứng minh rằng trong mọi tam
giác ABC ta đều có
x
2
+ y
2
+ z
2
≥ 2(−1)
n+1
(yz cos nA + xz cos nB + xy cos nC).
Lời giải. Bất đẳng thức trên tương đương với
x
2
+2x(−1)
n

(z cos nB + y cos nC)+y
2
+z
2
+2(−1)
n
yz cos nA ≥ 0. (1.2.8)
Việc chứng minh bất đẳng thức trên cũng tương đương với việc chứng
minh bất phương trình (1.2.8) nghiệm đúng với mọi x. Nghĩa là
∆

= (z cos nB + y cos nC)
2
− y
2
− z
2
− 2(−1)
n
yz cos nA ≤ 0
⇔ y
2
sin
2
nC + z
2
sin
2
nB + 2yz [(−1)
n

cos nA − cos nB cos nC] ≥ 0. (∗)
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 10 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.2 Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh
một số bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 1.2.8 (tiếp).
- Nếu n = 2k với k ∈ N thì
cos nA = cos (nB + nC) = cosnB cos nC − sin nB sin nC.
- Nếu n = 2k + 1 với k ∈ N thì
cos nA = −cos(nB + nC) = −cos nB cos nC + sin nB sin nC.
Khi đó bất đẳng thức (∗) trở thành
(y sin nC −z sin nB)
2
≥ 0 (điều này luôn đúng).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x
sin nA
=
y
sin nB
=
z
sin nC
.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 11 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.3 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng bất
đẳng thức trong tam giác
Kết quả 1.3.1.
Trong mọi tam giác ABC, với mọi n ∈ N

∗
ta có
cos 2nA + cos 2nB = 2 cos (nπ − nC) cos (nA − nB)
= ±2 cosnC cos (nA − nB)
.
Bổ sung thêm đại lượng m cos 2nC với m = 0, ta có
P = cos 2nA + cos 2nB + m cos 2nC
= 2mcos
2
nC ± 2 cosnC cos (nA − nB) − m
⇔ 2mcos
2
nC ± 2 cosnC cos (nA − nB) − m − P = 0.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 12 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.3 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng bất
đẳng thức trong tam giác
Kết quả 1.3.1(tiếp).
Xét phương trình
2mcos
2
nC ± 2 cosnC cos (nA − nB) − m − P = 0. (1.3.1)
Ta có
∆

= cos
2
(nA − nB) + 2m
2
+ 2mP.

Để phương trình (1.3.1) có nghiệm, điều kiện cần là
∆

≥ 0 ⇔ cos
2
(nA − nB) + 2m
2
+ 2mP ≥ 0.
Từ cos
2
(nA − nB) ≤ 1 ta suy ra
1 + 2m
2
+ 2mP ≥ 0 ⇔



P ≥
−2m
2
− 1
2m
với m > 0
P ≤
−2m
2
− 1
2m
với m < 0.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 13 / 77

LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.3 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng bất
đẳng thức trong tam giác
Kết quả 1.3.1(tiếp).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



cos
2
(nA − nB) = 1
cos nC = ∓
cos
2
(nA − nB)
2m
⇔

A = B
cos nC = ∓
1
2m
.
Điều kiện đủ để phương trình (1.3.1) có nghiệm là



−1 <
1
2m

< 0
0 <
1
2m
< 1
⇔



m < −
1
2
m >
1
2
.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 14 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.3 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng bất
đẳng thức trong tam giác
Kết quả 1.3.1 (tiếp).
Bài toán 1.3.1.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
a) cos 2nA + cos 2nB + m cos 2nC ≥
−2m
2
− 1
2m
với m >
1

2
.
b) cos 2nA + cos 2nB + m cos 2nC ≤
−2m
2
− 1
2m
với m < −
1
2
.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 15 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.3 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng bất
đẳng thức trong tam giác
Kết quả 1.3.1.
Bài toán 1.3.2.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
a) cos
2
nA + cos
2
nB + mcos
2
nC ≥
4m − 1
4m
với m >
1
2

.
b) cos
2
nA + cos
2
nB + mcos
2
nC ≤
4m − 1
4m
với m < −
1
2
.
Nhận xét 1.3.2. Từ các bất đẳng thức trên, ta suy ra:
• cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≥
3
4
.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 16 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.3 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng bất
đẳng thức trong tam giác
Kết quả 1.3.1.

Bài toán 1.3.3.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
a) sin
2
nA + sin
2
nB + msin
2
nC ≤
(2m + 1)
2
4m
với m >
1
2
.
b) sin
2
nA + sin
2
nB + msin
2
nC ≥
(2m + 1)
2
4m
với m < −
1
2
.

Nhận xét 1.3.3. Từ các bất đẳng thức trên, ta suy ra:
• sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤
9
4
.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 17 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chương 2. Áp dụng tính lồi, lõm của hàm số
chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức lượng giác
trong tam giác.
2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm [2]
Trong chương này, ta kí hiệu I (a, b) ⊂ R để ngầm định một trong bốn tập
sau đây: (a, b) ; [a, b) ; (a, b] ; [a, b] với a < b. Ta có thể viết tắt là tập I.
Định nghĩa 2.1.1 (Định nghĩa hàm số lồi, lõm).
Cho hàm số f (x) xác định trên tập I.
- Hàm f (x) được gọi là hàm lồi trên tập I nếu với mọi x
1
, x
2
∈ I và với
mọi số thực dương α, β thỏa mãn α + β = 1 ta luôn có
αf (x
1
) + βf (x

2
) ≥ f (αx
1
+ βx
2
).
Nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
thì ta nói hàm số f (x) lồi
thực sự (lồi chặt) trên I.
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 18 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm [2]
Định nghĩa 2.1.1 (Định nghĩa hàm số lồi, lõm) tiếp.
- Hàm f (x) được gọi là hàm lõm trên tập I nếu với mọi x
1
, x
2
∈ I và
với mọi số thực dương α, β thỏa mãn α + β = 1 ta luôn có
αf (x
1
) + βf (x
2
) ≤ f (αx
1
+ βx
2

).
Nếu dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
thì ta nói hàm số f (x)
lõm thực sự (lõm chặt) trên I (a, b).
Định lý 2.1.2 (Dấu hiệu nhận biết hàm lồi, lõm).
Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng I (a, b). Khi đó
(i) Hàm số f (x) lồi (lồi thực sự) trên khoảng I khi và chỉ khi f

(x) ≥ 0
(f

(x) > 0) với mọi x ∈ I .
(ii) Hàm số f (x) lõm (lõm thực sự) trên khoảng I khi và chỉ khi
f

(x) ≤ 0 (f

(x) < 0) với mọi x ∈ I .
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 19 / 77
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 3 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
2.1 Một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm [2]
Định lý 2.1.2 (Biểu diễn hàm lồi, lõm).
Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng I. Khi đó
(i) Nếu hàm f (x) lồi trên I thì với mọi cặp x
0
, x ∈ I ta luôn có
f (x) ≥ f (x

0
) + f

(x
0
) (x − x
0
).
Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = x
0
, do đó ta có thể viết
f (x) = min
u∈I
[f (u) + f

(u) (x −u)].
(ii) Nếu hàm f (x) lõm trên I thì với mọi cặp x
0
, x ∈ I ta luôn có
f (x) ≤ f (x
0
) + f

(x
0
) (x − x
0
).
Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = x
0

, do đó ta có thể viết
f (x) = max
u∈I
[f (u) + f

(u) (x −u)].
Nguyễn Thị Thoan (ĐH KHTN) MỘT PHÂN LOẠI VÀ XÂY DỰNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCHà Nội, 26/09/2013 20 / 77