CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ppt

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên
q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0  r  b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số dư
r  {0; 1; 2; …;  b}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy: a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq

II. CÁC TÍNH CHẤT
1. Với  a  0  a  a
2. Nếu a  b và b  c  a  c
3. Với  a  0  0  a
4. Nếu a, b > 0 và a  b ; b  a  a = b
5. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b
6. Nếu a  b  (a)  (b)
7. Với  a  a  (1)
8. Nếu a  b và c  b  a  c  b
9. Nếu a  b và cb  a  c  b
10. Nếu a + b  c và a  c  b  c
11. Nếu a  b và n > 0  a
n
 b
n

12. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b
13. Nếu a  b, c  b và m, n bất kỳ am + cn  b

14. Nếu a  b và c  d  ac  bd
15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!

III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N =

n n 1 1 0
a a a a

1. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2

chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn.

N  2  a
0
 2  a
0
{0; 2; 4; 6; 8}
2. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5

chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.

N  5  a
0
 5  a
0
{0; 5}
3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)


số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia
hết cho 4 hoặc 25.

N  4 (hoặc 25) 
01
aa
 4 (hoặc 25)
4. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125)

số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó
chia hết cho 8 hoặc 125.

N  8 (hoặc 125) 
01
aaa
2
 8 (hoặc 125)
5. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)

tổng các chữ số của nó chia hết cho 3
(hoặc 9).

N  3 (hoặc 9)  a
0
+a
1
+…+a

n
 3 (hoặc 9)
* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của
nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu.
6. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11

hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các
chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho

N  11  [(a
0
+a
1
+…) - (a
1
+a
3
+…)]  11
7. Một số dấu hiệu khác:

N  101  [(
01
aa
+
45
aa
+…) - (
23
aa

+
67
aa
+…)]101

N  7 (hoặc 13)  [(
01
aaa
2
+
67
aaa
8
+…) - [(
34
aaa
5
+
910
aaa
11
+…) 11 (hoặc 13)

N  37  (
01
aaa
2
+
34
aaa

5
+…)  37

N  19  ( a
0
+2a
n-1
+2
2
a
n-2
+…+ 2
n
a
0
)  19

IV. ĐỒNG DƯ THỨC
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho
cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
Ký hiệu: a  b (modun)
Vậy: a  b (modun)  a - b  m
b. Các tính chất
1. Với  a  a  a (modun)
2. Nếu a  b (modun)  b  a (modun)
3. Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)
4. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  a+c  b+d (modun)
5. Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  ac  bd (modun)
6. Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) và (d, m) =1 
d

b
d
a

(modun)
7. Nếu a  b (modun), d > 0 và d  Uc (a, b, m) 
d
b
d
a

(modun
d
m
)

V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ
1. Định lý Euler
Nếu m là 1 số nguyên dương

(m)
là số các số nguyên dương nhỏ hơn
m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1 Thì a

(m)


1 (modun)
Công thức tính 
(m)

Phân tích m ra thừa số nguyên tố
m = p
1
1
p
2
2
… p
k
k
với p
i
 p; 
i
 N
*

Thì 
(m)
= m(1 -
`1
1
p
)(1 -
2
1
p
) … (1 -
k

p
1
)
2. Định lý Fermat
Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì a
p-1

1 (modp)
3. Định lý Wilson
Nếu p là số nguyên tố thì ( P - 1)! + 1

0 (modp)