Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật docx

Chuyên đề đại số 9
dãy số có quy luật

Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này
- Cách 1 : Truy toán
- Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát
- Cách 3 : Dùng quy nạp toán học
- Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình
- Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học
-
Ví dụ 1 : Cho
2 2 2 2
A     
có 100 dấu căn
Chứng minh A không phải là một số tự nhiên
Giải :
Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2
Thật vậy
2 2


2 2 4 2
  


2 2 2
 
<
2 2 4 2
  

2 2 2 2
A     
<
2 2 4 2
  

Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A N ( dpcm )
Cách giải này thường được gọi là truy toán

Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau

1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 1
n n
   
    

Với n là số tự nhiên lớn hơn 1
Giải :
Xét số hạng tổng quát

1 1 1
1
1
1 1
n n
n n

n n
n n n n
 
    
 
   

Vậy :
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 1
n n
   
    


Trang 2
=
( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( 1)
n n
        

=
1
n


Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán
Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có

1 1 1 1 1

2 1 3 2 4 3 5 4 ( 1 )
n n
   

< 2
Giải :
Xét số hạng tổng quát ta có :

1 1 1 1 1 1 1
( 1) 1
( 1) 1 1
n
n n
n n n n
n n n n n n
  
 
     
 
  
 
  
 
  



1 1 1 1 2 1 1
.
1 1
n n
n n n n n n n
    
   
    
 
    
=
=
2 2
1
n n


. Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng

Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức

5 13 5 13 5 13
B       

Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có
chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Giải :
Nhận xét B > 2
Ta thấy :
2

5 13 5 13 5 13
B       

 ( B
2
– 5 )
2
= 13 + B
 B
4
– 10 B
2
+ 25 = 13 + B
 B
4
– 10 B
2
– B + 12 = 0
 B
4
– 9 B
2
– B
2
+ 9 – B + 3 = 0
 B
2
( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0
 ( B – 3)[ B
2

( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0
 ( B – 3)[ ( B + 3)( B
2
– 1 ) – 1 ] = 0
Vì B > 2 nên B
2
– 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B
2
– 1) – 1 > 11
do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3
Trang 3
Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương
trình

Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 99 100
C             

Giải :
Xét số hạng tổng quát :
2 2
1 1
1
( 1)
k k
 


với k là số nguyên
dương , ta có :
2 2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
( 1) 1k k k k
   
     
   
 
   


2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 2 1. 2 2 1
1 1 1
k k k k k k
          
     
          
  
          


Vì :

1 1 1 1 1 1
2 1. 2 . 2 1 2. 0
1 1 ( 1)
k k
k k k k k k
 
  
     
   
 
     
  
     
 

Vậy :
2
2 2
1 1 1 1
1 1
( 1) ( 1)
k k k k
 
    
 
 
 

Nên :
2 2

1 1 1 1 1 1
1 1 1
( 1) ( 1) 1
k k k k k k
       
  

áp dung vào bài
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 99 100
C
       
            
       
       


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
99 100 99,99
1 2 2 3 3 4 4 99 100 100
             


Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có

4 4 4 4
   
< 3
Giải :

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học
Với n = 1 ta có D
1
=
4 2

< 3 Đúng
Trang 4
Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :

4 4 4 4
k
k
B     
      
< 3 là đúng
Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1


1
1
4 4 4 4
k
k
B


    
      
=

4
k
B


Vì B
k
< 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên B
k+1
=
4
k
B

<
4 3

< 3
Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n

Ví dụ 7 : Cho biểu thức

2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
A
    

    

ở đó trên tử có 100 dấu căn , dưới mẫu có 99 dấu căn .

Chứng minh A >
1
4

Giải :
Đặt :
2 2 2 2
n
a     
có biểu thức có n dấu căn
Ta có :
2
1
2
n n
a a

 

2
1
2
n n
a a

 
và
100
99
2

2
a
A
a




Vậy :
  
100 100 100
2 2
100 100 100 100 100
2 2 2
1
2 ( 2) 4 2 2 2
a a a
A
a a a a a
  
   
     

Sau đây ta c/m
100
a
< 2 bằng truy toán
Ta có
1
2

a 
< 2 đúng

2 1
2 2 2
a a
   
<
2 2 4 2
  


3 2
2 2 2 2
a a
    
<
2 2 4 2
  



100 99
2
a a
 
< 2

Trang 5
Vậy :

100
2
a

< 2 + 2 = 4 , nên :
100
1
2
a

>
1
4

Từ đó A >
1
4
( dpcm )
Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học

Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :

2 3 4 5 6 2003 2004
< 3
Giải :
Đặt :
( 1) ( 2) ( 1)
k
a k k k n n
   

Với n > k
và n và k là những số nguyên dương . Ta chứng minh
1
k
a k
 

Phản chứng :
Giả sử
1
k
a k
 
thì theo cách đặt trên ta có :

2
2
1 1 1
. .
k
k k k k k
a
a k a a k a a
k
  
    
mà
2 2
( 1)
k

a k
 

nên
2
2 2 2
1
( 1) 2 1 2
2
k
k
a
k k k k k
a k
k k k k

   
     

với mọi số nguyên dương k , tức là
2002 2003 2003

phải đúng .
điều này vô lý . Vậy
1
k
a k
 
là sai . Vậy
1

k
a k
 
là đúng .
Do đó
2
3
a

. Ta có điều phải chứng minh .
Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phương trình

2 2 2 2 2 3
x x x x x x x
      

Giải :
Dễ thấy x = 0 là một ngiệm
Nếu x = 1 , ta có :



Trang 6

1 2 1 2 1 2 1 2 3.1 1 2 3 1
        

Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phương trình
Nếu x = 2 , ta có :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2
        


Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phương trình
Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có :

2 2 3
x x

do x = 3 nên
2 2 3 2 3 2 3.3 2 9 6
x x
    

Căn tiếp theo sẽ là :
2 2 2 3 2 3 2 3 2 3.3 2 3 6 6
x x x
       

và quá trình như vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có :

3 2.3 3
 
đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phương trình
Nếu x > 3 , thì

2
2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 3

x x x x x x x
x x x x x x x
      
       

 x
2
= x + 2x
 x
2
– 3x = 0
 x = 0 hoặc x = 3
Nhưng do x > 3 nên trong trường hợp này phương trình vô ngiệm
Vậy phương trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3










Trang 7
Bài tập luyện tập
dãy tính có quy luật

Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau
a )

2 2 2 2
A
    
vô hạn dấu căn
b )
6 6 6 6
B
    
vô hạn dấu căn
Bài 2 : Chứng minh rằng :
a )
6 6 6 6 3
n
C
     
    

b )
3
3
3
3
6 6 6 6 2
n
D
     
       

Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :

2 2 2 2
1
n
n
T a a a a a
      

; Với n  Z
+

Bài tập 4 : Chứng minh rằng

1 1 1 1
1
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 ( 1) 1n n n n
    
     

với mọi số nguyen dương n

Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có

1 1 1 1
2 3 2 2
2 3 4
n n
n
       

Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau

a )
1 1 1 1

1 4 4 7 7 10 97 100
A     
   

b )
1 1 1 1

2 3 3 4 4 5 100 101
B     
   

Bài 7 : Chứng minh rằng

1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 1 00
S       

không phải là một số tự nhiên .

Trang 8
Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :

1 1 1 1 1

1 2 3 4
n

n
     
, với mọi n  Z
+

Bài 9 : Cho 100 số :
1 2 3 4 100
, , , , ,
a a a a a
là 100 số tự nhiên sao
cho ta có :
1 2 3 4 100
1 1 1 1 1
20
a a a a a
     

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức

1 1 1 1 2001

2003
3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)
    
   

Bài 11 : Chứng minh rằng :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 2002 2003 2
    
   

Bài 12 : Chứng minh rằng :

2
2
3 8 15 1

4 9 16
n
n

   
,  n  N và n > 1 không phải là
một số nguyên .
Bài 13 : a ) Chưng minh rằng  n  Z
+
ta đều có

1
1 1
1 1
( 1)
n
n
n n n



  


b ) áp dụng chứng minh

3 5 2008
4
3 4 5 2008
2007 2 2008
2 3 4 2007
      

Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình


y
x x x x x z
     
         

vế trái có y dấu căn