Phương pháp1: nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình ) doc

Phương pháp1: nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế
phương trình ):
 Giải phương trình dạng : )()( xgxf 
+ / các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình : 11  xx (1)
ĐKXĐ : x+1

0

x

-1
Với x

-1 thì vế trái của phương trình không âm .Để phương trình có
nghiệm thì
x-1

0

x

1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình :
x+1 = (x-1)
2


x
2
-3x= 0


x(x-3) = 0 





3
0
x
x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x

1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Ví dụ 2: Giải phương trình: 131  xx

xx  131
( 1) ĐKXĐ :





013
01
x
x







13
1
x
x


1

13

x
(2)
Bình phương hai vế của (1) ta được :

2
)13(1 xx  017027
2
 xx
Phương trình này có nghiệm 10
1
x và 17
2
x .Chỉ có 10
1
x thoã mãn

(2) .
Vậy nghiệm của phương trình là
10

x

* Giải phương trình dạng : )()()( xgxhxf 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 121  xx
xx  211 (1)
ĐKXĐ:
02
01



x
x



2
1


x
x


12




x

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được :
xxx  22211

01
2
 xx
Phương trình này có nghiệm
2
51
x thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình là
2
51
x
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3
1x 27
3
 x (1)
Lập phương trình hai vế của (1) ta được:
82).7)(1(371
3
 xxxx


(x-1) (7- x) = 0

 x =-1 (đều thoả mãn (1 )
x =7 (đều thoả mãn (1 )
Vậy 7;1



xx là nghiệm của phương trình .
* Giải phương trình dạng :  )()( xhxf )(xg
Ví dụ5: Giải phương trình 1x - 7x = x12


1x = x12 + 7x (1)
ĐKXĐ: 121
7
12
1
07
012
01



















x
x
x
x
x
x
x

Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 )7)(12(  xx (3)
Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2
vế của phương trình (3) ta được :
(x - 4)
2
= 4(- x
2
+ 19x- 84)

5x
2
- 84x + 352 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm x
1
=

5
44
và x
2
= 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x
1
=
5
44
và x
2
= 8 là nghiệm của phương trình.
* Giải phương trình dạng :  )()( xhxf )(xg + )(xq
Ví dụ 6: Giải phương trình : 1x + 10x = 2x + 5x (1)
ĐKXĐ :











05
02
010

01
x
x
x
x












5
2
10
1
x
x
x
x
 x ≥ -1 (2)
Bình phương hai vế của (1) ta được :
x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1(  xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2(  xx



2+ )10)(1(  xx = )5)(2(  xx (3)
Với x

-1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3)
ta được
)10)(1(  xx = 1- x Điều kiện ở đây là x

-1
(4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)






1
1
x
x
 x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình
(1).
+ / Nhận xét :
Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng
phương trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi
nâng lên luỹ thừa bậc chẵn
Với hai số dương a, b nếu a = b thì a
2n
= b
2n

và ngược lại (n= 1,2,3 )
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương
trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng
phương pháp này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng
nhiều phương pháp khác lại với nhau .
+ / Bài tập áp dụng:
1. 4
2
x = x- 2 4.
3
45x -
3
16x
=1
2. 41
2
 xx = x+ 1 5. x1 = x6 -
)52(  x
3. x1 + x4 =3 6.
3
1x +
3
2x =
3
32 x