CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1) docx

BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN
1)
dx
ln x C
x.
 


2)
  
2 2
dx dx 1 1 1 1 dx dx
. .dx .
x a x a x a 2a x a x a 2a x a x a
   
    
 
 
      
   
    






d x a d x a
1 1 1 x a

. . ln x a ln x a .ln C
2a x a x a 2a 2a x a
 
 

 
       
 
 
  
 
 

3)


2 2
2 2
2 2 2 2
d x a
x.dx 1 1
. .ln x a C
x a 2 x a 2

   
 
 

4)



d ax b
dx 1 1
. ln ax b C
ax b a ax b a

   
 
 

5)
 
 
 
   
 
 
n 1
n
n n
d ax b ax b
dx 1 1
. ax b .d ax b . C
a a
ax b ax b n 1
 

 
     
   

  


1. Tích phân dạng


 
P x
I .dx
Q x





- Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho
CHUYÊN ĐỀ 3.
TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ


Q(x).
- Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích những nhị thức bậc nhất và tam
thức bậc hai.
- Trong nội dung chương trình phổ thơng ta chỉ tiếp xc với cc dạng sau của Q(x).

● Dạng 1.









1 2 n
Q x x a x a x a
   
- Ta phân tích :


 


    
1 2 n
P x P x

Q x x a x a x a

  


1 2 n
1 2 n
A A A

x a x a x a
   
  

- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 2 n
A , A , , A
.
● Dạng 2.
       
m
1 2 n
Q x x a x a x a x b
    
- Ta phân tích :


 


     
m
1 2 n
P x P x

Q x
x a x a x a x b

   


   
1 2 n 1 2 m
2 m

1 2 n
A A A B B B

x a x a x a x b
x b x b
       
   
 

- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 2 n 1 2 m
A , A , , A , B , B , , B .


● Dạng 3.












2 2
1 2 n
Q x x a x a x a x px q , p 4q 0

       


- Ta phân tích :


 


    
 
2
1 2 n
P x P x

Q x
x a x a x a x px q

    


 
1 2 n
2
1 2 n
A A A
Bx C

x a x a x a
x px q


    
  
 

- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 2 n
A , A , , A , B, C.


● Dạng 4.








2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
Q x x p x q x p x q , p 4q 0; p 4q 0
        

- Ta phân tích :


 



      
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
P x P x
B x C B x C

Q x
x p x q x p x q x p x q x p x q
 
  
       

- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 1 2 2
B , C , B , C .


2. Tích phân dạng
 
2
,
dx
I a 0
ax bx c


 
 


Trong đó


2
ax bx c 0, ;
 
   

Xt
2
b 4ac
  
● Nếu
0
 
thì
2
2
b
ax bx c a x
2a
 
   
 
 

Khi đó :
2 2
dx 1 dx

I .
a
b b
a x x
2a 2a
 
 
 
   
 
   
   
 
===> Dạng cơ bản
 
n
dx
ax b


.

● Nếu
0
 
thì





2
1 2
ax bx c a x x x x
     , với
1 2
x , x
là 2 nghiệm của phương
trình.
Khi đó :
  
1 2
1 dx
I .
a x x x x



 

===> Dạng cơ bản
2 2
dx
x a


.
● Nếu
0
 
thì

2
2
2
2
b Δ
ax bx c a x
2a 4a
 
 

 
 
    
 
 
 
 
 
 
 

Khi đó :
2
2
2
2
dx 1 dx
I .
ax bx c a
b Δ

x
2a 4a
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=== > Dạng
2 2
dx
x a


.
BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
1
2

0
dx
x 2x 2
 

ĐS :
π
.
4

Bi 2. Tính tích phân :
1
2
0
dx
x 2x 2
 

ĐS :
π
.
4

Bi 3. Tính tích phân :
1
2
0
dx
x x 1
 


ĐS :
π 3
.
9

Bi 4. Tính tích phân :
0
2
1
dx
x 2x 4

 

ĐS :
π 3
18
.

3. Tích phân dạng
 
2
,
mx n
I .dx a 0
ax bx c




 
 



Trong đó
 
2
mx n
x
ax bx c
f


 
liên tục trên đoạn


;
 

- Ta phân tích :


2 2 2
A. 2ax b
mx n B

ax bx c ax bx c ax bx c



 
     

- Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A, B.
- Khi đó
2 2 2
mx n 2ax b 1
I .dx A. .dx B. .dx
ax bx c ax bx c ax bx c
  
  
 
  
     
  

+ Tích phân


2
2
2 2
d ax bx c
2ax b
.dx ln ax bx c
ax bx c ax bx c
 



 
 

   
   
 

+ Tích phân
2
1
.dx
ax bx c


 

đ tính ở trn.

BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :


0
2
2
2x 2
dx
x 4x 8



 

ĐS :

π
ln 2 .
4


Bi 2. Tính tích phân :
1
2
0
4x 11
.dx
x 5x 6

 

ĐS :
9
ln .
2






4. Tích phân dạng (tham khảo thm)

 
2
n
n
.
x
I dx
ax b




- Sử dụng đồng nhất thức :
   
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x .a x . ax . ax b b
a a a
 
    
 


   
2
2
2

1
. ax b 2b ax b b
a
 
    
 

- Do đó
:
 
   
       
2
2
2 2
n n n 2 n 1 n
2 2
ax b 2b ax b b
x 1 1 1 2b b
a a
ax b ax b ax b ax b ax b
 
 
   
   
 
    
 
 

- Vậy :
 
   
 
2

n
2
2
n n
n 2 n 1
x 1 dx dx dx
I .dx . 2b. b .
a
ax b ax b
ax b ax b
 
 
     
 
 
 
 
   


2
n 2 n 1 n
2
1

. I 2b.I b .I
a
 
 
  
 
.
BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
 
3
2
39
2
x
.dx
1 x


- HD: Phân tích:
   
2
2
x 1 x 2 1 x 1
    
. ĐS :
Bi 2. Tính tích phân :
 
3
3

10
2
x
.dx
1 x


- HD: Phân tích:
     
2 3
3
x 1 3 x 1 3 x 1 x 1 .
       ĐS :

5. Tích phân dạng
2 2
dx
I
x a




- Đặt :
x a.tan t

.
==>



2
dx a. 1 tan t .dt
 
- Khi đó


2
2 2 2 2 2
a. 1 tan t .dt
dx 1 dt 1
. .ln t C.
x a a tan t a a t a

   
 
  

BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
1
2
0
dx
x 4


ĐS :
Bi 2. Tính tích phân :
1
2

0
dx
2x 6x 9
 

ĐS :
6. Tích phân dạng (tham khảo thm)
 
n
n
2 2
dx
I
x a




- Đặt:
   
n n 1
2 2 2 2
1 2nx
u du dx
x a x a

dv dx v x


 

 
 
 

 
 
 
 


7. Tích phân dạng (tham khảo thm)
 
 
n
n
2
,
dx
I a 0, n 2
ax bx c


  
 



Trong đó



2
ax bx c 0, ;
 
   

- Ta cĩ:
 
n
n n
n
22
2
dx 1 dx
I .
a
ax bx c
b
x
2a 4a
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
===> Dạng
 
n
n
2 2
dx
I
x a






BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
 
1
3
2
0
dx
x 4x 3
 

ĐS :
Bi 2. Tính tích phân :

 
1
2
2
0
dx
x 3x 2
 

ĐS :
2
4ln2 2ln3.
3
 
8. Tích phân dạng (tham khảo thm)
 
 
k
k
2
,
mx n
I .dx a 0, k 2
ax bx c

  
 


- Phân tích :

 
m mb
mx n 2ax b n
2a 2a
    
- Do đó :
 


   
k k k
2 2 2
2ax b
mx n m mb 1
. n .
2a 2a
ax bx c ax bx c ax bx c


 
  
 
 
     

- Ta sẽ thu được 2 tích phân :


 
k

2
2ax b
.dx
ax bx c

 

v
 
k
2
1
.dx
ax bx c 


+
 
 


   
2
k k k 1
2 2 2
d ax bx c
2ax b
1 1
.dx . C
1 k

ax bx c ax bx c ax bx c

 

 
  
 

 
     
 


+
 
k
2
1
.dx
ax bx c 

đ tính ở trn.
9. Tích phân dạng (tham khảo thm)
   
m n
dx
I
x a x b

 



Trong đó
m,n


là các số nguyên dương, ngoài phương pháp h
ệ số bất định,
ta cịn cĩ thể sử dụng php đặt t
x a
x b



để giải.
Ví dụ : Tính tích phân
   
1
2 3
0
dx
I
x 2 x 3

 


+ Đặt :
x 2 5 1 1 t
t 1

x 3 x 3 x 3 5
 
    
  


   
2
2 2
5 1 t 5dt
dt .dx 5 .dx dx
5
x 3 1 t

 
    
 
 
 

+
       
 
3
2 5
2 3 5 2
2 4 2
1 t
dx 1 x 3 1 t 1 5dt 1
.dx . . .dt

x 2 5 t 5 t
x 2 x 3 x 3 1 t

 
   
  
   

   
   

+ Đổi cận :
2 1
x 0 t ; x 1 t
3 4
       
.
+ Khi đó :
 
1 1
3
4 4
4 2 4 2
2 2
3 3
1 t
1 1 1 1
I dt 3 3 t dt
5 t 5 t t
 

 

 
    
 
 
 
.